18.4 Etude métrique des arcs

18.4.1 Arcs rectifiables

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et Γ = ([a,b],F) un arc paramétré dont l’intervalle de définition est un segment de . A toute subdivision σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤n} de [a,b] on associe la longueur

L(Γ,σ)

de la ligne polygonale inscrite dans Γ dont les sommets sont les F({a}_{i}), c’est-à-dire

L(Γ,σ) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}d(F({a}_{ i−1},F({a}_{i})) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\|F({a}_{ i}) − F({a}_{i−1})\|

Lemme 18.4.1 Soit σ et σ' deux subdivisions de [a,b]. Si σ' est plus fine que σ, on a L(Γ,σ) ≤ L(Γ,σ').

Démonstration Par une récurrence évidente sur le nombre de points ajoutés à σ pour obtenir σ', il suffit de montrer le résultat lorsque σ est composée de {a}_{0} = a < {a}_{1} < \mathop{\mathop{…}} < {a}_{n} = b et σ' est composée de {a}_{0} = a < \mathop{\mathop{…}} < {a}_{k−1} < c < {a}_{k} < \mathop{\mathop{…}} < {a}_{n} = b. Dans ce cas on a

\begin{eqnarray*} L(Γ,σ)& =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\|F({a}_{ i}) − F({a}_{i−1})\| ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{k−1}\|F({a}_{ i}) − F({a}_{i−1})\|%& \\ & & +\|F({a}_{k}) − F({a}_{k−1})\| +{ \mathop{∑ }}_{i=k+1}^{n}\|F({a}_{ i}) − F({a}_{i−1})\|\ %& \\ \end{eqnarray*}

alors que

\begin{eqnarray*} L(Γ,σ')& =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{k−1}\|F({a}_{ i}) − F({a}_{i−1})\| +\| F(c) − F({a}_{k−1})\|%& \\ & & +\|F({a}_{k}) − F(c)\| +{ \mathop{∑ }}_{i=k+1}^{n}\|F({a}_{ i}) − F({a}_{i−1})\|%& \\ \end{eqnarray*}

et le résultat découle immédiatement de l’inégalité triangulaire.

Intuitivement, si l’on peut donner un sens à la longueur d’un arc paramétré, suivant le principe la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, la longueur de cet arc doit être plus grande que la longueur de toute ligne polygonale inscrite dans l’arc. Ceci justifie l’introduction de la définition suivante.

Définition 18.4.1 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et Γ = ([a,b],F) un arc paramétré dont l’intervalle de définition est un segment de . On dit que Γ est rectifiable si l’ensemble des L(Γ,σ) est majoré, σ décrivant l’ensemble des subdivisions de [a,b]. On appelle alors longueur de l’arc Γ le nombre l(Γ) =\mathop{ sup}\{L(Γ,σ)\mathrel{∣}σ\text{ subdivision de }[a,b]\}.

Remarque 18.4.1 En général les arcs continus ne sont pas rectifiables ; les fractales donnent de bons exemples d’arcs paramétrés dont tout sous arc est de longueur infini. Sans aller jusque là, nous pouvons construire facilement un graphe de fonction continue qui n’est pas rectifiable. Prenons une fonction continue sur [0,1], de classe {C}^{1} sur ]0,1] mais telle que la fonction t\mathrel{↦}\sqrt{1 + f'{(t)}^{2}} ne soit pas intégrable sur ]0,1] (par exemple f(t) = \sqrt{t}\mathop{sin} {1\over { t}^{2}} si t\mathrel{≠}0 et f(0) = 0). Comme nous le verrons par la suite, la longueur du graphe de x à 1 est égale à {\mathop{∫ } }_{x}^{1}\sqrt{1 + f'{(t)}^{2}} dt et elle tend vers + ∞ quand x tend vers 0, bien que f soit continue.

Proposition 18.4.2 Soit {Γ}_{1} et {Γ}_{2} deux arcs définis sur des segments et {C}^{k}-équivalents. Alors {Γ}_{1} est rectifiable si et seulement si {Γ}_{2} est rectifiable et dans ce cas ils ont même longueur.

Démonstration Soit {Γ}_{1} = ([a,b],F) et {Γ}_{2} = ([c,d],G). Soit θ un difféomorphisme de [a,b] sur [c,d] tel que F = G ∘ θ ; θ est donc strictement monotone. A toute subdivision σ de [a,b], on peut associer une subdivision {θ}^{∗}(σ) de [c,d] de la manière suivante : si σ est donnée par {a}_{0} = a < {a}_{1} < \mathop{\mathop{…}} < {a}_{n} = b, {θ}^{∗}(σ) est la subdivision θ({a}_{0}) = c < θ({a}_{1}) < \mathop{\mathop{…}} < θ({a}_{n}) = d si θ est croissant et la subdivision θ({a}_{n}) = c < θ({a}_{n−1}) < \mathop{\mathop{…}} < θ({a}_{1}) < θ({a}_{0}) = d si θ est décroissant ; on obtient ainsi une bijection de l’ensemble des subdivisions de [a,b] sur l’ensemble des subdivisions de [c,d]. La ligne polygonale joignant les points F({a}_{i}) est encore la ligne polygonale joignant les points G(θ({a}_{i})), et donc L({Γ}_{1},σ) = L({Γ}_{2},{θ}^{∗}(σ)). Comme {θ}^{∗} est bijective, {θ}^{∗}(σ) parcourt toutes les subdivisions de [c,d], et donc (en prenant des bornes supérieures dans \overline{ℝ})

\begin{eqnarray*} \mathop{sup}\{L({Γ}_{1},σ)\mathrel{∣}σ\text{ subdivision de }[a,b]\}&& %& \\ & =& \mathop{sup}\{L({Γ}_{2},{θ}^{∗}(σ))\mathrel{∣}σ\text{ subdivision de }[a,b]\}%& \\ & =& \mathop{sup}\{L({Γ}_{2},σ')\mathrel{∣}σ'\text{ subdivision de }[c,d]\} %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre la proposition.

Proposition 18.4.3 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et Γ = ([a,b],F) un arc paramétré dont l’intervalle de définition est un segment de . Soit c ∈]a,b[. Alors Γ est rectifiable si et seulement si les deux sous arcs {Γ}_{1} = ([a,c],{F}_{{|}_{[a,c]}}) et {Γ}_{2} = ([c,b],{F}_{{|}_{[c,b]}}) sont rectifiables. Dans ce cas on a l(Γ) = l({Γ}_{1}) + l({Γ}_{2}).

Démonstration Supposons tout d’abord que Γ est rectifiable et soit {σ}_{1} une subdivision de [a,c], {a}_{0} = a < {a}_{1} < \mathop{\mathop{…}} < {a}_{p} = c. En ajoutant le point b, on obtient une subdivision σ de [a,b] et on a L(Γ,σ) = L({Γ}_{1},{σ}_{1}) +\| f(b) − f(c)\|. On en déduit que L({Γ}_{1},{σ}_{1}) ≤ l(Γ) −\| f(b) − f(c)\| ce qui montre que {Γ}_{1} est rectifiable. On montre de même que {Γ}_{2} est rectifiable.

Inversement, supposons {Γ}_{1} et {Γ}_{2} rectifiables et soit σ une subdivision de [a,b]. En ajoutant éventuellement à σ le point c on obtient une subdivision σ' de [a,b], plus fine que σ et qui est la juxtaposition d’une subdivision {σ}_{1} de [a,c] et d’une subdivision {σ}_{2} de [c,b]. La longueur de la ligne polygonale correspondant à σ' est donc la somme des longueurs des lignes polygonales correspondant à {σ}_{1} et {σ}_{2}. On a donc

L(Γ,σ) ≤ L(Γ,σ') = L({Γ}_{1},{σ}_{1}) + L({Γ}_{2},{σ}_{2}) ≤ l({Γ}_{1}) + l({Γ}_{2})

Ceci montre que Γ est rectifiable et que l(Γ) ≤ l({Γ}_{1}) + l({Γ}_{2}).

Inversement, soit ε > 0. Par définition de la borne supérieure, il existe {σ}_{1} subdivision de [a,c] telle que L({Γ}_{1},{σ}_{1}) ≥ l({Γ}_{1}) −{ ε \over 2} . De même, il existe {σ}_{2} subdivision de [c,b] telle que L({Γ}_{2},{σ}_{2}) ≥ l({Γ}_{2}) −{ ε \over 2} . La juxtaposition σ de {σ}_{1} et {σ}_{2} est une subdivision de [a,b] et on a

l(Γ) ≥ L(Γ,σ) = L({Γ}_{1},{σ}_{1}) + L({Γ}_{2},{σ}_{2}) ≥ l({Γ}_{1}) + l({Γ}_{2}) − ε

Donc \mathop{∀}ε > 0, l(Γ) ≥ l({Γ}_{1}) + l({Γ}_{2}) − ε et donc l(Γ) ≥ l({Γ}_{1}) + l({Γ}_{2}). Comme l’inégalité en sens inverse était déjà connue, on a l’égalité.

On déduit immédiatement de ce résultat que si ([a,b],F) est rectifiable et si [c,d] est un segment contenu dans [a,b], alors ([c,d],{F}_{{|}_{[c,d]}}) est encore rectifiable, autrement dit que tout sous arc d’un arc rectifiable est rectifiable. Ceci justifie la définition suivante

Définition 18.4.2 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré. On dit que Γ est rectifiable si pour tout segment [a,b] ⊂ I, le sous arc ([a,b],{F}_{{|}_{[a,b]}}) est rectifiable.

Dans ce cas, pour tout couple a,b de I tel que a < b, on peut définir {ℓ}_{Γ}(a,b) = l([a,b],{F}_{{|}_{[a,b]}}). La proposition précédente montre clairement que si a < b < c, on a {ℓ}_{Γ}(a,c) = {ℓ}_{Γ}(a,b) + {ℓ}_{Γ}(b,c). On prolonge la définition de {ℓ}_{Γ} en posant {ℓ}_{Γ}(a,b) = 0 si a = b et {ℓ}_{Γ}(a,b) = −{ℓ}_{Γ}(b,a) si b < a (convention de Chasles). On obtient alors facilement

Proposition 18.4.4 (relation de Chasles). Soit E un espace vectoriel normé, Γ = (I,F) un arc paramétré rectifiable de E. Alors

\mathop{∀}a,b,c ∈ I, {ℓ}_{Γ}(a,c) = {ℓ}_{Γ}(a,b) + {ℓ}_{Γ}(b,c)

Remarque 18.4.2 Il découle immédiatement des résultats précédents que si deux arcs sont équivalents, ils sont simultanément rectifiables ou non rectifiables ; de plus si {Γ}_{1} est équivalent à {Γ}_{2} et de même sens (de manière à conserver la convention de Chasles), et si θ est le changement de paramétrage croissant qui permet de passer de l’un à l’autre, on a

{ℓ}_{{Γ}_{1}}(a,b) = {ℓ}_{{Γ}_{2}}(θ(a),θ(b))

Par contre si θ était décroissant, on aurait a < b ⇒ θ(a) > θ(b) et la convention de Chasles donnerait {ℓ}_{{Γ}_{1}}(a,b) = −{ℓ}_{{Γ}_{2}}(θ(a),θ(b))

18.4.2 Arcs de classe {C}^{1}

Théorème 18.4.5 Tout arc de classe {C}^{1} est rectifiable. Plus précisément, si Γ = (I,F) est un arc de classe {C}^{1} de E, alors Γ est rectifiable et

\mathop{∀}a,b ∈ I, {ℓ}_{Γ}(a,b) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|F'(t)\| dt

Démonstration Soit [a,b] un segment inclus dans I, {Γ}_{0} le sous arc correspondant et σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤n} une subdivision de [a,b]. Comme F est de classe {C}^{1}, on a

\begin{eqnarray*} L({Γ}_{0},σ)& =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\|F({a}_{ i}) − F({a}_{i−1})\| ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\|{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }F'(t) dt\|%& \\ & ≤& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }\|F'(t)\| dt ={ \mathop{\mathop{∫ } } }_{a}^{b}\|F'(t)\| dt %& \\ \end{eqnarray*}

Ceci montre que {Γ}_{0} est rectifiable et que {ℓ}_{Γ}(a,b) = l({Γ}_{0}) ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|F'(t)\| dt.

Fixons maintenant a ∈ I ; nous allons montrer que \mathop{∀}t ∈ I, {ℓ}_{Γ}(a,t) ={\mathop{∫ } }_{a}^{t}\|F'(u)\| du. Comme {ℓ}_{Γ}(a,a) = 0, il suffit de montrer que t\mathrel{↦}{ℓ}_{Γ}(a,t) est dérivable et que sa dérivée est \|F'(t)\| ; on en déduira que t\mathrel{↦}{ℓ}_{Γ}(a,t) est de classe {C}^{1} et que donc {ℓ}_{Γ}(a,t) = {ℓ}_{Γ}(a,a) +{\mathop{∫ } }_{a}^{t}{ d \over du} {ℓ}_{Γ}(a,u) du ={\mathop{∫ } }_{a}^{t}\|F'(u)\| du. Montrons tout d’abord la dérivabilité à droite. Soit h > 0. On a alors {ℓ}_{Γ}(a,t + h) − {ℓ}_{Γ}(a,t) = {ℓ}_{Γ}(t,t + h). Mais en utilisant d’une part la ligne polygonale triviale qui joint par un seul segment les points F(t) et F(t + h), et d’autre part la majoration de la longueur par l’intégrale de \|F'\| déjà démontrée, on a

\|F(t + h) − F(t)\| ≤ {ℓ}_{Γ}(t,t + h) ≤{\mathop{∫ } }_{t}^{t+h}\|F'(u)\| du

soit encore, en divisant par h

\begin{eqnarray*} \|{ F(t + h) − F(t) \over h} \|& ≤&{ {ℓ}_{Γ}(a,t + h) − {ℓ}_{Γ}(a,t) \over h} %& \\ & ≤&{ 1 \over h} {\mathop{∫ } }_{t}^{t+h}\|F'(u)\|du %& \\ & =&{ 1 \over h} \left ({\mathop{∫ } }_{a}^{t+h}\|F'(u)\| du −{\mathop{∫ } }_{a}^{t}\|F'(u)\| du\right )%& \\ \end{eqnarray*}

Quand h tend vers 0 le terme de gauche (par définition de la dérivée) et le terme de droite (dérivée d’une intégrale par rapport à sa borne supérieure) tendent tous les deux vers \|F'(t)\|. On en déduit que {\mathop{lim}}_{h→{0}^{+}}{ {ℓ}_{Γ}(a,t+h)−{ℓ}_{Γ}(a,t) \over h} =\| F'(t)\|. Donc t\mathrel{↦}{ℓ}_{Γ}(a,t) est dérivable à droite, de dérivée \|F'\|. Le raisonnement est similaire à gauche.

Si maintenant b et c sont dans I, on a {ℓ}_{Γ}(b,c) = {ℓ}_{Γ}(a,c) − {ℓ}_{Γ}(a,b) ={\mathop{∫ } }_{a}^{c}\|F'(t)\| dt −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|F'(t)\| dt ={\mathop{∫ } }_{b}^{c}\|F'(t)\| dt ce qui achève la démonstration.

Exemple 18.4.1 (i) Pour un arc paramétré plan t\mathrel{↦}x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ} dans un repère orthonormé, on a \|F'(t)\| = \sqrt{x'{(t)}^{2 } + y'{(t)}^{2}} et donc {ℓ}_{Γ}(a,b) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\sqrt{x'{(t)}^{2 } + y'{(t)}^{2}} dt. En particulier le graphe d’une fonction f de classe {C}^{1} sur [a,b] est rectifiable et sa longueur est {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\sqrt{1 + f'{(t)}^{2}} dt.

(ii) Pour un arc plan donné par une équation polaire ρ = f(θ), on a F'(θ) = f'(θ)\vec{u}(θ) + f(θ)\vec{u}'(θ), soit \|F'(θ)\| = \sqrt{f{(θ)}^{2 } + f'{(θ)}^{2}} et donc {ℓ}_{Γ}(a,b) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\sqrt{f{(θ)}^{2 } + f'{(θ)}^{2}} dθ

(iii) Pour un arc paramétré de l’espace {ℝ}^{3}, t\mathrel{↦}x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ} + z(t)\vec{k} dans un repère orthonormé, on a \|F'(t)\| = \sqrt{x'{(t)}^{2 } + y'{(t)}^{2 } + z'{(t)}^{2}} et donc {ℓ}_{Γ}(a,b) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\sqrt{x'{(t)}^{2 } + y'{(t)}^{2 } + z'{(t)}^{2}} dt

Le lecteur adaptera ces formules pour un arc donné en coordonnées cylindriques ou sphériques.

18.4.3 Abscisses curvilignes

Définition 18.4.3 Soit Γ = (I,F) un arc rectifiable. On appelle abscisse curviligne sur Γ toute application s : I → ℝ telle que \mathop{∀}a,b ∈ I, {ℓ}_{Γ}(a,b) = s(b) − s(a). On dit que Γ est paramétré par abscisse curviligne si s(t) = t est une abscisse curviligne, autrement dit si \mathop{∀}a,b ∈ I, {ℓ}_{Γ}(a,b) = b − a.

Remarque 18.4.3 Choisissons sur Γ une origine {a}_{0}. La relation de Chasles montre de manière évidente que s(t) = {ℓ}_{Γ}({a}_{0},t) est une abscisse curviligne sur Γ.

Proposition 18.4.6 Sur un arc rectifiable, deux abscisses curvilignes diffèrent d’une constante.

Démonstration Soit {a}_{0} ∈ I. On a {ℓ}_{Γ}({a}_{0},t) = {s}_{1}(t) − {s}_{1}({a}_{0}) = {s}_{2}(t) − {s}_{2}({a}_{0}), si bien que {s}_{2}(t) = {s}_{1}(t) + K avec K = {s}_{2}({a}_{0}) − {s}_{1}({a}_{0}).

Théorème 18.4.7 Un arc Γ = (I,F) de classe {C}^{1} est paramétré par abscisse curviligne si et seulement si \mathop{∀}t ∈ I, \|F'(t)\| = 1.

Démonstration Supposons tout d’abord que \mathop{∀}t ∈ I, \|F'(t)\| = 1. Alors on a \mathop{∀}a,b ∈ Γ, {ℓ}_{Γ}(a,b) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|F'(t)\| dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{b} dt = b − a. Inversement, supposons l’arc paramétré par abscisse curviligne, alors si a ∈ I, on a \mathop{∀}t ∈ I, t − a = {ℓ}_{Γ}(a,t) ={\mathop{∫ } }_{a}^{t}\|F'(u)\| du et en dérivant par rapport à t, on obtient 1 =\| F'(t)\|.

Théorème 18.4.8 Un arc de classe {C}^{k} (k ≥ 1) est {C}^{k}-équivalent à un arc paramétré par abscisse curviligne si et seulement si il est régulier.

Démonstration Le théorème précédent implique que tout arc paramétré par abscisse curviligne est régulier et comme tout arc équivalent à un arc régulier est lui même régulier, la condition est évidemment nécessaire. Inversement, soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier. Soit s(t) une abscisse curviligne sur Γ. On sait que, si a ∈ I, s(t) = s(a) +{\mathop{∫ } }_{a}^{t}\|F'(u)\| du et donc s est de classe {C}^{k} (car u\mathrel{↦}\|F'(u)\| est de classe {C}^{k−1} si F' ne s’annule pas) et s'(t) =\| F'(t)\| > 0. On en déduit que s est un {C}^{k} difféomorphisme de I sur J = s(I). Soit G = F ∘ {s}^{−1} : J → E. L’arc (J,G) est {C}^{k} équivalent à (I,F) et on a (puisque {s}^{−1} est un difféomorphisme croissant)

\begin{eqnarray*}{ ℓ}_{J,G}({u}_{1},{u}_{2})& =& {ℓ}_{(I,F)}({s}^{−1}({u}_{ 1}),{s}^{−1}({u}_{ 2})) %& \\ & =& s({s}^{−1}({u}_{ 1})) − s({s}^{−1}({u}_{ 2})) = {u}_{1} − {u}_{2}%& \\ \end{eqnarray*}

donc (J,G) est paramétré par abscisse curviligne.

Remarque 18.4.4 Soit (I,F) et (J,G) deux arcs paramétrés équivalents et de même sens et θ un difféomorphisme croissant tel que F = G ∘ θ. Supposons que (J,G) est paramétré par abscisse curviligne. On a alors F'(t) = θ'(t)G'(θ(t)) et comme G'(θ(t)) est de norme 1 et θ'(t) > 0, on a θ'(t) =\| F'(t)\|. On voit que θ est déterminé à une constante près. Si l’on pose s = θ(t), on aura donc { ds \over dt} =\| F'(t)\| ce qui peut encore s’écrire de la manière suivante

  • (i) Pour un arc paramétré plan t\mathrel{↦}x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ} dans un repère orthonormé, on a d{s}^{2} = d{x}^{2} + d{y}^{2} (c’est-à-dire que {\left ({ ds \over dt} \right )}^{2} ={ \left ({ dx \over dt} \right )}^{2} +{ \left ({ dy \over dt} \right )}^{2})
  • (ii) Pour un arc plan donné par une équation polaire ρ = f(θ), on a d{s}^{2} = d{ρ}^{2} + {ρ}^{2} d{θ}^{2} (c’est-à-dire que {\left ({ ds \over dθ} \right )}^{2} ={ \left ({ dρ \over dθ} \right )}^{2} + {ρ}^{2})
  • (iii) Pour un arc paramétré de l’espace {ℝ}^{3}, t\mathrel{↦}x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ} + z(t)\vec{k} dans un repère orthonormé, on a d{s}^{2} = d{x}^{2} + d{y}^{2} + d{z}^{2} (c’est-à-dire que {\left ({ ds \over dt} \right )}^{2} ={ \left ({ dx \over dt} \right )}^{2} +{ \left ({ dy \over dt} \right )}^{2} +{ \left ({ dz \over dt} \right )}^{2})

18.4.4 Introduction à la méthode du repère mobile

Soit E un espace affine euclidien de direction \vec{E}. On désigne par l’ensemble des repères orthonormés de E.

Définition 18.4.4 On appelle repère mobile tout couple (I,R) d’un intervalle I de et d’une application t\mathrel{↦}R(t) de I dans , de classe {C}^{1}.

On notera a(t) ∈ E l’origine du repère R(t) et ℰ(t) = (\overrightarrow{{e}_{1}}(t),\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}(t)) la base orthonormée définissant R(t). Le résultat essentiel est le suivant

Théorème 18.4.9 Soit t\mathrel{↦}R(t) = (a(t),\overrightarrow{{e}_{1}}(t),\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}(t)) un repère mobile. Alors, pour tout t ∈ I, la matrice des coordonnées des vecteurs { d\overrightarrow{{e}_{1}} \over dt} (t),\mathop{\mathop{…}},{ d\overrightarrow{{e}_{n}} \over dt} (t) dans la base (\overrightarrow{{e}_{1}}(t),\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}(t)) est antisymétrique.

Démonstration Posons { d\overrightarrow{{e}_{j}} \over dt} (t) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{a}_{i,j}(t)\overrightarrow{{e}_{i}}(t). Par dérivation, la relation \mathop{∀}t ∈ I, (\overrightarrow{{e}_{i}}(t)\mathrel{∣}\overrightarrow{{e}_{i}}(t)) = 1 donne \mathop{∀}t ∈ I, 2({ d\overrightarrow{{e}_{i}} \over dt} (t)\mathrel{∣}\overrightarrow{{e}_{i}}(t)) = 0 soit encore {a}_{i,i}(t) = 0. De même la relation \mathop{∀}t ∈ I, (\overrightarrow{{e}_{i}}(t)\mathrel{∣}\overrightarrow{{e}_{j}}(t)) = 0 donne par dérivation \mathop{∀}t ∈ I, ({ d\overrightarrow{{e}_{i}} \over dt} (t)\mathrel{∣}\overrightarrow{{e}_{j}}(t)) + ({ d\overrightarrow{{e}_{j}} \over dt} (t)\mathrel{∣}\overrightarrow{{e}_{i}}(t)) = 0 soit encore {a}_{i,j}(t) + {a}_{j,i}(t) = 0. Ceci montre bien que la matrice est antisymétrique.

18.4.5 Repère de Frénet et courbure des arcs d’un plan euclidien orienté

On désigne par E un plan euclidien orienté.

Définition 18.4.5 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré par abscisse curviligne de classe {C}^{1}. On appelle repère de Frénet au point s ∈ I le repère orthonormé direct (F(s),\vec{t}(s),\vec{n}(s)) dont l’origine est le point F(s) et tel que \vec{t}(s) = F'(s).

Justification : on sait que \|F'(s)\| = 1. De plus la connaissance de \vec{t}(s) détermine parfaitement \vec{n}(s) qui doit être l’image de \vec{t}(s) par la rotation d’angle +{ π \over 2} .

Supposons que (I,F) est un arc paramétré par abscisse curviligne de classe {C}^{2}. Alors l’application s\mathrel{↦}\vec{t}(s) = F'(s) est de classe {C}^{1} et il en est de même de s\mathrel{↦}\vec{n}(s) = {r}_{π∕2}(\vec{t}(s)). Le théorème sur le repère mobile nous dit que la matrice des coordonnées des vecteurs { d\vec{t} \over ds} (s),{ d\vec{n} \over ds} (s) dans la base (\vec{t}(s),\vec{n}(s)) est antisymétrique, donc de la forme \left (\matrix{\,0 &−c(s) \cr c(s)&0 }\right ).

Définition 18.4.6 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré par abscisse curviligne de classe {C}^{2}. On appelle courbure de Γ au point s de I le réel c(s) défini par la relation F''(s) ={ d\vec{t} \over ds} (s) = c(s)\vec{n}(s).

Remarque 18.4.5 On a donc les formules (dites formules de Frénet)

{ d\vec{t} \over ds} (s) = c(s)\vec{n}(s),{ d\vec{n} \over ds} (s) = −c(s)\vec{t}(s)

Définition 18.4.7 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{2}. Soit (J,G) un arc paramétré par abscisse curviligne équivalent et de même sens, θ : I → J un difféomorphisme croissant tel que F = G ∘ θ. On appelle repère de Frénet (resp. courbure) à Γ au point t ∈ I le repère de Frénet (resp. la courbure) au point θ(t) à l’arc (J,G).

Remarque 18.4.6 Il faut voir bien entendu que cette définition ne dépend pas du choix de (J,G). Cela découle de la quasi-unicité de θ que nous avons vue précédemment, ou bien plus simplement du théorème suivant

Théorème 18.4.10 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{2}. Alors le repère de Frénet et la courbure au point t à Γ sont donnés respectivement par

\vec{{t}}_{Γ}(t) ={ F'(t) \over \|F'(t)\|} ,\quad \vec{{n}}_{Γ}(t) = {r}_{π∕2}(\vec{{t}}_{Γ}(t)),\quad {c}_{Γ}(t) ={ [F'(t),F''(t)] \over \|F'{(t)\|}^{3}}

où [F'(t),F''(t)] désigne le produit mixte des vecteurs F'(t) et F''(t).

Démonstration Par définition, si (J,G) désigne un arc paramétré par abscisse curviligne équivalent et de même sens, θ : I → J un difféomorphisme tel que F = G ∘ θ, on a \vec{{t}}_{Γ}(t) = G'(θ(t)) et on a G''(θ(t)) = {c}_{Γ}(t)\vec{{n}}_{Γ}(t). On a alors

F'(t) = (G ∘ θ)'(t) = θ'(t)G'(θ(t)) = θ'(t)\vec{{t}}_{Γ}(t)

Comme θ'(t) > 0, on a θ'(t) =\| F'(t)\| et donc \vec{{t}}_{Γ}(t) ={ F'(t) \over \|F'(t)\|} . De plus on a

\begin{eqnarray*} F''(t)& =& θ''(t)G'(θ(t)) + θ'{(t)}^{2}G''(θ(t)) %& \\ & =& θ''(t)\vec{{t}}_{Γ}(t) +\| F'{(t)\|}^{2}{c}_{ Γ}(t)\vec{{n}}_{Γ}(t)%& \\ \end{eqnarray*}

d’où l’on déduit que

\begin{eqnarray*} [F'(t),F''(t)]& =& [\|F'(t)\|\vec{{t}}_{Γ}(t),θ''(t)\vec{{t}}_{Γ}(t) +\| F'{(t)\|}^{2}{c}_{ Γ}(t)\vec{{n}}_{Γ}(t)]%& \\ & =& {c}_{Γ}(t)\|F'{(t)\|}^{3}[\vec{{t}}_{ Γ}(t),\vec{{n}}_{Γ}(t)] = {c}_{Γ}(t)\|F'{(t)\|}^{3} %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui démontre la dernière formule.

Corollaire 18.4.11 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{2} et t ∈ I. On a équivalence de (i) t est un point birégulier de Γ (ii) {c}_{Γ}(t)\mathrel{≠}0

Démonstration En effet t est birégulier si et seulement si la famille (F'(t),F''(t)) est libre c’est-à-dire si et seulement si le produit mixte [F'(t),F''(t)] est non nul.

Corollaire 18.4.12 Soit Γ l’arc défini en polaire par ρ = f(θ). Alors la courbure au point θ est donnée par

c ={ {ρ}^{2} + 2{ρ'}^{2} − ρρ'' \over {({ρ}^{2} + {ρ'}^{2})}^{3∕2}}

(avec ρ' = f'(θ) et ρ'' = f''(θ)).

Démonstration On a F'(θ) = f'(θ)\vec{u}(θ) + f(θ)\vec{u}'(θ) et F''(θ) = (f''(θ) − f(θ))\vec{u}(θ) + 2f'(θ)\vec{u}'(θ). On en déduit que [F'(θ),F''(θ)] = {ρ}^{2} + 2{ρ'}^{2} − ρρ'' et que \|F'(θ)\| = \sqrt{{ρ}^{2 } + {ρ'}^{2}}, d’où la formule.

Nous allons maintenant donner une autre interprétation de la courbure à l’aide d’une détermination de l’angle φ du vecteur tangent unitaire \vec{t} avec un vecteur fixe \vec{ı}. Pour pouvoir dériver une telle détermination, nous utiliserons le lemme suivant

Lemme 18.4.13 (lemme de relèvement {C}^{1}). Soit I un intervalle de et f : I → U = \{z ∈ ℂ\mathrel{∣}|z| = 1\} une application de classe {C}^{1}. Alors il existe g : I → ℝ de classe {C}^{1} telle que \mathop{∀}t ∈ I, f(t) = {e}^{ig(t)}. Si {g}_{1} et {g}_{2} sont deux telles applications, il existe k ∈ ℤ tel que \mathop{∀}t ∈ I, {g}_{2}(t) = {g}_{1}(t) + 2kπ.

Démonstration Traitons tout d’abord la question de l’unicité. Soit {g}_{1} et {g}_{2} qui conviennent. Alors \mathop{∀}t ∈ I, {e}^{i({g}_{2}(t)−{g}_{1}(t))} = 1 soit \mathop{∀}t ∈ I, {g}_{2}(t) − {g}_{1}(t) ∈ 2πℤ. Or, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, ({g}_{2} − {g}_{1})(I) est un intervalle ; cet intervalle devant être contenu dans 2πℤ, c’est forcément un singleton et donc il existe k ∈ ℤ tel que \mathop{∀}t ∈ I, {g}_{2}(t) = {g}_{1}(t) + 2kπ. En ce qui concerne l’existence, remarquons que si g existe, on doit avoir f'(t) = ig'(t){e}^{ig(t)} = ig'(t)f(t) et donc g'(t) ={ f'(t) \over if(t)} .

Puisque \mathop{∀}t ∈ I,f(t)\overline{f(t)} = 1, par dérivation on obtient \mathop{∀}t ∈ I,f(t)\overline{f'(t)} + f'(t)\overline{f(t)} = 0, donc { 1 \over i} f'(t)\overline{f(t)} = {f'(t)\over if(t)} ∈ ℝ. Soit donc a ∈ I ; choisissons α ∈ ℝ tel que {e}^{iα} = f(a) et soit g(t) = α +{\mathop{∫ } }_{a}^{t}{ f'(u) \over if(u)} du = α − i{\mathop{∫ } }_{a}^{t}f'(u)\overline{f(u)} du. La fonction g est de classe {C}^{1} de I dans et g'(t) ={ f'(t) \over if(t)}  ; posons h(t) = f(t){e}^{−ig(t)} ; h est de classe {C}^{1} et on a h'(t) = f'(t){e}^{−ig(t)} − ig'(t)f(t){e}^{−ig(t)} = \left (f'(t) − ig'(t)f(t)\right ){e}^{−ig(t)} = 0. Donc h est constante. Comme h(a) = f(a){e}^{−ig(a)} = f(a){e}^{−iα} = 1, h est la constante 1 et donc \mathop{∀}t ∈ I, f(t) = {e}^{ig(t)}.

Lemme 18.4.14 Soit E un plan vectoriel euclidien, (\vec{ı},\vec{ȷ}) une base orthonormée de E, S = \{x ∈ E\mathrel{∣}\|x\| = 1\}. Soit I un intervalle de et f : I → S de classe {C}^{1}. Alors il existe g : I → ℝ de classe {C}^{1} telle que \mathop{∀}t ∈ I, f(t) =\mathop{ cos} g(t)\,\vec{ı} +\mathop{ sin} g(t)\,\vec{ȷ}. Si {g}_{1} et {g}_{2} sont deux telles applications, il existe k ∈ ℤ tel que \mathop{∀}t ∈ I, {g}_{2}(t) = {g}_{1}(t) + 2kπ.

Démonstration Il suffit d’utiliser l’isométrie L de E dans (considérés tous deux comme espaces euclidiens) définie par L(a\vec{ı} + b\vec{ȷ}) = a + ib et d’appliquer le lemme précédent à L ∘ f. On a alors L ∘ f(t) = {e}^{ig(t)}, soit f(t) = {L}^{−1}({e}^{ig(t)}) =\mathop{ cos} g(t)\,\vec{ı} +\mathop{ sin} g(t)\,\vec{ȷ}.

Théorème 18.4.15 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{2} du plan euclidien E. Soit (\vec{ı},\vec{ȷ}) une base orthonormée de E. Pour chaque t ∈ I soit \vec{{t}}_{Γ}(t) le vecteur tangent unitaire au point t, soit φ : I → ℝ une application de classe {C}^{1} telle que \mathop{∀}t ∈ I, \vec{{t}}_{Γ}(t) =\mathop{ cos} φ(t)\,\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(t)\,\vec{ȷ} et t\mathrel{↦}s(t) une abscisse curviligne sur Γ. Alors

\mathop{∀}t ∈ I, φ'(t) = {c}_{Γ}(t)s'(t)

Démonstration Si (J,G) désigne un arc paramétré par abscisse curviligne équivalent et de même sens, θ : I → J un difféomorphisme tel que F = G ∘ θ, on a \vec{{t}}_{Γ}(t) = G'(θ(t)) ; on sait aussi que θ'(t) =\| F'(t)\| = s'(t). On a donc F'(t) = θ'(t)\vec{{t}}_{Γ}(t) = s'(t)(\mathop{cos} φ(t)\,\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(t)\,\vec{ȷ}) d’où F''(t) = s''(t)(\mathop{cos} φ(t)\,\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(t)\,\vec{ȷ}) + s'(t)φ'(t)(−\mathop{sin} φ(t)\,\vec{ı} +\mathop{ cos} φ(t)\,\vec{ȷ}) ce qui nous donne [F'(t),F''(t)] = s'{(t)}^{2}φ'(t) alors que \|F'(t)\| = s'(t). La formule s’en déduit immédiatement.

Remarque 18.4.7 Sur un arc paramétré par abscisse curviligne s\mathrel{↦}F(s), on peut prendre le paramètre comme abscisse curviligne et on a donc \mathop{∀}s ∈ I, {c}_{Γ}(s) ={ dφ \over ds} (s). La courbure mesure donc la vitesse avec laquelle tourne le vecteur tangent en fonction de l’abscisse curviligne.

Formulaire

Pour un arc paramétré t\mathrel{↦}x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ}, on a vu que {\left ({ ds \over dt} \right )}^{2} ={ \left ({ dx \over dt} \right )}^{2} +{ \left ({ dy \over dt} \right )}^{2} ; de plus F'(t) =\| F'(t)\|(\mathop{cos} φ(t)\,\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(t)\,\vec{ȷ}) ={ ds \over dt} (\mathop{cos} φ(t)\,\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(t)\,\vec{ȷ}) ce qui nous donne { dx \over dt} ={ ds \over dt} \mathop{ cos} φ et { dy \over dt} ={ ds \over dt} \mathop{ sin} φ, avec enfin { dφ \over dt} = {c}_{Γ}\,{ ds \over dt} . On retiendra ces formules en termes de formes différentielles sous la forme

dx = ds\,\mathop{cos} φ,\quad dy = ds\,\mathop{sin} φ,\quad dφ = c\,ds

d’où l’on retrouve que d{s}^{2} = d{x}^{2} + d{y}^{2}.

Pour un arc en polaires donné par ρ = f(θ), on a F'(θ) = f'(θ)\vec{u}(θ) + f(θ)\vec{u}'(θ). Par le théorème de relèvement, il existe une application θ\mathrel{↦}α(θ) de classe {C}^{1} telle que \vec{t}(θ) =\mathop{ cos} α(θ)\,\vec{u}(θ) +\mathop{ sin} α(θ)\,\vec{u}'(θ) et on a alors

\begin{eqnarray*} F'(θ)& =& f'(θ)\vec{u}(θ) + f(θ)\vec{u}'(θ) %& \\ & =& \|F'(θ)\|(\mathop{cos} α(θ)\,\vec{u}(θ) +\mathop{ sin} α(θ)\,\vec{u}'(θ))%& \\ & =&{ ds \over dθ} (\mathop{cos} α(θ)\,\vec{u}(θ) +\mathop{ sin} α(θ)\,\vec{u}'(θ)) %& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que ρ = f(θ) ={ ds \over dθ} \mathop{ sin} α(θ) et que { dρ \over dθ} ={ ds \over dθ} \mathop{ sin} α(θ). D’autre part on peut évidemment prendre φ(θ) = θ + α(θ) ce qui nous donne les formules suivantes en termes de formes différentielles

dρ = ds\,\mathop{cos} α,\quad ρ\,dθ = ds\,\mathop{sin} α, φ = θ + α,\quad dφ = c\,ds

Exemple 18.4.2 Considérons la cardioïde d’équation ρ = a(1 +\mathop{ cos} θ), θ ∈] − π,π[. On a alors ds\,\mathop{cos} α = dρ = −a\mathop{sin} θ\,dθ = −2a\mathop{cos} { θ \over 2} \mathop{ sin} { θ \over 2} \,dθ et ds\,\mathop{sin} α = ρ\,dθ = a(1 +\mathop{ cos} θ)\,dθ = 2a{\mathop{cos} }^{2}{ θ \over 2} \,dθ. Comme { ds \over dθ} > 0, ceci nécessite ds = 2a\mathop{cos} { θ \over 2} dθ. On a alors \mathop{cos} α = −\mathop{sin} { θ \over 2} , \mathop{sin} α =\mathop{ cos} { θ \over 2} , ce qui détermine α à une constante près par α ={ θ \over 2} +{ π \over 2} . On en déduit que φ = α + θ ={ 3θ \over 2} +{ π \over 2} et donc dφ ={ 3 \over 2} \,dθ = c\,ds = 2ac\mathop{cos} { θ \over 2} dθ. Par conséquent c ={ 3 \over 4a\mathop{ cos} { θ \over 2} } .

18.4.6 Centre de courbure, cercle osculateur

Définition 18.4.8 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{2} et t ∈ I un point birégulier de Γ. On appelle rayon de courbure au point t le nombre réel {R}_{Γ}(t) ={ 1 \over {c}_{Γ}(t)} .

Remarque 18.4.8 Dans un arc paramétré par abscisse curviligne s\mathrel{↦}F(s), les formules de Frénet peuvent alors s’écrire

{ d\vec{t} \over ds} (s) ={ 1 \over R(s)} \vec{n}(s),{ d\vec{n} \over ds} (s) = −{ 1 \over R(s)} \vec{t}(s)

Définition 18.4.9 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{2} et t ∈ I un point birégulier de Γ. Soit (F(t),\vec{{t}}_{Γ}(t),\vec{{n}}_{Γ}(t)) le repère de Frénet au point t et {R}_{Γ}(t) le rayon de courbure au point t. On appelle centre de courbure au point t le point {C}_{Γ}(t) = F(t) + {R}_{Γ}(t)\vec{{n}}_{Γ}(t), on appelle cercle de courbure au point t le cercle ayant pour centre le centre de courbure et pour rayon le rayon de courbure (et qui passe donc par le point F(t)).

Remarque 18.4.9 Par définition même, il s’agit de notions invariantes par changement de paramétrage admissible : si Γ = (I,F) et Γ' = (J,G) sont deux arcs équivalents et de même sens et si θ est un difféomorphisme croissant tel que F = G ∘ θ, alors le rayon de courbure (resp. le centre de courbure, resp. le cercle de courbure) au point θ(t) à Γ' est le rayon de courbure (resp. le centre de courbure, resp. le cercle de courbure) au point t à Γ.

Théorème 18.4.16 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{2} et {t}_{0} ∈ I un point birégulier de Γ. Alors le cercle de courbure au point {t}_{0} est l’unique cercle osculateur à Γ au point {t}_{0}.

Démonstration La notion de contact étant invariante par changement de paramétrage admissible, on peut supposer que l’arc est paramétré par abscisse curviligne, s\mathrel{↦}F(s) et nous noterons {s}_{0} à la place de {t}_{0}. L’étude du contact pouvant se faire dans n’importe quel repère, nous pouvons à cet effet utiliser le repère de Frénet au point {s}_{0}. Si on note alors \overrightarrow{F({s}_{0})F(s)} = x(s)\vec{t}({s}_{0}) + y(s)\vec{n}({s}_{0}), les formules F'({s}_{0}) =\vec{ t}({s}_{0}) et F''({s}_{0}) = c({s}_{0})\vec{n}({s}_{0}) se traduisent par x'({s}_{0}) = 1,y'({s}_{0}) = 0,x''({s}_{0}) = 0,y''({s}_{0}) = c({s}_{0}) avec bien entendu x({s}_{0}) = y({s}_{0}) = 0 puisque F({s}_{0}) est l’origine du repère. Considérons un cercle passant par F({s}_{0}) ; dans ce repère de Frénet il admet une équation du type {X}^{2} + {Y }^{2} − 2αX − 2βY = 0, son centre ayant pour coordonnées (α,β). Si on introduit l’équation aux points d’intersection du cercle et de Γ, on pose φ(s) = x{(s)}^{2} + y{(s)}^{2} − 2αx(s) − 2βy(s) et la condition d’osculation se traduit par φ({s}_{0}) = φ'({s}_{0}) = φ''({s}_{0}) = 0. Mais compte tenu des formules x({s}_{0}) = y({s}_{0}) = 0,x'({s}_{0}) = 1,y'({s}_{0}) = 0,x''({s}_{0}) = 0,y''({s}_{0}) = c({s}_{0}), on a φ({s}_{0}) = 0, φ'({s}_{0}) = 2x({s}_{0})x'({s}_{0}) + 2y({s}_{0})y'({s}_{0}) − 2αx'({s}_{0}) − 2βy'({s}_{0}) = −2α et φ''({s}_{0}) = 2x'{({s}_{0})}^{2} + 2x({s}_{0})x''({s}_{0}) + 2y'{({s}_{0})}^{2} + 2y({s}_{0})y''({s}_{0}) − 2αx''({s}_{0}) − 2βy''({s}_{0}) = 2 − 2βc({s}_{0}). On voit donc que le cercle est tangent si et seulement si α = 0 (autrement dit le cercle est centré sur la normale, c’était prévisible) et qu’il est osculateur si et seulement si α = 0,β ={ 1 \over c({s}_{0})} = R({s}_{0}), c’est-à-dire si et seulement si son centre est le point F({s}_{0}) + R({s}_{0})\vec{n}({s}_{0}), soit le centre de courbure.

18.4.7 Développée, développantes

Ces notions ne sont pas au programme des classes préparatoires.

Définition 18.4.10 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré birégulier de classe {C}^{3}. On appelle développée de Γ l’arc (I,C) tel que pour tout t ∈ I, C(t) soit le centre de courbure au point t à Γ.

Théorème 18.4.17 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré birégulier de classe {C}^{k} (k ≥ 3) de développée (I,C) et soit {t}_{0} ∈ I un point non totalement singulier de (I,C). Alors la tangente au point {t}_{0} à la développée est la normale au point {t}_{0} à Γ, c’est-à-dire la droite F({t}_{0}) + ℝ\vec{{n}}_{Γ}({t}_{0}) : la développée de l’arc Γ est l’enveloppe des normales à Γ.

Démonstration Par définition même cette normale passe par C({t}_{0}). Il nous suffit donc de montrer qu’elle est parallèle à un vecteur tangent à (I,C). Toutes les notions étant invariantes par changement de paramétrage admissible, on peut supposer que l’arc est paramétré par abscisse curviligne, s\mathrel{↦}F(s) et nous noterons {s}_{0} à la place de {t}_{0}. On a alors C(s) = F(s) + R(s)\vec{n}(s). Les formules de calcul de la courbure (et donc du rayon de courbure) montrent que s\mathrel{↦}R(s) est de classe {C}^{k−2} ; d’autre part s\mathrel{↦}\vec{n}(s) est (comme s\mathrel{↦}\vec{t}(s) dont elle se déduit par rotation) de classe {C}^{k−1}. On en déduit que s\mathrel{↦}C(s) est de classe {C}^{k−2}. On a alors

\begin{eqnarray*} C'(s)& =& F'(s) + R'(s)\vec{n}(s) + R(s){ d\vec{n} \over dt} (s) %& \\ & =& \vec{t}(s) + R'(s)\vec{n}(s) − R(s){ \vec{t}(s) \over R(s)} = R'(s)\vec{n}(s)%& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que {s}_{0} est un point régulier de la développée si et seulement si R'({s}_{0})\mathrel{≠}0 et que dans ce cas le vecteur \vec{n}({s}_{0}) est un vecteur tangent à la développée, ce qui démontre dans ce cas le résultat. La formule de Leibnitz appliquée à C'(s) = R'(s)\vec{n}(s) nous montre clairement que {s}_{0} est un point non totalement singulier de la développée si et seulement si il existe n tel que {R}^{(n)}({s}_{0})\mathrel{≠}0. Si l’on suppose alors que R'({s}_{0}) = \mathop{\mathop{…}} = {R}^{(p−1)}({s}_{0}) = 0 et {R}^{(p)}({s}_{0})\mathrel{≠}0, cette même formule de Leibnitz montre que C'({s}_{0}) = \mathop{\mathop{…}} = {C}^{(p−1)}({s}_{0}) = 0 et {C}^{(p)}({s}_{0}) = {R}^{(p)}({s}_{0})\vec{n}({s}_{0})\mathrel{≠}0 (tous les autres termes faisant intervenir des dérivées d’ordre inférieur de R qui sont nulles au point {s}_{0}). Le vecteur \vec{n}({s}_{0}) est donc un vecteur tangent à la développée, ce qui démontre dans le résultat.

Remarque 18.4.10 Il est parfois beaucoup plus rapide de rechercher la développée comme enveloppe des normales que de calculer repère de Frénet et rayon de courbure. On pourra également, lorsque l’arc est paramétré par t\mathrel{↦}x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ} paramétrer la développée par t\mathrel{↦}ξ(t)\vec{ı} + η(t)\vec{ȷ} avec

\begin{eqnarray*} ξ(t)\vec{ı} + η(t)\vec{ȷ}& =& F(t) + R(t)\vec{n}(t) %& \\ & =& x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ} +{ s'(t) \over φ'(t)} (−\mathop{sin} φ(t)\vec{ı} +\mathop{ cos} φ(t)\vec{ȷ})%& \\ \end{eqnarray*}

et en tenant compte de x'(t) = s'(t)\mathop{cos} φ(t) et de y'(t) = s'(t)\mathop{sin} φ(t) (qui traduit simplement F'(t) =\| F'(t)\|\vec{t}(t), on obtient ξ(t) = x(t) −{ y'(t) \over φ'(t)} , η(t) = y(t) +{ x'(t) \over φ'(t)} qu’on retiendra en terme de formes différentielles

ξ = x −{ dy \over dφ} ,\quad η = y +{ dx \over dφ}

Nous avons vu également que {s}_{0} est un point régulier de la développée si et seulement si R'({s}_{0})\mathrel{≠}0. On en déduit que les points qui annulent R', et en particulier les points qui réalisent des extremums locaux de R (qui sont appelés les sommets de Γ), donnent des points singuliers de la développée (le plus souvent des points de rebroussement de première espèce).

Considérons maintenant le problème inverse : étant donné un arc Γ = (I,F) (que nous supposerons régulier), peut-on trouver un arc (I,G) dont Γ soit la développée. On peut, sans nuire à la généralité, supposer que (I,F) est paramétré par abscisse curviligne. La tangente F(s) + ℝ\vec{t}(s) à l’arc Γ doit être la normale à l’arc (I,G) et en particulier le point G(s) doit appartenir à cette tangente. On doit donc avoir G(s) = F(s) + λ(s)\vec{t}(s) avec λ(s) = (\overrightarrow{G(s)F(s)}\mathrel{∣}\vec{t}(s)) qui doit donc être de classe {C}^{1}. On en déduit que

\begin{eqnarray*} G'(s)& =& F'(s) + λ'(s)\vec{t}(s) + λ(s)c(s)\vec{n}(s)%& \\ & =& (1 + λ'(s))\vec{t}(s) + λ(s)c(s)\vec{n}(s) %& \\ \end{eqnarray*}

Comme la tangente à l’arc Γ doit être la normale à l’arc (I,G), il est nécessaire que G'(s) soit orthogonal à \vec{t}(s), c’est-à-dire que 1 + λ'(s) = 0. Ceci exige que λ(s) = {s}_{0} − s. Inversement, si cette condition est vérifiée, on a G(s) = F(s) + ({s}_{0} − s)\vec{t}(s) et G'(s) = ({s}_{0} − s)c(s)\vec{n}(s). Si l’arc Γ est birégulier et si {s}_{0}\mathrel{∉}I, alors l’arc (I,G) est régulier et Γ est l’enveloppe des normales à (I,G), donc la développée de (I,G). Pour un arc quelconque, ceci amène à introduire la définition suivante

Définition 18.4.11 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré régulier de classe {C}^{1}, t\mathrel{↦}s(t) une abscisse curviligne sur Γ et \vec{t}(t) le vecteur tangent unitaire au point t. Les arcs paramétrés t\mathrel{↦}F(t) + ({s}_{0} − s(t))\vec{t}(t) où {s}_{0} ∈ ℝ, sont appelés les développantes de l’arc Γ.

Remarque 18.4.11 L’arc n’est la développée d’une de ses développantes t\mathrel{↦}F(t) + ({s}_{0} − s(t))\vec{t}(t) que s’il est suffisamment dérivable, birégulier et si {s}_{0} − s(t) ne s’annule pas sur I.

18.4.8 Equations intrinsèques

Cette notion n’est pas au programme des classes préparatoires.

Une question supplémentaire se pose : étant donnée une fonction continue γ : I → ℝ, peut-on trouver un arc paramétré par abscisse curviligne Γ tel que la courbure au point s ∈ I soit égale à γ(s) ? Le théorème suivant répond à cette question

Théorème 18.4.18 Soit γ : I → ℝ une fonction continue, E un plan euclidien orienté, a ∈ E et \vec{u} ∈\overrightarrow{ E} tel que \|u\| = 1. Soit {s}_{0} ∈ I. Alors il existe un unique arc paramétré par abscisse curviligne (I,F) de classe {C}^{2} tel que F({s}_{0}) = a et F'({s}_{0}) =\vec{ u}.

Démonstration Soit (\vec{ı},\vec{ȷ}) une base orthonormée de \overrightarrow{E} et s\mathrel{↦}φ(s) une détermination de classe {C}^{1} de l’angle de F'(s) =\vec{ t}(s) avec \vec{ı}. Alors nécessairement F'(s) =\mathop{ cos} φ(s)\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(s)\vec{ȷ}. Mais on sait de plus que φ'(s) = {c}_{Γ}(s) = γ(s). Alors nécessairement φ(s) = α +{\mathop{∫ } }_{{s}_{0}}^{s}γ(u) du (où α désigne une mesure de l’angle de \vec{ı} avec \vec{u}) ; ceci détermine φ(s) à un élément de 2πℤ près et donc détermine parfaitement \vec{t}(s). Mais alors nécessairement

\begin{eqnarray*} F(s)& =& F({s}_{0}) +{\mathop{∫ } }_{{s}_{0}}^{s}F'(u) du = a +{\mathop{∫ } }_{{s}_{0}}^{s}\vec{t}(u) du%& \\ & =& a +{\mathop{∫ } }_{{s}_{0}}^{s}(\mathop{cos} φ(u)\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(u)\vec{ȷ}) du %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre l’unicité de F. Mais en faisant les calculs en sens inverse, on constate que si on définit F(s) par cette formule, l’arc (I,F) convient : il est paramétré par abscisse curviligne car \|F'(s)\| =\|\mathop{ cos} φ(s)\vec{ı} +\mathop{ sin} φ(s)\vec{ȷ}\| = 1, φ(s) est une détermination de classe {C}^{1} de l’angle de F'(s) =\vec{ t}(s) avec \vec{ı} et comme φ'(s) = γ(s), la courbure au point s est bien γ(s).

Corollaire 18.4.19 Soit {Γ}_{1} = (I,{F}_{1}) et {Γ}_{2} = (I,{F}_{2}) deux arcs paramétrés par abscisse curviligne tels que \mathop{∀}s ∈ I, {c}_{{Γ}_{1}}(s) = {c}_{{Γ}_{2}}(s). Alors les deux arcs sont isométriques.

Démonstration Soit {s}_{0} ∈ I et soit D l’unique déplacement de E qui vérifie D({F}_{1}({s}_{0})) = {F}_{2}({s}_{0}) et \overrightarrow{D}({F}_{1}'({s}_{0})) = {F}_{2}'({s}_{0}). Les deux arcs {Γ}_{2} et D({Γ}_{1}) ont la même fonction de courbure en fonction de l’abscisse curviligne (car la courbure, notion métrique, est bien entendu invariante par déplacement), coïncident en {s}_{0} ainsi que leurs vecteurs tangents. D’après l’unicité du théorème précédent, ces deux arcs sont égaux.

Remarque 18.4.12 Autrement dit, la fonction s\mathrel{↦}{c}_{Γ}(s) définit l’arc Γ à un déplacement près du plan affine euclidien. On dira encore que l’équation {c}_{Γ}(s) = γ(s) est une équation intrinsèque de l’arc Γ.

18.4.9 Courbure des arcs gauches

Nous supposerons maintenant que E est un espace euclidien de dimension 3, orienté. Soit Γ = (I,F) un arc paramétré par abscisse curviligne de classe {C}^{2}. On a donc \mathop{∀}s ∈ I, \|F'(s)\| = 1 et donc \mathop{∀}s ∈ I, (F'(s)\mathrel{∣}F'(s)) = 1. En dérivant, on obtient \mathop{∀}s ∈ I,(F'(s),F''(s)) = 0 ce qui montre que le vecteur F''(s) est orthogonal au vecteur F'(s). Si le point s est birégulier, on a { F''(s) \over \|F''(s)\|} qui est un vecteur unitaire orthogonal au vecteur unitaire F'(s). Ceci définit de manière unique une base orthonormée directe dont les deux premiers vecteurs sont F'(s) et { F''(s) \over \|F''(s)\|} .

Définition 18.4.12 Soit E un espace euclidien de dimension 3 orienté. Soit Γ = (I,F) un arc paramétré par abscisse curviligne de classe {C}^{2} et s un point birégulier de Γ. On appelle repère de Frénet au point s le repère orthonormé direct (F(s),\vec{t}(s),\vec{n}(s),\vec{b}(s)) dont l’origine est le point image F(s) et tel que \vec{t}(s) = F'(s), \vec{n}(s) ={ F''(s) \over \|F''(s)\|\|} , \vec{b}(s) =\vec{ t}(s) ∧\vec{ n}(s).

Si l’arc est birégulier de classe {C}^{3}, on dispose ainsi d’un repère mobile s\mathrel{↦}(F(s),\vec{t}(s),\vec{n}(s),\vec{b}(s)). La théorie du repère mobile assure que la matrice des coordonnées des dérivées des vecteurs \vec{t}(s),\vec{n}(s),\vec{b}(s) dans la base (\vec{t}(s),\vec{n}(s),\vec{b}(s)) est antisymétrique. En tenant compte de ce que { d\vec{t} \over ds} (s) = F''(s) est colinéaire à \vec{n}, cette matrice est nécessairement de la forme

\left (\matrix{\,0 &−c(s)&0 \cr c(s)&0 &−τ(s) \cr 0 &τ(s) &0 }\right )

Définition 18.4.13 Soit E un espace euclidien de dimension 3 orienté. Soit Γ = (I,F) un arc paramétré par abscisse curviligne birégulier de classe {C}^{3}. Pour s ∈ I, on appelle courbure et torsion au point s les nombres réels définis par les formules

{ d\vec{t} \over ds} (s) = c(s)\vec{n}(s),\quad { d\vec{b} \over ds} (s) = −τ(s)\vec{n}(s)

On a également { d\vec{n} \over ds} (s) = −c(s)\vec{t}(s) + τ(s)\vec{b}(s).

Remarque 18.4.13 On a { d\vec{t} \over ds} (s) = F''(s) = c(s)\vec{n}(s), d’où nécessairement c(s) =\| F''(s)\| > 0. Contrairement aux arcs plans, la courbure d’un arc gauche est nécessairement strictement positive.

Comme dans le cas d’un arc plan, on étend ces définitions aux arcs biréguliers par équivalence d’arcs.

Définition 18.4.14 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré birégulier de classe {C}^{3} de E espace euclidien de dimension 3 orienté. Soit (J,G) un arc paramétré par abscisse curviligne équivalent et de même sens, θ : I → J un difféomorphisme croissant tel que F = G ∘ θ. On appelle repère de Frénet (resp. courbure, resp. torsion) à Γ au point t ∈ I le repère de Frénet (resp. la courbure, resp. la torsion) au point θ(t) à l’arc (J,G).

Méthodes de calcul

Par définition, si {s}_{0} = θ({t}_{0}), on a \vec{t}({t}_{0}) = G'({s}_{0}) et \vec{n}({t}_{0}) ={ G''({s}_{0}) \over \|G''({s}_{0})\|} . Mais on a G = F ∘ θ ce qui nous donne F'({t}_{0}) = θ'({t}_{0})G'(θ({t}_{0})) = θ'({t}_{0})\vec{t}({t}_{0}) et F''({t}_{0}) = θ''({t}_{0})G'(θ({t}_{0})) + θ'{({t}_{0})}^{2}G''(θ({t}_{0})). On en déduit que θ'({t}_{0}) =\| F'({t}_{0})\| (comme d’habitude) et que

\begin{eqnarray*} F'({t}_{0}) ∧ F''({t}_{0})& =& θ'{({t}_{0})}^{3}G'({s}_{ 0}) ∧ G''({s}_{0}) %& \\ & =& θ'{({t}_{0})}^{3}c({t}_{ 0})\vec{t}({t}_{0}) ∧\vec{ n}({t}_{0}) = θ'{({t}_{0})}^{3}c({t}_{ 0})\vec{b}({t}_{0})%& \\ \end{eqnarray*}

Comme θ'{({t}_{0})}^{3}c({t}_{0}) > 0, c’est que \vec{b}({t}_{0}) ={ F'({t}_{0})∧F''({t}_{0}) \over \|F'({t}_{0})∧F''({t}_{0})\|} . On a ensuite \vec{n}({t}_{0}) =\vec{ b}({t}_{0}) ∧\vec{ t}({b}_{0}).

Reprenons alors le calcul ci dessus. On a vu que F'({t}_{0}) ∧ F''({t}_{0}) = θ'{({t}_{0})}^{3}c({t}_{0})\vec{b}({t}_{0}). On en déduit, puisque la courbure est positive, que c({t}_{0}) ={ \|F'({t}_{0})∧F''({t}_{0})\| \over θ'{({t}_{0})}^{3}} ={ \|F'({t}_{0})∧F''({t}_{0})\| \over \|F'{({t}_{0})\|}^{3}} . On en déduit la proposition

Proposition 18.4.20 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré birégulier de classe {C}^{3} de E espace euclidien de dimension 3 orienté et {t}_{0} ∈ I. Alors le repère de Frénet au point {t}_{0} est donné par les formules

\vec{t}({t}_{0}) ={ F'({t}_{0}) \over \|F'({t}_{0})\|} ,\quad \vec{b}({t}_{0}) ={ F'({t}_{0}) ∧ F''({t}_{0}) \over \|F'({t}_{0}) ∧ F''({t}_{0})\|}

\vec{n}({t}_{0}) =\vec{ b}({t}_{0}) ∧\vec{ t}({b}_{0})

La courbure au point {t}_{0} est donnée par

c({t}_{0}) ={ \|F'({t}_{0}) ∧ F''({t}_{0})\| \over \|F'{({t}_{0})\|}^{3}}

Remarque 18.4.14 Avec la même technique, le lecteur montrera sans difficulté que la torsion est donnée par τ({t}_{0}) ={ [F'({t}_{0}),F''({t}_{0}),F'''({t}_{0})] \over \|F'({t}_{0})∧F''{({t}_{0})\|}^{2}} .