18.3 Problèmes classiques sur les courbes

18.3.1 Trajectoires orthogonales

Ce paragraphe ne fait pas partie du programme des classes préparatoires.

Soit E un espace euclidien.

Soit {({Γ}_{λ})}_{λ∈J} une famille d’arcs paramétrés indexée par un intervalle J de {Γ}_{λ} = (I,{F}_{λ}). On posera encore {F}_{λ}(t) = F(t,λ) et on supposera que F : I × J → E est de classe {C}^{1}.

Donnons nous un arc paramétré (K,G) qui rencontre tous les {Γ}_{λ}. Le point u ∈ K de G est donc le point t(u) de l’arc {Γ}_{λ(u)} si bien que G(u) = {F}_{λ(u)}(t(u)) = F(t(u),λ(u)). On obtient ainsi un arc paramétré u\mathrel{↦}F(t(u),λ(u)). On dira que c’est une trajectoire orthogonale de la famille ({Γ}_{λ}) si cet arc est orthogonal à l’arc {Γ}_{λ(u)} au point t(u). On obtient donc la définition suivante :

Définition 18.3.1 On appelle trajectoire orthogonale des arcs {Γ}_{λ} tout arc paramétré (K,G) de la forme G(u) = F(t(u),λ(u)), où u\mathrel{↦}t(u) est une application de classe {C}^{1} de K dans I et u\mathrel{↦}λ(u) une application de classe {C}^{1} de K dans J telles que \mathop{∀}u ∈ K, {F}_{λ(u)}'(t(u)) ⊥ G'(u)

La recherche s’effectue en remarquant que {F}_{λ}'(t) ={ ∂F \over ∂t} (t,λ), soit {F}_{λ(u)}'(t(u)) ={ ∂F \over ∂t} (t(u),λ(u)) et que G'(u) ={ dt \over du} (u){ ∂F \over ∂t} (t(u),λ(u)) +{ dλ \over du} (u){ ∂F \over ∂λ} (t(u),λ(u)). La condition {F}_{λ(u)}'(t(u),λ(u)) ⊥ G'(u) s’écrit donc

\left ({ ∂F \over ∂t} (t(u),λ(u))\mathrel{∣}{ dt \over du} (u){ ∂F \over ∂t} (t(u),λ(u)) +{ dλ \over du} (u){ ∂F \over ∂λ} (t(u),λ(u))\right ) = 0

soit encore, en termes de formes différentielles

\left ({ ∂F \over ∂t} (t,λ)\mathrel{∣}{ ∂F \over ∂t} (t,λ) dt +{ ∂F \over ∂λ} (t,λ) dλ\right ) = 0

qui conduit à une équation différentielle reliant t et λ.

Exemples : prenons la famille de paraboles y = {x}^{2} + λ, λ ∈ ℝ. On peut les paramétrer par F(t,λ) = (t,{t}^{2} + λ). On a alors { ∂F \over ∂t} (t,λ) = (1,2t) et { ∂F \over ∂λ} (t,λ) = (0,1). L’équation ci dessus s’écrit encore \|{ ∂F \over ∂t} {(t,λ)\|}^{2} dt + \left ({ ∂F \over ∂t} (t,λ)\mathrel{∣}{ ∂F \over ∂λ} (t,λ)\right ) dλ = 0, soit ici (1 + 4{t}^{2}) dt + 2t dλ = 0. Il s’agit d’une équation à variable séparable. Elle s’écrit encore (2t +{ 1 \over 2t} )dt = −dλ. On trouve donc λ = −{t}^{2} −{ 1 \over 2} \mathop{ log} |t| + {λ}_{0}, soit (t,{t}^{2} + λ) = (t,−{ 1 \over 2} \mathop{ log} |t| + {λ}_{0}) et donc les trajectoires orthogonales sont équivalentes aux arcs t\mathrel{↦}(t,−{ 1 \over 2} \mathop{ log} t + {λ}_{0}). En fait la division par t nous a fait perdre une solution évidente t = 0 correspondant à l’axe Oy.

18.3.2 Inverse d’une courbe

Ce paragraphe ne fait pas partie du programme des classes préparatoires.

Rappelons que si E est un espace affine euclidien, on appelle inversion de pôle O ∈ E l’application de E ∖\{O\} dans lui même qui à M ∈ E ∖\{O\} associe l’unique point M' défini par

On vérifie immédiatement que M' = O +{ \overrightarrow{OM} \over \|\overrightarrow{{OM}\|}^{2}} .

Etant donné un arc (I,F) de E dont l’image est contenue dans E ∖\{O\}, on peut alors définir son inverse de pôle O ; c’est l’arc (I,G) tel que, pour tout t ∈ I, G(t) soit l’inverse de F(t).

Supposons que E soit un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{ı},\vec{ȷ}) et que \overrightarrow{OF}(t) = x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ}. On a alors \overrightarrow{OG}(t) = X(t)\vec{ı} + Y (t)\vec{ȷ} avec

X(t) ={ x(t) \over x{(t)}^{2} + y{(t)}^{2}} ,\quad Y (t) ={ y(t) \over x{(t)}^{2} + y{(t)}^{2}}

Si Γ = (I,F) est donné en polaires par l’équation ρ = f(θ), on a \overrightarrow{OF(θ)} = f(θ)\vec{u}(θ) et alors \overrightarrow{OG(θ)} ={ 1 \over f(θ)} \vec{u}(θ), si bien que l’inverse est donnée par l’équation polaire ρ ={ 1 \over f(θ)} .

Exemple 18.3.1 Inverse des coniques de foyer O. On a vu qu’une telle conique admettait une équation polaire ρ ={ p \over 1+e\mathop{ cos} (θ−{θ}_{0})} . L’inverse d’une telle conique est donc une courbe d’équation polaire ρ ={ 1+e\mathop{ cos} (θ−{θ}_{0}) \over p} , soit encore (à une rotation près autour de l’origine) ρ = a(1 + e\mathop{cos} θ). On obtient la famille des lima\c{c}ons de Pascal (avec le cas particulier de la cardioïde, pour e = 1, qui est l’inverse d’une parabole par rapport à son foyer).

18.3.3 Podaire d’une courbe

Ce paragraphe ne fait pas partie du programme des classes préparatoires.

Soit E un espace affine euclidien, (I,F) un arc paramétré régulier de E et A un point de E.

Définition 18.3.2 On appelle podaire de l’arc (I,F) par rapport au point A l’arc (I,G) où pour chaque t ∈ I, G(t) est la projection orthogonale de A sur la tangente au point t à l’arc (I,F).

Comme cette tangente est définie comme F(t) + ℝF'(t), il suffit donc d’exprimer que la famille (F'(t),\overrightarrow{F(t)G(t)}) est liée et que \overrightarrow{AG(t)} ⊥ F'(t).

Supposons que E soit un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{ı},\vec{ȷ}) et que \overrightarrow{OF}(t) = x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ}. Posons \overrightarrow{OA} = a\vec{ı} + b\vec{ȷ} et \overrightarrow{OG}(t) = X(t)\vec{ı} + Y (t)\vec{ȷ}. On doit donc écrire

\left |\matrix{\,X(t) − x(t)&x'(t) \cr Y (t) − y(t)&y'(t)}\right | = 0\text{ et }(X(t) − a)x'(t) + (Y (t) − b)y'(t) = 0

ce qui conduit à un système de Cramer aux inconnues X(t) et Y (t)

\left \{\matrix{\,y'(t)X(t) − x'(t)Y (t) = y'(t)x(t) − x'(t)y(t) \cr X(t)x'(t) + Y (t)y'(t) = ax'(t) + by'(t)}\right .

Exemple 18.3.2 Recherchons la podaire d’un cercle par rapport à un point du plan. On choisissant convenablement le repère, on peut supposer que le cercle est paramétré par t\mathrel{↦}(a + R\mathop{cos} t,R\mathop{sin} t) avec a ≥ 0 et R > 0 et que le point A a pour coordonnées (0,0). Le système ci dessus devient alors (après simplification par R)

\left \{\matrix{\,\mathop{cos} tX(t) +\mathop{ sin} tY (t) = a\mathop{cos} t + R \cr −\mathop{sin} tX(t) +\mathop{ cos} tY (t) = 0}\right .

d’où l’on déduit X(t) = (a\mathop{cos} t + R)\mathop{cos} t et Y (t) = (a\mathop{cos} t + R)\mathop{sin} t. On en déduit que la podaire est la courbe d’équation polaire ρ = a\mathop{cos} θ + R. Il s’agit d’un lima\c{c}on de Pascal (évidemment dégénéré en un cercle si a = 0 c’est-à-dire si le cercle de départ est centré en A). On trouve une cardioïde lorsque a = R, c’est-à-dire lorsque le cercle passe par A.

18.3.4 Conchoïdes d’une courbe

Ce paragraphe ne fait pas partie du programme des classes préparatoires.

Soit Γ = (I,F) un arc paramétré d’un plan euclidien E, O un point de E n’appartenant pas à l’image de Γ et a > 0. On associe à Γ les arcs {Γ}_{1} = (I,{F}_{1}) et {Γ}_{2} = (I,{F}_{2}), appelés conchoïdes de centre O pour la longueur a, où {F}_{i}(t) est défini pour i ∈\{1,2\} par

Supposons que E soit un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{ı},\vec{ȷ}) et que \overrightarrow{OF}(t) = x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ}. On a alors \overrightarrow{O{F}_{i}}(t) = {X}_{i}(t)\vec{ı} + {Y }_{i}(t)\vec{ȷ} avec

X(t) = x(t) ± a{ x(t) \over \sqrt{x{(t)}^{2 } + y{(t)}^{2}}} ,\quad Y (t) = y(t) ± a{ y(t) \over \sqrt{x{(t)}^{2 } + y{(t)}^{2}}}

Si Γ = (I,F) est donné en polaires par l’équation ρ = f(θ), on a \overrightarrow{OF(θ)} = f(θ)\vec{u}(θ) et alors \overrightarrow{O{F}_{i}(θ)} = (f(θ) ± a)\vec{u}(θ), si bien que les conchoïdes sont donnés par l’équation polaire ρ = f(θ) ± a.

Exemple 18.3.3 Conchoïdes d’un cercle par rapport à l’un de ses points. En choisissant convenablement le repère d’origine 0, le cercle a pour équation polaire ρ = 2R\mathop{cos} θ si bien que les deux conchoïdes ont pour équation polaire ρ = 2R\mathop{cos} θ ± a. Remarquons que les deux courbes d’équations polaires ρ = 2R\mathop{cos} θ + a et ρ = 2R\mathop{cos} θ − a se déduisent l’une de l’autre par le changement de (ρ,θ) en (−ρ,θ + π) ce qui redonne le même point géométrique. Elles ont donc la même image. Ce sont des lima\c{c}ons de Pascal, le cas de la cardioïde correspondant à a = 2R (la longueur a est égale au diamètre du cercle).