18.2 Arcs en polaires

18.2.1 Coordonnées polaires

Soit E un plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (O,\vec{ı},\vec{ȷ}). On notera \vec{u}(θ) le vecteur \mathop{cos} (θ)\vec{ı} +\mathop{ sin} (θ)\vec{ȷ}. On vérifie immédiatement le résultat suivant

Proposition 18.2.1 Pour tout θ ∈ ℝ, (\vec{u}(θ),\vec{u}'(θ)) est une base orthonormée de E de même sens que (\vec{ı},\vec{ȷ}). On a { {d}^{n} \over d{θ}^{n}} \vec{u}(θ) =\vec{ u}(θ + n{ π \over 2} ).

On dispose ainsi d’une application P : {ℝ}^{2} → ℝ définie par P(ρ,θ) = ρ\vec{u}(θ). Le résultat suivant est tout à fait élémentaire

Lemme 18.2.2 On a

\begin{eqnarray*} P(ρ,θ)& =& P(ρ',θ') \mathrel{⇔} \left (ρ = ρ' = 0\right ) %& \\ & & \text{ ou }\left (ρ = ρ'\text{ et }θ = θ' + 2kπ\right ) %& \\ & & \text{ ou }\left (ρ = −ρ'\text{ et }θ = θ' + (2k + 1)π\right )%& \\ \end{eqnarray*}

pour un k ∈ ℤ.

Définition 18.2.1 On dit que (ρ,θ) est un système de coordonnées polaires de M ∈ E si M = P(ρ,θ).

18.2.2 Arcs en coordonnées polaires : étude locale

Définition 18.2.2 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ de classe {C}^{k}. On appelle arc en coordonnées polaires défini par l’équation ρ = f(θ), θ ∈ I l’arc paramétré (I,F) où F(θ) = O + f(θ)\vec{u}(θ) = O + f(θ)\mathop{cos} (θ)\vec{ı} + f(θ)\mathop{sin} (θ)\vec{ȷ}.

Remarque 18.2.1 Par abus d’écriture on s’autorisera parfois la notation {ρ}^{(n)} à la place de {f}^{(n)}(θ).

La formule de Leibnitz nous fournit immédiatement

{F}^{(n)}(θ) ={ \mathop{∑ }}_{j=0}^{n}{C}_{ n}^{j}{f}^{(j)}(θ)\vec{{u}}^{(n−j)}(θ) ={ \mathop{∑ }}_{j=0}^{n}{C}_{ n}^{j}{f}^{(j)}(θ)\vec{u}(θ + (n − j){ π \over 2} )

En particulier F'(θ) = f'(θ)\vec{u}(θ) + f(θ)\vec{u}'(θ) et F''(θ) = (f''(θ) − f(θ))\vec{u}(θ) + 2f'(θ)\vec{u}'(θ).

Etude en un point dont l’image n’est pas l’origine

Si f(θ)\mathrel{≠}0, on a F'(θ)\mathrel{≠}0 et donc le point est régulier ; le point est birégulier si et seulement si le produit mixte [F'(θ),F''(θ)] = \left |\matrix{\,f'(θ)&f''(θ) − f(θ) \cr f(θ)&2f'(θ) }\right | = f{(θ)}^{2} + 2f'{(θ)}^{2} − f(θ)f''(θ) est différent de 0.

Remarquons que le vecteur F'(θ) n’est pas colinéaire au vecteur \overrightarrow{OF(θ)} ce qui montre que la tangente ne passe jamais par l’origine. On en déduit que l’origine appartient soit au demi plan de concavité, soit au demi plan opposé. Elle appartient au demi plan de concavité si et seulement si le vecteur \overrightarrow{F(θ)O} a une coordonnée positive suivant F''(θ) dans la base (F'(θ),F''(θ)) ; mais si on écrit − F(θ) =\overrightarrow{ F(θ)O} = λF'(θ) + μF''(θ), on a immédiatement [F(θ),F'(θ)] = μ[F'(θ),F''(θ)] soit encore f{(θ)}^{2} = μ(f{(θ)}^{2} + 2f'{(θ)}^{2} − f(θ)f''(θ)). On en déduit que μ est du même signe que f{(θ)}^{2} + 2f'{(θ)}^{2} − f(θ)f''(θ).

Si l’on appelle α l’angle du vecteur F'(θ) avec \vec{u}(θ), on a \mathop{\mathrm{tg}} α ={ f(θ) \over f'(θ)} . On peut donc résumer en

Théorème 18.2.3 Soit Γ l’arc en polaire défini par l’équation ρ = f(θ), θ ∈ I. Soit θ un point de I dont l’image n’est pas l’origine (c’est-à-dire que f(θ)\mathrel{≠}0). Alors (i) le point est régulier, c’est donc soit un point banal, soit un point d’inflexion (ii) le point est birégulier si et seulement si {ρ}^{2} + 2{ρ'}^{2} − ρρ''\mathrel{≠}0 (iii) la tangente ne passe pas par l’origine du repère ; l’origine appartient au demi plan de concavité si et seulement si {ρ}^{2} + 2{ρ'}^{2} − ρρ'' > 0 ; la tangente fait un angle α avec le rayon vecteur, où α est donné par

\mathop{\mathrm{tg}} α ={ ρ \over ρ'}

Remarque 18.2.2 On vérifie facilement que lorsque {ρ}^{2} + 2{ρ'}^{2} − ρρ'' s’annule en changeant de signe on a un point d’inflexion. On pourra également remarquer que si l’on pose φ ={ 1 \over ρ} , l’expression {ρ}^{2} + 2{ρ'}^{2} − ρρ'' est du même signe que φ(φ + φ'') ce qui permet dans certains cas d’alléger les calculs.

Etude en un point dont l’image est l’origine

Si f(θ) = 0, on voit immédiatement que le point est non totalement singulier si et seulement si il existe n tel que {f}^{(n)}(θ)\mathrel{≠}0. Supposons donc que f(θ) = f'(θ) = \mathop{\mathop{…}} = {f}^{(p−1)}(θ) = 0 et que {f}^{(p)}(θ)\mathrel{≠}0. La formule de Leibnitz écrite ci dessus montre que F'(θ) = \mathop{\mathop{…}} = {F}^{(p−1)}(θ) = 0, que {F}^{(p)}(θ) = {f}^{(p)}(θ)\vec{u}(θ)\mathrel{≠}0 et que {F}^{(p+1)}(θ) = {f}^{(p+1)}(θ)\vec{u}(θ) + (p + 1){f}^{(p)}(θ)\vec{u}'(θ). On voit donc tout d’abord que le vecteur \vec{u}(θ) est un vecteur directeur de la tangente qui fait donc un angle θ avec l’axe Ox = O + ℝ\vec{ı} et que d’autre part les vecteurs {F}^{(p)}(θ) et {F}^{(p+1)}(θ) forment une famille libre. L’entier q qui intervient dans la classification locale des points est donc toujours égal à p + 1, ce qui montre que le point est un point banal si p est impair et un point de rebroussement de première espèce si p est pair. En résumé

Théorème 18.2.4 Soit Γ l’arc en polaire défini par l’équation ρ = f(θ), θ ∈ I. Soit θ un point de I dont l’image est l’origine (c’est-à-dire que f(θ) = 0). Soit p tel que f(θ) = f'(θ) = \mathop{\mathop{…}} = {f}^{(p−1)}(θ) = 0 et {f}^{(p)}(θ)\mathrel{≠}0 ; alors (i) la tangente au point θ est la droite passant par l’origine et faisant l’angle θ avec l’axe Ox (ii) le point est un point banal si p est impair et un point de rebroussement de première espèce si p est pair.

18.2.3 Branches infinies et phénomènes asymptotiques

Soit Γ l’arc en polaire défini par l’équation ρ = f(θ), θ ∈ I. Soit α ∈ ℝ ∪\{−∞,+∞\} une extrémité de I. On a \|F(θ)\| = |f(θ)|, on a donc une branche infinie si et seulement si {\mathop{lim}}_{θ→α}|f(θ)| = +∞. Dans ce cas, on a { F(θ) \over \|F(θ)\|} =\mathop{ sgn}(f(θ))\vec{u}(θ) qui admet une limite en α si et seulement si α est fini.

Si α = ±∞, il n’y a pas de direction asymptotique ; le point F(θ) s’éloigne indéfiniment en tournant autour de l’origine ; on dit que la courbe présente une branche spirale.

Si α ∈ ℝ, la droite ℝ\vec{u}(α) est direction asymptotique. Le point d’intersection de la droite passant par F(θ) et parallèle à la droite ℝ\vec{u}(α) avec la droite affine O + ℝ\vec{u}'(α) a pour ordonnée dans le repère (\vec{u}(α),\vec{u}'(α)) le nombre f(θ)\mathop{sin} (θ − α). On en déduit que l’arc admet une asymptote si et seulement si f(θ)\mathop{sin} (θ − α) admet une limite quand θ tend vers α dans I ; dans ce cas l’asymptote est la droite d’équation Y = ℓ dans le repère (O,\vec{u}(α),\vec{u}'(α)).

Remarque 18.2.3 Dans le cas où α ∈{ π \over 2} ℤ, il y a de gros risques de confusions entre le repère mobile (O,\vec{u}(α),\vec{u}'(α)) et le repère fixe (0,\vec{ı},\vec{ȷ}). Il est de beaucoup préférable (i) si α ∈ πℤ de regarder si y(θ) = ρ\mathop{sin} θ admet une limite  ; dans ce cas la droite d’équation y = ℓ dans le repère fixe est asymptote (ii) si α ∈{ π \over 2} + πℤ de regarder si x(θ) = ρ\mathop{cos} θ admet une limite  ; dans ce cas la droite d’équation x = ℓ dans le repère fixe est asymptote.

Autres phénomènes asymptotiques On peut également remarquer que si α = ±∞ est une borne de α et si ρ = f(θ) a une limite r, quand θ tend vers α

18.2.4 Plan d’étude d’un arc plan en polaires

Soit f une fonction de vers . On considère l’arc défini par l’équation ρ = f(θ), θ ∈ ℝ.

Première étape : domaine de définition. On détermine le domaine de définition de f ; c’est en général une réunion finie d’intervalles deux à deux disjoints, si bien que la courbe étudiée sera une réunion finie d’arcs paramétrés.

Deuxième étape : réduction du domaine d’étude. On recherche les applications σ : D→D tel que pour θ ∈D, F(σ(θ)) = f(σ(θ))\vec{u}(σ(θ)) se déduise par une transformation géométrique simple S de F(θ) = f(θ)\vec{u}(θ). Soit Δ un domaine fondamental pour σ.

On recherchera principalement des transformations θ du type

On aura alors

Troisième étape : signe de ρ. On étudie le signe de ρ = f(θ) ; au passage on repère les points dont l’image est l’origine ; on peut immédiatement placer les tangentes en ces points : elles font l’angle correspondant avec l’axe Ox

Quatrième étape : étude des branches infinies. L’arc admet en α ∈\overline{D} une branche infinie si et seulement si {\mathop{lim}}_{θ→α}|f(θ)| = +∞. On reproduit la discussion déjà faite. On peut également détecter d’autres phénomènes asymptotiques comme point ou cercle asymptotes.

Une étude complémentaire de signe peut parfois préciser la position du point F(θ) par rapport à une asymptote, ce qui peut permettre de préciser un tracé.

Cinquième étape : ébauche de tracé. En s’aidant d’une calculatrice ou d’un ordinateur, on peut calculer un certain nombre de points supplémentaires en plus des points remarquables ; ceci, en plus des points et des tangentes remarquables, du signe de ρ et de l’étude des branches infinies permet en général une ébauche convaincante du tracé.

Etapes facultatives

Si la question est posée ou si l’ébauche du tracé suggère la nécessité de certaines précisions, on peut procéder à quelques étapes supplémentaires

Sixième étape : variations de ρ = f(θ). On étudie le signe de la dérivée ρ' = f'(θ). Au passage on repère des points remarquables où f'({θ}_{0}) = 0,f({θ}_{0})\mathrel{≠}0 : points où la tangente est orthogonale au rayon vecteur F({θ}_{0})

Septième étape : détermination des points non biréguliers et étude de la concavité. On étudie le signe de {ρ}^{2} + 2{ρ'}^{2} − ρρ'' ou encore de φ(φ + φ'') avec φ ={ 1 \over ρ}  ; l’annulation correspond aux points non biréguliers, la positivité aux points où l’origine appartient au demi plan de concavité

Huitième étape : détermination des points multiples. Il s’agit de résoudre l’équation F(θ) = F(θ') c’est-à-dire encore les systèmes f(θ) = f(θ + 2kπ), k ∈ {ℤ}^{∗}, et f(θ) = −f(θ + (2k + 1)π), k ∈ ℤ.

18.2.5 Equations polaires remarquables

Equation polaire d’une droite ne passant pas par l’origine

Une telle droite a dans un repère orthonormé d’origine O une équation du type x\mathop{cos} {θ}_{0} + y\mathop{sin} {θ}_{0} − h = 0 avec h\mathrel{≠}0 (où \vec{n} =\mathop{ cos} {θ}_{0}\vec{ı} +\mathop{ sin} {θ}_{0}\vec{ȷ} est un vecteur normal à la droite et où h désigne la distance de O à la droite, orientée par le choix de \vec{n}). En reportant x = ρ\mathop{cos} θ et y = ρ\mathop{sin} θ, on obtient l’équation

ρ ={ h \over \mathop{cos} (θ − {θ}_{0})}

Inversement il est clair qu’une telle équation définit une droite ne passant pas par O.

Remarque 18.2.4 Il suffit de faire varier θ dans un intervalle de longueur π pour avoir toute la droite.

Equation polaire d’un cercle passant par l’origine

Un tel cercle a dans un repère orthonormé d’origine O une équation du type {x}^{2} + {y}^{2} − 2αx − 2βy = 0 où le point Ω de coordonnées (α,β) est le centre du cercle. Posons α = R\mathop{cos} {θ}_{0} et β = R\mathop{sin} {θ}_{0} (où R est bien évidemment le rayon du cercle puisque celui ci passe par O). En reportant x = ρ\mathop{cos} θ et y = ρ\mathop{sin} θ, on obtient l’équation

ρ = 2R\mathop{cos} (θ − {θ}_{0})

Inversement il est clair qu’une telle équation définit un cercle passant par O.

Remarque 18.2.5 Il suffit de faire varier θ dans un intervalle de longueur π pour avoir tout le cercle.

Equation polaire d’une conique ayant l’origine pour foyer

Soit e son excentricité et D : x\mathop{cos} {θ}_{0} + y\mathop{sin} {θ}_{0} − h = 0 la directrice correspondant au foyer O. La conique est alors \{m ∈ E\mathrel{∣}d(m,F) = ed(m,D)\}. Elle est donc définie par l’équation {x}^{2} + {y}^{2} = e{(x\mathop{cos} {θ}_{0} + y\mathop{sin} {θ}_{0} − h)}^{2}. En portant x = ρ\mathop{cos} θ et y = ρ\mathop{sin} θ, on obtient l’équation {ρ}^{2} = {e}^{2}(ρ\mathop{cos} (θ − {θ}_{0}) − h) soit encore ρ = ±e(ρ\mathop{cos} (θ − {θ}_{0}) − h ou encore ρ ={ ±eh \over 1±e\mathop{ cos} (θ−{θ}_{0})} .Remarquons alors que les deux courbes d’équations polaires ρ ={ eh \over 1+e\mathop{ cos} (θ−{θ}_{0})} et ρ = −{ eh \over 1−e\mathop{ cos} (θ−{θ}_{0})} se déduisent l’une de l’autre par le changement de (ρ,θ) en (−ρ,θ + π) ce qui redonne le même point géométrique. Elles ont donc la même image. Donc la conique est entièrement définie par l’une des deux équations soit par exemple

ρ ={ p \over 1 + e\mathop{cos} (θ − {θ}_{0})}

θ décrit un intervalle de longueur et p = eh. En remontant les calculs on vérifie immédiatement qu’inversement une telle équation polaire définit une conique de foyer O.