18.1 Arcs paramétrés

18.1.1 Vocabulaire

Définition 18.1.1 Soit E un espace vectoriel normé sur . On appelle arc paramétré de classe {C}^{k} de E tout couple (I,F) d’un intervalle I de et d’une application F : I → E de classe {C}^{k}.

Remarque 18.1.1 Vocabulaire associé. Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} de E.

18.1.2 Equivalence des arcs paramétrés

Définition 18.1.2 Soit E un espace vectoriel normé, (I,F) et (J,G) deux arcs paramétrés de classe {C}^{k}. On dit que ces deux arcs sont {C}^{k}-équivalents s’il existe un difféomorphisme θ : I → J de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ.

Remarque 18.1.2 On dira qu’un tel difféomorphisme est un changement de paramétrage admissible. L’étude des arcs paramétrés concerne essentiellement l’étude des propriétés des arcs qui sont invariantes par équivalence. L’application θ étant bijective on voit immédiatement que

Proposition 18.1.1 Soit (I,F) et (J,G) deux arcs paramétrés de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalents. Alors les deux arcs ont la même image. Tous les points de l’image ont la même multiplicité pour les deux arcs. En particulier un point de l’image est simple pour l’un si et seulement si il est simple pour l’autre.

Remarque 18.1.3 Si on a F = G ∘ θ, on a F'({t}_{0}) = θ'({t}_{0})G'(θ({t}_{0})). Si θ est un difféomorphisme, on a θ'({t}_{0})\mathrel{≠}0 et donc F'({t}_{0})\mathrel{≠}0 \mathrel{⇔} G'(θ({t}_{0}))\mathrel{≠}0. D’où

Proposition 18.1.2 Soit (I,F) et (J,G) deux arcs paramétrés de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalents, θ : I → J un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ. Alors {t}_{0} est un point régulier de (I,F) si et seulement si θ({t}_{0}) est un point régulier de (J,G). En particulier, (I,F) est régulier si et seulement si (J,G) l’est.

18.1.3 Orientation

Un difféomorphisme d’un intervalle de sur un autre intervalle de est soit croissant soit décroissant. On peut donc définir

Définition 18.1.3 Soit (I,F) et (J,G) deux arcs paramétrés de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalents, θ : I → J un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ. On dit que (I,F) et (J,G) sont de même sens si θ est croissant, de sens contraire si θ est décroissant.

Remarque 18.1.4 Dans certains cas, il peut arriver (de manière assez exceptionnelle) qu’il existe deux difféomorphismes {θ}_{1} et {θ}_{2} tels que F = G ∘ {θ}_{1} et F = G ∘ {θ}_{2}, l’un étant croissant et l’autre décroissant. Autrement dit deux arcs paramétrés peuvent être à la fois de même sens et de sens contraire. On dit alors que les arcs paramétrés ne sont pas orientables. Un exemple typique est l’arc de {ℝ}^{2} : Γ = (ℝ,t\mathrel{↦}({t}^{2},{t}^{2})) où l’arc est de sens contraire à lui même puisque F ∘ θ = F pour θ(t) = −t. Le lecteur montrera facilement que cette situation ne peut pas se produire dès que l’arc est régulier ou bien dès que l’arc a au moins deux points simples.

18.1.4 Tangente à un arc paramétré

Définition 18.1.4 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k}, k ∈ {ℕ}^{∗}∪\{ + ∞\}. On dit que {t}_{0} ∈ I est un point non totalement singulier de Γ s’il existe n ≤ k tel que {F}^{(n)}({t}_{0})\mathrel{≠}0.

Remarque 18.1.5 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} et {t}_{0} ∈ I un point non totalement singulier de Γ. Considérons p =\mathop{ min}\{n ≤ k\mathrel{∣}{F}^{(n)}({t}_{0})\mathrel{≠}0\}. La formule de Taylor montre alors que

F(t) = F({t}_{0}) +{ {(t − {t}_{0})}^{p} \over p!} {F}^{(p)}({t}_{ 0}) + {(t − {t}_{0})}^{p}ε(t − {t}_{ 0})

avec {\mathop{lim}}_{u→0}ε(u) = 0. On en déduit que {\mathop{lim}}_{t→{t}_{0}}{ F(t)−F({t}_{0}) \over {(t−{t}_{0})}^{p}} ={ 1 \over p!} {F}^{(p)}({t}_{ 0}). Ceci montre tout d’abord que pour t\mathrel{≠}{t}_{0} mais assez proche de {t}_{0}, on a F(t)\mathrel{≠}F({t}_{0}) et que d’autre part le vecteur { F(t)−F({t}_{0}) \over {(t−{t}_{0})}^{p}} qui est un vecteur directeur de la droite affine qui passe par les points F(t) et F({t}_{0}), admet pour limite le vecteur { 1 \over p!} {F}^{(p)}({t}_{ 0}). On peut encore dire que la corde joignant les points F({t}_{0}) et F(t) admet pour limite la droite affine F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(p)}({t}_{0}) ce qui justifie la définition suivante :

Définition 18.1.5 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} et {t}_{0} ∈ I un point non totalement singulier de Γ. Soit p =\mathop{ min}\{n ≤ k\mathrel{∣}{F}^{(n)}({t}_{0})\mathrel{≠}0\}. On appelle tangente à Γ au point {t}_{0} la droite affine F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(p)}({t}_{0}).

Proposition 18.1.3 La notion de tangente est invariante par changement de paramétrage admissible. Soit (I,F) et (J,G) deux arcs paramétrés de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalents, θ : I → J un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ. Alors {t}_{0} est un point non totalement singulier de (I,F) si et seulement si θ({t}_{0}) est un point non totalement singulier de (J,G), et dans ce cas la tangente à (I,F) au point {t}_{0} est égale à la tangente à (J,G) au point θ({t}_{0}).

Démonstration Nous allons montrer par récurrence sur n ≥ 1 que

{F}^{(n)}(t) = θ'{(t)}^{n}{G}^{(n)}(θ(t)) +{ \mathop{∑ }}_{j=1}^{n−1}{a}_{ j,n}(t){G}^{(j)}(θ(t))

où les applications {a}_{j,n} sont des applications de I dans de classe {C}^{k−n}. C’est clair pour n = 1 puisque F'(t) = θ'(t)G'(θ(t)). Supposons donc le résultat vrai pour n ≤ k − 1. Alors toutes les applications considérées étant de classe {C}^{1}, on a

\begin{eqnarray*}{ F}^{(n+1)}(t)& =& θ'{(t)}^{n+1}{G}^{(n+1)}(θ(t)) + nθ''{(t)}^{n}θ'{(t)}^{n−1}{G}^{(n)}(θ(t)) %& \\ & & +{\mathop{∑ }}_{j=1}^{n−1}{a}_{ j,n}(t)θ'(t){G}^{(j+1)}(θ(t)) +{ \mathop{∑ }}_{j=1}^{n−1}{a}_{ j,n}'(t){G}^{(j)}(θ(t))%& \\ & =& θ'{(t)}^{n+1}{G}^{(n+1)}(θ(t)) +{ \mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{a}_{ j,n+1}(t){G}^{(j)}(θ(t)) %& \\ \end{eqnarray*}

avec {a}_{n,n+1}(t) = {a}_{n−1,n}θ'(t) + nθ''(t)θ'{(t)}^{n−1} et pour j ≤ n − 1, {a}_{j,n+1}(t) = {a}_{j,n}(t)θ'(t) + {a}_{j−1,n}'(t), ce qui achève la récurrence.

Si on a alors G'(θ({t}_{0})) = \mathop{\mathop{…}} = {G}^{(p−1)}(θ({t}_{0})) = 0 et {G}^{(p)}(θ({t}_{0}))\mathrel{≠}0, on voit immédiatement que F'({t}_{0}) = \mathop{\mathop{…}} = {F}^{(p−1)}({t}_{0}) = 0 et que {F}^{(p)}({t}_{0}) = θ'{({t}_{0})}^{p}{G}^{(p)}(θ({t}_{0}))\mathrel{≠}0 car θ'({t}_{0})\mathrel{≠}0. On en déduit que si θ({t}_{0}) est un point non totalement singulier de (J,G), alors {t}_{0} est un point non totalement singulier de (I,F) avec le même indice p. L’équivalence en résulte vu le rôle symétrique des deux arcs. De plus on a G(θ({t}_{0})) + ℝ{G}^{(p)}(θ({t}_{0})) = F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(p)}({t}_{0}) (puisque les deux vecteurs tangents sont colinéaires) ce qui montre que les tangentes sont les mêmes.

Remarque 18.1.6 Considérons F : ℝ → {ℝ}^{2} définie par F(t) = ({e}^{−1∕{t}^{2} },0) si t > 0, F(0) = (0,0) et F(t) = (0,{e}^{−1∕{t}^{2} }) si t < 0. On constate facilement que F est de classe {C}^{∞} en remarquant que {\mathop{lim}}_{t→0,t\mathrel{≠}0}{F}^{(k)}(t) = 0 et en appliquant un théorème du cours sur les fonctions d’une variable. Pourtant, l’image de F est la réunion de deux segments faisant en F(0) un angle droit. Il n’est donc pas question de pouvoir définir de manière raisonnable une tangente à un arc (fût-il {C}^{∞}) en un point totalement singulier.

18.1.5 Plan osculateur, concavité

Définition 18.1.6 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k}, k ≥ 2. On dit que {t}_{0} ∈ I est un point birégulier de Γ si la famille (F'({t}_{0}),F''({t}_{0})) est libre. Un arc est dit birégulier si tous ses points sont biréguliers.

Remarque 18.1.7 Un point birégulier est nécessairement régulier puisque F'({t}_{0})\mathrel{≠}0.

Définition 18.1.7 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k}, k ≥ 2. Soit {t}_{0} ∈ I un point birégulier de Γ. On appelle plan osculateur au point {t}_{0} le plan affine F({t}_{0}) +\mathop{ \mathrm{Vect}}(F'({t}_{0}),F''({t}_{0})).

Théorème 18.1.4 Les notions de point birégulier et de plan osculateur sont invariantes par changement de paramétrage admissible. Soit (I,F) et (J,G) deux arcs paramétrés de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalents, θ : I → J un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ. Alors {t}_{0} est un point birégulier de (I,F) si et seulement si θ({t}_{0}) est un point birégulier de (J,G), et dans ce cas le plan osculateur à (I,F) au point {t}_{0} est égal au plan osculateur à (J,G) au point θ({t}_{0}).

Démonstration On a F'({t}_{0}) = θ'({t}_{0})G'(θ({t}_{0})) et F''({t}_{0}) = θ''({t}_{0})G'(θ({t}_{0})) + θ'{({t}_{0})}^{2}G''(θ({t}_{0})). Donc la matrice des coordonnées de la famille (F'({t}_{0}),F''({t}_{0})) par rapport à la famille (G'(θ({t}_{0})),G''(θ({t}_{0}))) est la matrice inversible \left (\matrix{\,θ'({t}_{0})&θ''({t}_{0}) \cr 0 &θ'{({t}_{0})}^{2}}\right ), ce qui montre que (F'({t}_{0}),F''({t}_{0})) libre équivaut à (G'(θ({t}_{0})),G''(θ({t}_{0}))) libre. Dans ce cas on voit que \mathop{\mathrm{Vect}}(G'(θ({t}_{0})),G''(θ({t}_{0}))) =\mathop{ \mathrm{Vect}}(F'({t}_{0}),F''({t}_{0})), ce qui montre que les plans osculateurs qui passent tous deux par le point image F({t}_{0}) = G(θ({t}_{0})) coïncident.

Remarque 18.1.8 De plus la coordonnée de F''({t}_{0}) par rapport à G''(θ({t}_{0})) est égale à θ'{({t}_{0})}^{2} > 0 ce qui montre que les demi-plans F({t}_{0}) + ℝF'({t}_{0}) + {ℝ}^{+∗}F''({t}_{0}) et G(θ({t}_{0})) + ℝG'(θ({t}_{0})) + {ℝ}^{+∗}G''(θ({t}_{0})) coïncident. Ce qui amène à introduire

Définition 18.1.8 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k}, k ≥ 2. Soit {t}_{0} ∈ I un point birégulier de Γ. On appelle demi-plan de concavité au point {t}_{0} le demi plan affine (inclus dans le plan osculateur et délimité par la tangente) F({t}_{0}) + ℝF'({t}_{0}) + {ℝ}^{+∗}F''({t}_{0}). Il est invariant par changement de paramétrage admissible.

18.1.6 Etude locale des arcs plans

Nous supposerons dans ce paragraphe et dans les suivants que \mathop{dim} E = 2. Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k}, k ≥ 2 et {t}_{0} un point non totalement singulier de l’arc. Soit p =\mathop{ min}\{n ≤ k\mathrel{∣}{F}^{(n)}({t}_{0})\mathrel{≠}0\} et nous supposerons que l’on peut trouver n ∈ [p + 1,k] tel que la famille ({F}^{(p)}({t}_{0}),{F}^{(n)}({t}_{0})) soit une famille libre. Nous considérerons le plus petit entier n ayant cette propriété, que nous noterons q. La famille ({F}^{(p)}({t}_{0}),{F}^{(q)}({t}_{0})) est donc une base de E, et donc nous pouvons écrire F(t) − F({t}_{0}) = x(t){F}^{(p)}({t}_{0}) + y(t){F}^{(q)}({t}_{0}). Les nombres réels x(t) et y(t) apparaissent donc comme les coordonnées du point F(t) dans le repère affine (F({t}_{0}),({F}^{(p)}({t}_{0}),{F}^{(q)}({t}_{0}))).

Des renseignements essentiels sur l’allure de la courbe au voisinage du point {t}_{0} sont fournis par l’étude des signes de x(t) et de y(t) au voisinage de {t}_{0}, sachant que la courbe passe par le point F({t}_{0}) et est tangente au vecteur {F}^{(p)}({t}_{0}). La formule de Taylor Young donne

\begin{eqnarray*} F(t)& =& F({t}_{0}) +{ {(t − {t}_{0})}^{p} \over p!} {F}^{(p)}({t}_{ 0}) +{ \mathop{∑ }}_{n=p+1}^{q−1}{ {(t − {t}_{0})}^{n} \over n!} {F}^{(n)}({t}_{ 0})%& \\ & & +{ {(t − {t}_{0})}^{q} \over q!} {F}^{(q)}({t}_{ 0}) + {(t − {t}_{0})}^{q}ε(t − {t}_{ 0}) %& \\ \end{eqnarray*}

avec {\mathop{lim}}_{u→0}ε(u) = 0. En posant {F}^{(n)}({t}_{0}) = {λ}_{n}{F}^{(p)}({t}_{0}) pour p + 1 ≤ n ≤ q − 1 et ε(u) = α(u){F}^{(p)}({t}_{0}) + β(u){F}^{(q)}({t}_{0}), on a {\mathop{lim}}_{u→0}α(u) ={\mathop{ lim}}_{u→0}β(u) = 0 et

\begin{eqnarray*} F(t)& =& F({t}_{0}) %& \\ & +& {(t − {t}_{0})}^{p}\left ({ 1 \over p!} +{ \mathop{∑ }}_{n=p+1}^{q−1}{ {(t − {t}_{0})}^{n−p} \over n!} {λ}_{n} + {(t − {t}_{0})}^{q−p}α(t − {t}_{ 0})\right ){F}^{(p)}({t}_{ 0})%& \\ & +& {(t − {t}_{0})}^{q}({ 1 \over q!} + β(t − {t}_{0})){F}^{(q)}({t}_{ 0}) %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre que

\begin{eqnarray*} x(t)& =& {(t − {t}_{0})}^{p}\left ({ 1 \over p!} +{ \mathop{∑ }}_{n=p+1}^{q−1}{ {(t − {t}_{0})}^{n−p} \over n!} {λ}_{n} + {(t − {t}_{0})}^{q−p}α(t − {t}_{ 0})\right )%& \\ & ∼&{ {(t − {t}_{0})}^{p} \over p!} %& \\ \end{eqnarray*}

et que

y(t) = {(t − {t}_{0})}^{q}({ 1 \over q!} + β(t − {t}_{0})) ∼{ {(t − {t}_{0})}^{q} \over q!}

Mais quand deux fonctions sont équivalentes au voisinage de {t}_{0}, elles ont même signe au voisinage de {t}_{0} ce qui montre qu’il existe η > 0 tel que pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[ on ait \mathop{\mathrm{sgn}} (x(t)) =\mathop{ \mathrm{sgn}} ({(t − {t}_{0})}^{p}) et \mathop{\mathrm{sgn}} (y(t)) =\mathop{ \mathrm{sgn}} {((t − {t}_{0}))}^{q} en posant \mathop{\mathrm{sgn}} (u) = \left \{ \cases{ 1 &si u > 0 \cr 0 &si u = 0 \cr −1&si u < 0 } \right .. Ceci conduit à la discussion suivante

Premier cas : p impair, q pair (c’est par exemple le cas d’un point birégulier pour lequel p = 1 et q = 2) Pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0}[, on a x(t) < 0 et y(t) > 0 ; pour t ∈]{t}_{0},{t}_{0} + η[, on a x(t) > 0 et y(t) > 0. La courbe reste d’un même coté de sa tangente F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(p)}({t}_{0}) tout en traversant la droite F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(q)}({t}_{0}) ; on dit alors que {t}_{0} est un point banal de Γ.

\text{PIC}

Deuxième cas : p impair, q impair (c’est le cas le plus courant de point non birégulier avec p = 1 et q = 3) Pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0}[, on a x(t) < 0 et y(t) < 0 ; pour t ∈]{t}_{0},{t}_{0} + η[, on a x(t) > 0 et y(t) > 0. La courbe traverse sa tangente F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(p)}({t}_{0}) tout en traversant la droite F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(q)}({t}_{0}) ; on dit alors que {t}_{0} est un point d’inflexion de Γ.

\text{PIC}

Troisième cas : p pair, q impair (c’est le cas le plus courant de point singulier avec p = 2 et q = 3) Pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0}[, on a x(t) > 0 et y(t) < 0 ; pour t ∈]{t}_{0},{t}_{0} + η[, on a x(t) > 0 et y(t) > 0. La courbe traverse sa tangente F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(p)}({t}_{0}) tout en restant d’un même coté de la droite F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(q)}({t}_{0}) ; on dit alors que {t}_{0} est un point de rebroussement de première espèce de Γ.

\text{PIC}

Quatrième cas : p pair, q pair Pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0}[, on a x(t) > 0 et y(t) > 0 et pour t ∈]{t}_{0},{t}_{0} + η[, on a x(t) > 0 et y(t) > 0. La courbe reste d’un même coté de sa tangente F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(p)}({t}_{0}) tout en restant d’un même coté de la droite F({t}_{0}) + ℝ{F}^{(q)}({t}_{0}) ; on dit alors que {t}_{0} est un point de rebroussement de deuxième espèce de Γ.

\text{PIC}

On a en particulier au passage démontré le résultat suivant

Théorème 18.1.5 (convexité locale). Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k}, k ≥ 2. Soit {t}_{0} ∈ I un point birégulier de Γ. Alors il existe un η > 0 tel que pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[∖\{{t}_{0}\}, F(t) soit dans le demi plan ouvert de concavité.

Remarque 18.1.9 On vérifie facilement que les entiers p et q définis ci-dessus sont invariants par changement de paramétrage admissible. Il en est donc de même des notions de point banal, point d’inflexion, point de rebroussement de première et deuxième espèce.

18.1.7 Branches infinies

Définition 18.1.9 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} et α ∈ ℝ ∪\{−∞,+∞\} une extrémité de I. On dit que Γ admet en α une branche infinie si {\mathop{lim}}_{t→α}\|F(t)\| = +∞.

Définition 18.1.10 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} et α ∈ ℝ ∪\{−∞,+∞\} une extrémité de I où Γ admet une branche infinie. Si {\mathop{lim}}_{t→α}{ F(t) \over \|F(t)\|} =\vec{ u} (vecteur nécessairement unitaire), on dit que Γ admet en α la droite ℝ\vec{u} comme direction asymptotique.

Définition 18.1.11 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} et α ∈ ℝ ∪\{−∞,+∞\} une extrémité de I où Γ admet une branche infinie. Soit D une droite affine de E. On dit que Γ admet en α l’asymptote D si {\mathop{lim}}_{t→α}d(F(t),D) = 0 (où d(F(t),D) désigne la distance du point F(t) au point D) (distance associée à une norme quelconque sur E).

Proposition 18.1.6 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} et α ∈ ℝ ∪\{−∞,+∞\} une extrémité de I où Γ admet une branche infinie. Si Γ admet en α une droite D comme asymptote, il admet sa direction \vec{D} comme direction asymptotique.

Démonstration Soit a un point de D. Utilisons une distance associée à une norme euclidienne sur E et soit P(t) la projection orthogonale de F(t) sur la droite D. On a alors d(F(t),D) =\| F(t) − P(t)\|. On a \|P(t)\| ≥\| F(t)\| −\| P(t) − F(t)\| ce qui montre que \mathop{lim}\|P(t)\| = +∞. On en déduit que pour t assez proche de α, le point P(t) reste d’un même côté de a et que donc le vecteur { \overrightarrow{aP(t)} \over \|\overrightarrow{aP(t)}\|} est constant égal à un vecteur unitaire \vec{u} de \vec{D}. On a alors

\begin{eqnarray*}{ F(t) \over \|F(t)\|} & =&{ F(t) − P(t) + a \over \|F(t)\|} +{ \|\overrightarrow{aP(t)}\| \over \|F(t)\|} { \overrightarrow{aP(t)} \over \|\overrightarrow{aP(t)}\|} %& \\ & =&{ F(t) − P(t) \over \|F(t)\|} +{ \|\overrightarrow{aP(t)}\| \over \|F(t)\|} \vec{u} %& \\ \end{eqnarray*}

avec \mathop{lim}{ F(t)−P(t)+a \over \|F(t)\|} = 0 puisque le numérateur tend vers a et le dénominateur vers + ∞, et \mathop{lim}{ \|\overrightarrow{aP(t)}\| \over \|F(t)\|} = 1 comme le montre l’encadrement

\begin{eqnarray*} \|F(t)\| −\| P(t) − F(t)\| −\| a\| ≤&& %& \\ \|\overrightarrow{aP(t)}\|& =& \|P(t) − a\| ≤\| F(t)\| +\| P(t) − F(t)\| +\| a\|%& \\ \end{eqnarray*}

qui implique

1 −{ \|P(t) − F(t)\| \over \|F(t)\|} −{ \|a\| \over \|F(t)\|} ≤{ \|\overrightarrow{aP(t)}\| \over \|F(t)\|} ≤ 1 +{ \|P(t) − F(t)\| \over \|F(t)\|} +{ \|a\| \over \|F(t)\|}

On a donc \mathop{lim}{ F(t) \over \|F(t)\|} =\vec{ u} ce qui achève la démonstration.

Proposition 18.1.7 Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} et α ∈ ℝ ∪\{−∞,+∞\} une extrémité de I où Γ admet une branche infinie. Soit \vec{D} une direction de droite, Π un hyperplan affine non parallèle à \vec{D}, m un point de Π. Pour t ∈ I, soit {m}_{t} le point d’intersection de la parallèle à \vec{D} mené par F(t) avec l’hyperplan Π. On a équivalence de (i) Γ admet en α la droite D = m +\vec{ D} comme asymptote (ii) {\mathop{lim}}_{t→α}{m}_{t} = m.

Démonstration Mettons sur E une structure euclidienne telle que l’hyperplan Π soit orthogonal à \vec{D} et utilisons la distance d correspondante. Alors la distance de F(t) à D est égale à la distance de {m}_{t} à m ce qui montre le résultat.

Etude des branches infinies Si Γ admet en α une branche infinie, on commence par regarder si { F(t) \over \|F(t)\|} admet une limite. Si c’est le cas, soit \vec{u} cette limite et \vec{D} = ℝ\vec{u}. On choisit pour Π un hyperplan affine non parallèle à \vec{D} et on recherche le point {m}_{t} d’intersection de la droite F(t) + ℝ\vec{u} avec Π ; si le point {m}_{t} admet en α une limite m, la droite m + ℝ\vec{u} est asymptote à la courbe, sinon la courbe n’admet pas d’asymptote en α. Pour la simplicité des calculs, on est souvent amené à choisir pour Π l’un des hyperplans de coordonnées.

18.1.8 Plan d’étude d’un arc plan en paramétriques

Ici, E est un espace vectoriel normé de dimension 2, soit (\vec{ı},\vec{ȷ}) une base de E. Soit F une fonction de vers E. On notera (lorsque cela a un sens) F(t) = φ(t)\vec{ı} + ψ(t)\vec{ȷ}.

Première étape : domaine de définition On détermine le domaine de définition D =\mathop{ Def} (φ) ∩\mathop{ Def} (ψ) de F ; c’est en général une réunion finie d’intervalles deux à deux disjoints, si bien que la courbe étudiée sera une réunion finie d’arcs paramétrés.

Deuxième étape : réduction du domaine d’étude Supposons qu’il existe une application θ : D→D tel que pour t ∈D, F(θ(t)) se déduise par une transformation géométrique simple S de F(t), et soit Δ un domaine fondamental de θ dans D c’est-à-dire une partie de D telle que D ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{n∈ℕ}{θ}^{n}(Δ) (ou éventuellement si θ est bijective, D ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{n∈ℤ}{θ}^{n}(Δ)). En se fondant sur la relation F({θ}^{n}(t)) = {S}^{n}(F(t)), on voit qu’il suffit d’étudier la courbe pour t ∈ Δ pour en déduire simplement l’étude sur {θ}^{n}(Δ) et donc sur D.

On recherchera principalement des transformations θ du type

  • (i) θ(t) = t + T avec alors Δ = [a,a + T] ∩D
  • (ii) θ(t) = ω − t avec alors Δ = [{ ω \over 2} ,+∞[∩D
  • (iii) éventuellement θ(t) ={ 1 \over t} avec par exemple Δ = [−1,1] ∩D

En ce qui concerne les transformations géométriques simples, on repérera principalement

  • (i) l’identité φ(θ(t)) = φ(t), ψ(θ(t)) = ψ(t)
  • (ii) des symétries
    • a) φ(θ(t)) = −φ(t), ψ(θ(t)) = ψ(t) : symétrie par rapport à l’axe Oy
    • b) φ(θ(t)) = φ(t), ψ(θ(t)) = −ψ(t) : symétrie par rapport à l’axe Ox
    • c) φ(θ(t)) = −φ(t), ψ(θ(t)) = −ψ(t) : symétrie par rapport à l’origine O.
    • d) φ(θ(t)) = ψ(t), ψ(θ(t)) = φ(t) : symétrie par rapport à la première diagonale
  • (iii) des translations φ(θ(t)) = φ(t) + α, ψ(θ(t)) = ψ(t) + β : translation de vecteur α\vec{ı} + β\vec{ȷ}

Troisième étape : variations de φ et ψ On étudie les signes des dérivées φ' et ψ'. Au passage on repère un certain nombre de points remarquables

  • (i) φ'({t}_{0}) = 0, ψ'({t}_{0})\mathrel{≠}0 : point régulier où la tangente est verticale
  • (ii) φ'({t}_{0})\mathrel{≠}0, ψ'({t}_{0}) = 0 : point régulier où la tangente est horizontale
  • (iii) φ'({t}_{0}) = 0, ψ'({t}_{0}) = 0 : point singulier

Quatrième étape : étude des points singuliers Une étude locale soit à l’aide de dérivées successives, soit de préférence avec un développement limité permet de déterminer les entiers p et q introduits ci dessus et de déterminer en conséquence le type de point singulier : point de rebroussement de première espèce, point de rebroussement de deuxième espèce, point banal ou point d’inflexion (dans l’ordre décroissant des fréquences) ; au passage on détermine la tangente en un point singulier.

Cinquième étape : étude des branches infinies L’arc admet en α ∈\overline{D} une branche infinie si et seulement si l’une au moins des deux coordonnées φ(t) et ψ(t) admet une limite .

  • (i) Si \mathop{lim}|φ(t)| = +∞ et ψ(t) est bornée, l’arc admet une direction asymptotique horizontale ; il admet la droite y = {y}_{0} comme asymptote si et seulement si {\mathop{lim}}_{t→α}ψ(t) = {y}_{0}.
  • (ii) Si \mathop{lim}|ψ(t)| = +∞ et φ(t) est bornée, l’arc admet une direction asymptotique verticale ; il admet la droite x = {x}_{0} comme asymptote si et seulement si {\mathop{lim}}_{t→α}φ(t) = {x}_{0}.
  • (iii) Si \mathop{lim}|φ(t)| = +∞ et \mathop{lim}|ψ(t)| = +∞, on étudie le rapport { ψ(t) \over φ(t)}
    • a) s’il admet une limite , l’arc admet la verticale comme direction asymptotique et il n’y a pas d’asymptote
    • b) s’il admet la limite 0, l’arc admet l’horizontale comme direction asymptotique et il n’y a pas d’asymptote
    • c) s’il admet la limite a\mathrel{≠}0, l’arc admet la droite y = ax comme direction asymptotique et la droite d’équation y = ax + b est asymptote si et seulement si {\mathop{lim}}_{t→α}(ψ(t) − aφ(t)) = b
    • d) dans tous les autres cas, il n’y a pas de direction asymptotique

Une étude complémentaire de signe peut parfois préciser la position du point F(t) par rapport à une asymptote, ce qui peut permettre de préciser un tracé.

Sixième étape : ébauche de tracé En s’aidant d’une calculatrice ou d’un ordinateur, on peut calculer un certain nombre de points supplémentaires en plus des points remarquables ; ceci, en plus des points et des tangentes remarquables, des variations de φ et ψ et de l’étude des branches infinies permet en général une ébauche convaincante du tracé.

Etapes facultatives

Si la question est posée ou si l’ébauche du tracé suggère la nécessité de certaines précisions, on peut procéder à quelques étapes supplémentaires

Septième étape : détermination des points non biréguliers Il suffit d’écrire {\mathop{\mathrm{det}} }_{(\vec{ı},\vec{ȷ})}(F'(t),F''(t)) = 0, c’est-à-dire \left |\matrix{\,φ'(t)&ψ'(t) \cr φ''(t)&ψ''(t)}\right |, soit encore, si ψ' ne s’annule pas { d \over dt} \left ({ φ'(t) \over ψ'(t)} \right ) = 0 ; ces points, une fois éliminés les points singuliers, sont souvent des points d’inflexion.

Huitième étape : détermination des points multiples Il s’agit de résoudre l’équation F(t) = F(t') ou encore le système φ(t) = φ(t'), ψ(t) = ψ(t') pour t\mathrel{≠}t'.

18.1.9 Notion de contact

Soit Γ = (I,F) un arc paramétré de classe {C}^{k} de {ℝ}^{n} ; on pose F(t) = ({f}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}(t)). Soit U un ouvert contenant l’image de Γ, G une application de classe {C}^{k} de U dans , Σ = \{({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) ∈ U\mathrel{∣}G({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) = 0\} l’hypersurface correspondante de {ℝ}^{n}. On pose φ(t) = G({f}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}(t)) ; donc φ est une application de classe {C}^{k} de I dans .

Définition 18.1.12 On dit que Γ et Σ ont au point {t}_{0} ∈ I de Γ un contact d’ordre au moins p si φ({t}_{0}) = φ'({t}_{0}) = \mathop{\mathop{…}} = {φ}^{(p−1)}({t}_{0}) = 0. On dit en particulier que Γ et Σ sont sécantes (resp. tangentes, resp. osculatrices, resp. surosculatrices) en {t}_{0} si elles ont en {t}_{0} un contact d’ordre au moins 1 (resp. 2, resp. 3, resp. 4).

Remarque 18.1.10 On voit que Γ et Σ sont sécantes en {t}_{0} si et seulement si F({t}_{0}) ∈ Σ ce qui est bien naturel. Pour que Γ et Σ soient tangentes en {t}_{0}, il faut de plus que φ'({t}_{0}) = 0. Mais φ'({t}_{0}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{f}_{i}'({t}_{0}){ ∂G \over ∂{x}_{i}} (F({t}_{0})), c’est-à-dire que Γ et Σ sont tangentes en {t}_{0}, si et seulement si F({t}_{0}) ∈ Σ et le vecteur F'({t}_{0}) = ({f}_{1}'({t}_{0}),\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}'({t}_{0})) appartient à l’hyperplan Π d’équation {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{x}_{i}{ ∂G \over ∂{x}_{i}} (F({t}_{0})) = 0 (si \mathop{\mathrm{grad}} G(F({t}_{0}))\mathrel{≠}0) ; or le vecteur F'({t}_{0}) détermine en général la tangente à Γ en {t}_{0} et l’hyperplan Π est en général (comme on l’a vu à l’occasion du théorème des fonctions implicites) l’hyperplan tangent à Σ au point F({t}_{0}) ce qui justifie le vocabulaire employé.

Remarque 18.1.11 Soit F(t) = x(t)\vec{ı} + y(t)\vec{ȷ} un arc paramétré plan ; soit {t}_{0} un point régulier de l’arc et recherchons le contact en {t}_{0} de Γ avec une droite D d’équation ax + by + c = 0 ; la direction \vec{D} de la droite D a pour équation ax + by = 0. On a alors φ(t) = ax(t) + by(t) + c. On voit alors que, si on appelle p l’ordre du contact, on a (i) p ≥ 1 \mathrel{⇔} F({t}_{0}) ∈ D (ii) p ≥ 2 \mathrel{⇔} F({t}_{0}) ∈ D,F'({t}_{0}) ∈\vec{ D} : seule la tangente en {t}_{0} a un contact d’ordre au moins 2 (iii) p ≥ 3 \mathrel{⇔} F({t}_{0}) ∈ D,F'({t}_{0}) ∈\vec{ D},F''({t}_{0}) ∈\vec{ D} : en général aucune droite ne répond à ces exigences, à moins que le point ne soit pas birégulier.

On obtient donc que les points réguliers non biréguliers sont les points de Γ où existent une droite osculatrice ce qui peut fournir un autre moyen de recherche des points non biréguliers (en général des points d’inflexion) en étudiant la multiplicité d’intersection d’une droite D avec l’arc, dans la mesure où cela a un sens, et en particulier lorsque x(t) et y(t) sont des fractions rationnelles en t.

Sur le même modèle, le lecteur montrera facilement qu’en un point birégulier d’un arc de {ℝ}^{3}, il existe un seul plan qui soit osculateur à l’arc, à savoir le plan osculateur défini précédemment.

18.1.10 Enveloppes

Ce paragraphe ne fait pas partie du programme des classes préparatoires.

Soit {({D}_{t})}_{t∈I} une famille de droites de {ℝ}^{2} indexée par un intervalle I de . Intuitivement, on appellera enveloppe de la famille de droites un arc Γ = (I,F) telle que la tangente à Γ au point t soit la droite {D}_{t}. Nous allons préciser cette définition de la matière suivante

Définition 18.1.13 Soit I un intervalle de , a,b,c trois applications de classe {C}^{2} de I dans telles que \mathop{∀}t ∈ I, (a(t),b(t))\mathrel{≠}(0,0). Pour t ∈ I soit {D}_{t} la droite de {ℝ}^{2} d’équation a(t)x + b(t)y + c(t) = 0. On appelle enveloppe de la famille de droite {D}_{t} tout arc paramétré (I,F) de classe {C}^{1} tel que

\mathop{∀}t ∈ I, F(t) ∈ {D}_{t}\text{ et }F'(t) ∈\overrightarrow{ {D}_{t}}

Remarque 18.1.12 En un point singulier de l’arc, on a F'(t) = 0 et la condition F'(t) ∈\overrightarrow{ {D}_{t}} est automatiquement vérifiée. En un tel point, la droite {D}_{t} n’a donc aucune raison d’être la tangente à l’arc (I,F). Nous allons voir cependant que c’est souvent le cas, sous des hypothèses raisonnables.

Théorème 18.1.8 On suppose que \mathop{∀}t ∈ I, a(t)b'(t) − a'(t)b(t)\mathrel{≠}0. Alors la famille de droites {D}_{t} d’équations a(t)x + b(t)y + c(t) = 0 admet une unique enveloppe (I,F) ; pour tout t ∈ I, le point F(t) est le point d’intersection de la droite {D}_{t} avec la droite {D}_{t}' d’équation a'(t)x + b'(t)y + c'(t) = 0 ; c’est aussi la limite quand h tend vers 0 du point d’intersection de la droite {D}_{t+h} avec la droite {D}_{t}. Pour tout point non totalement singulier t de l’arc (I,F), la droite {D}_{t} est la tangente à l’arc au point t.

Démonstration Posons F(t) = (x(t),y(t)). Les conditions de la définition de l’enveloppe se traduisent par \mathop{∀}t ∈ I, a(t)x(t) + b(t)y(t) + c(t) = 0, a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0. Mais si la première condition est vérifiée, par dérivation on a \mathop{∀}t ∈ I,a'(t)x(t) + b'(t)y(t) + c'(t) + a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0 si bien que la seconde condition est équivalente à \mathop{∀}t ∈ I, a'(t)x + b'(t)y + c'(t) = 0. On obtient donc

\mathop{∀}t ∈ I, \left \{ \cases{ a(t)x(t) + b(t)y(t) + c(t) = 0 \cr a'(t)x(t) + b'(t)y(y) + c'(t) = 0 } \right .

système aux inconnues x(t) et y(t) qui est un système de Cramer puisque a(t)b'(t) − a'(t)b(t)\mathrel{≠}0. Ceci montre déjà l’unicité de l’enveloppe et le fait que {D}_{t} ∩ {D}_{t}' = \{F(t)\}. Inversement, si F(t) est ainsi défini, comme a,b et c sont de classe {C}^{2}, x(t) et y(t) sont de classe {C}^{1} et le même calcul que ci dessus en sens inverse montre que \mathop{∀}t ∈ I, a(t)x(t) + b(t)y(t) + c(t) = 0, a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0, donc (I,F) est bien enveloppe de la famille {D}_{t}.

Soit maintenant h\mathrel{≠}0. L’équation aux coordonnées des points d’intersection des droites {D}_{t} et {D}_{t+h} est donnée par

\begin{eqnarray*} \left \{ \cases{ a(t)x + b(t)y + c(t) = 0 \cr a(t + h)x + b(t + h)y + c(t + h) = 0 } \right . \mathrel{⇔}&& %& \\ & \left \{ \cases{ a(t)x + b(t)y + c(t) = 0 \cr { a(t+h)−a(t) \over h} x +{ b(t+h)−b(t) \over h} y +{ c(t+h)−c(t) \over h} = 0 } \right .& %&\\ \end{eqnarray*}

La limite du déterminant de ce système est a(t)b'(t) − a'(t)b(t)\mathrel{≠}0, donc pour h assez petit ce déterminant est non nul et définit un unique point {F}_{h}(t) de coordonnées ({x}_{h}(t),{y}_{h}(t)). Les formules de Cramer montrent aussitôt que {\mathop{lim}}_{h→0}{F}_{h}(t) = F(t).

Supposons maintenant que a,b et c soient de classe {C}^{k+1} ; alors F est de classe {C}^{k}. Soit {t}_{0} un point non totalement singulier de (I,F), et soit p tel que F'({t}_{0}) = \mathop{\mathop{…}} = {F}^{(p−1)}({t}_{0}) = 0, {F}^{(p)}({t}_{0})\mathrel{≠}0. On a \mathop{∀}t ∈ I,a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0. En appliquant la formule de Leibnitz, on a

\begin{eqnarray*} 0& =&{ {d}^{p−1} \over d{t}^{p−1}} {(a(t)x'(t) + b(t)y'(t))}_{t={t}_{0}} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{p−1}{C}_{ p−1}^{n}\left ({a}^{(n)}({t}_{ 0}){x}^{(p−n)}({t}_{ 0}) + {b}^{(n)}({t}_{ 0}){y}^{(p−n)}({t}_{ 0})\right )%& \\ & =& a(t){x}^{(p)}({t}_{ 0}) + b(t){y}^{(p)}({t}_{ 0}) %& \\ \end{eqnarray*}

puisque toutes les dérivées précédentes de x et y sont nulles au point {t}_{0}. On en déduit que {F}^{(p)}({t}_{0}) ∈\overrightarrow{ {D}_{{t}_{0}}}. La droite {D}_{{t}_{0}} contient le point F({t}_{0}) et est parallèle au vecteur tangent {F}^{(p)}({t}_{0}) ; c’est donc la tangente au point {t}_{0}. Ceci achève la démonstration du théorème.