17.4 Cercles, sphères, triangle

17.4.1 Généralités sur les sphères

Définition 17.4.1 Soit E un espace euclidien, a ∈ E, r > 0. On appelle sphère de centre a de rayon r l’ensemble S(a,r) = \{x ∈ E\mathrel{∣}d(a,x) = r\}.

Equation de sphères

Soit (O,\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{n}) un repère orthonormé de E, {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} les coordonnées de a et {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} les coordonnées de x. Alors

\begin{eqnarray*} d(a,x) = r& \mathrel{⇔} & \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2} = {r}^{2} %& \\ & \mathrel{⇔} & {({x}_{1} − {a}_{1})}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {({x}_{ n} − {a}_{n})}^{2} = {r}^{2} %& \\ & \mathrel{⇔} & {x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{ n}^{2} − 2{a}_{ 1}{x}_{1} −\mathop{\mathop{…}} − 2{a}_{n}{x}_{n} + c = 0%& \\ \end{eqnarray*}

avec c = {a}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}^{2} − {r}^{2}.

Inversement, si on se donne {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n},c ∈ ℝ, on a

\begin{eqnarray*}{ x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{ n}^{2} − 2{a}_{ 1}{x}_{1} −\mathop{\mathop{…}} − 2{a}_{n}{x}_{n} + c = 0&&%& \\ & \mathrel{⇔} & \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2} = {a}_{ 1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{ n}^{2} − c%& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que l’ensemble en question est soit l’ensemble vide si {a}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}^{2} − c < 0, soit le singleton \{a\} avec a = O + {a}_{1}\vec{{e}}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}\vec{{e}}_{n} si {a}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}^{2} − c = 0, soit la sphère de centre a et de rayon \sqrt{{a}_{1 }^{2 } + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n }^{2 } − c} si {a}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}^{2} − c > 0.

Intersection d’une sphère et d’un sous-espace affine

Soit S(a,r) une sphère de E et F un sous-espace affine de E. Appelons b la projection orthogonale de a sur F. Pour x ∈ F, on a d{(a,x)}^{2} = d{(a,b)}^{2} + d{(b,x)}^{2} = d{(a,F)}^{2} + d{(b,x)}^{2} si bien que

x ∈ S(a,r) ∩ F \mathrel{⇔} d{(b,x)}^{2} = {r}^{2} − d{(a,F)}^{2}

On en déduit que

Intersection de deux sphères

Considérons deux sphères S(a,r) et S(a',r') de centres distincts. On a alors

\begin{eqnarray*} x ∈ S(a,r) ∩ S(a',r')&& %& \\ & \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2}& = {r}^{2} \cr \|\overrightarrow{{a'x}\|}^{2}& = {r'}^{2} } \right .%& \\ & \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2} & = {r}^{2} \cr \|\overrightarrow{{a'x}\|}^{2} −\|\overrightarrow{{ ax}\|}^{2}& = {r'}^{2} − {r}^{2} } \right .%& \\ & \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2} & = {r}^{2} \cr (\overrightarrow{a'x} +\overrightarrow{ ax}\mathrel{∣}\overrightarrow{a'x} −\overrightarrow{ ax})& = {r'}^{2} − {r}^{2} } \right .%& \\ & \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2} & = {r}^{2} \cr 2(\overrightarrow{bx}\mathrel{∣}\overrightarrow{aa'})& = {r'}^{2} − {r}^{2} } \right .%&\\ \end{eqnarray*}

si b désigne le milieu de aa'. Soit donc c le point de la droite aa' tel que 2(\overrightarrow{bc}\mathrel{∣}\overrightarrow{aa'}) = {r'}^{2} − {r}^{2}, soit encore \overline{bc}.\overline{aa'} ={ {r'}^{2}−{r}^{2} \over 2} . On obtient

\begin{eqnarray*} x ∈ S(a,r) ∩ S(a',r')& \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2} & = {r}^{2} \cr 2(\overrightarrow{bx}\mathrel{∣}\overrightarrow{aa'})& = 2(\overrightarrow{bc}\mathrel{∣}\overrightarrow{aa'}) } \right .%& \\ & \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \|\overrightarrow{{ax}\|}^{2} & = {r}^{2} \cr 2(\overrightarrow{cx}\mathrel{∣}\overrightarrow{aa'})& = 0 } \right .%&\\ \end{eqnarray*}

Or cette dernière équation est celle de l’hyperplan H orthogonal à aa' passant par c. On obtient donc que S(a,r) ∩ S(a',r') = S(a,r) ∩ H. L’intersection est donc soit , soit un singleton, soit une sphère de l’hyperplan H suivant que d(a,H) > r, d(a,H) = r ou d(a,H) < r. Mais comme la droite ac est aussi la droite aa' qui est orthogonale à H, la distance de a à H n’est autre que la distance de a à c. On a

{ {r'}^{2} − {r}^{2} \over 2} = \overline{bc}.\overline{aa'} = (\overline{ac} −\overline{ab}).\overline{aa'} = (\overline{ac} −{ 1 \over 2} \overline{aa'}).\overline{aa'}

d’où l’on déduit que \overline{ac}.\overline{aa'} ={ {r}^{2}−{r'}^{2}+d{(a,a')}^{2} \over 2} , soit encore d{(a,c)}^{2} ={ {({r}^{2}−{r'}^{2}+d{(a,a')}^{2})}^{2} \over 4d{(a,a')}^{2}} . On a donc

\begin{eqnarray*} d{(a,H)}^{2} − {r}^{2} = d{(a,c)}^{2} − {r}^{2}&& %& \\ & =&{ {({r}^{2} − {r'}^{2} + d{(a,a')}^{2})}^{2} − 4{r}^{2}d{(a,a')}^{2} \over 4d{(a,a')}^{2}} %& \\ & =&{ 1 \over 4d{(a,a')}^{2}} ({r}^{2} − {r'}^{2} + d{(a,a')}^{2} + 2rd(a,a')) %& \\ & & \quad ({r}^{2} − {r'}^{2} + d{(a,a')}^{2} − 2rd(a,a')) %& \\ & =&{ 1 \over 4d{(a,a')}^{2}} ({(r + d(a,a'))}^{2} − {r'}^{2})({(r − d(a,a'))}^{2} − {r'}^{2})%& \\ & =&{ 1 \over 4d{(a,a')}^{2}} (r + d(a,a') + r')(r + d(a,a') − r') %& \\ & & \quad (r − d(a,a') + r')(r − d(a,a') − r') %& \\ \end{eqnarray*}

qui est du signe de δ = (r + d(a,a') − r')(r − d(a,a') + r')(r − d(a,a') − r').

17.4.2 Cercles et angles

Théorème 17.4.1 Dans le plan euclidien orienté, soit Γ = S(ω,r) le cercle de centre ω et de rayon r et soit trois points distincts m,a et b de Γ. Alors \widehat{(\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ωb})} = 2\widehat{(ma,mb)} (où \widehat{(\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ωb})} désigne l’angle des vecteurs \overrightarrow{ωa} et \overrightarrow{ωb} et \widehat{(ma,mb)} l’angle des droites ma et mb).

Démonstration Ecrivons \widehat{(\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{mω})} =\widehat{ (\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ma})} +\widehat{ (\overrightarrow{ma},\overrightarrow{mω})}. Soit s la symétrie par rapport à la médiatrice du couple (a,m). On a s : \left \{\matrix{\,a\mathrel{↦}m \cr m\mathrel{↦}a \cr ω\mathrel{↦}ω}\right . puisque le centre du cercle appartient à la médiatrice de (a,m). De plus s change un angle de vecteurs en son opposé, d’où

\begin{eqnarray*} \widehat{(\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ma})}& =& −\widehat{(\overrightarrow{s(ω)s(a)},\overrightarrow{s(m)s(a)})} %& \\ & =& −\widehat{(\overrightarrow{ωm},\overrightarrow{am})} %& \\ & =& −\widehat{(\overrightarrow{ωm},\overrightarrow{mω})} −\widehat{ (\overrightarrow{mω},\overrightarrow{ma})} −\widehat{ (\overrightarrow{ma},\overrightarrow{am})}%& \\ & =& −π −\widehat{ (\overrightarrow{mω},\overrightarrow{ma})} − π = −\widehat{(\overrightarrow{mω},\overrightarrow{ma})} %& \\ & =& \widehat{(\overrightarrow{ma},\overrightarrow{mω})} %& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit donc que \widehat{(\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{mω})} = 2\widehat{(\overrightarrow{ma},\overrightarrow{mω})} = 2\widehat{(ma,mω)} (puisque la mesure de \widehat{(ma,mω)} est un élément de ℝ∕πℤ, la mesure de 2\widehat{(ma,mω)} est un élément de ℝ∕2πℤ, donc la mesure d’un angle de vecteurs).

On a de même \widehat{(\overrightarrow{ωb},\overrightarrow{mω})} = 2\widehat{(mb,mω)}, puis par soustraction \widehat{(\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ωb})} = 2\widehat{(ma,mb)}.

Remarque 17.4.1 Si m vient se confondre avec a, la droite ma vient se confondre avec la tangente {D}_{a} à Γ en a ; le lecteur montrera sans difficulté que le raisonnement précédent est encore valide dans ce cas limite et que l’on a donc \widehat{(\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ωb})} = 2\widehat{({D}_{a},ab)}

Corollaire 17.4.2 Dans le plan euclidien orienté, soit a,b,c et d quatre points distincts. Alors ces quatre points sont cocycliques ou alignés si et seulement si \widehat{(ca,cb)} =\widehat{ (da,db)}.

Démonstration La condition est bien entendu nécessaire, car si les quatre points sont alignés, on a \widehat{(ca,cb)} =\widehat{ (da,db)} = 0 et s’ils appartiennent à un même cercle Γ = S(ω,r), on a 2\widehat{(ca,cb)} = 2\widehat{(da,db)} =\widehat{ (\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ωb})} ; mais l’application x\mathrel{↦}2x, ℝ∕πℤ → ℝ∕2πℤ est injective (car si 2α = 2β + 2kπ, on a α = β + kπ) et donc on a \widehat{(ca,cb)} =\widehat{ (da,db)}.

Inversement, supposons que α =\widehat{ (ca,cb)} =\widehat{ (da,db)}. Si α = 0, il est clair que a,b,c et d sont alignés. Supposons donc α\mathrel{≠}0. Alors a,b et c ne sont pas alignés et il existe un unique cercle Γ contenant a,b et c (voir le paragraphe suivant). Soit d' le point d’intersection de la droite ad avec Γ différent de a. Comme a,b,c et d' sont sur Γ on a \widehat{(ca,cb)} =\widehat{ (d'a,d'b)} =\widehat{ (da,d'b)} puisque la droite da est confondue avec la droite d'a. On a donc \widehat{(da,d'b)} =\widehat{ (da,db)}, soit encore \widehat{(db,d'b)} = 0. Ceci signifie que d,d' et b sont alignés, de même que d,d' et a. Comme a,b et d ne sont pas alignés, ceci nécessite que d = d' soit d ∈ Γ. Donc a,b,c et d sont cocycliques.

Corollaire 17.4.3 Soit α un angle de droites non nul, a et b deux points distincts du plan euclidien orienté E. Alors l’ensemble des points m tels que \widehat{(ma,mb)} = α est un cercle passant par les points a et b, privé de a et b.

Démonstration Soit {D}_{a} la droite passant par a telle que \widehat{({D}_{a},ab)} = α et soit Γ le cercle tangent à {D}_{a} passant par b. Le centre ω de ce cercle est le point d’intersection de la perpendiculaire à {D}_{a} passant par a avec la médiatrice de (a,b). Pour tout point c de ce cercle, on a (d’après la remarque ci dessus) 2\widehat{(ca,cb)} =\widehat{ (\overrightarrow{ωa},\overrightarrow{ωb})} = 2\widehat{({D}_{a},ab)} = 2α, soit de nouveau \widehat{(ca,cb)} = α. Donc \{m ∈ E\mathrel{∣}\widehat{(ma,mb)} = α\} ⊂ Γ. Soit c ∈ Γ ∖\{a,b\} ; pour tout point m tel que \widehat{(ma,mb)} = α, on a \widehat{(ma,mb)} =\widehat{ (ca,cb)}, donc a,b,c et m sont cocycliques, ce qui montre que m ∈ Γ. Donc \{m ∈ E\mathrel{∣}\widehat{(ma,mb)} = α\} = Γ ∖\{a,b\}.

17.4.3 Eléments de géométrie du triangle

Soit E un plan affine euclidien orienté, A,B et C trois points non alignés de E qui forment le triangle ABC. Nous utiliserons les notations suivantes

α =\widehat{ (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})},β =\widehat{ (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})},γ =\widehat{ (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})}

a = BC,b = CA,c = AB

Proposition 17.4.4

  • (i) α + β + γ = π
  • (ii) \mathop{cos} α ={ {b}^{2}+{c}^{2}−{a}^{2} \over 2bc} ,\mathop{\mathop{…}}

Démonstration (i) On a

\begin{eqnarray*} α + β + γ& =& \widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})} +\widehat{ (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})} +\widehat{ (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})} %& \\ & =& (\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA})} + π) + (π +\widehat{ (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BA})}) +\widehat{ (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})}%& \\ & =& 2π +\widehat{ (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA})} = 3π = π %& \\ \end{eqnarray*}

(ii) On a

\begin{eqnarray*}{ a}^{2}& =& \|\overrightarrow{{BC}\|}^{2} =\|\overrightarrow{ AC} −\overrightarrow{{ AB}\|}^{2} %& \\ & =& \|\overrightarrow{{AC}\|}^{2} +\|\overrightarrow{{ AB}\|}^{2} − 2(\overrightarrow{AC}\mathrel{∣}\overrightarrow{AB}) = {b}^{2} + {c}^{2} − 2bc\mathop{cos} α%& \\ \end{eqnarray*}

d’où \mathop{cos} α ={ {b}^{2}+{c}^{2}−{a}^{2} \over 2bc} et les deux autres formules analogues.

Définition 17.4.2 On appelle médianes du triangle ABC les droites joignant un sommet au milieu du côté opposé. On appelle hauteurs du triangle ABC les droites passant par un sommet et orthogonales au coté opposé. On appelle médiatrices du triangle ABC les trois médiatrices des couples de sommets du triangle. On appelle bissectrices intérieures du triangle les droites bissectrices des couples de vecteurs (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}), (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}) et (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}).

Théorème 17.4.5 (i) Les trois médianes du triangle sont concourantes en l’isobarycentre des trois points A,B et C (le centre de gravité du triangle) (ii) Les trois médiatrices du triangle sont concourantes en le centre de l’unique cercle circonscrit au triangle ABC (c’est-à-dire passant par les points A,B et C). (iii) Les trois bissectrices intérieures du triangle sont concourantes en le centre de l’unique cercle inscrit dans le triangle. (iv) Les trois hauteurs du triangle sont concourantes en un point appelé l’orthocentre du triangle.

Démonstration (i) Le théorème d’associativité des barycentres montre que l’isobarycentre G du triangle ABC est aussi le barycentre de A affecté du coefficient 1 et du milieu A' de (B,C) affecté du coefficient 2 ; donc G appartient à la médiane AA' et à chacune des deux autres médianes.

(ii) Soit O le point d’intersection de la médiatrice de (A,B) avec la médiatrice de (A,C). On a donc d(O,A) = d(O,B) et d(O,A) = d(O,C). On en déduit que d(O,B) = d(O,C) et donc O est également sur la médiatrice de (B,C).

(iii) Soit Ω le point d’intersection de la bissectrice de (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) avec la bissectrice de (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}). On a donc d(Ω,AB) = d(Ω,AC) et d(Ω,BC) = d(Ω,BA). On en déduit que d(Ω,CB) = d(Ω,CA) et donc Ω est sur une des deux bissectrices des droites CB et CA. Comme Ω est visiblement à l’intérieur du triangle, il est également sur la bissectrice de (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}).

(iv) Soit A'B'C' le triangle défini par : la droite B'C' passe par A et est parallèle à BC, la droite A'C' passe par B et est parallèle à AC, la droite A'B' passe par C et est parallèle à AB. Le quadrilatère AB'CB est visiblement un parallélogramme (cotés deux à deux parallèles) donc AB' = BC. De même le quadrilatère AC'BC est un parallélogramme, donc AC' = BC. On en déduit que A est le milieu de (B',C'). Mais la hauteur issue de A est orthogonale à BC donc B'C'. Il s’agit donc de la médiatrice de B'C'. Les hauteurs du triangle ABC sont les médiatrices du triangle A'B'C', elles sont donc concourantes.

Théorème 17.4.6 Soit ABC un triangle, α =\widehat{ (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}, β =\widehat{ (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})}, γ =\widehat{ (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})}, a = BC, b = CA, c = AB, R le rayon du cercle circonscrit au triangle, r le rayon du cercle inscrit dans le triangle, S l’aire du triangle, {h}_{a} = d(A,BC) la longueur de la hauteur issue de A. On a les formules suivantes

\begin{eqnarray*} &{ a \over \mathop{sin} α} ={ b \over \mathop{sin} β} ={ c \over \mathop{sin} γ} = 2R & (1)%& \\ & S ={ 1 \over 2} a{h}_{a} ={ 1 \over 2} bc\mathop{sin} α ={ 1 \over 2} (a + b + c)r& (2)%& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle. Le triangle OBC est isocèle en O d’angle au sommet 2\widehat{(ab,ac)} = 2α et de côté R. On en déduit que a = BC = 2R\mathop{sin} { 2α \over 2} = 2R\mathop{sin} α. On a donc { a \over \mathop{sin} α} = 2R et de même pour les deux autres sommets, d’où la formule (1).

On sait que l’aire du triangle est égale à la moitié de l’aire du rectangle correspondant, donc S ={ 1 \over 2} a{h}_{a}.

D’autre part l’aire du triangle est égale à la moitié de l’aire d’un parallélogramme construit sur ce triangle, soit

S ={ 1 \over 2} |[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]| ={ 1 \over 2} \|\overrightarrow{AB}\| \|\overrightarrow{AC}\|\mathop{sin} \widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})} ={ 1 \over 2} cb\mathop{sin} α

Soit Ω le centre du cercle inscrit dans le triangle. L’aire du triangle ABC est la somme des aires des triangles ΩAB, ΩBC et ΩCA. Or l’aire du triangle ΩBC est égale à la moitié du produit de la longueur de la base BC par la distance de Ω à BC qui vaut justement r. Donc S ={ 1 \over 2} ar +{ 1 \over 2} br +{ 1 \over 2} cr.

Remarque 17.4.2 En combinant toutes ces formules, il n’est guère difficile de calculer tous les éléments remarquables d’un triangle.