17.3 Espaces affines euclidiens

17.3.1 Notion d’espace affine euclidien

Définition 17.3.1 On appelle espace affine euclidien un couple (E,Φ) d’un espace affine de dimension finie sur le corps des nombres réels et d’une forme quadratique définie positive Φ sur \overrightarrow{E}.

Remarque 17.3.1 Comme d’habitude on notera Φ(\overrightarrow{ξ}) =\|\overrightarrow{ {ξ}\|}^{2} et on notera la forme polaire de Φ sous la forme (\overrightarrow{ξ},\overrightarrow{η})\mathrel{↦}(\overrightarrow{ξ}\mathrel{∣}\overrightarrow{η}) (le produit scalaire associé).

Proposition 17.3.1 Soit E un espace affine euclidien. L’application d : E × E → ℝ, (x,y)\mathrel{↦}\|\overrightarrow{xy}\| est une distance sur E (appelée la distance euclidienne).

Démonstration Vérification laissée au lecteur.

17.3.2 Formule de Leibnitz et applications

Théorème 17.3.2 Soit E un espace affine euclidien, {({a}_{i})}_{i∈I} une famille finie de points de E, {({λ}_{i})}_{i∈I} une famille de scalaires telle que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\mathrel{≠}0. Soit g le barycentre de la famille de points massiques {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I}. Alors

\mathop{∀}m ∈ E, {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{m{a}_{i}}\|}^{2} = \left ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\right ) \|\overrightarrow{{mg}\|}^{2} +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2}

Démonstration On a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{m{a}_{i}}\|}^{2} ={ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{mg} +\overrightarrow{{ g{a}_{i}}\|}^{2}&& %& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\right ) \|\overrightarrow{{mg}\|}^{2} + 2{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}(\overrightarrow{mg}\mathrel{∣}\overrightarrow{g{a}_{i}}) +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2}%& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\right ) \|\overrightarrow{{mg}\|}^{2} + 2\left (\overrightarrow{mg}\mathrel{∣}{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}}\right ) +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2}%& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\right ) \|\overrightarrow{{mg}\|}^{2} +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

en utilisant l’identité de polarisation et la formule {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}} =\overrightarrow{ 0}.

Corollaire 17.3.3 Soit E un espace affine euclidien, {({a}_{i})}_{i∈I} une famille finie de points de E, {({λ}_{i})}_{i∈I} une famille de scalaires telle que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\mathrel{≠}0. Soit g le barycentre de la famille de points massiques {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I}. Soit k ∈ ℝ. Alors \{m ∈ E\mathrel{∣}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{m{a}_{i}}\|}^{2} = k\} est soit l’ensemble vide, soit le singleton \{g\} soit une sphère de centre g.

Démonstration D’après la formule de Leibnitz, on a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{m{a}_{i}}\|}^{2} = k& \mathrel{⇔} & \left ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\right ) \|\overrightarrow{{mg}\|}^{2} = k −{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2}%& \\ & \mathrel{⇔} & \|\overrightarrow{{gm}\|}^{2} ={ 1 \over {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}} \left (k −{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2}\right ) %& \\ \end{eqnarray*}

Donc, suivant que { 1 \over {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}} \left (k −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2}\right ) est strictement négatif, nul ou strictement positif, on trouve , \{g\} ou la sphère de centre g de rayon \sqrt{{ 1 \over {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}} \left (k −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{g{a}_{i}}\|}^{2}\right )}.

Remarque 17.3.2 Soit E un espace affine euclidien, {({a}_{i})}_{i∈I} une famille finie de points de E, {({λ}_{i})}_{i∈I} une famille de scalaires telle que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i} = 0. On sait qu’il existe un vecteur \overrightarrow{u} tel que \mathop{∀}m ∈ E, \mathop{\mathop{∑ }} {λ}_{i}\overrightarrow{m{a}_{i}} =\overrightarrow{ u}. Soit a ∈ E. On a alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{m{a}_{i}}\|}^{2} ={ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{ma} +\overrightarrow{{ a{a}_{i}}\|}^{2}&& %& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\right ) \|\overrightarrow{{ma}\|}^{2} + 2{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}(\overrightarrow{ma}\mathrel{∣}\overrightarrow{a{a}_{i}}) +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{a{a}_{i}}\|}^{2}%& \\ & =& 2\left (\overrightarrow{ma}\mathrel{∣}{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{a{a}_{i}}\right ) +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{a{a}_{i}}\|}^{2} %& \\ & =& 2(\overrightarrow{ma}\mathrel{∣}\overrightarrow{u}) +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{a{a}_{i}}\|}^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que

{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{m{a}_{i}}\|}^{2} = k \mathrel{⇔} (\overrightarrow{ma}\mathrel{∣}\overrightarrow{u}) ={ 1 \over 2} \left (k −{\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{a{a}_{i}}\|}^{2}\right )

qui est soit l’ensemble vide (si \overrightarrow{u} =\overrightarrow{ 0} et k −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\|\overrightarrow{{a{a}_{i}}\|}^{2}\mathrel{≠}0), soit un hyperplan orthogonal à \overrightarrow{u} (prendre par exemple un repère orthonormé), soit encore l’espace tout entier.

Corollaire 17.3.4 Soit k > 0, a,b ∈ E distincts. Alors \{m ∈ E\mathrel{∣}d(m,a) = kd(m,b)\} est

  • si k\mathrel{≠}1, une sphère de centre g barycentre de (a,1) et de (b,−{k}^{2})
  • si k = 1, l’hyperplan médiateur de a et b.

Démonstration On a en effet d(m,a) = kd(m,b) \mathrel{⇔} \|\overrightarrow{{ma}\|}^{2} − {k}^{2}\|\overrightarrow{{mb}\|}^{2} = 0. Si k\mathrel{≠}1, alors 1 − {k}^{2}\mathrel{≠}0 et l’ensemble qui ne peut être ni l’ensemble vide, ni un singleton (car il y a deux solutions évidentes sur la droite ab à savoir le barycentre de (a,1) et (b,k) et le barycentre de (a,1) et (b,−k)) est une sphère de centre g. Si par contre k = 1, on a (avec les notations de la remarque) \overrightarrow{u} =\overrightarrow{ ma} −\overrightarrow{ mb} =\overrightarrow{ ba}, si bien que l’ensemble qui n’est pas l’ensemble vide (car le milieu de a et b convient) est un hyperplan orthogonal à \overrightarrow{ba} et contenant le milieu de a et b, donc c’est l’hyperplan médiateur de a et b.

17.3.3 Isométries affines

Définition 17.3.2 Soit E un espace affine euclidien et f : E → E une application affine. On dit que f est une isométrie affine si elle vérifie les conditions équivalentes

  • (i) \mathop{∀}x,y ∈ E, d(f(x),f(y)) = d(x,y)
  • (ii) \vec{f} est un endomorphisme orthogonal de \overrightarrow{E}.

Démonstration On a en effet d(f(x),f(y)) =\|\overrightarrow{ f(x)f(y)}\| =\|\vec{ f}(\overrightarrow{xy})\| si bien que la condition (i) est équivalente à \mathop{∀}\overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ E}, \|\vec{f}(\overrightarrow{ξ})\| =\|\overrightarrow{ ξ}\| ce qui caractérise les endomorphismes orthogonaux.

On peut définir une isométrie affine à l’aide de repères orthonormés par le théorème suivant

Théorème 17.3.5 Soit (a,\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{n}) et (a',\vec{{e}}_{1}',\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{n}') deux repères orthonormés de E ; alors il existe une unique isométrie affine f de E vérifiant f(a) = a' et \mathop{∀}i ∈ [1,n], \vec{f}(\vec{{e}}_{i}) =\vec{ {e}}_{i}'.

Démonstration On sait qu’il existe une unique application affine vérifiant f(a) = a' et \mathop{∀}i ∈ [1,n], \vec{f}(\vec{{e}}_{i}) =\vec{ {e}}_{i}' ; comme \vec{f} envoie une base orthonormée sur une base orthonormée, c’est un endomorphisme orthogonal.

17.3.4 Forme réduite d’une isométrie affine

Théorème 17.3.6 Soit f : E → E une isométrie affine. Alors il existe un unique couple (g,\overrightarrow{ξ}) d’une isométrie affine ayant un point fixe et d’un vecteur \overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ E} vérifiant les propriétés équivalentes suivantes

  • (i) f = g ∘ {t}_{\overrightarrow{ξ}} = {t}_{\overrightarrow{ξ}} ∘ g
  • (ii) f = {t}_{\overrightarrow{ξ}} ∘ g et \overrightarrow{ξ} est parallèle à l’ensemble des points fixes de g
  • (iii) f = {t}_{\overrightarrow{ξ}} ∘ g et \vec{f}(\overrightarrow{ξ}) =\overrightarrow{ ξ}

Démonstration Vérifions tout d’abord l’équivalence de (i), (ii) et (iii). Tout d’abord soit a un point fixe de g. On a g(a) = a et donc g(x) = x \mathrel{⇔} \vec{g}(\overrightarrow{ax}) =\overrightarrow{ ax} ce qui montre que la direction \overrightarrow{F} de l’ensemble F des points fixes de g n’est autre que l’ensemble des vecteurs \overrightarrow{ξ} tels que \vec{g}(\overrightarrow{ξ}) =\overrightarrow{ ξ}. Mais d’autre part f = {t}_{\overrightarrow{ξ}} ∘ g ⇒\vec{ f} =\vec{ g} ; on a donc immédiatement l’équivalence de (ii) et (iii). Il nous reste donc à montrer l’équivalence de (i) et (iii). Mais g ∘ {t}_{\overrightarrow{ξ}}(x) = g(x +\overrightarrow{ ξ}) = g(x) +\vec{ g}(\overrightarrow{ξ}) = g(x) +\vec{ f}(\overrightarrow{ξ}) et {t}_{\overrightarrow{ξ}} ∘ g(x) = g(x) +\overrightarrow{ ξ} ce qui montre bien l’équivalence de (i) et (iii).

Montrons donc l’existence et l’unicité d’un couple (g,\overrightarrow{ξ}) d’une isométrie affine ayant un point fixe et d’un vecteur \overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ E} vérifiant (iii). On doit donc rechercher un vecteur \overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ E} tel que \vec{f}(\overrightarrow{ξ}) =\overrightarrow{ ξ} et tel que g = {t}_{−\overrightarrow{ξ}} ∘ f ait un point fixe. Soit a ∈ E et cherchons à résoudre l’équation {t}_{−\overrightarrow{ξ}} ∘ f(x) = x, soit encore f(x) = x +\overrightarrow{ ξ}, c’est-à-dire f(a) +\vec{ f}(\overrightarrow{ax}) = a +\overrightarrow{ ax} +\overrightarrow{ ξ}, soit \vec{f}(\overrightarrow{ax}) −\overrightarrow{ ax} =\overrightarrow{ f(a)a} +\overrightarrow{ ξ}.

Soit \overrightarrow{F} = \{\overrightarrow{u}\mathrel{∣}\vec{f}(\overrightarrow{u}) =\overrightarrow{ u}\}. On a \overrightarrow{E} =\overrightarrow{ F} ⊕\overrightarrow{ {F}}^{⊥} et comme \overrightarrow{F} est stable par l’endomorphisme orthogonal \vec{f}, il en est de même de \overrightarrow{{F}}^{⊥}. Si on pose \overrightarrow{ax} =\overrightarrow{ {x}_{1}} +\overrightarrow{ {x}_{2}}, \overrightarrow{f(a)a} =\overrightarrow{ {a}_{1}} +\overrightarrow{ {a}_{2}}, \overrightarrow{ξ} =\overrightarrow{ ξ} +\overrightarrow{ 0} les décompositions des différents vecteurs dans la somme directe \overrightarrow{E} =\overrightarrow{ F} ⊕\overrightarrow{ {F}}^{⊥}, on a

\begin{eqnarray*} \vec{f}(\overrightarrow{ax}) −\overrightarrow{ ax} =\overrightarrow{ f(a)a} +\overrightarrow{ ξ}& \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \vec{f}(\overrightarrow{{x}_{1}}) −\overrightarrow{ {x}_{1}}& =\overrightarrow{ {a}_{1}} +\overrightarrow{ ξ} \cr \vec{f}(\overrightarrow{{x}_{2}}) −\overrightarrow{ {x}_{2}}& =\overrightarrow{ {a}_{2}} +\overrightarrow{ 0} } \right .%& \\ & \mathrel{⇔} & \left \{\array{ \overrightarrow{0} & =\overrightarrow{ {a}_{1}} +\overrightarrow{ ξ} \cr \vec{f}(\overrightarrow{{x}_{2}}) −\overrightarrow{ {x}_{2}}& =\overrightarrow{ {a}_{2}} } \right .%&\\ \end{eqnarray*}

puisque \vec{f}(\overrightarrow{{x}_{1}}) −\overrightarrow{ {x}_{1}} =\overrightarrow{ 0}. Ceci montre déjà que \overrightarrow{ξ} = −\overrightarrow{{a}_{1}} d’où l’unicité de \overrightarrow{ξ} et donc de g.

Il nous suffit donc de montrer que la deuxième équation a une solution. Mais \vec{f} −\mathrm{Id} laisse stable \overrightarrow{{F}}^{⊥} et définit un endomorphisme injectif de cet espace car si \overrightarrow{u} ∈\overrightarrow{ {F}}^{⊥}, on a

f(\overrightarrow{u}) −\overrightarrow{ u} =\overrightarrow{ 0} ⇒\overrightarrow{ u} ∈\overrightarrow{ F} ∩\overrightarrow{ {F}}^{⊥} = \{\overrightarrow{0}\}

Comme cet espace est de dimension finie, cet endomorphisme de \overrightarrow{{F}}^{⊥} est aussi surjectif, et donc la deuxième équation a bien une solution.

Remarque 17.3.3 Puisque g a un point fixe, en vectorialisant l’espace en un tel point, l’isométrie affine g s’identifie à l’endomorphisme orthogonal \vec{g} =\vec{ f}. Une isométrie affine s’identifie au produit commutatif d’une isométrie vectorielle (que l’on connait déjà) et d’une translation parallèlement à l’ensemble des points fixes de cette isométrie vectorielle. Ceci va nous permettre de décrire complètement les isométries affines en dimension 2 ou 3 en distinguant suivant que f est un déplacement (c’est-à-dire que \vec{f} est une rotation) ou un antidéplacement (c’est-à-dire que \vec{f} ∈ {O}^{−}(\overrightarrow{E})).

Théorème 17.3.7 Soit E un espace affine euclidien de dimension 2. Alors

  • (i) les déplacements de E sont d’une part les translations et d’autre part les rotations ayant pour centre un point de E et pour angle un élément non nul de ℝ∕2πℤ.
  • (ii) les antidéplacements de E sont les produits (commutatifs) d’une symétrie orthogonale par rapport à une droite et d’une translation parallèlement à cette droite.

Théorème 17.3.8 Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Alors

  • (i) les déplacements de E sont d’une part les translations et d’autre part les vissages : produits commutatifs d’une rotation autour d’un axe D et d’une translation parallèlement à D
  • (ii) les antidéplacements de E sont d’une part les produits (commutatifs) d’une symétrie orthogonale par rapport à un plan et d’une translation parallèlement à ce plan et d’autre part les produits commutatifs d’une rotation autour d’un axe D et d’une symétrie orthogonale par rapport à un plan orthogonal à D.

17.3.5 Distance à un sous-espace affine

Théorème 17.3.9 Soit F un sous-espace affine de direction \overrightarrow{F} et x ∈ E. Il existe un unique point p ∈ F tel que d(x,F) = d(x,p). Le point p est l’unique point d’intersection de F et de x +\overrightarrow{ {F}}^{⊥} ; on l’appelle la projection orthogonale de x sur F. Soit a ∈ F et (\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{k}) une base de \overrightarrow{F}. On a

d{(x,F)}^{2} ={ \mathop{\mathrm{det}} \mathop{Gram}(\overrightarrow{ax},\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{k}) \over \mathop{\mathrm{det}} \mathop{Gram}(\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{k})}

Démonstration Comme \overrightarrow{F} et \overrightarrow{{F}}^{⊥} sont supplémentaires, un résultat précédent montre que F ∩\left (x +\overrightarrow{ {F}}^{⊥}\right ) est un singleton \{p\}. On a donc p ∈ F et \overrightarrow{xp} ∈\overrightarrow{ {F}}^{⊥} Soit alors y ∈ F. On a

d{(x,y)}^{2} =\|\overrightarrow{{ xy}\|}^{2} =\|\overrightarrow{ xp} +\overrightarrow{{ py}\|}^{2} =\|\overrightarrow{{ xp}\|}^{2} +\|\overrightarrow{{ py}\|}^{2}

car \overrightarrow{xp} ∈\overrightarrow{ {F}}^{⊥} et \overrightarrow{py} ∈ F. On en déduit que d(x,y) ≥ d(x,p) avec égalité si et seulement si \|\overrightarrow{py}\| = 0 soit p = y, ce qui démontre que p est l’unique point de F tel que d(x,F) = d(x,p).

De plus, si a ∈ F, soit y ∈ F. On a d(x,y) =\|\overrightarrow{ xy}\| =\|\overrightarrow{ ax} −\overrightarrow{ ay}\|. Mais quand y décrit F, \overrightarrow{ay} décrit \overrightarrow{F}, si bien que d(x,F) = d(\overrightarrow{ax},\overrightarrow{F}). Mais on a vu dans le chapitre sur les formes quadratiques que d{(\overrightarrow{ξ},\overrightarrow{F})}^{2} ={ \mathop{\mathrm{det}} \mathop{ Gram}(\overrightarrow{ξ},\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{k}) \over \mathop{\mathrm{det}} \mathop{ Gram}(\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{k})} , ce qui donne la formule voulue.

En dimension 3, en interprétant le déterminant de Gram de trois vecteurs comme le carré du produit mixte et le déterminant de Gram de deux vecteurs comme le carré de la norme de leur produit vectoriel, on obtient les formules suivantes pour la distance à une droite ou à un plan

Corollaire 17.3.10 Soit E un espace euclidien de dimension 3, a,x ∈ E, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs non colinéaires de \overrightarrow{E}. Alors

d(x,a + ℝ\overrightarrow{u}) ={ \|\overrightarrow{ax} ∧\overrightarrow{ u}\| \over \|\overrightarrow{u}\|}

d(x,a + ℝ\overrightarrow{u} + ℝ\overrightarrow{v}) ={ \Big |[\overrightarrow{ax},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]\Big | \over \|\overrightarrow{u} ∧\overrightarrow{ v}\|}

En ce qui concerne les hyperplans, on a le résultat suivant

Théorème 17.3.11 Soit (a,\vec{{e}}_{1},\mathop{\mathop{…}},\vec{{e}}_{n}) un repère orthonormé de E, H un hyperplan affine de E d’équation {u}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}{x}_{n} + h = 0. Alors le vecteur \overrightarrow{n} = {u}_{1}\vec{{e}}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}\vec{{e}}_{n} est un vecteur normal au plan et pour tout x ∈ E de coordonnées {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}, on a

d(x,H) ={ |{u}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}{x}_{n} + h| \over \sqrt{{u}_{1 }^{2 } + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n }^{2}}}

Démonstration La direction \overrightarrow{H} de H admet pour équation {u}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}{x}_{n} = 0, c’est donc visiblement \overrightarrow{{n}}^{⊥} ce qui montre que \overrightarrow{n} = {u}_{1}\vec{{e}}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}\vec{{e}}_{n} est un vecteur normal au plan. Soit f la forme affine sur E définie par f(x) = {u}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}{x}_{n} + h. On a donc \vec{f}(\overrightarrow{ξ}) = {u}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}{x}_{n} = (\overrightarrow{ξ}\mathrel{∣}\overrightarrow{n}). Soit x ∈ E et p sa projection orthogonale sur H. On a donc f(p) = 0, soit f(x) = f(x) − f(p) =\vec{ f}(\overrightarrow{px}) = (\overrightarrow{px}\mathrel{∣}\overrightarrow{n}). Mais, les deux vecteurs \overrightarrow{px} et \overrightarrow{n} qui sont tous deux orthogonaux à \overrightarrow{H} sont colinéaires, si bien que

|f(x)| = |(\overrightarrow{px}\mathrel{∣}\overrightarrow{n})| =\|\overrightarrow{ px}\| \|\overrightarrow{n}\| = d(x,H)\|\overrightarrow{n}\|

On en déduit que d(x,H) ={ |f(x)| \over \|\overrightarrow{n}\|} , ce qui n’est autre que la formule cherchée.

Corollaire 17.3.12 Soit {H}_{1} et {H}_{2} deux hyperplans non parallèles de E. Alors l’ensemble des points x de E tels que d(x,{H}_{1}) = d(x,{H}_{2}) est la réunion de deux hyperplans orthogonaux, appelés les deux hyperplans bissecteurs de {H}_{1} et {H}_{2}.

Démonstration Sans nuire à la généralité on peut supposer que {H}_{1} est d’équation {u}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}{x}_{n} + h = 0 et {H}_{2} d’équation {v}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {v}_{n}{x}_{n} + k = 0 avec {u}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}^{2} = {v}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {v}_{n}^{2} = 1. Alors les vecteurs normaux \overrightarrow{{n}_{1}} et \overrightarrow{{n}_{2}} à ces deux hyperplans sont unitaires et

\begin{eqnarray*} d(x,{H}_{1}) = d(x,{H}_{2})&& %& \\ & \mathrel{⇔} & |{u}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {u}_{n}{x}_{n} + h| = |{v}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {v}_{n}{x}_{n} + k|%& \\ & \mathrel{⇔} & ({u}_{1} + ε{v}_{1}){x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + ({u}_{n} + ε{v}_{n}){x}_{n} + h + εk = 0 %& \\ \end{eqnarray*}

avec ε = ±1. Il s’agit visiblement de deux équations d’hyperplans de vecteurs normaux \overrightarrow{{n}_{1}} +\overrightarrow{ {n}_{2}} et \overrightarrow{{n}_{1}} −\overrightarrow{ {n}_{2}}. Or ces deux vecteurs normaux sont orthogonaux puisque (\overrightarrow{{n}_{1}} +\overrightarrow{ {n}_{2}}\mathrel{∣}\overrightarrow{{n}_{1}} −\overrightarrow{ {n}_{2}}) =\|\overrightarrow{{ {n}_{1}}\|}^{2} −\|\overrightarrow{{ {n}_{2}}\|}^{2} = 0. Ceci achève la démonstration.

17.3.6 Distance de deux sous-espaces affines

Théorème 17.3.13 Soit E un espace affine euclidien, F et G deux sous-espaces affines de E. Alors il existe a ∈ F et b ∈ G tel que le vecteur \overrightarrow{ab} soit orthogonal à la fois à F et à G. Ces points sont uniques si \overrightarrow{F} ∩\overrightarrow{ G} = \{\overrightarrow{0}\}. On a d(F,G) = d(a,b).

Démonstration Soit H = G +\overrightarrow{ F} le sous-espace affine contenant G et auquel F est faiblement parallèle . On doit avoir b ∈ H et \overrightarrow{ab} ⊥ H ce qui montre que b est nécessairement la projection orthogonale de a sur H. Soit donc F' la projection orthogonale de F sur H. Comme F est faiblement parallèle à H, F' est parallèle à F. Donc \overrightarrow{F'} +\overrightarrow{ G} =\overrightarrow{ F} +\overrightarrow{ G} =\overrightarrow{ H} ; le théorème d’intersection des sous-espaces affines appliqués aux sous-espaces affines F' et G de H, montre que F' ∩ G\mathrel{≠}∅. Soit donc b ∈ F' ∩ G et a ∈ F dont la projection orthogonale sur H est b. On a a ∈ F, b ∈ G et \overrightarrow{ab} ⊥ H, donc \overrightarrow{ab} est orthogonal à la fois à F et à G.

Si x ∈ F et y ∈ G, on a

\|\overrightarrow{{xy}\|}^{2} =\|\overrightarrow{ ab} + {(\overrightarrow{xa} +\overrightarrow{ by})\|}^{2} =\|\overrightarrow{{ ab}\|}^{2} +\|\overrightarrow{ xa} +\overrightarrow{{ by}\|}^{2}

d’après le théorème de Pythagore, puisque \overrightarrow{ab} ⊥\overrightarrow{ H} et \overrightarrow{xa} +\overrightarrow{ by} ∈\overrightarrow{ F} +\overrightarrow{ G} =\overrightarrow{ H}. On en déduit que \|\overrightarrow{{xy}\|}^{2} ≥\|\overrightarrow{{ ab}\|}^{2}, soit encore d(x,y) ≥ d(a,b). Ceci montre que d(F,G) = d(a,b). De plus l’égalité nécessite que \overrightarrow{xa} +\overrightarrow{ by} =\overrightarrow{ 0}. Si \overrightarrow{F} et \overrightarrow{G} sont en somme directe, ceci ne peut se produire que si x = a et y = b, ce qui assure dans ce cas l’unicité de a et b.

Définition 17.3.3 Soit E un espace affine euclidien, F et G deux sous-espaces affines de E. On appelle perpendiculaire commune à F et à G toute droite joignant un point de F à un point de G et orthogonale à ces deux sous-espaces affines.

Remarque 17.3.4 D’après le théorème ci dessus, une telle droite est unique si \overrightarrow{F} ∩\overrightarrow{ G} = \{\overrightarrow{0}\} et si a et b sont distincts, soit F ∩ G = ∅. En particulier, en dimension 3, deux droites non parallèles et non sécantes ont une unique perpendiculaire commune (le résultat subsistant d’ailleurs évidemment pour deux droites sécantes non confondues) : si ces deux droites {D}_{1} et {D}_{2} ont pour vecteurs directeurs \overrightarrow{{u}_{1}} et \overrightarrow{{u}_{2}}, cette perpendiculaire commune est l’intersection du plan contenant {D}_{1} et parallèle à \overrightarrow{{u}_{1}} ∧\overrightarrow{ {u}_{2}} et du plan contenant {D}_{2} et parallèle à \overrightarrow{{u}_{1}} ∧\overrightarrow{ {u}_{2}}.

Pour calculer la distance de F à G à savoir d(a,b), on peut également remarquer que c’est la distance de a à H = G +\overrightarrow{ F} (puisque b est la projection orthogonale de a sur H). Mais comme F est faiblement parallèle à H, on a \mathop{∀}x ∈ F, d(x,H) = d(a,H). On en déduit que la distance de F à G est la distance de n’importe quel point x de F à H = G +\overrightarrow{ F}, que l’on sait calculer à l’aide de déterminants de Gram moyennant la connaissance d’une base de \overrightarrow{F} +\overrightarrow{ G}. En particulier, si E est de dimension 3, on a

Proposition 17.3.14 Soit E un espace euclidien de dimension 3, {D}_{1} = {a}_{1} + ℝ\overrightarrow{{u}_{1}} et {D}_{2} = {a}_{2} + ℝ\overrightarrow{{u}_{2}} deux droites non parallèles. Alors

d({D}_{1},{D}_{2}) ={ \Big |[\overrightarrow{{a}_{1}{a}_{2}},\overrightarrow{{u}_{1}},\overrightarrow{{u}_{2}}]\Big | \over \|\overrightarrow{{u}_{1}} ∧\overrightarrow{ {u}_{2}}\|}

Démonstration On a d({D}_{1},{D}_{2}) = d({a}_{1},{a}_{2} + ℝ\overrightarrow{{u}_{1}} + ℝ\overrightarrow{{u}_{2}}) et il suffit d’appliquer la formule donnant la distance d’un point à un plan.