17.2 Barycentres

17.2.1 Notion de barycentres

Théorème 17.2.1 Soit E un espace affine, {({a}_{i})}_{i∈I} une famille finie de points de E et {({λ}_{i})}_{i∈I} une famille de scalaires telle que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\mathrel{≠}0. Alors il existe un unique point g ∈ E vérifiant les conditions équivalentes

On dit alors que g est le barycentre des points {a}_{i} affectés des coefficients {λ}_{i}.

Démonstration Il est clair que (ii)(i) (prendre m = g) et que (ii)(iii) (prendre m = a et diviser par {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}). Si maintenant (i) est vérifié, on a, pour m ∈ E,

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{m{a}_{i}}& =& {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}(\overrightarrow{mg} +\overrightarrow{ g{a}_{i}}) = ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i})\overrightarrow{mg} +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}}%& \\ & =& ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i})\overrightarrow{mg} %& \\ \end{eqnarray*}

et donc (ii) est vérifiée. De la même fa\c{c}on, si (iii) est vérifiée, on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{a{a}_{i}} = ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i})\overrightarrow{ag} et donc, pour m ∈ E,

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{m{a}_{i}}& =& {\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}(\overrightarrow{ma} +\overrightarrow{ a{a}_{i}}) = ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i})\overrightarrow{ma} +{ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{a{a}_{i}}%& \\ & =& ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i})\overrightarrow{ma} + ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i})\overrightarrow{ag} = ({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i})\overrightarrow{mg} %& \\ \end{eqnarray*}

et donc (ii) est vérifiée, ce qui achève la démonstration.

Remarque 17.2.1 Si {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i} = 0, on vérifie facilement que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{m{a}_{i}} est un vecteur \vec{u} indépendant de m ; c’est parfois ce vecteur qu’on appelle barycentre de la famille lorsque {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i} = 0. Il s’agit alors d’un vecteur et non plus d’un point.

Définition 17.2.1 On appelle point massique de E tout couple (a,λ) d’un point a ∈ E et d’un scalaire λ ∈ K.

Remarque 17.2.2 On dira indifféremment que g est est le barycentre des points {a}_{i} affectés des coefficients {λ}_{i} ou que g est le barycentre de la famille de points massiques {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I}.

17.2.2 Associativité des barycentres

Théorème 17.2.2 Soit {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I} une famille de points massiques telle que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\mathrel{≠}0 et g son barycentre. Soit I = {I}_{1} ∪\mathop{\mathop{…}} ∪ {I}_{k} une partition de I telle que \mathop{∀}j ∈ [1,k], {μ}_{j} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i∈{I}_{j}}{λ}_{i}\mathrel{≠}0. Soit {g}_{j} le barycentre de la famille de points massiques {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈{I}_{j}}. Alors g est le barycentre des points {g}_{1},\mathop{\mathop{…}},{g}_{k} affectés des coefficients {μ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{μ}_{k}.

Démonstration On a

\overrightarrow{0} ={ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}} ={ \mathop{∑ }}_{j=1}^{k}{ \mathop{∑ }}_{i∈{I}_{j}}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}}

Mais d’après la définition de {g}_{j}, on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈{I}_{j}}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}} = \left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈{I}_{j}}{λ}_{i}\right )\overrightarrow{g{g}_{j}} = {μ}_{j}\overrightarrow{g{g}_{j}}. On a donc \overrightarrow{0} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{j=1}^{k}{μ}_{j}\overrightarrow{g{g}_{j}} ce qui démontre que g est le barycentre des points {g}_{1},\mathop{\mathop{…}},{g}_{k} affectés des coefficients {μ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{μ}_{k}.

Exemple 17.2.1 Si ({a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n}) est une famille de points de E et si la caractéristique p de K (le corps de base) ne divise pas n, on peut définir le barycentre des points {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} tous affectés du coefficient 1 (puisque n{1}_{K}\mathrel{≠}0) ; on appelle ce point l’isobarycentre des points {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n}. Notons le g. Soit [1,n] = {I}_{1} ∪ {I}_{2} une partition de [1,n] avec k = |{I}_{1}| et n − k = |{I}_{2}|. Supposons que p ne divise ni k ni n − k et soit {m}_{1} l’isobarycentre des {a}_{i},i ∈ {I}_{1}, {m}_{2} l’isobarycentre des {a}_{i},i ∈ {I}_{2}. Alors le théorème d’associativité des barycentres assure que g est aussi le barycentre de ({m}_{1},k) et ({m}_{2},n − k), et en particulier g appartient à la droite {m}_{1}{m}_{2}. Dans le cas où n = 3, on montre ainsi que sur un corps de caractéristique différente de 2 ou 3, les droites qui joignent un sommet du triangle au milieu du coté opposé qui n’est autre que l’isobarycentre de ces deux points (ces droites sont les médianes du triangle) contiennent toutes l’isobarycentre des sommets du triangle (le centre de gravité du triangle), autrement dit ces trois médianes sont concourantes. De même, en dimension 3 et pour n = 4, les quatre droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée et les trois droites joignant les milieux de deux arêtes opposées passent toutes par le centre de gravité du tétraèdre.

PIC

17.2.3 Barycentres, sous-espaces affines, applications affines

Les deux théorèmes suivants montrent que le barycentrage est l’opération algébrique fondamentale dans les espaces affines.

Théorème 17.2.3 Soit f : E → F une application d’un espace affine dans un autre espace affine. Alors f est affine si et seulement si elle conserve la notion de barycentre, c’est-à-dire si et seulement si pour toute famille {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I} telle que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\mathrel{≠}0, de barycentre g, le point f(g) est le barycentre de la famille de points massiques {\left ((f({a}_{i}),{λ}_{i})\right )}_{i∈I}.

Démonstration Si f est affine, on a en effet

\overrightarrow{0} =\vec{ f}({\mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}}) ={ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\vec{f}(\overrightarrow{g{a}_{i}}) ={ \mathop{∑ }}_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{f(g)f({a}_{i})}

ce qui montre que le point f(g) est le barycentre de la famille de points massiques {\left ((f({a}_{i}),{λ}_{i})\right )}_{i∈I}. Inversement, supposons que f vérifie cette propriété et montrons que f est affine. Pour cela, soit a ∈ E et posons \vec{f}(\overrightarrow{ξ}) =\overrightarrow{ f(a)f(a +\overrightarrow{ ξ})}. Il nous suffit donc de montrer que \vec{f} est linéaire.

Pour cela soit tout d’abord \overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ E} et λ ∈ K. Posons b = a +\overrightarrow{ ξ} et c = a + λ\overrightarrow{ξ}. On a donc \overrightarrow{ac} − λ\overrightarrow{ab} =\overrightarrow{ 0}, soit encore (1 − λ)\overrightarrow{ac} + λ\overrightarrow{bc} =\overrightarrow{ 0} (en écrivant \overrightarrow{ab} =\overrightarrow{ ac} +\overrightarrow{ cb}). Donc c est le barycentre de (a,1 − λ) et (b,λ). On en déduit que f(c) est le barycentre de (f(a),1 − λ) et de (f(b),λ), soit encore que (1 − λ)\overrightarrow{f(a)f(c)} + λ\overrightarrow{f(b)f(c)} =\overrightarrow{ 0}, soit encore \overrightarrow{f(a)f(c)} − λ\overrightarrow{f(a)f(b)} =\overrightarrow{ 0}, ce qui se traduit par \vec{f}(λ\overrightarrow{ξ}) = λ\vec{f}(\overrightarrow{ξ}).

Soit maintenant, \overrightarrow{ξ} et \overrightarrow{η} dans \overrightarrow{E}. Posons b = a +\overrightarrow{ ξ}, c = a +\overrightarrow{ η} et d = a + (\overrightarrow{ξ} +\overrightarrow{ η}). On a alors −\overrightarrow{ ad} +\overrightarrow{ ab} +\overrightarrow{ ac} =\overrightarrow{ 0} si bien que a est barycentre de (d,−1), (b,1) et (c,1). On en déduit que f(a) est barycentre de (f(d),−1), (f(b),1) et (f(c),1), si bien que

−\overrightarrow{f(a)f(d)} +\overrightarrow{ f(a)f(b)} +\overrightarrow{ f(a)f(c)} =\overrightarrow{ 0}

ce qui se traduit par −\vec{ f}(\overrightarrow{ξ} +\overrightarrow{ η}) +\vec{ f}(\overrightarrow{ξ}) +\vec{ f}(\overrightarrow{η}) =\overrightarrow{ 0}. Donc \vec{f} est bien linéaire.

Théorème 17.2.4 Soit F une partie non vide d’un espace affine E. Alors F est un sous-espace affine si et seulement si il est stable par barycentrage, c’est-à-dire si et seulement si pour toute famille {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I} telle que {a}_{i} ∈ F et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\mathrel{≠}0 de barycentre g, le point g est encore dans F.

Démonstration Supposons que F est un sous-espace affine et soit a ∈ F. Alors \overrightarrow{ag} ={ 1 \over {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}} {\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\overrightarrow{a{a}_{i}} ∈\overrightarrow{ F} puisque chacun des \overrightarrow{a{a}_{i}} est dans l’espace vectoriel \overrightarrow{F}. Donc g ∈ F.

Inversement, supposons que F est stable par barycentrage et soit a ∈ F, \overrightarrow{F} = \{\overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ E}\mathrel{∣}a +\overrightarrow{ ξ} ∈ F\}. Il suffit de montrer que \overrightarrow{F} est un sous-espace vectoriel de \overrightarrow{E}.

Soit tout d’abord \overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ F} et λ ∈ K. Posons b = a +\overrightarrow{ ξ} ∈ F et c = a + λ\overrightarrow{ξ}. On a donc \overrightarrow{ac} − λ\overrightarrow{ab} =\overrightarrow{ 0}, soit encore (1 − λ)\overrightarrow{ac} + λ\overrightarrow{bc} =\overrightarrow{ 0} (en écrivant \overrightarrow{ab} =\overrightarrow{ ac} +\overrightarrow{ cb}). Donc c est le barycentre de (a,1 − λ) et (b,λ). Donc c ∈ F, soit λ\overrightarrow{ξ} ∈\overrightarrow{ F}.

Soit maintenant, \overrightarrow{ξ} et \overrightarrow{η} dans \overrightarrow{F}. Posons b = a +\overrightarrow{ ξ} ∈ F, c = a +\overrightarrow{ η} ∈ F et d = a + (\overrightarrow{ξ} +\overrightarrow{ η}). On a alors −\overrightarrow{ ad} +\overrightarrow{ ab} +\overrightarrow{ ac} =\overrightarrow{ 0}, ou encore \overrightarrow{ad} −\overrightarrow{ bd} −\overrightarrow{ cd} =\overrightarrow{ 0} (en utilisant la relation de Chasles). Donc d est le barycentre de (a,1), (b,−1) et (c,−1). On a donc d ∈ F, soit encore \overrightarrow{ξ} +\overrightarrow{ η} ∈\overrightarrow{ F}, ce qui achève de montrer que \overrightarrow{F} est un sous-espace vectoriel de \overrightarrow{E}, et donc F un sous-espace affine de E.

17.2.4 Barycentres et convexité

On supposera ici que le corps de base est .

Définition 17.2.2 Soit E un espace affine sur , a et b deux points de E. On appelle segment [a,b] l’ensemble des barycentres des points a et b affectés des coefficients t et 1 − t pour t ∈ [0,1].

Remarque 17.2.3 Autrement dit [a,b] = \{a + t\overrightarrow{ab}\mathrel{∣}t ∈ [0,1]\}.

Définition 17.2.3 Soit E un espace affine sur et A une partie de E. On dit que A est convexe si \mathop{∀}a,b ∈ A, [a,b] ⊂ A.

Théorème 17.2.5 Une partie A de E est convexe si et seulement si tout barycentre à coefficients positifs d’une famille finie de points de A est encore dans A.

Démonstration La condition est évidemment suffisante puisque tout point du segment [a,b] est barycentre à coefficients positifs de a et b. Montrons qu’elle est nécessaire en montrant par récurrence sur |I| que si {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I} est une famille finie de points massiques tels que \mathop{∀}i, {a}_{i} ∈ A et {λ}_{i} ≥ 0 avec {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{λ}_{i}\mathrel{≠}0, alors le barycentre g de la famille est encore dans A. Si |I| = 2, g est encore le barycentre de (a,{ {λ}_{1} \over {λ}_{1}+{λ}_{2}} ) et de (a,{ {λ}_{2} \over {λ}_{1}+{λ}_{2}} ), soit encore de (a,t) et (b,1 − t) pour t ={ {λ}_{1} \over {λ}_{1}+{λ}_{2}} ∈ [0,1] ; donc on a g ∈ [a,b] ⊂ A. Supposons maintenant le résultat démontré pour toute famille de cardinal n − 1 et soit |I| = n. Soit {i}_{0} ∈ I et supposons que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I∖\{{i}_{0}\}}{λ}_{i}\mathrel{≠}0 ; soit g' le barycentre de la famille {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{i∈I∖\{{i}_{0}\}} ; d’après l’hypothèse de récurrence, g' ∈ A. Mais le théorème d’associativité des barycentres assure que g est le barycentre de (g',{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I∖\{{i}_{0}\}}{λ}_{i}) et de ({a}_{{i}_{0}},{λ}_{{i}_{0}}) ; donc, d’après le cas n = 2, g ∈ [g',{a}_{{i}_{0}}] ⊂ A. Si par contre {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I∖\{{i}_{0}\}}{λ}_{i} = 0, comme les {λ}_{i} sont positifs on a \mathop{∀}i ∈ I ∖\{{i}_{0}\}, {λ}_{i} = 0 et g n’est autre que {a}_{{i}_{0}} ∈ A. Cela achève la démonstration.

Remarque 17.2.4 Il est clair que toute intersection de parties convexes est encore convexe. On en déduit qu’étant donnée une partie A de E, l’intersection de tous les convexes contenant A est encore une partie convexe contenant A, et qu’elle est contenue dans toute partie convexe contenant A. Nous l’appellerons l’enveloppe convexe de A et la noterons \hat{A}.

Théorème 17.2.6 L’enveloppe convexe \hat{A} de A est l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de points de A.

Démonstration Soit B l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de points de A. Comme \hat{A} est convexe, elle doit contenir d’après le théorème précédent, tout barycentre à coefficients positifs de points de \hat{A} et en particulier de points de A, soit B ⊂\hat{ A}. Mais B est convexe car tout barycentre à coefficients positifs de points de B qui sont eux mêmes des barycentres à coefficients positifs de points de A est, d’après le théorème d’associativité des barycentres, un barycentre à coefficients positifs de points de A, donc est dans B ; comme B contient évidemment A et que \hat{A} est contenue dans tout convexe contenant A, on a \hat{A} ⊂ B et en définitive B =\hat{ A}.

Le théorème suivant précise ce résultat en dimension finie

Théorème 17.2.7 (Carathéodory). Soit E un - espace affine de dimension n. Alors l’enveloppe convexe \hat{A} de A est l’ensemble des barycentres à coefficients positifs des familles de points de A de cardinal n + 1.

Démonstration Soit {\left (({a}_{i},{λ}_{i})\right )}_{1≤i≤p} une famille de points massiques avec \mathop{∀}i, {a}_{i} ∈ A et {λ}_{i} ≥ 0. Si p ≤ n + 1, il est évidemment toujours possible de compléter la famille en une famille de cardinal n + 1 avec des poids nuls. Si p > n + 1, nous allons montrer que le barycentre g de la famille est aussi le barycentre d’une famille {\left (({a}_{i},{μ}_{i})\right )}_{1≤i≤p, i\mathrel{≠}{i}_{0}} avec les {μ}_{i} ≥ 0. Pour cela remarquons que la famille {(\overrightarrow{{a}_{p}{a}_{i}})}_{1≤i≤p−1} est une famille de p − 1 > n vecteurs dans un espace de dimension n ; elle est donc liée. En conséquence, il existe {α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{p−1} non tous nuls tels que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p−1}{α}_{i}\overrightarrow{{a}_{p}{a}_{i}} = 0 ; en posant {α}_{p} = −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p−1}{α}_{i} et en écrivant \overrightarrow{{a}_{p}{a}_{i}} =\overrightarrow{ g{a}_{i}} −\overrightarrow{ g{a}_{p}}, on obtient {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}{α}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}} =\overrightarrow{ 0} avec {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i}{α}_{i} = 0, et les {α}_{i} non tous nuls ; en particulier l’un au moins des {α}_{i} est strictement positif. Par définition, on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}{λ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}} =\overrightarrow{ 0}. On en déduit que pour tout réel t, on a

{\mathop{∑ }}_{i=1}^{p}({λ}_{ i} − t{α}_{i})\overrightarrow{g{a}_{i}} =\overrightarrow{ 0}

Prenons alors t =\mathop{ min}\{{ {λ}_{i} \over {α}_{i}} \mathrel{∣}{α}_{i} > 0\} et soit {μ}_{i} = {λ}_{i} − t{α}_{i}. On a t ≥ 0 ; comme {λ}_{i} ≥ 0 deux cas sont possibles :

On a donc \mathop{∀}i ∈ [1,p], {μ}_{i} ≥ 0 et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}{μ}_{i}\overrightarrow{g{a}_{i}} =\overrightarrow{ 0}. Mais de plus t =\mathop{ min}\{{ {λ}_{i} \over {α}_{i}} \mathrel{∣}{α}_{i} > 0\} ={ {λ}_{{i}_{0}} \over {α}_{{i}_{0}}} , ce qui nous donne {μ}_{{i}_{0}} = 0. Donc g est encore le barycentre de la famille {\left (({a}_{i},{μ}_{i})\right )}_{1≤i≤p, i\mathrel{≠}{i}_{0}} avec les {μ}_{i} ≥ 0 ; ce qui achève la démonstration : tant que le cardinal de la famille est supérieur ou égal à n + 2 on peut retirer un point de la famille, donc on finit par aboutir à une famille de cardinal n + 1.