16.5 Equations différentielles non linéaires

16.5.1 Théorie de Cauchy-Lipschitz

Définition 16.5.1 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E et F : U → E, (t,y)\mathrel{↦}F(t,y). On dira que F est localement lipschitzienne par rapport à la variable y si, pour tout ({t}_{0},{y}_{0}) ∈ U, il existe η > 0 et r > 0 et une constante L ≥ 0 telle que

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}t ∈ [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η], \mathop{∀}{y}_{1},{y}_{2} ∈ B'({y}_{0},r),& & %& \\ \|F(t,{y}_{1}) − F(t,{y}_{2})\| ≤ L\|{y}_{1} − {y}_{2}\|& & %& \\ \end{eqnarray*}

L’ensemble C = [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η] × B'({y}_{0},r) sera appelé un cylindre de sécurité associé à la constante L.

Théorème 16.5.1 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E et f : U → E, (t,y)\mathrel{↦}f(t,y) de classe {C}^{1}. Alors f est localement lipschitzienne par rapport à la variable y.

Démonstration Notons {∂}_{y}f(t,y) la différentielle au point y de l’application z\mathrel{↦}f(t,z) de E dans E. Cette application est composée de z\mathrel{↦}(t,z) dont la différentielle en tout point est l’application j : h\mathrel{↦}(0,h) et de l’application f. Si bien que {∂}_{y}f(t,y).h = df(t,y).(0,h) = df(t,y) ∘ j(h). On en déduit que l’application (t,y)\mathrel{↦}{∂}_{y}f(t,y) = df(t,y) ∘ j est continue (comme l’application (t,y)\mathrel{↦}df(t,y)). Soit alors η > 0 et r > 0 tels que [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η] × B'(0,r) ⊂ U. L’application (t,y)\mathrel{↦}{∂}_{y}f(t,y) est continue sur le compact [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η] × B'(0,r), donc elle y est bornée. Il existe donc L ≥ 0 tel que \mathop{∀}(t,y) ∈ [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η] × B'(0,r), \|{∂}_{y}f(t,y)\| ≤ L. Mais alors, soit t ∈ [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η], {y}_{1},{y}_{2} ∈ B'({y}_{0},r) ; l’inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction y\mathrel{↦}f(t,y) sur le segment [{y}_{1},{y}_{2}] ⊂ B'({y}_{0},r) assure que

\|f(t,{y}_{1}) − f(t,{y}_{2})\| ≤\| {y}_{1} − {y}_{2}\|{\mathop{ sup}}_{y∈[{y}_{1},{y}_{2}]}\|{∂}_{y}f(t,y)\| ≤ L\|{y}_{1} − {y}_{2}\|

ce qui démontre le résultat.

Théorème 16.5.2 (Cauchy Lipschitz, unicité). Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E et F : U → E, (t,y)\mathrel{↦}F(t,y) localement lipschitzienne par rapport à la variable y. Alors F vérifie la condition d’unicité au problème de Cauchy-Lipschitz :

soit (I,φ) et (J,ψ) deux solutions de l’équation différentielle y' = F(t,y) qui coïncident au point {t}_{0} ∈ I ∩ J . Alors φ et ψ coïncident sur I ∩ J.

Démonstration I ∩ J est un intervalle. En particulier I ∩ J est connexe. Soit X = \{t ∈ I ∩ J\mathrel{∣}φ(t) = ψ(t)\}. Comme φ et ψ sont continues sur I ∩ J, X = {(φ − ψ)}^{−1}(\{0\}) est un fermé de I ∩ J (image réciproque d’un fermé par une application continue). Soit alors {t}_{1} ∈ I ∩ J et {y}_{1} = φ({t}_{1}) = ψ({t}_{1}). On a donc d’après un théorème précédent \mathop{∀}t ∈ I ∩ J, φ(t) = {y}_{1} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{1}}^{t}F(u,φ(u)) du et ψ(t) = {y}_{1} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{1}}^{t}F(u,ψ(u)) du. On en déduit que φ(t) − ψ(t) ={\mathop{∫ } }_{{t}_{1}}^{t}(F(u,φ(u)) − F(u,ψ(u))) du, et donc, pour t ≥ {t}_{1},

\|φ(t) − ψ(t)\| ≤{\mathop{∫ } }_{{t}_{1}}^{t}\|F(u,φ(u)) − F(u,ψ(u))\| du

Puisque F est localement lipschitzienne, il existe η > 0 et r > 0 et une constante L ≥ 0 telle que

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}t ∈ [{t}_{1} − η,{t}_{1} + η], \mathop{∀}{z}_{1},{z}_{2} ∈ B'({y}_{1},r),& & %& \\ \|F(t,{z}_{1}) − F(t,{z}_{2})\| ≤ L\|{z}_{1} − {z}_{2}\|& & %& \\ \end{eqnarray*}

Comme φ et ψ sont continues au point {t}_{1}, il existe η' > 0 tel que |t − {t}_{1}|≤ η' ⇒ φ(t),ψ(t) ∈ B({y}_{1},r). Pour |t − {t}_{1}| < α =\mathop{ min}(η,η'), on a donc \|F(t,φ(t)) − F(t,ψ(t))\| ≤ L\|φ(t) − ψ(t)\|, et donc, en appliquant l’inégalité ci dessus \|φ(t) − ψ(t)\| ≤{\mathop{∫ } }_{{t}_{1}}^{t}L\|φ(u) − ψ(u)\| du. On peut donc appliquer à la fonction \|φ − ψ\| le lemme de Gronwall avec c = 0, g(t) = L qui montre que \|φ − ψ\| est nulle sur [{t}_{1},{t}_{1} + α[∩I ∩ J. On montre de manière similaire que \|φ − ψ\| est nulle sur ]{t}_{1} − α,{t}_{1}]\, ∩ I ∩ J. Donc, si X contient {t}_{1}, il contient ]{t}_{1} − α,{t}_{1} + α[\, ∩ I ∩ J ce qui montre que X est un ouvert de I ∩ J. En résumé X est une partie ouverte et fermée, non vide (car {t}_{0} ∈ X) de I ∩ J qui est connexe. Par définition de la connexité, on a X = I ∩ J, et donc φ et ψ coïncident sur I ∩ J.

Théorème 16.5.3 (Cauchy Lipschitz, existence locale). Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E et F : U → E, (t,y)\mathrel{↦}F(t,y) continue et localement lipschitzienne par rapport à la variable y. Alors F vérifie la condition d’existence au problème de Cauchy-Lipschitz. Soit ({t}_{0},{y}_{0}) ∈ U, α > 0 et r > 0 tels que C = [{t}_{0} − α,{t}_{0} + α] × B'({y}_{0},r) ⊂ U soit un cylindre de sécurité pour F associé à la constante L, M ={\mathop{ sup}}_{(t,y)∈C}\|F(t,y)\|, η =\mathop{ min}(α,{ r \over M} ) ; alors il existe une solution φ de l’équation différentielle y' = F(t,y) définie sur ]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[ et vérifiant φ({t}_{0}) = {y}_{0}.

Démonstration Remarquons tout d’abord que l’existence de M résulte de la compacité du cylindre de sécurité C et de la continuité de F. Nous savons d’autre part que φ est une solution de l’équation différentielle y' = F(t,y) vérifiant φ({t}_{0}) = {y}_{0} si et seulement si φ est une fonction continue vérifiant φ(t) = {y}_{0} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,φ(u)) du, autrement dit si φ est point fixe de l’application ψ\mathrel{↦}Γ(ψ), où l’on définit Γ(ψ)(t) = {y}_{0} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,ψ(u)) du. Nous inspirant de la démonstration du théorème du point fixe, nous allons rechercher φ par une méthode d’approximation successive. Posons donc, pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[, {φ}_{0}(t) = {y}_{0} ; supposons maintenant que {φ}_{n} est définie de telle sorte que \mathop{∀}t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[, {φ}_{n}(t) ∈ B'({y}_{0},r) et posons alors {φ}_{n+1}(t) = {y}_{0} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,{φ}_{n}(u)) du (ceci a bien un sens car \mathop{∀}u ∈ [{t}_{0},t], (u,{φ}_{n}(u)) ∈ C ⊂ U). On a alors

\begin{eqnarray*} \|{φ}_{n+1}(t) − {y}_{0}\|& =& \|{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,{φ}_{ n}(u)) du\| %& \\ & ≤& |t − {t}_{0}|{\mathop{sup}}_{(u,y)∈C}\|F(u,y)\| ≤ ηM ≤ r%& \\ \end{eqnarray*}

Ceci montre qu’en posant {φ}_{0}(t) = {y}_{0} et pour n ≥ 0, {φ}_{n+1}(t) = {y}_{0} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,{φ}_{n}(u)) du, on définit bien une suite d’applications continues de ]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[ dans B'({y}_{0},r).

Montrons maintenant par récurrence sur n que

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}n ∈ ℕ, \mathop{∀}t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[, \|{φ}_{n+1}(t) − {φ}_{n}(t)\| ≤{ M \over L} { {L}^{n+1}|t − {t}_{0}{|}^{n+1} \over (n + 1)!} & & %& \\ \end{eqnarray*}

Pour n = 1, on a

\begin{eqnarray*} \|{φ}_{1}(t) − {φ}_{0}(t)\| =\| {φ}_{1}(t) − {y}_{0}\| =\|{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,{y}_{ 0}) du\| ≤ M|t − {t}_{0}|& & %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui est bien la formule voulue. Si maintenant l’inégalité est vérifiée pour n − 1, on a alors pour t ∈ [{t}_{0},{t}_{0} + η[

\begin{eqnarray*} \|{φ}_{n+1}(t) − {φ}_{n}(t)\|& =& \|{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}\left (F(u,{φ}_{ n}(u)) − F(u,{φ}_{n−1}(u))\right ) du\|%& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}\|F(u,{φ}_{ n}(u)) − F(u,{φ}_{n−1}(u))\| du %& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}L\|{φ}_{ n}(u) − {φ}_{n−1}(u)\| du %& \\ & ≤& L{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}{ M \over L} { {L}^{n}|u − {t}_{0}{|}^{n} \over n!} du %& \\ & =&{ M \over L} { {L}^{n+1}|t − {t}_{0}{|}^{n+1} \over (n + 1)!} %& \\ \end{eqnarray*}

Un calcul similaire conduit à la même inégalité pour t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0}].

On en déduit donc que

\mathop{∀}n ∈ ℕ, \mathop{∀}t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[, \|{φ}_{n+1}(t) − {φ}_{n}(t)\| ≤{ M \over L} { {L}^{n+1}{η}^{n+1} \over (n + 1)!}

Alors pour q > p, on a donc

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[&& %& \\ \|{φ}_{q}(t) − {φ}_{p}(t)\|& ≤& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q−1}\|{φ}_{ n+1}(t) − {φ}_{n}(t)\|%& \\ & ≤&{ M \over L} {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q−1}{ {L}^{n+1}{η}^{n+1} \over (n + 1)!} %& \\ & ≤&{ M \over L} {\mathop{∑ }}_{n=p}^{+∞}{ {L}^{n+1}{η}^{n+1} \over (n + 1)!} %& \\ \end{eqnarray*}

Comme la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{ {L}^{n+1}{η}^{n+1} \over (n+1)!} est une série convergente (exponentielle d’un nombre réel), son reste tend vers 0 ; étant donné ε > 0, il existe N ∈ ℕ tel que p ≥ N ⇒{ M \over L} {\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=p}^{+∞}{ {L}^{n+1}{η}^{n+1} \over (n+1)!} < ε. Alors

q > p ≥ N ⇒\mathop{∀}t ∈]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[, \|{φ}_{q}(t) − {φ}_{p}(t)\| < ε

La suite ({φ}_{n}) vérifie donc la critère de Cauchy uniforme. En conséquence, elle converge uniformément vers une fonction φ :]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[→ B'({y}_{0},r) qui est elle même continue.

L’inégalité \|F(u,φ(u)) − F(u,{φ}_{n}(u))\| ≤ L\|φ(u) − {φ}_{n}(u)\|, montre que la suite F(u,{φ}_{n}(u)) converge uniformément vers F(u,φ(u)) ; ceci nous permet de passer à la limite sous le signe d’intégration et d’obtenir

\begin{eqnarray*}{ y}_{0} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,φ(u)) du&& %& \\ & =& {y}_{0} +{\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,{φ}_{ n}(u)) du%& \\ & =& {\mathop{lim}}_{n→+∞}{φ}_{n+1}(t) = φ(t) %& \\ \end{eqnarray*}

Comme φ est continue, ceci montre que φ est la solution cherchée de l’équation y' = F(t,y) vérifiant φ({t}_{0}) = {y}_{0}.

Théorème 16.5.4 (Cauchy Lipschitz : existence et unicité d’une solution maximale). Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E et F : U → E, (t,y)\mathrel{↦}F(t,y) continue et localement lipschitzienne par rapport à la variable y. Soit ({t}_{0},{y}_{0}) ∈ U ; alors il existe une unique solution maximale ({I}_{0},{φ}_{0}) de l’équation différentielle y' = F(t,y) qui vérifie {φ}_{0}({t}_{0}) = {y}_{0}. L’intervalle {I}_{0} est ouvert. Pour toute solution (J,ψ) de l’équation différentielle vérifiant ψ({t}_{0}) = {y}_{0}, on a :

\text{$J ⊂ {I}_{0}$ et $ψ$ est la restriction de ${φ}_{0}$ à $J$.}

Démonstration La fonction F vérifie les conditions d’existence et d’unicité au problème de Cauchy-Lipschitz et on sait que ces conditions impliquent l’existence et l’unicité d’une solution maximale vérifiant une condition initiale donnée. On sait d’autre part que cette solution maximale est définie sur un intervalle ouvert et que c’est un plus grand élément de l’ensemble des solutions vérifiant la condition initiale.

Remarque 16.5.1 L’intervalle {I}_{0} de définition d’une solution maximale est difficilement contrôlable a priori. Il dépend bien entendu de l’équation différentielle, mais aussi de la condition initiale imposée, quelle que soit la régularité de la fonction F. Considérons par exemple l’équation différentielle scalaire (c’est-à-dire que les solutions sont à valeurs réelles) du premier ordre y' = −{y}^{2}. La fonction F(t,y) = −{y}^{2} est bien entendu de classe {C}^{1} donc localement lipschitzienne si bien que les résultats précédents s’appliquent. Comme la fonction nulle définie sur est solution, toute solution (I,φ) qui s’annule en un point doit coïncider sur I ∩ ℝ = I avec la fonction nulle, donc être la fonction nulle. On en déduit qu’une solution (I,φ) non identiquement nulle ne doit pas s’annuler et doit donc vérifier { φ'(t) \over φ{(t)}^{2}} = −1 soit encore { d \over dt} \left ({ 1 \over φ(t)} \right ) = 1, ou encore { 1 \over φ(t)} = t + λ. On en déduit que toute solution est du type (I,t\mathrel{↦}{ 1 \over t+λ} ). Cherchons une solution vérifiant la condition initiale φ({t}_{0}) = {y}_{0} avec {y}_{0}\mathrel{≠}0 (puisque seule la solution nulle peut s’annuler). On obtient {y}_{0} ={ 1 \over {t}_{0}+λ} soit encore λ ={ 1 \over {y}_{0}} − {t}_{0} si bien que toute solution vérifiant la condition initiale en question est de la forme (I,t\mathrel{↦}{ 1 \over t−{t}_{0}+{ 1 \over {y}_{0}} } ), la continuité de la fonction imposant que {t}_{0} −{ 1 \over {y}_{0}} \mathrel{∉}I. A partir de là, il est immédiat de déterminer les solutions maximales vérifiant la condition initiale y({t}_{0}) = {y}_{0} : il suffit de déterminer un intervalle maximal contenant {t}_{0} et ne contenant pas {t}_{0} −{ 1 \over {y}_{0}} . (i) si {y}_{0} = 0, la solution maximale est (] −∞,+∞[,t\mathrel{↦}0) (ii) si {y}_{0} > 0, la solution maximale est (]{t}_{0} −{ 1 \over {y}_{0}} ,+∞[,t\mathrel{↦}{ 1 \over t−{t}_{0}+{ 1 \over {y}_{0}} } ) (iii) si {y}_{0} < 0, la solution maximale est (] −∞,{t}_{0} −{ 1 \over {y}_{0}} [,t\mathrel{↦}{ 1 \over t−{t}_{0}+{ 1 \over {y}_{0}} } )

Bien que la fonction F(t,y) = −{y}^{2} soit parfaitement régulière sur {ℝ}^{2} tout entier, les solutions maximales présentent des asymptotes verticales et ne sont pas (sauf la solution nulle), définies sur tout entier.

Remarque 16.5.2 La condition imposée à F d’être localement lipschitzienne (par exemple de classe {C}^{1}) est essentielle. Si on considère par exemple l’équation différentielle y' = 2\sqrt{|y|}, le lecteur vérifiera sans difficulté que la fonction nulle et la fonction t\mathrel{↦}t|t| sont toutes deux des solutions maximales définies sur et vérifiant la même condition initiale y(0) = 0 si bien que l’unicité d’une solution maximale à condition initiale donnée n’est pas vérifiée.

16.5.2 Application aux équations d’ordre n

Par la technique de réduction à l’ordre 1, on aboutit aux résultats suivants

Théorème 16.5.5 (Cauchy Lipschitz, unicité). Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × {E}^{n} et f : U → E, (t,{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1})\mathrel{↦}f(t,{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}) de classe {C}^{1}. Alors f vérifie la condition d’unicité au problème de Cauchy-Lipschitz : soit (I,φ) et (J,ψ) deux solutions de l’équation différentielle {y}^{(n)} = f(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}) qui vérifient φ({t}_{0}) = ψ({t}_{0}),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {ψ}^{(n−1)}({t}_{0}). Alors φ et ψ coïncident sur I ∩ J.

Théorème 16.5.6 (Cauchy Lipschitz, existence locale). Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × {E}^{n} et f : U → E de classe {C}^{1}. Alors f vérifie la condition d’existence au problème de Cauchy-Lipschitz. Soit ({t}_{0},{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}) ∈ U, alors il existe η > 0 et une solution φ de l’équation différentielle {y}^{(n)} = f(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}) définie sur ]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[ et vérifiant φ({t}_{0}) = {y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {y}_{n−1}.

Théorème 16.5.7 (Cauchy Lipschitz, existence et unicité d’une solution maximale). Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × {E}^{n} et f : U → E de classe {C}^{1}. Soit ({t}_{0},{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}) ∈ U ; alors il existe une unique solution maximale ({I}_{0},{φ}_{0}) de l’équation différentielle {y}^{(n)} = f(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}) qui vérifie φ({t}_{0}) = {y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {y}_{n−1}. L’intervalle {I}_{0} est ouvert. Pour toute solution (J,ψ) de l’équation différentielle vérifiant ψ({t}_{0}) = {y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{ψ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {y}_{n−1}, on a :

\text{$J ⊂ {I}_{0}$ et $ψ$ est la restriction de ${φ}_{0}$ à $J$.}

16.5.3 Systèmes différentiels autonomes d’ordre 1

Définition 16.5.2 Soit E un espace vectoriel normé, U un ouvert de {E}^{n} et F : U → E. On dit que l’équation différentielle d’ordre n, {y}^{(n)} = F(y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}) (indépendante du temps t) est une équation différentielle autonome.

Proposition 16.5.8 (invariance par translation de l’ensemble des solutions). Soit (I,φ) une solution de l’équation différentielle autonome {y}^{(n)} = F(y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}), et soit T ∈ ℝ. Alors le couple ({I}_{T},{φ}_{T}), où {φ}_{T}(t) = φ(t + T) et {I}_{T} est le translaté de I par le nombre réel − T, est encore une solution de l’équation.

Démonstration En effet, pour t ∈ {I}_{T}, on a t + T ∈ I et donc

{φ}^{(n)}(t + T) = F(φ(t + T),φ'(t + T),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(t + T))

c’est-à-dire {φ}_{T}^{(n)}(t) = F({φ}_{T}(t),{φ}_{T}'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{T}^{(n−1)}(t))

Par la suite, nous nous intéresserons tout particulièrement au cas d’une équation autonome d’ordre 1 à valeurs dans {ℝ}^{2}. Dans ce cas, en introduisant les deux composantes {y}_{1} et {y}_{2} de la fonction inconnue y et les deux composantes f et g de la fonction F, on obtient un système différentiel autonome d’ordre 1

\left \{ \cases{ {y}_{1}' = f({y}_{1},{y}_{2})& \cr {y}_{2}' = g({y}_{1},{y}_{2})&
} \right .

que l’on pourra encore écrire après un changement de notation

\left \{ \cases{ x' = f(x,y)& \cr y' = g(x,y)&
} \right .

Le théorème de Cauchy-Lipschitz pour un tel système peut encore s’écrire sous la forme

Théorème 16.5.9 Soit U un ouvert de {ℝ}^{2}, f et g deux applications de classe {C}^{1} de U dans et S le système différentiel autonome \left \{ \cases{ x' = f(x,y)& \cr y' = g(x,y)&
} \right .
. Alors (i) (unicité) si deux solutions (I,({φ}_{1},{ψ}_{1})) et (J,({φ}_{2},{ψ}_{2})) coïncident en point {t}_{0} ∈ I ∩ J, elles coïncident sur I ∩ J (ii) (existence locale) pour tout {t}_{0} ∈ ℝ et tout couple ({x}_{0},{y}_{0}) ∈ U, il existe η > 0 et une solution (]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[,(φ,ψ)) du système différentiel (S) vérifiant φ({t}_{0}) = {x}_{0},ψ({t}_{0}) = {y}_{0} (iii) (solutions maximales) pour tout {t}_{0} ∈ ℝ et tout couple ({x}_{0},{y}_{0}) ∈ U, il existe une unique solution maximale (I,(φ,ψ)) du système différentiel (S) vérifiant φ({t}_{0}) = {x}_{0},ψ({t}_{0}) = {y}_{0} ; I est un intervalle ouvert.

Comme nous l’avons vu ci dessus, si (I,(φ,ψ)) est une solution du système différentiel autonome (S) et si T ∈ {ℝ}^{∗}, alors ({I}_{T},({φ}_{T},{ψ}_{T})) est encore une solution du système différentiel autonome (S). Il est clair que l’une des deux solutions est maximale si et seulement si l’autre l’est ; dans ce cas, s’il existe {t}_{0} ∈ I ∩ {I}_{T} tel que φ({t}_{0} + T) = φ({t}_{0}) et ψ({t}_{0} + T) = ψ({t}_{0}), on doit avoir (I,(φ,ψ)) = ({I}_{T},({φ}_{T},{ψ}_{T})), ce qui implique que I = ℝ et que φ et ψ sont périodiques de période T. On en déduit :

Théorème 16.5.10 Soit U un ouvert de {ℝ}^{2}, f et g deux applications de classe {C}^{1} de U dans et (I,(φ,ψ)) une solution maximale du système différentiel autonome \left \{ \cases{ x' = f(x,y)& \cr y' = g(x,y)& } \right .. S’il existe {t}_{1},{t}_{2} ∈ I distincts tels que φ({t}_{1}) = φ({t}_{2}) et ψ({t}_{1}) = ψ({t}_{2}), alors I = ℝ et φ et ψ sont périodiques de période {t}_{2} − {t}_{1}.

Parmi les solutions d’un système différentiel autonome, on peut rechercher les constantes t\mathrel{↦}(a,b) ; il est clair qu’une telle constante est solution si et seulement si f(a,b) = g(a,b) = 0. Ceci conduit à la définition :

Définition 16.5.3 On appelle position d’équilibre d’un système autonome \left \{ \cases{ x' = f(x,y)& \cr y' = g(x,y)& } \right . tout couple (a,b) tel que f(a,b) = g(a,b) = 0.

Si (a,b) est une telle position d’équilibre, (ℝ,(t\mathrel{↦}a,t\mathrel{↦}b)) est clairement une solution maximale. Si f et g sont de classe {C}^{1}, on en déduit que toute solution (I,(φ,ψ)) qui passe par cette position d’équilibre, c’est-à-dire pour laquelle il existe {t}_{0} ∈ I tel que φ({t}_{0}) = a,ψ({t}_{0}) = b, est constante.

Interprétation géométrique des systèmes autonomes : soit U un ouvert de {ℝ}^{2} et V un champ de vecteurs sur U, c’est-à-dire une application de V dans {ℝ}^{2}. Pour (x,y) ∈ U, on peut écrire V (x,y) = (f(x,y),g(x,y)). Alors les solutions (I,(φ,ψ)) du système autonome \left \{ \cases{ x' = f(x,y)& \cr y' = g(x,y)& } \right .sont exactement les arcs paramétrés (I,Φ) qui admettent en chaque point m = Φ(t) de l’image de l’arc un vecteur tangent Φ'(t) = V (Φ(t)), valeur du champ de vecteurs V au point m. Un tel arc paramétré est appelé une courbe intégrale du champ de vecteurs V .

16.5.4 Equations différentielles et formes différentielles

Définition 16.5.4 Soit ω = a(t,y)dt + b(t,y)dy une forme différentielle sur un ouvert U de {ℝ}^{2}. On appelle solution de l’équation ω = 0 tout couple (I,({f}_{1},{f}_{2})) d’un intervalle I de et d’une application ({f}_{1},{f}_{2}) : I → {ℝ}^{2} de classe {C}^{1} tel que (i) \mathop{∀}u ∈ I, ({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)) ∈ U (ii) \mathop{∀}u ∈ I, a({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)){f}_{1}'(u) + b({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)){f}_{2}'(u) = 0

Formellement, ({f}_{1},{f}_{2}) est solution de l’équation ω = 0 si en rempla\c{c}ant t par {f}_{1}(u), dt par {f}_{1}'(u) du, y par {f}_{2}(u) et dy par {f}_{2}'(u) du, on obtient la forme différentielle nulle. Nous allons à l’aide du théorème suivant relier les solutions de l’équation a(t,y)dt + b(t,y)dy = 0 aux solutions de l’équation différentielle a(t,y) + b(t,y){ dy \over dt} = 0, obtenue formellement par division par dt de la forme différentielle.

Théorème 16.5.11 Soit ω = a(t,y)dt + b(t,y)dy une forme différentielle sur un ouvert U de {ℝ}^{2}. (i) Pour toute solution (I,f) de l’équation différentielle a(t,y) + b(t,y){ dy \over dt} = 0, le couple (I,t\mathrel{↦}(t,f(t))) est une solution de l’équation ω = 0. (ii) Inversement si (J,({f}_{1},{f}_{2})) est une solution de l’équation ω = 0 telle que \mathop{∀}u ∈ J,{f}_{1}'(u)\mathrel{≠}0, alors {f}_{1} est un difféomorphisme de classe {C}^{1} de J sur un intervalle I = {f}_{1}(J) de et le couple (I,{f}_{2} ∘ {f}_{1}^{−1}) est une solution de l’équation différentielle a(t,y) + b(t,y){ dy \over dt} = 0.

Démonstration (i) On a en effet {f}_{1}(t) = t et {f}_{2}(t) = f(t), si bien que

\begin{eqnarray*} a({f}_{1}(t),{f}_{2}(t)){f}_{1}'(t) + b({f}_{1}(t),{f}_{2}(t)){f}_{2}'(t)& & %& \\ = a(t,f(t)) + b(t,f(t))f'(t) = 0& & %& \\ \end{eqnarray*}

(ii) Comme {f}_{1}' ne s’annule pas sur J et qu’elle est continue, cette fonction dérivée est de signe constant. Donc {f}_{1} est strictement monotone et c’est donc un homéomorphisme de J sur un intervalle I = {f}_{1}(J). Comme {f}_{1}' ne s’annule pas, l’application {f}_{1}^{−1} est elle aussi de classe {C}^{1} et donc {f}_{1} est un difféomorphisme. De plus si f = {f}_{2} ∘ {f}_{1}^{−1}, on a

f'(t) = \left ({f}_{1}^{−1}\right )'(t){f}_{ 2}'({f}_{1}^{−1}(t)) ={ {f}_{2}'({f}_{1}^{−1}(t)) \over {f}_{1}'({f}_{1}^{−1}(t))}

si bien qu’en posant u = {f}_{1}^{−1}(t) et donc t = {f}_{1}(u), f(t) = {f}_{2}(u), on a

\begin{eqnarray*} a(t,f(t)) + b(t,f(t))f'(t)&& %& \\ & =& a({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)) + b({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)){ {f}_{2}'(u) \over {f}_{1}'(u)} %& \\ & =&{ a({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)){f}_{1}'(u) + b({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)){f}_{2}'(u) \over {f}_{1}'(u)} = 0%& \\ \end{eqnarray*}

donc (I,f) est solution de l’équation différentielle.

Remarque 16.5.3 Le résultat précédent signifie qu’il est équivalent de résoudre l’équation différentielle ou de rechercher les solutions de l’équation ω = 0 tels que {f}_{1}' ne s’annule pas ; autrement dit les graphes des solutions de l’équation différentielle (c’est-à-dire les courbes intégrales de l’équation différentielle) sont paramétrés par les solutions de l’équation ω = 0. Ceci va nous permettre, plutôt que de résoudre l’équation différentielle, de résoudre l’équation ω = 0 et de rechercher, parmi les arcs paramétrés solutions, ceux qui paramètrent des graphes d’applications de classe {C}^{1}, c’est-à-dire ceux tels que {f}_{1}' ne s’annule pas.

16.5.5 Equations aux différentielles totales

Théorème 16.5.12 Soit U un ouvert de {ℝ}^{2} et F : U → ℝ de classe {C}^{1}, ω = dF ={ ∂F \over ∂t} (t,y) dt +{ ∂F \over ∂y} (t,y) dy. Alors les solutions de l’équation ω = 0 sont les applications ({f}_{1},{f}_{2}) de classe {C}^{1} d’un intervalle I de dans U telles que l’application u\mathrel{↦}F({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)) soit constante.

Démonstration On a en effet

\begin{eqnarray*}{ d \over du} F({f}_{1}(u),{f}_{2}(u))&& %& \\ & =&{ ∂F \over ∂t} ({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)) {f}_{1}'(u) +{ ∂F \over ∂y} ({f}_{1}(u),{f}_{2}(u)) {f}_{2}'(u)%& \\ \end{eqnarray*}

qui vaut 0 si et seulement si f = ({f}_{1},{f}_{2}) est solution de l’équation ω = 0.

On en déduit que si la forme différentielle a(t,y) dt + b(t,y) dy est la différentielle d’une fonction F sur U, alors les solutions de l’équation différentielle a(t,y) + b(t,y)y' = 0 sont les couples (I,f) d’un intervalle I de et d’une application f : I → ℝ tel que l’application t\mathrel{↦}F(t,f(t)) soit constante. Autrement dit, les solutions de l’équation différentielle sont définies implicitement par l’équation F(t,y) = kk est une constante. Une telle équation sera dite équation aux différentielles totales ; une telle équation est donc résoluble de manière implicite (ou même graphique : il suffit de tracer les courbes de niveau de la fonction F et d’en rechercher les parties qui sont des graphes d’applications de classe {C}^{1}) ; dans certains cas, ceci peut conduire à une résolution explicite.

Exemple 16.5.1 Soit à résoudre l’équation différentielle y + (t − y)y' = 0. Sur l’ouvert U défini par t − y\mathrel{≠}0, on a y' ={ y \over y−t} si bien que la théorie de Cauchy Lipschitz s’applique. La forme différentielle y dt + (t − y) dy est exacte puisque { ∂y \over ∂y} ={ ∂(t−y) \over ∂t} . On constate sans difficulté qu’à un facteur 2 près, c’est la différentielle de la fonction F(t,y) = 2ty − {y}^{2}. Autrement dit, les solutions de l’équation différentielle sont les couples (I,f) tels que f{(t)}^{2} − 2tf(t) = k. Cherchons les solutions telles que f({t}_{0}) = {y}_{0}. Alors nécessairement f{(t)}^{2} − 2tf(t) = {y}_{0}^{2} − 2{t}_{0}{y}_{0}, si bien que nous pouvons résoudre l’équation du second degré à l’inconnue f(t). Le discriminant (réduit) est égal à Δ' = {t}^{2} + ({y}_{0}^{2} − 2{t}_{0}{y}_{0}) et on a donc

f(t) = t ±\sqrt{{t}^{2 } + {y}_{0 }^{2 } − 2{t}_{0 } {y}_{0}}

Cherchons donc les solutions dont le graphe est contenu dans U c’est-à-dire telles que f(t) − t ne s’annule pas. Alors f(t) − t = ±\sqrt{{t}^{2 } + {y}_{0 }^{2 } − 2{t}_{0 } {y}_{0}} ne s’annule pas, et est donc de signe constant. On en déduit que le signe ± ne dépend pas de t. De plus, on a f({t}_{0}) = {t}_{0} ±\sqrt{{t}_{0 }^{2 } + {y}_{0 }^{2 } − 2{t}_{0 } {y}_{0}} = {t}_{0} ±|{y}_{0} − {t}_{0}| ce qui montre que ce signe est égal à celui de {y}_{0} − {t}_{0}, que nous noterons {ε}_{0}. On a donc \mathop{∀}t ∈ I, f(t) = t + {ε}_{0}\sqrt{{t}^{2 } + {y}_{0 }^{2 } − 2{t}_{0 } {y}_{0}}. Un intervalle maximal de définition de cette solution dépend évidemment du signe de l’expression {y}_{0}^{2} − 2{t}_{0}{y}_{0} = {y}_{0}({y}_{0} − 2{t}_{0}). Si cette expression est positive, la solution est définie sur tout entier. Si cette expression est négative, la solution est définie sur celui des intervalles ] −∞,−\sqrt{{t}_{0 }^{2 } + 2{t}_{0 } {y}_{0}}[ ou ]\sqrt{{t}_{0 }^{2 } + 2{t}_{0 } {y}_{0}},+∞[ qui contient {t}_{0} (ce qui dépend bien entendu du signe de {t}_{0}). La figure ci dessous représente un aper\c{c}u des courbes intégrales de l’équation différentielle avec les deux droites séparatrices {y}_{0} = 0 et {y}_{0} = 2{t}_{0}. On remarquera que par les points vérifiant {y}_{0} = {t}_{0} passent deux courbes intégrales (mais qui en fait ne sont pas dérivables en ce point) : la moitié supérieure de la branche d’hyperbole et la moitié inférieure ; les autres courbes intégrales correspondent à des solutions définies sur tout entier.

PIC

16.5.6 Equations à variables séparables

Définition 16.5.5 On appelle équation à variables séparées une équation du type a(t) = b(y)y', où a : I → ℝ et b : J → ℝ sont continues.

La forme différentielle correspondante est la forme différentielle ω = a(t) dt − b(y) dy. Si A désigne une primitive de a sur I et B une primitive de b sur J, on a ω = dF avec F(t,y) = A(t) − B(y). Une solution ({I}_{0},f) vérifiant f({t}_{0}) = {y}_{0} doit donc vérifier A(t) − B(f(t)) = A({t}_{0}) − B({y}_{0}), où encore en termes d’intégrales {\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}a(u) du ={\mathop{∫ } }_{{y}_{0}}^{f(t)}b(v) dv. Si b = B' ne s’annule pas, B est un difféomorphisme de J sur B(J) et la solution ({I}_{0},f) est donnée par f(t) = {B}^{−1}\left (A(t) − A({t}_{0}) + B({y}_{0})\right ).

Remarque 16.5.4 On appelle équation à variables séparables une équation se ramenant par produits et quotients à une équation à variables séparées. On prendra garde au fait que la séparation des variables est une opération à risque. La multiplication par un facteur pouvant s’annuler risque de faire apparaître de fausses solutions de l’équation différentielle. Quant à la division par des facteurs pouvant s’annuler, elle risque au contraire de faire disparaître des solutions annulant ces facteurs.

16.5.7 Equations se ramenant à des équations à variables séparables

Certaines équations sont connues comme pouvant se ramener à des équations à variables séparables, ce sont les équations incomplètes (c’est-à-dire où l’un des termes t ou y n’apparaît pas) et les équations homogènes (c’est à dire les équations ne dépendant que de y' et de { y \over t} ).

Equations sous formes normales

Nous nous intéresserons tout d’abord aux équations sous forme normale. Les équations incomplètes sont alors de deux types : soit y' = F(t) soit y' = F(y). La première se ramène à un simple calcul de primitive. La seconde est une équation à variables séparables : la division par F(y) sépare les deux variables ; cependant cette division n’est possible que pour des solutions t\mathrel{↦}y(t) telles que F(y(t)) ne s’annule pas. Cherchons tout d’abord ces solutions : l’équation s’écrit alors { dy \over F(y)} = dt ce qui conduit pour une solution vérifiant φ({t}_{0}) = {y}_{0} à {\mathop{∫ } }_{{y}_{0}}^{φ(t)}{ du \over F(u)} = t − {t}_{0} ; on obtient donc ainsi t en fonction de y = φ(t) et il ne reste plus qu’à inverser la fonction obtenue. Inversement, si F({y}_{0}) = 0, il est clair que la fonction constante t\mathrel{↦}{y}_{0} est solution. Dans le cas où le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique (par exemple si F est de classe {C}^{1}), on est certain d’avoir obtenu ainsi toutes les solutions.

Remarque 16.5.5 Les équations incomplètes du type y' = F(y) présentent une certaine invariance par translation : si φ en est une solution, toutes les t\mathrel{↦}φ(t + T) en sont également solutions.

Une équation homogène sous forme normale se présente nécessairement sous la forme y' = F({ y \over t} ), t variant soit dans ] −∞,0[, soit dans ]0,+∞[. Faisons le changement de fonction inconnue y = tz. On obtient alors tz' + z = F(z) soit encore tz' = F(z) − z. Il s’agit d’une équation à variables séparables. La séparation des variables conduisant à l’équation { dz \over F(z)−z} ={ dt \over t} nécessite une division par t qui de toute fa\c{c}on ne s’annule pas sur les intervalles considérés, mais aussi une division par F(z) − z qui lui peut s’annuler. Les solutions t\mathrel{↦}z(t) telles que F(z(t)) − z(t) ne s’annulent pas sont données par {\mathop{∫ } }_{{z}_{0}}^{z}{ du \over F(u)−u} =\mathop{ log} \left |{ t \over {t}_{0}} \right |, avec z(t) ={ y(t) \over t} et {z}_{0} ={ {y}_{0} \over {t}_{0}} . Par contre, si F({z}_{0}) − {z}_{0} = 0, il est clair que la fonction constante t\mathrel{↦}{z}_{0} est solution de tz' = F(z) − z et donc t\mathrel{↦}t{z}_{0} est solution de y' = F({ y \over t} ). Dans le cas où le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique (par exemple si F est de classe {C}^{1}), on est certain d’avoir obtenu ainsi toutes les solutions.

Remarque 16.5.6 Les équations homogènes du type y' = F({ y \over t} ) présentent une invariance par homothétie : si φ en est une solution, toutes les t\mathrel{↦}λφ\left ({ t \over λ} \right ) en sont également solutions.

Equations sous formes non normales

Les équations incomplètes se présentent sous la forme F(t,y') = 0 ou F(y,y') = 0, les équations homogènes sous la forme F({ y \over t} ,y') = 0. Dans tous les cas, on supposera que l’on sait paramétrer la courbe F(X,Y ) = 0 par X = φ(u) et Y = ψ(u). On cherchera alors à paramétrer les courbes intégrales de l’équation différentielle en fonction de u ce qui peut se faire simplement en termes de formes différentielles.

Remarque 16.5.7 Le lecteur vérifiera sans difficulté que l’ensemble des courbes intégrales d’une équation incomplète est invariant par translation parallèlement à l’un des axes et que l’ensemble des courbes intégrales d’une équation homogène est invariant par homothétie de centre O.

16.5.8 Equation de Riccati

On considère une équation différentielle du type y' = a(t){y}^{2} + b(t)y + c(t), où b et c sont des applications continues de I dans et a une application de classe {C}^{1} de I dans ne s’annulant pas. Faisons le changement de fonction inconnue z =\mathop{ exp} (−\mathop{∫ } a(t)y(t) dt) soit encore a(t)y = −{ z' \over z} z est une fonction de classe {C}^{2} ne s’annulant pas. On obtient alors y' = −{ 1 \over a(t)} { z'' \over z} +{ 1 \over a(t)} { {z'}^{2} \over {z}^{2}} +{ a'(t) \over a{(t)}^{2}} { z' \over z} si bien que l’équation devient

\begin{eqnarray*} −{ 1 \over a(t)} { z'' \over z} +{ 1 \over a(t)} { {z'}^{2} \over {z}^{2}} +{ a'(t) \over a{(t)}^{2}} { z' \over z} ={ 1 \over a(t)} { {z'}^{2} \over {z}^{2}} −{ b(t) \over a(t)} { z' \over z} + c(t)& & %& \\ \end{eqnarray*}

soit encore après multiplication par a(t)z,

z'' −\left ({ a'(t) \over a(t)} + b(t)\right )z' + a(t)c(t)z = 0

qui est une équation différentielle homogène d’ordre 2.

Inversement, étant donnée une équation homogène d’ordre 2, z'' + p(t)z' + q(t)z = 0, p et q étant des fonctions continues de I dans , si l’on recherche les solutions ne s’annulant pas sous la forme z = {e}^{u}, on a z' = u'{e}^{u} et z'' = (u'' + {u'}^{2}){e}^{u} et donc, en posant y = u',

\begin{eqnarray*} z'' + p(t)z' + q(t)z = 0& \mathrel{⇔} & u'' + {u'}^{2} + p(t)u' + q(t) = 0%& \\ & \mathrel{⇔} & y' = −{y}^{2} + p(t)y + q(t) %& \\ \end{eqnarray*}

qui est une équation de Riccati.

On voit donc en définitive que la résolution des équations de Riccati y' = a(t){y}^{2} + b(t)y + c(t) est équivalente à la recherche des solutions ne s’annulant pas des équations différentielles homogènes d’ordre 2.