2.3 Rang

2.3.1 Rang d’une famille de vecteurs

Définition 2.3.1 \mathop{\mathrm{rg}}{({x}_{i})}_{i∈I} =\mathop{ dim} \mathop{\mathrm{Vect}}({x}_{i},i ∈ I) =\mathop{ sup}\{|J|\mathrel{∣}{({x}_{i})}_{i∈J}\text{ libre }\}

Démonstration L’égalité provient évidemment du théorème de la base incomplète qui garantit que l’on peut extraire de la famille ({x}_{i}) une base du sous-espace \mathop{\mathrm{Vect}}({x}_{i}).

Une application linéaire transformant une famille liée en une famille liée, on a :

Théorème 2.3.1 Soit u ∈ L(E,F) et {({x}_{i})}_{i∈I} une famille de E. Alors \mathop{\mathrm{rg}}{(u({x}_{i}))}_{i∈I} ≤\mathop{\mathrm{rg}}{({x}_{i})}_{i∈I}.

Recherche pratique : voir le rang d’une matrice.

2.3.2 Rang d’une application linéaire

Définition 2.3.2 Soit u ∈ L(E,F). Alors \mathop{\mathrm{rg}}u =\mathop{ dim} \mathop{\mathrm{Im}}u ∈ ℕ ∪\{ + ∞\}.

Remarque 2.3.1 Recherche pratique : Si {({e}_{i})}_{i∈I} est une base de E, {(u({e}_{i}))}_{i∈I} est une famille génératrice de \mathop{\mathrm{Im}}u et donc \mathop{\mathrm{rg}}u =\mathop{ \mathrm{rg}}{(u({e}_{i}))}_{i∈I}.

Théorème 2.3.2 Soit u ∈ L(E,F). (i) Si \mathop{dim} E < +∞, alors u est de rang fini, \mathop{\mathrm{rg}}u =\mathop{ dim} E −\mathop{ dim} \mathop{\mathrm{Ker}}u ; on a \mathop{\mathrm{rg}}u =\mathop{ dim} E si et seulement si u est injectif (ii) Si \mathop{dim} F < +∞, alors u est de rang fini, \mathop{\mathrm{rg}}u ≤\mathop{ dim} F ; on a \mathop{\mathrm{rg}}u =\mathop{ dim} F si et seulement si u est surjectif

Démonstration Découle immédiatement des résultats sur la dimension.

Remarque 2.3.2 On a donc dans tous les cas \mathop{\mathrm{rg}}u ≤\mathop{ min}(\mathop{dim} E,\mathop{dim} F)

Proposition 2.3.3 Soit u ∈ L(E,F),v ∈ L(F,G). Alors \mathop{\mathrm{rg}}v ∘ u ≤\mathop{ min}(\mathop{\mathrm{rg}}v,\mathop{\mathrm{rg}}u). Si u est bijectif, \mathop{\mathrm{rg}}v ∘ u =\mathop{ \mathrm{rg}}v. Si v est bijectif, \mathop{\mathrm{rg}}v ∘ u =\mathop{ \mathrm{rg}}u.

Démonstration Il suffit de remarquer que \mathop{\mathrm{Im}}v ∘ u = v(u(E)).

Théorème 2.3.4 On suppose ici \mathop{dim} E =\mathop{ dim} F < +∞, u ∈ L(E,F). On a équivalence de

Démonstration L’équivalence entre (i), (ii) et (iii) est une compilation des résultats précédents. De plus (iii) (iv) et (v), (iv) (i) et (v)(ii), ce qui boucle la boucle.