16.4 Equation différentielle linéaire d’ordre n

16.4.1 Généralités

Soit E un K espace vectoriel normé de dimension finie et considérons {ℓ}_{0},\mathop{\mathop{…}},{ℓ}_{n−1} des applications continues de I intervalle de dans L(E). Soit g : I → E continue. On peut alors considérer l’équation différentielle linéaire d’ordre n

{y}^{(n)} = {ℓ}_{ n−1}(t).{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {ℓ}_{ 0}(t).y + g(t)

En introduisant la fonction inconnue Y = (y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}), on sait que cette équation est équivalente par réduction à l’ordre 1, à l’équation Y ' = L(t).Y + G(t) où l’on a posé L(t).({y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}) = ({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1},{ℓ}_{n−1}(t).{y}_{n−1} + \mathop{\mathop{…}} + {ℓ}_{0}(t).{y}_{0}) est clairement une application linéaire de {E}^{n} dans lui même et où G(t) = (0,\mathop{\mathop{…}},0,g(t)) est une application continue de I dans {E}^{n}. Ceci va nous permettre d’appliquer toute la théorie des équations différentielles linéaires d’ordre 1 aux équations différentielles linéaires d’ordre n en tenant compte de ce que l’application φ\mathrel{↦}(φ,φ',\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}) est une bijection de l’ensemble des solutions de l’équation d’ordre n, {y}^{(n)} = {ℓ}_{n−1}(t).{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {ℓ}_{0}(t).y + g(t) sur l’ensemble des solutions de l’équation linéaire d’ordre 1, Y ' = L(t).Y + G(t), cette bijection étant visiblement linéaire dans le cas où cela a un sens, c’est-à-dire lorsque ces deux ensembles sont des espaces vectoriels, soit encore dans le cas d’équations homogènes g = 0 (ce qui équivaut à G = 0).

Par la suite, nous nous intéresserons exclusivement au cas où E = K (le corps de base). Le lecteur n’aura aucun mal à formuler les résultats dans le cas d’un E quelconque, tout au moins lorsque cela aura un sens. L’équation différentielle d’ordre n s’écrit alors sous la forme

{y}^{(n)} = {a}_{ n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{ 0}(t)y + b(t)

où les fonctions {a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1},b sont des fonctions continues de I dans le corps de base K. L’application φ\mathrel{↦}(φ,φ',\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}) est une bijection de l’ensemble des solutions de l’équation d’ordre n sur l’ensemble des solutions de l’équation d’ordre 1, Y ' = A(t).Y + B(t) avec

A(t) = \left (\matrix{\,0 &1&0&\mathop{\mathop{…}}&0 \cr \mathop{\mathop{⋮}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{⋮}} \cr 0 &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&0&1 \cr {a}_{0}(t)&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&{a}_{n−1}(t)}\right )

et

B(t) = \left (\matrix{\,0 \cr \mathop{\mathop{⋮}} & \cr 0 \cr b(t)}\right )

cette bijection étant un isomorphisme de l’espace des solutions de l’équation homogène {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y sur l’espace des solutions de l’équation homogène Y ' = A(t).Y .

16.4.2 Théorie de Cauchy-Lipschitz

Le théorème suivant se déduit immédiatement du théorème correspondant pour l’équation Y ' = L(t).Y + B(t)

Théorème 16.4.1 Soit I un intervalle de , {a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1},b : I → K continues. Alors toute solution maximale de l’équation différentielle linéaire {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y + b(t) est définie sur I. Pour tout {t}_{0} ∈ I et tout ({y}_{0},\mathop{\mathop{…}}{y}_{n−1}) ∈ {K}^{n}, il existe une et une seule solution (I,φ) de l’équation différentielle linéaire {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y + b(t) vérifiant φ({t}_{0}) = {y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {y}_{n−1} ; pour toute solution (J,ψ) de l’équation différentielle vérifiant ψ({t}_{0}) = {y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{ψ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {y}_{n−1}, on a :

\text{$J ⊂ I$ et $ψ$ est la restriction de $φ$ à $J$.}

16.4.3 Structure des solutions de l’équation homogène. Wronskien

Le théorème suivant se déduit immédiatement du théorème correspondant pour l’équation Y ' = L(t).Y

Théorème 16.4.2 Soit I un intervalle de , {a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1} : I → K continues. L’ensemble {S}_{H} des solutions définies sur I de l’équation différentielle homogène {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y est un espace vectoriel de dimension finie égale à n. Plus précisément, pour tout {t}_{0} ∈ I, l’application {ε}_{{t}_{0}} : φ\mathrel{↦}(φ({t}_{0}),φ'({t}_{0}),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}({t}_{0})) est un isomorphisme d’espaces vectoriels de {S}_{H} sur {K}^{n}.

Corollaire 16.4.3 Pour toute famille ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{k}) de solutions de l’équation homogène, on a

\mathop{∀}t ∈ I, \mathop{\mathrm{rg}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{k}) =\mathop{ \mathrm{rg}}({ε}_{t}({φ}_{1}),\mathop{\mathop{…}},{ε}_{t}({φ}_{k}))

Dans le cas k = n ceci amène à la définition suivante

Définition 16.4.1 Soit ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) des fonctions de classe {C}^{n} de I dans K. On appelle wronskien de la famille l’application {W}_{{φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}} : I → K,

t\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{det}} ({ε}_{t}({φ}_{1}),\mathop{\mathop{…}},{ε}_{t}({φ}_{n})) = \left |\matrix{\,{φ}_{1}(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}(t) \cr {φ}_{1}'(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}'(t) \cr \mathop{\mathop{…}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}} \cr {φ}_{1}^{(n−1)}(t)&\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}^{(n−1)}(t)}\right |

Théorème 16.4.4 Soit I un intervalle de , {a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1} : I → K continues. Soit {φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n} des solutions de l’équation différentielle homogène {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y et W leur wronskien. Alors les conditions suivantes sont équivalentes

Démonstration Puisque {ε}_{t} est un isomorphisme de {S}_{H} sur {K}^{n}, ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) est une base de {S}_{H} si et seulement si ({ε}_{t}({φ}_{1}),\mathop{\mathop{…}},{ε}_{t}({φ}_{n})) est une base de {K}^{n}, c’est-à-dire si et seulement si \mathop{\mathrm{det}} ({ε}_{t}({φ}_{1}),\mathop{\mathop{…}},{ε}_{t}({φ}_{n}))\mathrel{≠}0 ce qui montre bien l’équivalence des trois assertions. La proposition suivante expliquera d’ailleurs complètement l’équivalence entre les assertions (ii) et (iii).

Proposition 16.4.5 Soit I un intervalle de , {a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1} : I → K continues. Soit {φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n} des solutions de l’équation différentielle homogène {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y et W leur wronskien. Alors pour tout {y}_{0},t ∈ I on a W(t) = W({t}_{0})\mathop{exp} \left ({\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}{a}_{n−1}(u) du\right ).

Démonstration On sait que pour dériver W(t) on doit faire la somme de tous les déterminants obtenus en dérivant la i-ème ligne et en laissant toutes les autres inchangées. Mais comme dans le wronskien, la i + 1-ème ligne est la dérivée de la i-ème, en dérivant la i-ème ligne et en laissant inchangée la i + 1-ième (si elle existe), le déterminant obtenu a deux lignes égales, donc il est nul. On en déduit que le seul déterminant non trivialement nul est celui obtenu en dérivant la n-ème ligne, soit encore

W'(t) = \left |\matrix{\,{φ}_{1}(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}(t) \cr {φ}_{1}'(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}'(t) \cr \mathop{\mathop{…}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}} \cr {φ}_{1}^{(n−2)}(t)&\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}^{(n−2)}(t) \cr {φ}_{1}^{(n)}(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}^{(n)}(t) }\right |

En soustrayant à la dernière ligne {a}_{0}(t) fois la première, {a}_{1}(t) fois la seconde,\mathop{\mathop{…}}, {a}_{n−2}(t) fois la dernière et tenant compte de ce que {φ}_{j}^{(n)}(t) − {a}_{0}(t){φ}_{j}(t) − {a}_{1}(t){φ}_{j}'(t) −\mathop{\mathop{…}} − {a}_{n−2}(t){φ}_{j}^{(n−2)}(t) = {a}_{n−1}(t){φ}_{j}^{(n−1)}(t), on obtient alors

\begin{eqnarray*} W'(t)& = \left |\matrix{\,{φ}_{1}(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}(t) \cr {φ}_{1}'(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}'(t) \cr \mathop{\mathop{…}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}} \cr {φ}_{1}^{(n−2)}(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}^{(n−2)}(t) \cr {a}_{n−1}(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t)&\mathop{\mathop{…}}&{a}_{n−1}(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t)}\right | & %& \\ & = {a}_{n−1}(t)\left |\matrix{\,{φ}_{1}(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}(t) \cr {φ}_{1}'(t) &\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}'(t) \cr \mathop{\mathop{…}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}} \cr {φ}_{1}^{(n−2)}(t)&\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}^{(n−2)}(t) \cr {φ}_{1}^{(n−1)}(t)&\mathop{\mathop{…}}&{φ}_{n}^{(n−1)}(t)}\right | = {a}_{n−1}(t)W(t)& %& \\ \end{eqnarray*}

en utilisant la linéarité du déterminant par rapport à sa dernière ligne. Donc W est solution de l’équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1, y' = {a}_{n−1}(t)y ce qui implique immédiatement la formule voulue.

Remarque 16.4.1 Les fonctions {φ}_{1} : t\mathrel{↦}t et {φ}_{2} : t\mathrel{↦}\mathop{sin} t ont comme wronskien W(t) = \left |\matrix{\,t&\mathop{sin} t\cr 1 &\mathop{cos} t}\right | = t\mathop{cos} t −\mathop{ sin} t. Ce wronskien n’est pas identiquement nul et pourtant il s’annule en 0. Ceci montre que ces deux fonctions ne peuvent pas être toutes deux solutions d’une même équation différentielle homogène d’ordre 2 à coefficients continus sur .

16.4.4 Méthode de variation des constantes

Supposons connue une base ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) de l’espace {S}_{H} de l’équation différentielle homogène {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y et posons {Φ}_{j}(t) = \left (\matrix{\,{φ}_{j}(t) \cr {φ}_{j}'(t) \cr \mathop{\mathop{…}} \cr {φ}_{j}^{(n−1)}(t)}\right ). Alors ({Φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{Φ}_{n}) est une base de l’espace des solutions du système homogène Y ' = A(t)Y

A(t) = \left (\matrix{\,0 &1&0&\mathop{\mathop{…}}&0 \cr \mathop{\mathop{⋮}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{⋮}} \cr 0 &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&0&1 \cr {a}_{0}(t)&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}}&{a}_{n−1}(t)}\right )

Si b : I → ℝ est une fonction continue, la résolution de l’équation linéaire {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y + b(t) est équivalente à la résolution du système différentiel linéaire Y ' = A(t)Y + B(t)B(t) = \left (\matrix{\,0 \cr \mathop{\mathop{⋮}} & \cr 0 \cr b(t)}\right ). Comme nous connaissons une base de l’espace des solutions du système homogène, nous pouvons résoudre ce système linéaire en posant Y (t) = {λ}_{1}(t){Φ}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}(t){Φ}_{n}(t){λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n} sont des fonctions de classe {C}^{1} de I dans K. Comme Y (t) = \left (\matrix{\,y(t) \cr y'(t) \cr \mathop{\mathop{…}} \cr {y}^{(n−1)}(t)}\right ) ceci revient à poser

\begin{eqnarray*} y(t)& =& {λ}_{1}(t){φ}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}(t){φ}_{n}(t) %& \\ y'(t)& =& {λ}_{1}(t){φ}_{1}'(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}(t){φ}_{n}'(t) %& \\ \mathop{\mathop{…}}& & %& \\ {y}^{(n−1)}(t)& =& {λ}_{ 1}(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t)%& \\ \end{eqnarray*}

autrement dit, d’après la règle de dérivation des produits, cela revient à imposer aux fonctions {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n} de vérifier les conditions

\begin{eqnarray*} {λ}_{1}'(t){φ}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}(t)& =& 0%& \\ {λ}_{1}'(t){φ}_{1}'(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}'(t)& =& 0%& \\ & \mathop{\mathop{…}}& %& \\ {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−2)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}'(t){φ}_{n}^{(n−2)}(t)& =& 0%& \\ \end{eqnarray*}

Dans ces conditions, par dérivation de {y}^{(n−1)}(t) = {λ}_{1}(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t), on obtient

\begin{eqnarray*}{ y}^{(n)}(t)& =& {λ}_{ 1}(t){φ}_{1}^{(n)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}(t){φ}_{n}^{(n)}(t) %& \\ & & \quad + {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}'(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t) %& \\ & =& {λ}_{1}(t){\mathop{∑ }}_{k=0}^{n−1}{a}_{ k}(t){φ}_{1}^{(k)}(t) + \mathop{…} + {λ}_{ n}(t){\mathop{∑ }}_{k=0}^{n−1}{a}_{ k}(t){φ}_{n}^{(k)}(t)%& \\ & & \quad + {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}'(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{k=0}^{n−1}{a}_{ k}(t)\left ({λ}_{1}(t){φ}_{1}^{(k)}(t) + \mathop{…} + {λ}_{ n}(t){φ}_{n}^{(k)}(t)\right ) %& \\ & & \quad + {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}'(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{k=0}^{n−1}{a}_{ k}(t){y}^{(k)}(t) %& \\ & & \quad + {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}'(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t) %& \\ \end{eqnarray*}

si bien que

\begin{eqnarray*}{ y}^{(n)}(t) = {a}_{ n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{ 0}(t)y + b(t) \mathrel{⇔}&& %& \\ & & {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}'(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t) = b(t)%& \\ \end{eqnarray*}

En conclusion, {λ}_{1}'(t),\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n}'(t) doivent être solutions du système d’équations linéaires

\left \{\array{ {λ}_{1}'(t){φ}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}(t) & = 0 \cr {λ}_{1}'(t){φ}_{1}'(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}'(t) & = 0\cr \mathop{\mathop{…}} \cr {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−2)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}^{(n−2)}(t)& = 0 \cr {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t)& = b(t) } \right .

Or ce système est un système de Cramer (son déterminant est le wronskien de {φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n} qui par hypothèse ne s’annule pas) ; sa résolution conduit à la détermination de {λ}_{1}',\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n}' et il reste à faire n calculs de primitives de fonctions à valeurs dans K pour terminer la résolution de l’équation linéaire.

Méthode. Supposons connue une base ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) de l’espace {S}_{H} de l’équation différentielle homogène {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y. On résout l’équation linéaire {y}^{(n)} = {a}_{n−1}(t){y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}(t)y + b(t) en posant y(t) = {λ}_{1}(t){φ}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}(t){φ}_{n}(t), où {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n} sont des fonctions de classe {C}^{1} auxquelles on impose les conditions

\begin{eqnarray*} {λ}_{1}'(t){φ}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}(t)& = 0& %& \\ {λ}_{1}'(t){φ}_{1}'(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}'(t)& = 0& %& \\ \mathop{\mathop{…}}& & %& \\ {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−2)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ n}'(t){φ}_{n}^{(n−2)}(t)& = 0& %& \\ \end{eqnarray*}

Alors les fonctions {λ}_{1}',\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n}' sont solution du système de Cramer

\left \{\array{ {λ}_{1}'(t){φ}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}(t) & = 0 \cr {λ}_{1}'(t){φ}_{1}'(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}'(t) & = 0\cr \mathop{\mathop{…}} \cr {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−2)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}^{(n−2)}(t)& = 0 \cr {λ}_{1}'(t){φ}_{1}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}'(t){φ}_{n}^{(n−1)}(t)& = b(t) } \right .

On résout ce système, puis n calculs de primitives permettent de déterminer les fonctions {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n}.

16.4.5 Méthode d’abaissement du degré

Cette méthode ne présente réellement d’intérêt que pour une équation linéaire d’ordre 2, y'' = a(t)y' + b(t)y + c(t). Supposons connue une solution φ de l’équation homogène qui ne s’annule pas sur I et faisons le changement de fonction inconnue z(t) ={ y(t) \over φ(t)} autrement dit y(t) = z(t)φ(t). On a alors y'(t) = z'(t)φ(t) + z(t)φ'(t) et y''(t) = z''(t)φ(t) + 2z'(t)φ'(t) + z(t)φ''(t), si bien que

\begin{eqnarray*} y''(t) − a(t)y'(t) − c(t)y(t)&& %& \\ & =& z''(t)φ(t) + (2φ'(t) − φ(t))z'(t) %& \\ & & \quad + (φ''(t) − a(t)φ'(t) − b(t)φ(t))z(t)%& \\ & =& z''(t)φ(t) + (2φ'(t) − φ(t))z'(t) %& \\ \end{eqnarray*}

compte tenu de ce que φ''(t) − a(t)φ'(t) − b(t)φ(t) = 0. On en déduit que

\begin{eqnarray*} y''(t) = a(t)y'(t) + b(t)y(t) + c(t) \mathrel{⇔}&& %& \\ & & z''(t)φ(t) + (2φ'(t) − φ(t))z'(t) = c(t)%& \\ \end{eqnarray*}

qui est une équation différentielle d’ordre 1 en la fonction inconnue z'(t), que l’on sait donc résoudre à l’aide de deux calculs de primitives.

Remarque 16.4.2 Cette méthode n’est à utiliser qu’en dernier recours, c’est-à-dire lorsqu’on ne dispose que d’une seule solution de l’équation homogène, et on doit toujours lui préférer (lorsque c’est possible) la méthode de variation des constantes. En effet la méthode d’abaissement du degré demande que soit réalisée une condition contraignante (une solution ne s’annulant pas) et conduit à deux calculs de primitives pour obtenir z'(t) et un troisième calcul de primitive pour obtenir z(t). De plus ces trois calculs s’enchaînent (toute erreur dans l’un des calculs oblige à recommencer l’ensemble des calculs). Par contre, la méthode de variation des constantes n’impose aucune condition restrictive aux solutions de l’équation homogène et ne nécessite que deux calculs de primitives, qui plus est indépendants l’un de l’autre.

16.4.6 Equation homogène à coefficients constants

Nous étudierons dans ce paragraphe l’équation {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = 0{a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1} sont des éléments donnés du corps de base K (égal à ou ). En cas de besoin et pour unifier les notations, nous poserons {a}_{n} = 1.

Définition 16.4.2 Le polynôme χ(X) = {X}^{n} + {a}_{n−1}{X}^{n−1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0} ∈ K[X] est appelé le polynôme caractéristique de l’équation homogène {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = 0.

Remarque 16.4.3 t\mathrel{↦}{e}^{λt} est solution de {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = 0 si et seulement si χ(λ) = 0.

Lemme 16.4.6 Soit P(X) ∈ K[X] et λ ∈ K. Soit f : t\mathrel{↦}P(t){e}^{λt} de dans K. Alors

\mathop{∀}t ∈ ℝ, {f}^{(n)}(t) + {a}_{ n−1}{f}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{ 0}f(t) = {e}^{λt}{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(λ){P}^{(p)}(t)

Démonstration La formule de Leibnitz nous donne {f}^{(k)}(t) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{k}{C}_{k}^{p}{P}^{(p)}(t){λ}^{k−p}{e}^{λt} si bien que

\begin{eqnarray*}{ f}^{(n)}(t) + {a}_{ n−1}{f}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{ 0}f(t) ={ \mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{a}_{ k}{f}^{(k)}(t)&&%& \\ & =& {e}^{λt}{ \mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{a}_{ k}{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{k}{ k! \over p!(k − p)!} {P}^{(p)}(t){λ}^{k−p} %& \\ & =& {e}^{λt}{ \mathop{∑ }}_{0≤p≤k≤n}{a}_{k}{ k! \over p!(k − p)!} {P}^{(p)}(t){λ}^{k−p} %& \\ & =& {e}^{λt}{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{ 1 \over p!} {P}^{(p)}(t){\mathop{∑ }}_{k=p}^{n}{a}_{ k}{ k! \over (k − p)!} {λ}^{k−p}%& \\ & =& {e}^{λt}{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(λ){P}^{(p)}(t) %& \\ \end{eqnarray*}

Supposons donc que λ est une racine de χ de multiplicité m et que \mathop{deg} P ≤ m − 1. On a alors \mathop{∀}p ≤ m − 1, {χ}^{(p)}(λ) = 0 et \mathop{∀}p ≥ m, {P}^{(p)}(t) = 0, si bien que \mathop{∀}p ∈ [0,n], {χ}^{(p)}(λ){P}^{(p)}(t) = 0. On en déduit donc que f : t\mathrel{↦}{e}^{λt}P(t) est solution de l’équation différentielle {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = 0.

Lemme 16.4.7 Soit {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{k} des éléments distincts de K et {m}_{1},\mathop{\mathop{…}},{m}_{k} des entiers naturels. Alors la famille des applications t\mathrel{↦}{t}^{j}{e}^{{λ}_{i}t} avec 1 ≤ i ≤ k et 0 ≤ j ≤ {m}_{i} − 1 est libre.

Démonstration Supposons que cette famille est liée. Notons n = {m}_{1} + \mathrel{⋯} + {m}_{k}, {f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{n} ces fonctions. Il existe donc {α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{n} ∈ K, non tous nuls, tels que \mathop{∀}t ∈ ℝ, {α}_{1}{f}_{1}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {α}_{n}{f}_{n}(t) = 0. Fixons {t}_{0} ∈ ℝ. Par dérivation de l’identité précédente au point {t}_{0}, on a donc \mathop{∀}k ∈ ℕ, {a}_{1}{f}_{1}^{(k)}({t}_{0}) + \mathop{\mathop{…}} + {α}_{n}{f}_{n}^{(k)}({t}_{0}) = 0 et en particulier la matrice wronskienne \left (\matrix{\,{f}_{1}({t}_{0}) &\mathop{\mathop{…}}&{f}_{n}({t}_{0}) \cr {f}_{1}'({t}_{0}) &\mathop{\mathop{…}}&{f}_{n}'({t}_{0}) \cr \mathop{\mathop{…}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}} \cr {f}_{1}^{(n−1)}({t}_{0})&\mathop{\mathop{…}}&{f}_{n}^{(n−1)}({t}_{0})}\right ) n’est pas inversible puisque ses vecteurs colonnes forment une famille liée. On en déduit que ses vecteurs lignes forment une famille liée, et que donc il existe {β}_{0},\mathop{\mathop{…}},{β}_{n−1} non tous nuls (mais dépendant de {t}_{0}) tels que

\mathop{∀}j ∈ [1,n], {β}_{0}{f}_{j}({t}_{0}) + {β}_{1}{f}_{j}'({t}_{0}) + \mathop{\mathop{…}} + {β}_{n−1}{f}_{j}^{(n−1)}({t}_{ 0}) = 0

Posons alors χ(X) = {β}_{n−1}{X}^{n−1} + \mathrel{⋯} + {β}_{0}. Le lemme précédent (où l’on remplace n par n − 1) nous montre que si f(t) = {e}^{λt}P(t), alors

{β}_{0}f({t}_{0}) + {β}_{1}f'({t}_{0}) + \mathop{\mathop{…}} + {β}_{n−1}{f}^{(n−1)}({t}_{ 0}) = {e}^{λ{t}_{0} }{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n−1}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(λ){P}^{(p)}({t}_{ 0})

En particulier, pour P(X) = {X}^{j} et λ = {λ}_{i}, on obtient

\begin{eqnarray*}{ β}_{0}f({t}_{0}) + {β}_{1}f'({t}_{0}) + \mathop{\mathop{…}} + {β}_{n−1}{f}^{(n−1)}({t}_{ 0})& & %& \\ = {e}^{{λ}_{i}{t}_{0} }{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{j}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}({λ}_{ i}){ j! \over (j − p)!} {t}_{0}^{j−p}& & %& \\ \end{eqnarray*}

car les dérivées suivantes de {X}^{j} sont nulles. On en déduit que

\mathop{∀}j ≤ {m}_{i} − 1, {\mathop{∑ }}_{p=0}^{j}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}({λ}_{ i}){ j! \over (j − p)!} {t}_{0}^{j−p} = 0

autrement dit (compte tenu de { j! \over p!(p−j)!} = {C}_{j}^{p})

\left \{\array{ {C}_{0}^{0}χ({λ}_{i}) & = 0 \cr {C}_{1}^{0}χ({λ}_{i}){t}_{0} + {C}_{1}^{1}χ'({λ}_{i}) & = 0 \cr {C}_{2}^{0}χ({λ}_{i}){t}_{0}^{2} + {C}_{2}^{1}χ'({λ}_{i})t + {C}_{2}^{2}χ''({λ}_{i}) = 0\cr &\mathop{\mathop{…}} \cr {C}_{{m}_{i}−1}^{0}χ(λ){t}_{0}^{{m}_{i}−1} + \mathop{\mathop{…}} + {C}_{{m}_{ i}−1}^{{m}_{i}−2}{χ}^{({m}_{i}−2)}(λ)t + {C}_{{ m}_{i}−1}^{{m}_{i}−1}{χ}^{({m}_{i}−1)}({λ}_{ i})& = 0 } \right .

ce qui implique évidemment que χ({λ}_{i}) = \mathop{\mathop{…}} = {χ}^{({m}_{i}−1)}({λ}_{i}) = 0. Donc {λ}_{i} est racine de χ de multiplicité au moins égale à {m}_{i}. Mais alors la somme des multiplicités des racines du polynôme non nul χ(X) est au moins égale à {m}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {m}_{k} = n alors qu’il est de degré au plus n − 1. C’est absurde, ce qui montre que la famille est libre.

Revenons à notre équation différentielle homogène {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = 0 et supposons que son polynôme caractéristique χ(X) est scindé sur K (ce qui est automatique si K = ℂ). Soit {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{k} ses racines distinctes de multiplicités respectives {m}_{1},\mathop{\mathop{…}},{m}_{k}, si bien que {m}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {m}_{k} = n. Alors les n fonctions t\mathrel{↦}{t}^{j}{e}^{{λ}_{i}t} avec 1 ≤ i ≤ k et 0 ≤ j ≤ {m}_{i} − 1 sont solutions de l’équation différentielle homogène et forment une famille libre. Comme l’espace des solutions de l’équation homogène est de dimension n, ces fonctions forment une base de l’espace des solutions. Autrement dit les solutions de l’équation homogène sont exactement les fonctions qui s’écrivent sous la forme

t\mathrel{↦}{\mathop{∑ }}_{i=1}^{k}{ \mathop{∑ }}_{j=0}^{{m}_{i}−1}{α}_{ i,j}{t}^{j}{e}^{{λ}_{i}t} ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{k}{P}_{ i}(t){e}^{{λ}_{i}t}

avec {P}_{i}(X) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=0}^{{m}_{i}−1}{α}_{i,j}{X}^{j} ∈ K[X] et \mathop{deg} {P}_{i} ≤ {m}_{i} − 1. On a donc démontré le résultat suivant

Théorème 16.4.8 Soit {a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1} ∈ K et l’équation différentielle homogène {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = 0. On suppose que le polynôme caractéristique χ(X) = {X}^{n} + {a}_{n−1}{X}^{n−1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0} est scindé sur K (ce qui est automatique si K = ℂ). Soit {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{k} ses racines distinctes de multiplicités respectives {m}_{1},\mathop{\mathop{…}},{m}_{k}. Alors les solutions de l’équation homogène sont exactement les fonctions

t\mathrel{↦}{\mathop{∑ }}_{i=1}^{k}{P}_{ i}(t){e}^{{λ}_{i}t}\quad \text{ avec ${P}_{ i}(X) ∈ K[X]$ et $deg {P}_{i} ≤ {m}_{i} − 1$.}

16.4.7 Equation linéaire à coefficients constants

Il s’agit ici de résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = b(t)b est une application continue de I dans K. Dans le cas général, puisque nous savons résoudre l’équation homogène, la méthode de variation des constantes permet d’aboutir au résultat au prix du calcul de n primitives. Mais d’autre part, il suffit évidemment de déterminer une solution particulière de l’équation différentielle linéaire pour en avoir la solution générale en ajoutant à cette solution particulière la solution générale de l’équation homogène.

Examinons le cas particulier où b(t) = Q(t){e}^{μt} avec Q(X) ∈ K[X] et μ ∈ K. Nous allons rechercher une solution particulière du type f(t) = P(t){e}^{μt}. On sait alors que

{f}^{(n)}(t) + {a}_{ n−1}{f}^{(n−1)}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{ 0}f(t) = {e}^{λt}{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(λ){P}^{(p)}(t)

Autrement dit, f sera solution de l’équation linéaire si et seulement si {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(λ){P}^{(p)}(X) = Q(X). Soit m la multiplicité de μ comme racine de χ (nous poserons m = 0 si μ n’est pas racine de χ). On a alors χ(μ) = \mathop{\mathop{…}} = {χ}^{(m−1)}(μ) = 0 et {χ}^{(m)}(μ)\mathrel{≠}0. On a donc à résoudre l’équation

{\mathop{∑ }}_{p=m}^{n}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(μ){P}^{(p)}(X) = Q(X)

Cela se fera par identification si nous connaissons un majorant du degré de P. Mais pour cela il suffit d’appliquer le lemme suivant, où l’on désigne par {K}_{p}[X] l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à p,

Lemme 16.4.9 Soit d ∈ ℕ, l’application θ : P\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=m}^{n}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(μ){P}^{(p)}(X) est une application linéaire surjective de {K}_{d+m}[X] dans {K}_{d}[X].

Démonstration Si \mathop{deg} P ≤ d + m, alors pour p ≥ m, on a \mathop{deg} {P}^{(p)}(X) ≤ d ce qui montre que θ(P) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=m}^{n}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(μ){P}^{(p)}(X) ∈ {K}_{ d}[X]. Cette application est visiblement linéaire. Cherchons le rang de cette application linéaire et pour cela déterminons sa matrice. Si j ≤ d + m, on a

θ({X}^{j}) ={ \mathop{∑ }}_{p=m}^{j}{ 1 \over p!} {χ}^{(p)}(μ){ j! \over (j − p)!} {X}^{j−p} ={ \mathop{∑ }}_{p=m}^{j}{C}_{ j}^{p}{χ}^{(p)}(μ){X}^{j−p}

si bien que la matrice de θ dans les bases canoniques (1,X,\mathop{\mathop{…}},{X}^{d+m}) et (1,X,\mathop{\mathop{…}},{X}^{d}) est la matrice

\left (              m −1      m           m+1               m
     1 ...  X       m X(m )       X         ...     X
1    0 ...    0    Cm χ  (μ)   m+1 ∗(m)    ...      ∗
X    0 ...    0        0      Cm+1 χ   (μ)  ...      ∗
...    ... ...    ...        ...          ...      ...       ...
Xd   0 ...    0        0          ...       0  Cd+m χ(m)(μ)
                                                 d+m  \,\right )

Or la matrice formée par les d + 1 dernières colonnes est visiblement inversible, ce qui montre que le rang de θ est égal à d + 1 =\mathop{ dim} {K}_{d}[X] et donc que θ est surjective. On a donc la proposition suivante

Proposition 16.4.10 Soit {a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1} ∈ K, Q ∈ K[X] et μ ∈ K. L’équation différentielle linéaire {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = Q(t){e}^{μt} admet au moins une solution de la forme P(t){e}^{μt} où P ∈ K[X] et \mathop{deg} P ≤\mathop{ deg} Q + m, m désignant la multiplicité de μ comme racine du polynôme caractéristique de l’équation homogène.

Remarque 16.4.4 Le fait qu’il faille ajouter au degré de Q la multiplicité m de μ comme racine de χ s’appelle le phénomène de résonance. Il implique que même si Q est constante, il peut exister des solutions du type P(t){e}^{μt} avec \mathop{deg} P ≥ 1 qui peuvent être non bornées et entraîner des catastrophes dans le système contrôlé par l’équation différentielle.

Remarque 16.4.5 La méthode précédente par identification permet également de résoudre des équations du type {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{q}{Q}_{i}(t){e}^{{μ}_{i}t} en remarquant que si {f}_{i} est une particulière de l’équation {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = {Q}_{i}(t){e}^{{μ}_{i}t}, alors {f}_{1} + \mathrel{⋯} + {f}_{q} est solution de {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{q}{Q}_{i}(t){e}^{{μ}_{i}t} (ce que l’on appelle le principe de superposition des solutions). Elle s’applique en particulier à des équations du type {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = Q(t)\mathop{cos} (ωt) ou {y}^{(n)} + {a}_{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{0}y = Q(t)\mathop{sin} (ωt) pour lesquelles il suffit de passer en exponentielle complexe : poser \mathop{cos} (ωt) ={ 1 \over 2} ({e}^{iωt} + {e}^{−iωt}) et \mathop{sin} (ωt) ={ 1 \over 2i} ({e}^{iωt} − {e}^{−iωt}).

16.4.8 Equations d’Euler

Considérons une équation différentielle homogène du type {t}^{n}{y}^{(n)} + {a}_{n−1}{t}^{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{1}ty' + {a}_{0}y = 0 que nous étudierons sur ]0,+∞[ (il suffit de changer t en − t pour faire une étude similaire sur ] −∞,0[). Faisons le changement de variable t = {e}^{u}, soit encore u =\mathop{ log} t. Nous poserons donc y(t) = z(u) soit encore y(t) = z(\mathop{log} t). Une récurrence facile montre que

\mathop{∀}k ∈ ℕ, {y}^{(k)}(t) ={ 1 \over {t}^{k}} { \mathop{∑ }}_{p=0}^{k}{λ}_{ k,p}{z}^{(p)}(log t)

C’est clair pour k = 0 et si c’est vrai pour k, on a

\begin{eqnarray*}{ y}^{(k+1)}(t)& =& −{ k \over {t}^{k+1}} { \mathop{∑ }}_{p=0}^{k}{λ}_{ k,p}{z}^{(p)}(log t) +{ 1 \over {t}^{k}} { \mathop{∑ }}_{p=0}^{k}{λ}_{ k,p}{ 1 \over t} {z}^{(p+1)}(log t) %& \\ & =& −{ k \over {t}^{k+1}} { \mathop{∑ }}_{p=0}^{k}{λ}_{ k,p}{z}^{(p)}(log t) +{ 1 \over {t}^{k+1}} { \mathop{∑ }}_{p=0}^{k}{λ}_{ k,p}{z}^{(p+1)}(log t)%& \\ & =&{ 1 \over {t}^{k+1}} { \mathop{∑ }}_{p=0}^{k+1}{λ}_{ k+1,p}{z}^{(p)}(log t) %& \\ \end{eqnarray*}

avec {λ}_{k+1,p} = −k{λ}_{k,p} + {λ}_{k,p−1} si 1 ≤ p ≤ k, {λ}_{k+1,0} = −k{λ}_{k,0} et {λ}_{k+1,k+1} = {λ}_{k,k}.

On a donc {t}^{k}{y}^{(k)}(t) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{k}{λ}_{k,p}{z}^{(p)}(u) si bien que l’équation devient une équation homogène d’ordre n à coefficients constants en la fonction z(u). Ses solutions sont du type z(u) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{k}{e}^{{λ}_{i}u}{P}_{i}(u) si bien que les solutions de l’équation d’Euler sont de la forme

y(t) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{k}{t}^{{λ}_{i} }{P}_{i}(log t)

On retiendra

Proposition 16.4.11 Dans une équation d’Euler {t}^{n}{y}^{(n)} + {a}_{n−1}{t}^{n−1}{y}^{(n−1)} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{1}ty' + {a}_{0}y = 0, le changement de variable t = {e}^{u} conduit à une équation différentielle homogène d’ordre n à coefficients constants.