16.2 Théorie de Cauchy-Lipschitz

16.2.1 Unicité de solutions, solutions maximales

Définition 16.2.1 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E et F : U → E. On dira que F vérifie la condition d’unicité du problème de Cauchy Lipschitz si pour toutes solutions (I,φ) et (J,ψ) de l’équation différentielle y' = F(t,y) qui coïncident en un point {t}_{0} ∈ I ∩ J (c’est-à-dire que φ({t}_{0}) = ψ({t}_{0})), on a

\mathop{∀}t ∈ I ∩ J, φ(t) = ψ(t)

Définition 16.2.2 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E et F : U → E. On dira que F vérifie la condition d’existence au problème de Cauchy-Lipschitz, si pour tout ({t}_{0},{y}_{0}) ∈ U, il existe η > 0 et une solution (]{t}_{0} − η,{t}_{0} + η[,φ) de l’équation différentielle y' = F(t,y) vérifiant la condition φ({t}_{0}) = {y}_{0}.

Définition 16.2.3 Soit (I,φ) et (J,ψ) deux solutions de l’équation différentielle y' = F(t,y). On dira que (J,ψ) est un prolongement de (I,φ), et on notera (I,φ) ≺ (J,ψ) si I ⊂ J et φ est la restriction de ψ à I.

Remarque 16.2.1 Il est clair qu’il s’agit d’une relation d’ordre partiel sur l’ensemble des solutions de l’équation différentielle.

Définition 16.2.4 On appelle solution maximale de l’équation différentielle y' = F(t,y) toute solution (I,φ) qui est maximale pour la relation d’ordre .

Remarque 16.2.2 Ceci signifie donc qu’il n’existe aucune solution définie sur un intervalle I' contenant strictement I et qui prolonge φ.

Théorème 16.2.1 (existence et unicité d’une solution maximale à condition initiale donnée). On suppose que F vérifie les conditions d’existence et d’unicité au problème de Cauchy Lipschitz. Soit ({t}_{0},{y}_{0}) ∈ U ; alors il existe une unique solution maximale ({I}_{0},{φ}_{0}) de l’équation différentielle y' = F(t,y) qui vérifie {φ}_{0}({t}_{0}) = {y}_{0}. Pour toute solution (J,ψ) de l’équation différentielle vérifiant ψ({t}_{0}) = {y}_{0}, on a :

\text{$J ⊂ {I}_{0}$ et $ψ$ est la restriction de ${φ}_{0}$ à $J$.}

Démonstration Unicité : Soit ({I}_{0},{φ}_{0}) et ({I}_{1},{φ}_{1}) deux solutions maximales vérifiant {φ}_{0}({t}_{0}) = {φ}_{1}({t}_{0}) = {y}_{0}. Définissons {I}_{2} = {I}_{0} ∪ {I}_{1} et soit {φ}_{2} l’application de {I}_{2} dans E définie par {φ}_{2}(t) = \left \{ \cases{ {φ}_{0}(t)&si t ∈ {I}_{0} \cr {φ}_{1}(t)&si t ∈ {I}_{1}
} \right .
. Comme {φ}_{0} et {φ}_{1} coïncident sur {I}_{0} ∩ {I}_{1}, {φ}_{2} est bien définie. On vérifie facilement qu’elle est de classe {C}^{1} et solution de l’équation différentielle y' = F(t,y). La maximalité de ({I}_{0},{φ}_{0}) et ({I}_{1},{φ}_{1}) exige alors {I}_{2} = {I}_{0} = {I}_{1} et {φ}_{2} = {φ}_{0} = {φ}_{1}, ce qui montre l’unicité de la solution maximale.

Existence Soit {\left (({I}_{j},{ψ}_{j})\right )}_{j∈ℱ} la famille de toutes les solutions de l’équation différentielle y' = F(t,y) définies sur un intervalle {I}_{j} non réduit à un point contenant {t}_{0} et vérifiant {ψ}_{j}({t}_{0}) = {y}_{0} ; cette famille est non vide puisque la fonction F vérifie la condition d’existence au problème de Cauchy-Lipschitz. Posons {I}_{0} ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{j∈ℱ}{I}_{j} et définissons {φ}_{0} : {I}_{0} → E par {φ}_{0}(t) = {ψ}_{j}(t) si t ∈ {I}_{j}. Cette définition est bien cohérente car si t ∈ {I}_{j} ∩ {I}_{k}, alors {ψ}_{j} et {ψ}_{k} coïncident sur {I}_{j} ∩ {I}_{k}, et en particulier {ψ}_{j}(t) = {ψ}_{k}(t). On vérifie facilement que la fonction {φ}_{0} est de classe {C}^{1} et si t ∈ {I}_{j}, on a {φ'}_{0}(t) = {ψ}_{j}'(t) = F(t,{ψ}_{j}(t)) = F(t,{φ}_{0}(t)) ce qui montre que ({I}_{0},{φ}_{0}) est bien une solution de l’équation différentielle ; cette solution vérifie bien entendu {φ}_{0}({t}_{0}) = {y}_{0}. De plus, si ({I}_{0},{φ}_{0}) ≺ ({I}_{1},{φ}_{1}), on a {φ}_{1}({t}_{0}) = {φ}_{0}({t}_{0}) = {y}_{0}, ce qui montre que ({I}_{1},{φ}_{1}) est l’une des ({I}_{j},{ψ}_{j}) et que donc {I}_{1} ⊂ {I}_{0} ; on a donc finalement {I}_{0} = {I}_{1} et {φ}_{0} = {φ}_{1} ce qui montre que cette solution est maximale.

Si (J,ψ) est une solution de l’équation différentielle vérifiant ψ({t}_{0}) = {y}_{0}, alors (J,ψ) est l’une des ({I}_{j},{ψ}_{j}) ce qui montre que J ⊂ {I}_{0} et que ψ = {ψ}_{j} est la restriction de {φ}_{0} à J = {I}_{j}. Ceci achève la démonstration.

Remarque 16.2.3 On constate que du point de vue de la relation , la solution maximale vérifiant la condition {φ}_{0}({t}_{0}) = {y}_{0} est un plus grand élément de l’ensemble des solutions vérifiant cette condition initiale, ce qui en explique d’ailleurs l’unicité. Il est clair, d’après la condition d’existence, que {t}_{0} est un point intérieur à {I}_{0}, intervalle de définition de la solution maximale ; nous allons d’ailleurs préciser ce point dans la proposition suivante

Théorème 16.2.2 On suppose que F vérifie la condition d’existence et d’unicité au problème de Cauchy Lipschitz. Alors toute solution maximale de l’équation différentielle y' = F(t,y) est définie sur un intervalle ouvert.

Démonstration Soit (I,φ) une solution maximale et soit a ∈\overline{ℝ} une borne de I (par exemple la borne supérieure). Supposons que a ∈ I si bien que (a,φ(a)) ∈ U. D’après la condition d’existence il existe η > 0 et une solution (]a − η,a + η[,ψ) vérifiant la condition initiale ψ(a) = φ(a). D’après la condition d’unicité, φ et ψ qui coïncident au point a, coïncident également sur l’intersection de leurs intervalles de définition, ce qui permet de définir {I}_{1} = I∪]a − η,a + η[ et {φ}_{1} : {I}_{1} → E par {φ}_{1}(t) = \left \{ \cases{ {φ}_{0}(t)&si t ∈ I \cr ψ(t) &si t ∈]a − η,a + η[ } \right .. Le couple ({I}_{1},{φ}_{1}) est une solution de l’équation différentielle qui prolonge strictement (I,φ) ce qui contredit le caractère maximal de cette solution.

Remarque 16.2.4 On aurait pu aussi dire que si a ∈ I et si φ(a) = b, (I,φ) est une solution maximale pour la condition initiale φ(a) = b, ce qui montre que a appartient à l’intérieur de I comme on l’a déjà remarqué. Nous avons cependant pensé que la démonstration précédente était plus constructive.