16.1 Notions générales

16.1.1 Solutions d’une équation différentielle

Définition 16.1.1 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, n ≥ 1, W un ouvert de ℝ × {E}^{n+1} et G : W → E' une application. On appelle solution de l’équation différentielle G(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n)}) = 0 tout couple (I,φ) d’un intervalle I de et d’une application φ : I → E de classe {C}^{n} telle que

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}t ∈ I,& & (t,φ(t),φ'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n)}(t)) ∈ W %& \\ & & \text{ et }G(t,φ(t),φ'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n)}(t)) = 0%& \\ \end{eqnarray*}

On dira alors que n est l’ordre de l’équation différentielle.

Remarque 16.1.1 Dans le cas particulier où E' = E et où G(t,{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n}) = {y}_{n} − F(t,{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}) avec F application d’un ouvert U de ℝ × {E}^{n} dans E, on obtient une équation différentielle de la forme {y}^{(n)} = F(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}). On dira qu’une telle équation est sous forme normale. Une solution d’une telle équation est donc un couple (I,φ)φ : I → E est de classe {C}^{n} et vérifie

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}t ∈ I,& & (t,φ(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(t)) ∈ U %& \\ & & \text{ et }{φ}^{(n)}(t) = F(t,φ(t),φ'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(t))%& \\ \end{eqnarray*}

Par la suite on s’intéressera plus particulièrement aux équations différentielles sous forme normale. Il est parfois possible de passer d’une équation sous forme générale à une équation sous forme normale en résolvant l’équation G(t,{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n}) = 0 sous la forme {y}_{n} = F(t,{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}). A cet égard, le théorème des fonctions implicites peut rendre de grands services.

16.1.2 Type de problèmes

Nous distinguerons par la suite deux types de problèmes concernant les équations différentielles. Le premier type de problème est appelé le problème à condition initiale (ou problème de Cauchy-Lipschitz), le second problème à conditions aux limites (ou conditions au bord).

Problème 1 (à conditions initiales). On considère une équation différentielle sous forme normale {y}^{(n)} = F(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)})F est une application d’un ouvert U de ℝ × {E}^{n} dans E et on se donne ({t}_{0},{y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}) ∈ U. Peut-on trouver une solution (I,φ) de cette équation différentielle telle que {t}_{0} ∈ I, φ({t}_{0}) = {y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {y}_{n−1} ? Si oui, a-t-on en un certain sens unicité d’une solution ?

Problème 2 (à conditions aux limites). On considère une équation différentielle sous forme normale {y}^{(n)} = F(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)})F est une application d’un ouvert U de ℝ × {E}^{n} dans E et on se donne a et b ∈ ℝ. Peut-on trouver une solution (I,φ) de cette équation différentielle vérifiant des équations {G}_{1}(a,φ(a),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(a)) = 0 et {G}_{2}(b,φ(b),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(b)) = 0, où {G}_{1} et {G}_{2} sont deux applications de ℝ × {E}^{n} respectivement dans deux espaces vectoriels normés {E}_{1} et {E}_{2}.

Le problème avec conditions aux limites est beaucoup plus difficile et a des réponses beaucoup plus complexes que le problème avec conditions initiales. Nous ne le traiterons donc pas en dehors d’exercices particuliers et nous intéresserons presque exclusivement au problème à conditions initiales.

16.1.3 Réduction à l’ordre 1

Considérons une équation différentielle sous forme normale {y}^{(n)} = f(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)})f est une application d’un ouvert U de ℝ × {E}^{n} dans E et soit (I,φ) une solution de l’équation différentielle. Posons {φ}_{1}(t) = φ(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t) = {φ}^{(n−1)}(t) et Φ(t) = ({φ}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t)) = (φ(t),φ'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(t)). Alors (I,Φ) est de classe {C}^{1} et on a

\begin{eqnarray*} Φ'(t)& =& \left (φ'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n)}(t)\right ) %& \\ & =& \left (φ'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(t),f(t,φ(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(t))\right ) %& \\ & =& \left ({φ}_{2}(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t),f(t,{φ}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t))\right ) = F(t,Φ(t))%& \\ \end{eqnarray*}

si l’on définit F : U → {E}^{n} par F(t,({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n})) = ({y}_{2},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n},F(t,{y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n})). Donc (I,Φ) est solution de l’équation différentielle Y ' = F(t,Y ).

Inversement, donnons nous une solution (I,Φ) de l’équation différentielle Y ' = F(t,Y )F : U → {E}^{n} est définie par F(t,({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n})) = ({y}_{2},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n},f(t,{y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n})). Posons Φ(t) = ({φ}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t)). On a donc

\begin{eqnarray*} Φ'(t)& =& ({φ}_{1}'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n−1}'(t),{φ}_{n}'(t)) %& \\ & =& F(t,Φ(t)) = ({φ}_{2}(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t),f(t,{φ}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t)))%& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que pour i ∈ [1,n − 1] on a {φ}_{i}'(t) = {φ}_{i+1}(t) et une récurrence évidente montre que pour i ∈ [2,n], {φ}_{i}(t) = {φ}_{1}^{(i−1)}(t). Mais alors la dernière équation se traduit par {φ}_{1}^{(n)}(t) = ({φ}^{(n−1)})'(t) = {φ}_{n}'(t) = f(t,{φ}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(t)) = f(t,{φ}_{1}(t),{φ}_{1}'(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{1}^{(n−1)}(t)), si bien que (I,{φ}_{1}) est de classe {C}^{n} et solution de l’équation différentielle {y}^{(n)} = f(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}). On en déduit donc le théorème suivant

Théorème 16.1.1 Soit U un ouvert de U × {E}^{n} et f : U → E. Soit F : U → {E}^{n} définie par F(t,({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n})) = ({y}_{2},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n},F(t,{y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n})). Alors l’application (I,φ)\mathrel{↦}(I,Φ) définie par Φ(t) = (φ(t),\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}(t)) est une bijection de l’ensemble des solutions de l’équation différentielle d’ordre n, {y}^{(n)} = f(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}), sur l’ensemble des solutions de l’équation différentielle d’ordre un Y ' = F(t,Y ).

Remarque 16.1.2 En ce qui concerne le type de problème étudié, il est clair que cette bijection préserve les problèmes à conditions initiales. Autrement dit (I,φ) est une solution de {y}^{(n)} = f(t,y,y',\mathop{\mathop{…}},{y}^{(n−1)}) vérifiant les conditions initiales φ({t}_{0}) = {y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{φ}^{(n−1)}({t}_{0}) = {y}_{n−1} si et seulement si (I,Φ) est une solution de Y ' = F(t,Y ) vérifiant la condition initiale Φ({t}_{0}) = {Y }_{0} avec {Y }_{0} = ({y}_{0},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n−1}). Nous pourrons donc par la suite, pour ce qui concerne les problèmes d’existence et d’unicité du problème à conditions initiales, nous borner à l’étude des équations différentielles d’ordre 1.

16.1.4 Equivalence avec une équation intégrale

Théorème 16.1.2 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, U un ouvert de ℝ × E, F : U → E continue, ({t}_{0},{y}_{0}) ∈ U, I un intervalle de contenant {t}_{0} et φ une application continue de I dans E. Alors on a équivalence de

Démonstration Supposons (i) vérifié. Alors, comme φ est de classe {C}^{1}, on a

φ(t) = φ({t}_{0}) +{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}φ'(u) du = {y}_{ 0} +{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,φ(u)) du

ce qui montre que (i)(ii). Inversement supposons (ii) vérifié. Il est clair que φ({t}_{0}) = {y}_{0}. De plus comme u\mathrel{↦}F(u,φ(u)) est continue, t\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}F(u,φ(u)) du est de classe {C}^{1} et sa dérivée est F(t,φ(t)) ; on en déduit que φ est de classe {C}^{1} et que φ'(t) = F(t,φ(t)), ce qui achève la démonstration.

16.1.5 Le lemme de Gronwall

On utilisera par la suite le lemme suivant :

Lemme 16.1.3 (Gronwall). Soit c un réel positif, g : [a,b[→ ℝ continue positive. Soit u : I → ℝ continue telle que \mathop{∀}x ∈ [a,b[, |u(x)|≤ c +{\mathop{∫ } }_{a}^{x}|u(t)|g(t) dt. Alors \mathop{∀}x ∈ [a,b[, |u(x)|≤ c\mathop{exp} ({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt).

Démonstration Posons v(x) = c +{\mathop{∫ } }_{a}^{x}|u(t)|g(t) dt. Comme u et g sont continues, v est de classe {C}^{1} et on a v'(x) = |u(x)|g(x) ≤ v(x)g(x) puisque |u(x)|≤ v(x) et g(x) ≥ 0 par hypothèse. Soit w(x) = v(x)\mathop{exp} (−{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt). On a alors

\begin{eqnarray*} w'(x)& =& v'(x)\mathop{exp} (−{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) − v(x)g(x)\mathop{exp} (−{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt)%& \\ & =& (v'(x) − v(x)g(x))\mathop{exp} (−{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) ≤ 0 %& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que w est décroissante, et donc \mathop{∀}x ∈ [a,b[, w(x) ≤ w(a). Mais w(a) = v(a) = c. On a donc, pour x ∈ [a,b[, |u(x)|≤ v(x) ≤ c\mathop{exp} ({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt), ce qu’on voulait démontrer.

Remarque 16.1.3 De la même fa\c{c}on on montre que si \mathop{∀}x ∈]b,a], |u(x)|≤ c +{\mathop{∫ } }_{x}^{a}|u(t)|g(t) dt, alors \mathop{∀}x ∈]b,a], |u(x)|≤ c\mathop{exp} ({\mathop{∫ } }_{x}^{a}g(t) dt).

Remarque 16.1.4 Le cas c = 0 jouera un rôle crucial dans les démonstrations d’unicité. On obtient alors la nullité de u sur l’intervalle en question.