15.4 Fonctions implicites et inversion locale

15.4.1 Position du problème des fonctions implicites

Soit E,F et G trois espaces vectoriels normés, W un ouvert de E × F, f : W → G. On considère la courbe Γ = \{(x,y) ∈ W\mathrel{∣}f(x,y) = 0\}. On se pose la question de savoir si Γ est le graphe d’une fonction φ d’un ouvert U de E dans F, autrement dit si f(x,y) = 0 \mathrel{⇔} y = φ(x).

Cette question globale n’admet pas vraiment de réponse satisfaisante et nous allons la transformer en une question locale. Soit (a,b) ∈ Γ. On se pose la question de savoir si Γ, au voisinage de (a,b), est le graphe d’une fonction φ d’un ouvert U de E dans F, autrement dit si il existe U ouvert contenant a et V ouvert contenant b tels que, pour (a,b) ∈ U × V , f(x,y) = 0 \mathrel{⇔} y = φ(x). Cela revient à demander que Γ ∩ (U × V ) soit un graphe, autrement dit que

\mathop{∀}x ∈ U, \mathop{∃}!y ∈ V, f(x,y) = 0

Nous cherchons en plus des propriétés de la fonction φ (lorsqu’elle existe) à partir de propriétés de la fonction f.

Supposons que E = {ℝ}^{n}, F = {ℝ}^{p} et G = {ℝ}^{q}. On a f(x,y) = ({f}_{1}(x,y),\mathop{\mathop{…}},{f}_{q}(x,y)) si bien que

f(x,y) = 0 \mathrel{⇔} \left \{\matrix{\,{f}_{1}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},{y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p}) = 0 \cr \cr {f}_{q}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},{y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p}) = 0}\right .

Pour ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) fixé dans U ∈V(a), ce système doit déterminer un unique ({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p}) dans V ∈V(b). Ceci semble nécessiter qu’il y ait autant d’équations que d’inconnues, c’est-à-dire que p = q.

Même, dans ce cas, l’exemple n = p = q = 1 et f(x,y) = {x}^{2} + {y}^{2} − 1 montre que la réponse est positive en (a,b) ∈ {ℝ}^{2} si b\mathrel{≠}0, mais qu’elle est négative aux points (1,0) et (−1,0) de Γ, points où l’on a { ∂f \over ∂y} (a,b) = 0.

Le théorème des fonctions implicites va nous donner une condition suffisante pour que la réponse au problème local soit positive.

15.4.2 Théorème des fonctions implicites

Théorème 15.4.1 Soit W un ouvert de {ℝ}^{n} × {ℝ}^{p} et f : W → {ℝ}^{p} de classe {C}^{1}. On pose x = ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}), y = ({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p}) et f = ({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{p}). Soit (a,b) ∈ W tel que f(a,b) = 0 et Q ={ \left ({ ∂{f}_{i} \over ∂{y}_{j}} (a,b)\right )}_{1≤i,j≤p} est inversible. Alors, il existe U ∈V(a) et V ∈V(b) (ouverts) tels que

\mathop{∀}x ∈ U \mathop{∃}!y ∈ V \text{ tel que }f(x,y) = 0.

Si l’on pose y = φ(x), φ est continue sur U et de classe {C}^{1} sur un voisinage {U}_{0} de a.

Démonstration Soit ψ : W → {ℝ}^{p}, (x,y)\mathrel{↦}ψ(x,y) = {ψ}_{x}(y) = y − {Q}^{−1}(f(x,y)). On a de manière évidente

f(x,y) = 0 ⇔ {ψ}_{x}(y) = y.

On va essayer d’appliquer le théorème du point fixe à l’équation {ψ}_{x}(y) = y. Notons Q(x,y) ={ \left ({ ∂{f}_{i} \over ∂{y}_{j}} (x,y)\right )}_{1≤i,j≤p}, de sorte que Q = Q(a,b). Puisque {Q}^{−1} est une application linéaire, elle est sa propre différentielle en tout point et la matrice de d{ψ}_{x}(y) est donc la matrice

{J}_{{ψ}_{x}}(y) = {I}_{p} − {Q}^{−1} ∘Q(x,y)

Donc d{ψ}_{a}(b) = 0 et l’application (x,y)\mathrel{↦}d{ψ}_{x}(y) est continue. On en déduit qu’il existe r > 0 tel que

\|x − a\| ≤ r\text{ et }\|y − b\| ≤ r ⇒\| d{ψ}_{x}(y)\| ≤{ 1 \over 2} .

Soit x ∈ B'(a,r),y,y' ∈ B'(b,r). On a alors

\|{ψ}_{x}(y) − {ψ}_{x}(y')\| ≤\| y − y'\|{\mathop{sup}}_{z∈[y,y']}\|d{ψ}_{x}(z)\| ≤{ 1 \over 2} \|y − y'\|

d’après l’inégalité des accroissements finis. Puisque ψ est continue en (a,b), il existe {U}_{1} voisinage ouvert de a inclus dans B'(a,r) tel que x ∈ {U}_{1} ⇒\| ψ(x,b) − ψ(a,b)\| ≤{ r \over 2} , soit encore, puisque ψ(a,b) = b, x ∈ {U}_{1} ⇒\| ψ(x,b) − b\| ≤{ r \over 2} . Pour x ∈ {U}_{1} et y ∈ B'(b,r), on a donc

\begin{eqnarray*} \|{ψ}_{x}(y) − b\|& ≤& \|{ψ}_{x}(y) − {ψ}_{x}(b)\| +\| ψ(x,b) − ψ(a,b)\|%& \\ & ≤&{ 1 \over 2} \|y − b\| +{ r \over 2} ≤ r. %& \\ \end{eqnarray*}

Donc, si x ∈ {U}_{1}, {ψ}_{x} est une application de B'(b,r) dans B'(b,r) qui est { 1 \over 2} −\text{contractante} ; mais B'(b,r) est un espace métrique complet (fermé dans un complet). Donc pour x ∈ {U}_{1}, il existe un unique y ∈ {V }_{1} = B'(b,r) tel que {ψ}_{x}(y) = y, c’est-à-dire f(x,y) = 0.

Appelons φ(x) cet unique y, on définit ainsi φ : {U}_{1} → {V }_{1} telle que {ψ}_{x}(φ(x)) = φ(x). Montrons que φ est continue. Soit x et {x}_{0} dans {U}_{1}. On a

\begin{eqnarray*} \|φ(x) − φ({x}_{0})\| =\| {ψ}_{x}(φ(x)) − {ψ}_{{x}_{0}}(φ({x}_{0}))\|&& %& \\ & & %& \\ & ≤& \|{ψ}_{x}(φ(x)) − {ψ}_{x}(φ({x}_{0}))\| +\| ψ(x,φ({x}_{0})) − ψ({x}_{0},φ({x}_{0}))\|%& \\ & ≤&{ 1 \over 2} \|φ(x) − φ({x}_{0})\| +\| ψ(x,φ({x}_{0})) − ψ({x}_{0},φ({x}_{0})\| %& \\ \end{eqnarray*}

soit encore

\|φ(x) − φ({x}_{0})\| ≤ 2\|ψ(x,φ({x}_{0})) − ψ({x}_{0},φ({x}_{0})\|.

Comme x\mathrel{↦}ψ(x,φ({x}_{0})) est continue en {x}_{0}, il en est de même de x\mathrel{↦}φ(x).

Soit alors V = B(b,r) et U = {U}_{1} ∩ {φ}^{−1}(V ). V est ouvert, et il en est de même de U comme intersection de l’ouvert {U}_{1} et de l’image réciproque de l’ouvert V par l’application continue φ. Pour x ∈ U, il existe un unique y ∈ B'(b,r) tel que f(x,y) = 0, avec y = φ(x). Mais comme x ∈ {φ}^{−1}(V ), on a en fait y ∈ V et en définitive

\mathop{∀}x ∈ U \mathop{∃}!y ∈ V \text{ tel que }f(x,y) = 0.

Soit P ={ \left ({ ∂{f}_{i} \over ∂{x}_{j}} (a,b)\right )}_{1≤i≤p,1≤j≤n} et soit h ∈ {ℝ}^{n} et k ∈ {ℝ}^{p}. Les formules

\begin{eqnarray*} f(a + h,b + k) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (a,b){h}_{i} +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{p}{ ∂f \over ∂{y}_{i}} (a,b){k}_{i} + o(\|(h,k)\|)& & %& \\ \end{eqnarray*}

se traduisent par

f(a + h,b + k) = Ph + Qk + o(\|h\| +\| k\|).

Prenons k = θ(h) = φ(a + h) − φ(a) = φ(a + h) − b. On a alors

\begin{eqnarray*} 0& =& f(a + h,φ(a + h)) = f(a + h,b + θ(h))%& \\ & =& Ph + Qθ(h) + (\|h\| +\| θ(h)\|)ε(h) %& \\ \end{eqnarray*}

soit encore

θ(h) = −{Q}^{−1}Ph + (\|h\| +\| θ(h)\|)η(h)

avec η(h) = −{Q}^{−1}(ε(h)). Comme on a {\mathop{lim}}_{h→0}η(h) = 0, soit ρ > 0 tel que h < ρ ⇒|η(h)| <{ 1 \over 2} . Alors pour h < ρ, on a

\|θ(h)\| ≤\| {Q}^{−1}P\|\|h\| +{ 1 \over 2} (\|h\| +\| θ(h)\|),

soit encore

\|θ(h)\| ≤ (2\|{Q}^{−1}P\| + 1)\|h\|.

On a donc \|θ(h)\| = O(\|h\|), soit encore (\|h\| +\| θ(h)\|)η(h) = o(\|h\|), ce qui montre que

φ(a + h) − φ(a) = θ(h) = −{Q}^{−1}Ph + o(\|h\|).

Donc φ est différentiable au point a et sa différentielle est − {Q}^{−1}P. On montre de même que φ est différentiable en tout point x assez voisin de a pour que la matrice Q(x,φ(x)) reste inversible et que l’on a encore dφ(x) = −Q{(x,φ(x))}^{−1}P(x,φ(x)), ce qui montre que φ est de classe {C}^{1} sur un tel voisinage.

15.4.3 Applications du théorème des fonctions implicites

Nous nous intéresserons tout particulièrement au cas p = 1 ; dans ce cas Q = \left (\matrix{\,{ ∂f \over ∂y} (a,b)}\right ) et la matrice est inversible si et seulement si { ∂f \over ∂y} (a,b)\mathrel{≠}0. On obtient donc la formulation suivante

Théorème 15.4.2 Soit W un ouvert de {ℝ}^{n} × ℝ et f : W → ℝ de classe {C}^{1}, ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},y)\mathrel{↦}f({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},y). Soit ({a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n},b) ∈ W tel que f({a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n},b) = 0 et { ∂f \over ∂y} ({a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n},b)\mathrel{≠}0. Alors, il existe U ∈V({a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n}) et V ∈V(b) (ouverts) tels que

\mathop{∀}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) ∈ U, \mathop{∃}!y ∈ V \text{ tel que }f({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},y) = 0.

Si l’on pose y = φ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}), φ est continue sur U et de classe {C}^{1} sur un voisinage {U}_{0} de a.

Remarque 15.4.1 Le calcul des dérivées partielles de φ se fait très facilement en utilisant les formes différentielles. Les variables {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} et y étant liées par la relation f({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},y) = 0, on obtient par différentiation

{\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} ({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n},y)d{x}_{i} +{ ∂f \over ∂y} ({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n},y)dy = 0

soit encore

dy = −{\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ { ∂f \over ∂{x}_{i}} ({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n},y) \over { ∂f \over ∂y} ({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n},y)} d{x}_{i}

On en déduit que

{ ∂φ \over ∂{x}_{i}} ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) ={ ∂y \over ∂{x}_{i}} ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) = −{ { ∂f \over ∂{x}_{i}} ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},y) \over { ∂f \over ∂y} ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n},y)}

si y = φ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}).

Théorème 15.4.3 Soit W un ouvert de {ℝ}^{2} et f : W → ℝ de classe {C}^{1}. Soit Γ = \{(x,y) ∈ W\mathrel{∣}f(x,y) = 0\}. On suppose que \mathop{∀}(a,b) ∈ Γ, \left ({ ∂f \over ∂x} (a,b),{ ∂f \over ∂y} (a,b)\right )\mathrel{≠}(0,0). Alors, au voisinage de chacun de ses points, Γ est soit le graphe d’une application de classe {C}^{1} x\mathrel{↦}y = φ(x), soit le graphe d’une application de classe {C}^{1} y\mathrel{↦}x = ψ(y). La tangente à ce graphe au point (a,b) est la droite d’équation

(x − a){ ∂f \over ∂x} (a,b) + (y − b){ ∂f \over ∂y} (a,b) = 0

Démonstration Si par exemple { ∂f \over ∂y} (a,b)\mathrel{≠}0, le théorème précédent s’applique et permet de conclure, qu’au voisinage de (a,b), Γ est le graphe d’une application de classe {C}^{1}, x\mathrel{↦}y = φ(x). La tangente à ce graphe est la droite d’équation y − b = φ'(a)(x − a) avec φ'(a) = −{ { ∂f \over ∂x} (a,b) \over { ∂f \over ∂y} (a,b)} ce qui donne l’équation ci dessus. Si { ∂f \over ∂x} (a,b)\mathrel{≠}0, il suffit d’échanger les rôles joués par x et y.

Nous avons un théorème similaire pour les surfaces de {ℝ}^{3}

Théorème 15.4.4 Soit W un ouvert de {ℝ}^{3} et f : W → ℝ de classe {C}^{1}. Soit Σ = \{(x,y,z) ∈ W\mathrel{∣}f(x,y,z) = 0\}. On suppose que \mathop{∀}(a,b,c) ∈ Γ, \left ({ ∂f \over ∂x} (a,b,c),{ ∂f \over ∂y} (a,b,c),{ ∂f \over ∂z} (a,b,c)\right )\mathrel{≠}(0,0,0). Alors, au voisinage de chacun de ses points, Σ est soit le graphe d’une application de classe {C}^{1}, (x,y)\mathrel{↦}z = φ(x,y), soit le graphe d’une application de classe {C}^{1}, (y,z)\mathrel{↦}x = ψ(y,z), soit le graphe d’une application de classe {C}^{1}, (x,z)\mathrel{↦}y = ψ(x,z). Le plan tangent à ce graphe au point (a,b,c) est le plan d’équation

(x − a){ ∂f \over ∂x} (a,b,c) + (y − b){ ∂f \over ∂y} (a,b,c) + (z − c){ ∂f \over ∂z} (a,b,c) = 0

Démonstration La même que précédemment sauf pour ce qui concerne l’équation du plan tangent. Supposons que localement Σ est le graphe d’une application de classe {C}^{1} (x,y)\mathrel{↦}z = φ(x,y). La surface est paramétrée par (x,y)\mathrel{↦}(x,y,φ(x,y)) et les deux vecteurs tangents dérivés partiels sont { ∂ \over ∂x} (x,y,φ(x,y)) = (1,0,{ ∂φ \over ∂x} (x,y)) et { ∂ \over ∂y} (x,y,φ(x,y)) = (0,1,{ ∂φ \over ∂x} (x,y)). Le plan tangent est le plan parallèle à ces deux vecteurs (pour (x,y) = (a,b)) et contenant le point (a,b,c), c’est-à-dire le plan d’équation

\left |\matrix{\,x − a&1 &0 \cr y − b&0 &1 \cr z − c&{ ∂φ \over ∂x} (a,b)&{ ∂φ \over ∂y} (a,b)}\right | = 0

Mais on a

\begin{eqnarray*}{ ∂φ \over ∂x} (a,b) = −{ { ∂f \over ∂x} (a,b,c) \over { ∂f \over ∂z} (a,b,c)} \text{ et }{ ∂φ \over ∂y} (a,b) = −{ { ∂f \over ∂y} (a,b,c) \over { ∂f \over ∂z} (a,b,c)} & & %& \\ \end{eqnarray*}

Il suffit de reporter et de développer le déterminant suivant la première colonne pour obtenir l’équation du plan tangent sous la forme souhaitée.

15.4.4 Difféomorphismes et inversion locale

Définition 15.4.1 Soit E et F deux K-espaces vectoriels normés, U un ouvert de E et V un ouvert de F. On dit que f : U → V est un difféomorphisme de classe {C}^{1} si (i) f est bijective de U sur V (ii) f et {f}^{−1} sont de classe {C}^{1}.

Remarque 15.4.2 Comme pour les fonctions d’une variable, le fait que f soit bijective et de classe {C}^{1} n’implique évidemment pas que {f}^{−1} soit de classe {C}^{1}.

Théorème 15.4.5 Soit E et F deux K-espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, V un ouvert de F, f : U → V un difféomorphisme de classe {C}^{1}. Alors, pour tout x ∈ U, df(x) est un isomorphisme d’espace vectoriel de E sur F et on a

\mathop{∀}y ∈ V, d({f}^{−1})(y) ={ \left (df({f}^{−1}(y))\right )}^{−1}

Démonstration Soit g = {f}^{−1} : V → U. On a g ∘ f ={ \mathrm{Id}}_{U}. Comme f est différentiable en x et g en f(x), on a {\mathrm{Id}}_{E} = d({\mathrm{Id}}_{U})(x) = d(g ∘ f)(x) = dg(f(x)) ∘ df(x). On montre de la même fa\c{c}on que {\mathrm{Id}}_{F} = d({\mathrm{Id}}_{V })(f(x)) = d(f ∘ g)(f(x)) = df(x) ∘ dg(f(x)). On en déduit que df(x) est un isomorphisme de E sur F d’isomorphisme réciproque dg(f(x)).

Remarque 15.4.3 On vérifie facilement à partir de la formule ci dessus que si f est à la fois de classe {C}^{k} et un {C}^{1} difféomorphisme, alors {f}^{−1} est aussi de classe {C}^{k}. On dit alors que f est un {C}^{k}-difféomorphisme.

Remarque 15.4.4 Si E et F sont de dimensions finies, l’existence d’un {C}^{1} difféomorphisme d’un ouvert de E sur un ouvert de F nécessite que E et F aient même dimension ; il ne peut y avoir de difféomorphisme d’un ouvert de {ℝ}^{n} sur un ouvert de {ℝ}^{p} pour n\mathrel{≠}p. Si f : U → V est un difféomorphisme d’un ouvert U de {ℝ}^{n} sur un ouvert V de {ℝ}^{n}, on peut calculer les dérivées partielles de {f}^{−1} à l’aide des matrices jacobiennes grâce à la formule {J}_{{f}^{−1}}(y) ={ \left ({J}_{f}({f}^{−1}(y))\right )}^{−1}.

Nous allons maintenant nous intéresser à une réciproque partielle (en fait locale) du théorème précédent.

Théorème 15.4.6 (inversion locale). Soit U un ouvert de {ℝ}^{n} et f : U → {ℝ}^{n} une application de classe {C}^{1}. Soit a ∈ U tel que df(a) soit un isomorphisme d’espace vectoriel de {ℝ}^{n} sur {ℝ}^{n} (autrement dit la matrice {J}_{f}(a) est inversible). Alors il existe un ouvert {U}_{0} contenant a et un ouvert {V }_{0} contenant f(a) tel que f induise un difféomorphisme de classe {C}^{1} de {U}_{0} sur {V }_{0}.

Démonstration Considérons l’application g : {ℝ}^{n} × U → {ℝ}^{n}, (y,x)\mathrel{↦}f(x) − y. La matrice {\left ({ ∂{g}_{i} \over ∂{x}_{j}} (f(a),a)\right )}_{1≤i,j≤n} n’est autre que la matrice {J}_{f}(a) qui est inversible. On peut donc appliquer le théorème des fonctions implicites. On en déduit qu’il existe {V }_{1} ouvert contenant f(a) et un ouvert {U}_{1} contenant a tel que \mathop{∀}y ∈ {V }_{1}, \mathop{∃}!x ∈ {U}_{1}, g(y,x) = 0, autrement dit

\mathop{∀}y ∈ {V }_{1}, \mathop{∃}!x ∈ {U}_{1}, f(x) = y

Si on pose x = g(y), on sait que quitte à restreindre {V }_{1}, on peut supposer que g est de classe {C}^{1}. Par définition même, on a f(g(y)) = y pour y ∈ {V }_{1}. Par contre, il n’est pas vrai en général que, pour x ∈ {U}_{1}, on ait g(f(x)) = x car il n’y a pas de raison que f(x) appartienne à {V }_{1}. Mais comme f est continue et {V }_{1} ouvert, {f}^{−1}({V }_{1}) est un ouvert contenant a et donc il en est de même de {U}_{1} ∩ {f}^{−1}({V }_{1}) = {U}_{0}. Pour x ∈ {U}_{0}, on a x ∈ {U}_{1} et f(x) ∈ {V }_{1}. Comme g(f(x)) est l’unique x' dans {U}_{1} tel que f(x') = f(x) et comme x convient bien évidemment, on a g(f(x)) = x pour x ∈ {U}_{0}. Comme on a aussi f(g(y)) = y pour y ∈ {V }_{1}, f est bijective de {U}_{0} sur {V }_{1}, et son inverse est g qui est encore de classe {C}^{1}.

Remarque 15.4.5 Le théorème précédent est uniquement local. A partir de la dimension 2, il n’existe pas de moyen local simple qui permette de garantir l’injectivité globale de f, comme le montre l’exemple de f :]0,+∞[×ℝ → {ℝ}^{2} ∖\{(0,0)\}, (ρ,θ)\mathrel{↦}(ρ\mathop{cos} θ,ρ\mathop{sin} θ). La matrice jacobienne est {J}_{f}(ρ,θ) = \left (\matrix{\,\mathop{cos} θ&−ρ\mathop{sin} θ \cr \mathop{sin} θ&ρ\mathop{cos} θ }\right ) qui est inversible (de déterminant ρ\mathrel{≠}0) ; l’application f est localement injective (et même localement un difféomorphisme), mais elle ne l’est pas globalement puisque f(ρ,θ + 2π) = f(ρ,θ).

Corollaire 15.4.7 Soit U un ouvert de {ℝ}^{n} et f : U → {ℝ}^{n} une application de classe {C}^{1}. On suppose que (i) f est injective (ii) \mathop{∀}x ∈ U, {J}_{f}(x) est une matrice inversible. Alors f(U) = V est un ouvert de {ℝ}^{n} et f est un {C}^{1} difféomorphisme de U sur V .

Démonstration Soit g = {f}^{−1} : V → U. Soit y ∈ V , y = f(x). Comme {J}_{f}(x) est une matrice inversible, le théorème d’inversion locale assure l’existence d’un ouvert {U}_{0} contenant x et d’un ouvert {V }_{0} contenant y = f(x) tel que f induise un {C}^{1} difféomorphisme de {U}_{0} sur {V }_{0}. Mais alors {V }_{0} = f({U}_{0}) ⊂ V . Ceci nous garantit que V est un voisinage de y. Donc V est un voisinage de chacun de ses points, et donc il est ouvert. Mais d’autre part, le difféomorphisme réciproque de {f}_{{\mathrel{∣}}_{{U}_{ 0}}} : {U}_{0} → {V }_{0} ne peut être que {g}_{{\mathrel{∣}}_{{V}_{ 0}}}. On en déduit que g est de classe {C}^{1} au point y. Donc g est de classe {C}^{1} sur V et f est un {C}^{1} difféomorphisme de U sur V .

Remarque 15.4.6 Un difféomorphisme f d’un ouvert U de {ℝ}^{n} sur un ouvert V de {ℝ}^{n}, ({α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{n})\mathrel{↦}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) = ({f}_{1}({α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{n}),\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}({α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{n})) est souvent appelé un système de coordonnées curvilignes sur V . Un tel système permet de repérer un point ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) de V par ses coordonnées curvilignes ({α}_{1},\mathop{\mathop{…}}{α}_{n}). Les coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques sont typiques de coordonnées curvilignes locales.