15.3 Formes différentielles

Remarque 15.3.1 En dehors de la notion de gradient, cette section ne fait pas partie du programme des classes préparatoires. Cependant, les formes différentielles de degré 1 sont un outil particulièrement commode même à ce niveau.

15.3.1 Rappels sur les formes linéaires alternées

Proposition 15.3.1 Soit E un -espace vectoriel, {f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{p} ∈ {E}^{∗}. Alors {f}_{1} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ {f}_{p} : {E}^{p} → K définie par ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{p})\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{det}} {({f}_{i}({x}_{j}))}_{1≤i≤p,1≤j≤p} est une forme p- linéaire alternée sur E. L’application {({E}^{∗})}^{p} → {A}_{p}(E), ({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{p})\mathrel{↦}{f}_{1} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ {f}_{p} est elle même p-linéaire et alternée.

Ceci permet d’exhiber une base de l’espace {A}_{p}(E) des formes p-linéaires alternées sur E. Pour cela soit E un K-espace vectoriel de dimension n et ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E.

Théorème 15.3.2 La famille des {({e}_{{i}_{1}}^{∗}∧\mathop{\mathop{…}} ∧ {e}_{{i}_{p}}^{∗})}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{\mathop{…}}<{i}_{p}≤n} est une base de {A}_{p}(E) (qui est donc de dimension {C}_{n}^{p}).

15.3.2 Notion de forme différentielle

Définition 15.3.1 Soit U un ouvert de {ℝ}^{n}. On appelle forme différentielle de degré p sur U toute application de U dans {A}_{p}({ℝ}^{n}) (en posant par convention {A}_{0}({ℝ}^{n}) = ℝ).

Remarque 15.3.2 Soit ω : U → {A}_{p}({ℝ}^{n}) une forme différentielle de degré p. Soit ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) la base canonique de {ℝ}^{n} et {({e}_{{i}_{1}}^{∗}∧\mathop{\mathop{…}} ∧ {e}_{{i}_{p}}^{∗})}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{\mathop{…}}<{i}_{p}≤n} la base correspondante de {A}_{p}({ℝ}^{n}). On a alors, pour x ∈ U, ω(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{\mathop{…}}<{i}_{p}≤n}{a}_{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}}(x){e}_{{i}_{1}}^{∗}∧\mathop{\mathop{…}} ∧ {e}_{{i}_{p}}^{∗}. On dit que ω est de classe {C}^{k} si toutes les applications {a}_{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}} : U → ℝ sont de classe {C}^{k}.

Remarque 15.3.3 Soit f : U → ℝ de classe {C}^{1}. Alors pour tout x ∈ U, df(x) est une application linéaire de {ℝ}^{n} dans donc une forme linéaire sur {ℝ}^{n}, donc un élément de {({ℝ}^{n})}^{∗} = {A}_{1}(E). On en déduit que df : x\mathrel{↦}df(x) est une forme différentielle de degré 1 sur U. On sait que

df(x).h ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (x){h}_{i} ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (x){e}_{i}^{∗}(h)

On en déduit que df(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (x){e}_{i}^{∗}. Prenons par exemple f = {e}_{i}^{∗}. On a \mathop{∀}x ∈ U, df(x) = {e}_{i}^{∗}. Si on note {x}_{i}, l’application i-ième coordonnée (c’est-à-dire encore {e}_{i}^{∗}), on a donc d{x}_{i} = {e}_{i}^{∗} si bien que l’on peut noter df(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (x)d{x}_{i}. Plus généralement, une forme différentielle de degré p sur U sera de la forme

ω(x) ={ \mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}}(x)d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}}

C’est cette dernière forme que nous utiliserons par la suite, avec comme seule propriété à connaître le fait que est multilinéaire et alternée.

Exemple 15.3.1 Dans le cas de la dimension 3 et de p = 2, on préfère utiliser une base invariante par permutation circulaire, à savoir d{x}_{2} ∧ d{x}_{3},d{x}_{3} ∧ d{x}_{1},d{x}_{1} ∧ d{x}_{2}. On aura ainsi les expressions générales de formes différentielles de degré p sur un ouvert de {ℝ}^{n}.

p = 0 : dans tous les cas, une forme différentielle de degré 0 est simplement une fonction à valeurs réelles et une forme différentielle de degré 1 s’écrit

ω({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})) = {a}_{1}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})d{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})d{x}_{n}

\begin{eqnarray*} n = 2,p = 2& :& ω({x}_{1},{x}_{2}) = a({x}_{1},{x}_{2})d{x}_{1} ∧ d{x}_{2} %& \\ n = 3,p = 2& :& ω({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}) = {a}_{1}({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})d{x}_{2} ∧ d{x}_{3} %& \\ & & +{a}_{2}({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})d{x}_{3} ∧ d{x}_{1} + {a}_{3}({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})d{x}_{1} ∧ d{x}_{2}%& \\ n = 3,p = 3& :& ω({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}) = a({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})d{x}_{1} ∧ d{x}_{2} ∧ d{x}_{3} %& \\ \end{eqnarray*}

15.3.3 Notion de gradient d’une fonction

Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E et f : U → ℝ de classe {C}^{1}. Alors, pour x ∈ E, df(x) est une forme linéaire sur E ; on sait qu’il existe un unique vecteur noté \mathop{grad}f(x) dans E tel que \mathop{∀}h ∈ E, df(x).h = (\mathop{grad}f(x)\mathrel{∣}h).

Définition 15.3.2 Le vecteur \mathop{grad}f(x) défini par \mathop{∀}h ∈ E, df(x).h = (\mathop{grad}f(x)\mathrel{∣}h), est appelé gradient de f au point x.

Remarque 15.3.4 Supposons que E = {ℝ}^{n} muni de sa structure euclidienne naturelle (celle qui rend la base canonique orthonormée). Alors

df(x).h ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{h}_{ i}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (x) = ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (x){e}_{i}\mathrel{∣}h)

si bien que l’on retrouve l’expression classique du gradient de f

\mathop{grad}f(x) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (x){e}_{i} = ({ ∂f \over ∂{x}_{1}} (x),\mathop{…},{ ∂f \over ∂{x}_{n}} (x))

15.3.4 Invariance de la différentielle

Soit U un ouvert de {ℝ}^{p} et f : U → ℝ de classe {C}^{1}. Soit V un ouvert de {ℝ}^{n} et soit φ = ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) : V → U. Posons {y}_{1} = {φ}_{1}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}),\mathop{\mathop{…}},{y}_{p} = {φ}_{p}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}). On a donc d{y}_{j} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{ ∂{φ}_{j} \over ∂{x}_{i}} d{x}_{i}. De plus, f({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p}) = f({φ}_{1}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})) si bien que

\begin{eqnarray*} d(f({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p}))&& %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂ \over ∂{x}_{i}} \left (f({φ}_{1}({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n}),\mathop{…},{φ}_{p}({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n}))\right )d{x}_{i} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\left ({\mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{ ∂f \over ∂{y}_{j}} ({φ}_{1}({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n}),\mathop{…},{φ}_{p}({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n})){ ∂{φ}_{j} \over ∂{x}_{i}} \right )d{x}_{i}%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{ ∂f \over ∂{y}_{j}} ({y}_{1},\mathop{…},{y}_{p})\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂{φ}_{j} \over ∂{x}_{i}} d{x}_{i}\right ) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{ ∂f \over ∂{y}_{j}} ({y}_{1},\mathop{…},{y}_{p})d{y}_{j} %& \\ \end{eqnarray*}

en utilisant la règle de dérivation partielle des fonctions composées et en intervertissant les deux sommations.

On voit donc que la formule d(f({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p})) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{j=1}^{p}{ ∂f \over ∂{y}_{j}} ({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p})d{y}_{j} est valable aussi bien quand {y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p} désignent des variables libres (c’est-à-dire qui varient dans un ouvert de {ℝ}^{p}) que lorsque {y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p} désignent des fonctions d’autres variables (ici {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}). C’est une propriété essentielle de la différentielle qui fait tout l’intérêt des formes différentielles (en particulier de degré 1) : on peut différentier une expression sans savoir quelles sont les variables et quelles sont les fonctions.

On prendra simplement garde au fait suivant : lorsque {y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p} désignent des variables libres, qui varient dans des ouverts de {ℝ}^{p}, on a d{y}_{j} = {e}_{j}^{∗}, et donc les formes différentielles d{y}_{1},\mathop{\mathop{…}},d{y}_{p} forment une famille libre (ce qui permet en particulier des identifications) ; il n’en est évidemment plus de même lorsque {y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p} sont elles mêmes des fonctions d’autres variables {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}.

15.3.5 Différentielle extérieure

Définition 15.3.3 Soit ω(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{\mathop{…}}<{i}_{p}≤n}{a}_{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}}(x)d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ d{x}_{{i}_{p}} une forme différentielle de degré p, de classe {C}^{1} sur l’ouvert U de {ℝ}^{n}. On appelle différentielle extérieure de ω, la forme différentielle de degré p + 1 définie par

dω(x) ={ \mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}d{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}}(x) ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}}

Remarque 15.3.5 Le calcul effectif se fait en utilisant la définition de d{a}_{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}}(x) et les propriétés de l’opérateur  : linéaire par rapport à chaque terme, alterné, antisymétrique. On a donc

\begin{eqnarray*} d{a}_{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}}(x) ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ d{x}_{{i}_{p}}&& %& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ ∂{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{j}} \,d{x}_{j}\right ) ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ d{x}_{{i}_{p}}%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ ∂{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{j}} \,d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}} %& \\ \end{eqnarray*}

avec d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ d{x}_{{i}_{p}} = 0 si j ∈\{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}\} et d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ d{x}_{{i}_{p}} = ±d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ d{x}_{j} ∧\mathop{\mathop{…}} ∧ d{x}_{{i}_{p}} où l’on met de signe + ou le signe suivant la parité du nombre de transpositions nécessaires pour intercaler j à la bonne place dans la suite \{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}\}. Dans le cas d’une forme différentielle de degré 0 (une fonction), on trouve bien entendu tout simplement la différentielle de la fonction.

Exemple 15.3.2 Calcul dans le cas n = 3. Si p = 0, on a ω = f et dω ={ ∂f \over ∂{x}_{1}} d{x}_{1} +{ ∂f \over ∂{x}_{2}} d{x}_{2} +{ ∂f \over ∂{x}_{3}} d{x}_{3} et on retrouve l’expression du gradient de la fonction f.

Si p = 1, on a ω(x) = {a}_{1}(x)d{x}_{1} + {a}_{2}(x)d{x}_{2} + {a}_{3}(x)d{x}_{3}, et donc

\begin{eqnarray*} dω(x)& =& d{a}_{1}(x) ∧ d{x}_{1} + d{a}_{2}(x) ∧ d{x}_{2} + d{a}_{3}(x) ∧ d{x}_{3} %& \\ & =& ({ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{1}} (x)d{x}_{1} +{ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{2}} (x)d{x}_{2} +{ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{3}} (x)d{x}_{3}) ∧ d{x}_{1} %& \\ & & +({ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{1}} (x)d{x}_{1} +{ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{2}} (x)d{x}_{2} +{ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{3}} (x)d{x}_{3}) ∧ d{x}_{2}%& \\ & & +({ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{1}} (x)d{x}_{1} +{ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{2}} (x)d{x}_{2} +{ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{3}} (x)d{x}_{3}) ∧ d{x}_{3}%& \\ & =& ({ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{2}} (x) −{ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{3}} (x))d{x}_{2} ∧ d{x}_{3} %& \\ & & +({ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{3}} (x) −{ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{1}} (x))d{x}_{3} ∧ d{x}_{1} %& \\ & & +({ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{1}} (x) −{ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{2}} (x))d{x}_{1} ∧ d{x}_{2} %& \\ \end{eqnarray*}

en tenant compte de d{x}_{i} ∧ d{x}_{i} = 0 et de d{x}_{i} ∧ d{x}_{j} = −d{x}_{j} ∧ d{x}_{i}. On reconnaît là l’expression classique du rotationnel du champ de vecteurs de composantes ({a}_{1}(x),{a}_{2}(x),{a}_{3}(x)).

Si p = 2, on a ω(x) = {a}_{1}(x)d{x}_{2} ∧ d{x}_{3} + {a}_{2}(x)d{x}_{3} ∧ d{x}_{1} + {a}_{3}(x)d{x}_{1} ∧ d{x}_{2} et donc

\begin{eqnarray*} dω(x)& =& d{a}_{1}(x) ∧ d{x}_{2} ∧ d{x}_{3} + d{a}_{2}(x) ∧ d{x}_{3} ∧ d{x}_{1} %& \\ & & +d{a}_{3}(x) ∧ d{x}_{1} ∧ d{x}_{2} %& \\ & =& ({ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{1}} (x)d{x}_{1} +{ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{2}} (x)d{x}_{2} +{ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{3}} (x)d{x}_{3}) ∧ d{x}_{2} ∧ d{x}_{3} %& \\ & & +({ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{1}} (x)d{x}_{1} +{ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{2}} (x)d{x}_{2} +{ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{3}} (x)d{x}_{3}) ∧ d{x}_{3} ∧ d{x}_{1}%& \\ & & +({ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{1}} (x)d{x}_{1} +{ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{2}} (x)d{x}_{2} +{ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{3}} (x)d{x}_{3}) ∧ d{x}_{1} ∧ d{x}_{2}%& \\ & =& \left ({ ∂{a}_{1} \over ∂{x}_{1}} (x) +{ ∂{a}_{2} \over ∂{x}_{2}} (x) +{ ∂{a}_{3} \over ∂{x}_{3}} (x)\right )d{x}_{1} ∧ d{x}_{2} ∧ d{x}_{3} %& \\ \end{eqnarray*}

en tenant compte de d{x}_{i} ∧ d{x}_{j} ∧ d{x}_{k} = 0 si i,j et k ne sont pas distincts et de d{x}_{j} ∧ d{x}_{k} ∧ d{x}_{i} = d{x}_{i} ∧ d{x}_{j} ∧ d{x}_{k} si i,j,k sont distincts (les permutations circulaires de trois éléments sont de signature + 1). On reconnaît là l’expression classique de la divergence du champ de vecteurs de composantes ({a}_{1}(x),{a}_{2}(x),{a}_{3}(x)).

La différentielle extérieure des formes différentielles est donc une généralisation (et une unification) des notions classiques de gradient d’une fonction et de rotationnel ou divergence d’un champ de vecteurs.

15.3.6 Théorème de Poincaré

Théorème 15.3.3 Soit U un ouvert de {ℝ}^{n} et ω une forme différentielle de degré p de classe {C}^{2} sur U. Alors d(dω) = 0.

Démonstration On a

\begin{eqnarray*} dω& =& {\mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}d{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}\left ({\mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ ∂{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{j}} \,d{x}_{j}\right ) ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}}%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ \mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}{ ∂{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{j}} d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}} %& \\ \end{eqnarray*}

d’où

\begin{eqnarray*} d(dω)&& %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ \mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}d\left ({ ∂{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{j}} \right ) ∧ d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ \mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}\left ({\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {∂}^{2}{a}_{{ i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{k}∂{x}_{j}} d{x}_{k}\right ) ∧ d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ \mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ \mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}{ {∂}^{2}{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{k}∂{x}_{j}} d{x}_{k} ∧ d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{k<j}{ \mathop{∑ }}_{1≤{i}_{1}<{i}_{2}<\mathop{…}<{i}_{p}≤n}\left ({ {∂}^{2}{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{k}∂{x}_{j}} −{ {∂}^{2}{a}_{{i}_{1},\mathop{…},{i}_{p}} \over ∂{x}_{j}∂{x}_{k}} \right )d{x}_{k} ∧ d{x}_{j} ∧ d{x}_{{i}_{1}} ∧\mathop{…} ∧ d{x}_{{i}_{p}}%& \\ \end{eqnarray*}

en tenant compte de d{x}_{j} ∧ d{x}_{k} = 0 si j = k et d{x}_{j} ∧ d{x}_{k} = −d{x}_{k} ∧ d{x}_{j} si j\mathrel{≠}k. Mais le théorème de Schwarz montre que { {∂}^{2}{a}_{{ i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}} \over ∂{x}_{k}∂{x}_{j}} ={ {∂}^{2}{a}_{{ i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{p}} \over ∂{x}_{j}∂{x}_{k}} et donc d(dω) = 0.

En tenant compte des expressions trouvées pour dans le cas n = 3, on obtient donc le corollaire suivant

Corollaire 15.3.4 (i) Soit f une fonction de classe {C}^{2} sur un ouvert U de {ℝ}^{3}. Alors \mathop{rot}\mathop{grad}f = 0 (ii) Soit V un champ de vecteurs de classe {C}^{2} sur un ouvert U de {ℝ}^{3}. Alors \mathop{div}\mathop{rot}V = 0

Nous allons maintenant nous intéresser à la réciproque du théorème précédent

Théorème 15.3.5 (Poincaré). Soit U ⊂ {ℝ}^{n} un ouvert étoilé en a ∈ U (c’est-à-dire que \mathop{∀}x ∈ U, [a,x] ⊂ U). Soit ω une forme différentielle de degré p ≥ 1 de classe {C}^{1} sur U. Alors les conditions suivantes sont équivalentes (i) dω = 0 (ii) ω est exacte : il existe une forme différentielle α de degré p − 1 de classe {C}^{2} sur U telle que ω = dα.

Démonstration Le théorème précédent implique clairement que (ii)(i). Nous nous contenterons de démontrer que (i)(ii) lorsque p = 1, en admettant le cas général. Par une translation, sans nuire à la généralité, on peut supposer que a = 0. Soit U ⊂ {ℝ}^{n} un ouvert étoilé en 0 ∈ U et soit ω ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{c}_{i}(x)d{x}_{i}. On a par un calcul facile

dω ={ \mathop{∑ }}_{i<j}\left ({ ∂{c}_{j} \over ∂{x}_{i}} −{ ∂{c}_{i} \over ∂{x}_{j}} \right )d{x}_{i} ∧ d{x}_{j}

Donc dω = 0 \mathrel{⇔} \mathop{∀}i,j,{ ∂{c}_{j} \over ∂{x}_{i}} ={ ∂{c}_{i} \over ∂{x}_{j}} .

Définissons f : U → ℝ par f(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{x}_{i}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}{c}_{i}(tx) dt. Comme (t,{x}_{j})\mathrel{↦}{c}_{i}(tx) = {c}_{i}(t{x}_{1},\mathop{\mathop{…}},t{x}_{n}) admet une dérivée partielle par rapport à {x}_{j}, { ∂ \over ∂{x}_{j}} ({c}_{i}(t{x}_{1},\mathop{\mathop{…}},t{x}_{n})) = t{ ∂{c}_{i} \over ∂{x}_{j}} (t{x}_{1},\mathop{\mathop{…}},t{x}_{n}) qui est une fonction continue du couple (t,{x}_{j}), l’application {x}_{j}\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}{c}_{i}(tx) dt est dérivable et { ∂ \over ∂{x}_{j}} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{c}_{i}(tx) dt ={\mathop{∫ } }_{0}^{1}t{ ∂{c}_{i} \over ∂{x}_{j}} (tx) dt. On en déduit que

\begin{eqnarray*}{ ∂f \over ∂{x}_{j}} (x)& =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ ∂{x}_{i} \over ∂{x}_{j}} { \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{1}{c}_{ i}(tx) dt +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{x}_{ i}{ ∂ \over ∂{x}_{j}} { \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{1}{c}_{ i}(tx) dt%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{c}_{ j}(tx) dt +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{x}_{ i}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{1}t{ ∂{c}_{i} \over ∂{x}_{j}} (tx) dt %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}\left ({c}_{ j}(tx) +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}t{x}_{ i}{ ∂{c}_{i} \over ∂{x}_{j}} (tx)\right ) dt %& \\ \end{eqnarray*}

Utilisons alors { ∂{c}_{j} \over ∂{x}_{i}} ={ ∂{c}_{i} \over ∂{x}_{j}} . On obtient

\begin{eqnarray*}{ ∂f \over ∂{x}_{j}} (x)& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}\left ({c}_{ j}(tx) +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}t{x}_{ i}{ ∂{c}_{j} \over ∂{x}_{i}} (tx)\right ) dt%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{ d \over dt} \left (t{c}_{j}(t{x}_{1},\mathop{\mathop{…}},t{x}_{n})\right ) dt %& \\ & =& \big {[t{c}_{j}(tx)\big ]}_{0}^{1} = {c}_{ j}(x) %& \\ \end{eqnarray*}

Ceci montre à la fois que f est de classe {C}^{2} et que ω = df.

En réutilisant les calculs faits dans {ℝ}^{3}, nous pouvons traduire ce résultat sous la forme

Corollaire 15.3.6 Soit U ⊂ {ℝ}^{n} un ouvert étoilé en a ∈ U (c’est-à-dire que \mathop{∀}x ∈ U, [a,x] ⊂ U), soit V un champ de vecteurs de classe {C}^{1} sur U. Alors les conditions suivantes sont équivalentes (i) il existe une fonction f de classe {C}^{2} telle que V =\mathop{ grad}f (resp. il existe un champ de vecteurs W de classe {C}^{2} tel que V =\mathop{ rot}W) (ii) \mathop{rot}V = 0 (resp. \mathop{div} V = 0)

Remarque 15.3.6 Dans le premier cas, on dit que V dérive du potentiel scalaire f, dans le deuxième cas qu’il dérive du potentiel vecteur W.