15.2 Différentielle

15.2.1 Applications différentiables

Définition 15.2.1 Soit E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, a ∈ U et f : U → F. On dit que f est différentiable au point a s’il existe une application linéaire continue L : E → F telle que, pour h voisin de 0,

f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)

Dans ce cas, l’application L est unique et est appelée la différentielle de f au point a, notée df(a) ou encore {d}_{a}f.

Démonstration Supposons que {L}_{1} et {L}_{2} conviennent. Par différence, on a {L}_{1}(h) − {L}_{2}(h) = o(\|h\|). On a donc, pour x ∈ E ∖\{0\}

{\mathop{lim}}_{t→0,t>0}{{L}_{1}(tx) − {L}_{2}(tx)\over \|tx\|} = 0

Mais pour t > 0, on a {{L}_{1}(tx)−{L}_{2}(tx)\over \|tx\|} = {{L}_{1}(x)−{L}_{2}(x)\over \|x\|}  ; ceci montre que {L}_{1}(x) = {L}_{2}(x) et donc {L}_{1} = {L}_{2}.

Remarque 15.2.1 Pour alléger les notations, on écrira df(a).h à la place de \big [df(a)\big ](h). On a donc par définition f(a + h) = f(a) + df(a).h + o(\|h\|) ou encore f(a + h) = f(a) + df(a).h +\| h\|ε(h) avec {\mathop{lim}}_{h→0}ε(h) = 0.

Remarque 15.2.2 Si E est de dimension finie, une application linéaire de E dans F est automatiquement continue. Il est clair d’autre part que la différentiabilité est une notion locale et que le changement des normes sur E et F en normes équivalentes ne change ni la différentiabilité, ni la différentielle.

Proposition 15.2.1 Si f est différentiable au point a, elle est continue au point a.

Démonstration On a f(a + h) = f(a) + df(a).h +\| h\|ε(h) avec {\mathop{lim}}_{h→0}ε(h) = 0. Comme df(a) est une application linéaire continue, on a {\mathop{lim}}_{h→0}df(a).h = df(a).0 = 0 et donc {\mathop{lim}}_{h→0}f(a + h) = f(a).

15.2.2 Exemples d’applications différentiables

Proposition 15.2.2 Soit E et F deux espaces vectoriels normés, u une application linéaire continue de E dans F. Alors u est différentiable en tout point a de E et du(a) = u.

Démonstration On a en effet u(a + h) = u(a) + u(h) + 0.

Proposition 15.2.3 Soit E, F et G trois espaces vectoriels normés, u : E × F → G une application bilinéaire continue. Alors f est différentiable en tout point (a,b) de E × F et du(a,b).(h,k) = u(a,k) + u(h,b).

Démonstration On a u((a,b) + (h,k)) = u(a + h,b + k) = u(a,b) + \left (u(a,k) + u(h,b)\right ) + u(h,k). Mais comme u est bilinéaire continue, il existe une constante A telle que \|u(h,k)\| ≤ A\|h\|\|k\| soit encore \|u(h,k)\| ≤ A\mathop{max}{(\|h\|,\|k\|)}^{2} = A\|{(h,k)\|}^{2}. On a donc u((a,b) + (h,k)) = u(a,b) + \left (u(a,k) + u(h,b)\right ) + O(\|{(h,k)\|}^{2}). Comme (h,k)\mathrel{↦}u(a,k) + u(h,b) est clairement linéaire et continue, c’est la différentielle de u au point (a,b).

Exemple 15.2.1 Tous les produits usuels (produit dans K, produits scalaires, produits vectoriels, produits matriciels) sont donc différentiables en tout point.

15.2.3 Opérations sur les différentielles

Proposition 15.2.4 Soit E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, a ∈ U et f,g : U → F. Si f et g sont différentiables en a, il en est de même pour αf + βg et d(αf + βg)(a) = αdf(a) + βdg(a).

Démonstration On a f(a + h) = f(a) + df(a).h + o(\|h\|) et g(a + h) = g(a) + dg(a).h + o(\|h\|), d’où (αf + βg)(a + h) = (αf + βg)(a) + αdf(a).h + βdg(a).h + o(\|h\|) avec αdf(a) + βdg(a) application linéaire continue.

Théorème 15.2.5 Soit E, F et G trois espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, V un ouvert de F, f : U → F tel que f(U) ⊂ V et g : V → G. Soit a ∈ U. Si f est différentiable au point a et g différentiable au point f(a), alors g ∘ f est différentiable au point a et d(g ∘ f)(a) = dg\left (f(a)\right ) ∘ df(a).

Démonstration On a, en posant b = f(a), f(a + h) = f(a) + df(a).h +\| h\|ε(h) avec {\mathop{lim}}_{h→0}ε(h) = 0 et g(b + k) = g(b) + dg(b).k +\| k\|η(k) avec {\mathop{lim}}_{k→0}η(k) = 0. Prenons en particulier

k = φ(h) = f(a + h) − f(a) = df(a).h +\| h\|ε(h)

On a b + k = f(a + h), et donc

g(f(a + h)) = g(f(a)) + dg(b).φ(h) +\| φ(h)\|η(φ(h))

Mais on a

\begin{eqnarray*} dg(b).φ(h)& =& dg(b).\left (df(a).h +\| h\|ε(h)\right ) %& \\ & =& dg(b) ∘ df(a).h +\| h\|dg(b).ε(h)%& \\ & =& dg(b) ∘ df(a).h + o(\|h\|) %& \\ \end{eqnarray*}

puisque {\mathop{lim}}_{h→0}dg(b).ε(h) = dg(b).0 = 0. D’autre part,

\begin{eqnarray*} \|φ(h)\|& ≤& \|df(a).h +\| h\|ε(h)\| %& \\ & ≤& \|df(a)\|\,\|h\| +\| ε(h)\|\,\|h\| = O(\|h\|)%& \\ \end{eqnarray*}

donc \|φ(h)\|η(φ(h)) = o(\|h\|) puisque {\mathop{lim}}_{h→0}φ(h) = 0 (continuité de f au point a) et donc {\mathop{lim}}_{h→0}η(φ(h)) = 0. On a donc en définitive, g(f(a + h)) = g(f(a)) + dg(b) ∘ df(a).h + o(\|h\|) ce qui termine la démonstration.

Remarque 15.2.3 En particulier, si u est une application linéaire continue et si f est différentiable, u ∘ f est différentiable et d(u ∘ f)(a) = u ∘ df(a).

15.2.4 Différentielle et dérivées partielles

Regardons tout d’abord le cas des fonctions d’une variable. On a un résultat très simple qui montre que la notion de différentiabilité est une généralisation de la notion de dérivabilité.

Théorème 15.2.6 Soit U un ouvert de , a ∈ U et F un K-espace vectoriel normé. Soit f : U → F. Alors f est différentiable au point a si et seulement si elle est dérivable au point a et on a f'(a) = df(a).1 et df(a).h = hf'(a).

Démonstration Si f est dérivable au point a, on a f(a + h) = f(a) + hf'(a) + o(h), ce qui montre que f est différentiable en a et que df(a).h = hf'(a). Inversement si f est différentiable au point a, on a f(a + h) = f(a) + df(a).h + o(h) = f(a) + hdf(a).1 + o(h) (car h est un réel), soit encore {\mathop{lim}}_{h→0}{ f(a+h)−f(a) \over h} = df(a).1, ce qui montre que f est dérivable au point 1 et que f'(a) = df(a).1.

Exemple 15.2.2 Soit U un ouvert de , V un ouvert de E, soit φ : U → E telle que φ(U) ⊂ V et f : V → F. Soit a ∈ U. Supposons que φ est dérivable (donc différentiable) au point a et que f est différentiable au point φ(a). Alors f ∘ φ est différentiable (donc dérivable) au point a et (f ∘ φ)'(a) = d(f ∘ φ)(a).1 = df(φ(a)) ∘ dφ(a).1 = df(φ(a)).φ'(a). On retiendra donc la formule importante (f ∘ φ)'(a) = df(φ(a)).φ'(a).

En ce qui concerne les fonctions de plusieurs variables, le lien entre différentiabilité et dérivée partielle est plus complexe puisque l’on a vu que l’existence de dérivées partielles n’impliquait même pas la continuité, et donc certainement pas la différentiabilité. On a le résultat suivant

Théorème 15.2.7 Soit E et F deux espaces vectoriels normés de dimensions finies, U un ouvert de E et f : U → F. (i) si f est différentiable au point a ∈ U, alors f admet en a une dérivée partielle suivant tout vecteur v et {∂}_{v}f(a) = df(a).v (ii) inversement, si E = {ℝ}^{n} et si f est de classe {C}^{1} sur U, alors f est différentiable en tout point a de U et df(a).h ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{h}_{i}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (a).

Démonstration (i) On a f(a + h) = f(a) + df(a).h +\| h\|ε(h), soit encore f(a + tv) = f(a) + tdf(a).v + |t|\,\|v\|ε(tv), c’est-à-dire {\mathop{lim}}_{t→0}{ f(a+tv)−f(a) \over t} = df(a).v, donc f admet en a une dérivée partielle suivant v et {∂}_{v}f(a) = df(a).v.

(ii) La formule de Taylor Young à l’ordre 1 montre en effet que f(a + h) = f(a) +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{h}_{i}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (a) + o(\|h\|) ce qui montre que f est différentiable en a et que df(a).h ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{h}_{i}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (a).

Remarque 15.2.4 Si E = {ℝ}^{n}, et si f est différentiable au point a, on a nécessairement

\begin{eqnarray*} df(a).h& =& df(a).({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{h}_{ i}{e}_{i}) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{h}_{ i}df(a).{e}_{i}%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{h}_{ i}{∂}_{{e}_{i}}f(a) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{h}_{ i}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (a) %& \\ \end{eqnarray*}

Donc en fait montrer la différentiabilité de f en a, c’est montrer que les { ∂f \over ∂{x}_{i}} (a) existent et que f(a + h) − f(a) −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{h}_{i}{ ∂f \over ∂{x}_{i}} (a) = o(\|h\|).

15.2.5 Matrices jacobiennes, jacobiens

Définition 15.2.2 Soit U un ouvert de {ℝ}^{n} et f : U → {ℝ}^{p}. Soit a ∈ U tel que f soit différentiable au point a. On appelle matrice jacobienne de f au point a la matrice {J}_{f}(a) de l’application linéaire df(a) dans les bases canoniques de {ℝ}^{n} et {ℝ}^{p}. Si f({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) = ({f}_{1}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}),\mathop{\mathop{…}},{f}_{p}({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})), c’est la matrice

\begin{eqnarray*}{ J}_{f}(a) ={ \left ({ ∂{f}_{i} \over ∂{x}_{j}} (a)\right )}_{{ 1≤i≤p \atop 1≤j≤n} } = \left (\matrix{\,{ ∂{f}_{1} \over ∂{x}_{1}} (a)&\mathop{\mathop{…}}&{ ∂{f}_{1} \over ∂{x}_{n}} (a) \cr \mathop{\mathop{…}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{…}} \cr { ∂{f}_{p} \over ∂{x}_{1}} (a)&\mathop{\mathop{…}}&{ ∂{f}_{p} \over ∂{x}_{n}} (a)}\right ) ∈ {M}_{ℝ}(p,n)& & %& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration Il faut en effet mettre dans la j-ième colonne de {J}_{f}(a) les coordonnées du vecteur df(a).{e}_{j} = {∂}_{{e}_{j}}f(a) ={ ∂f \over ∂{x}_{j}} (a) = ({ ∂{f}_{1} \over ∂{x}_{j}} (a),\mathop{\mathop{…}},{ ∂{f}_{p} \over ∂{x}_{j}} (a)).

Le théorème de composition des applications différentiables va ainsi se traduire de la manière suivante sur les matrices jacobiennes

Définition 15.2.3 Soit U un ouvert de {ℝ}^{n}, V un ouvert de {ℝ}^{p}, f : U → {ℝ}^{p} telle que f(U) ⊂ V et g : V → {ℝ}^{q}. Soit a ∈ U tel que f soit différentiable au point a et g différentiable au point f(a). Alors on a {J}_{g∘f}(a) = {J}_{g}(f(a)){J}_{f}(a).

Démonstration La matrice de la composée de deux applications linéaires est le produit des matrices de ces applications linéaires dans des bases adéquates (ici les bases canoniques).

Remarque 15.2.5 Utilisons alors les formules donnant le produit de deux matrices. On va ainsi obtenir

{ \left ({ ∂g ∘ f \over ∂{x}_{j}} (a)\right )}_{i} ={ ∂{g}_{i} ∘ f \over ∂{x}_{j}} (a) ={ \mathop{∑ }}_{k=1}^{p}{ ∂{g}_{i} \over ∂{y}_{k}} (f(a)){ ∂{f}_{k} \over ∂{x}_{j}} (a)

ce qui n’est autre que la formule trouvée dans la première section pour les dérivées partielles d’une fonction composée, mais avec des hypothèses plus faibles (la condition g est {C}^{1} a été remplacée par g est différentiable au point a).

Définition 15.2.4 Soit U un ouvert de {ℝ}^{n} et f : U → {ℝ}^{n}. Soit a ∈ U tel que f soit différentiable au point a. On appelle jacobien de f au point a le nombre réel

{j}_{f}(a) =\mathop{ \mathrm{det}} {J}_{f}(a) = \left |\matrix{\,{ ∂{f}_{1} \over ∂{x}_{1}} (a)&\mathop{\mathop{…}}&{ ∂{f}_{1} \over ∂{x}_{n}} (a) \cr \mathop{\mathop{⋮}} &\mathop{\mathop{…}}&\mathop{\mathop{⋮}} \cr { ∂{f}_{n} \over ∂{x}_{1}} (a)&\mathop{\mathop{…}}&{ ∂{f}_{n} \over ∂{x}_{n}} (a)}\right |

Remarque 15.2.6 Soit U un ouvert de {ℝ}^{n}, V un ouvert de {ℝ}^{n}, f : U → {ℝ}^{n} telle que f(U) ⊂ V et g : V → {ℝ}^{n}. Soit a ∈ U tel que f soit différentiable au point a et g différentiable au point f(a). Alors on a {j}_{g∘f}(a) = {j}_{g}(f(a)){j}_{f}(a).

15.2.6 Inégalité des accroissements finis

Théorème 15.2.8 Soit E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E et f : U → F. Soit a,b ∈ U tels que [a,b] ⊂ U. On suppose que f est différentiable en tout point x de [a,b] et que, pour tout x ∈ [a,b], la norme de l’application linéaire df(x) est majorée par M ≥ 0. Alors

\|f(b) − f(a)\| ≤ M\|b − a\|

Démonstration Considérons φ : [0,1] → F définie par φ(t) = f((1 − t)a + tb). On a φ'(t) = df((1 − t)a + tb).{ d \over dt} ((1 − t)a + tb) = df((1 − t)a + tb).(b − a). On en déduit que \mathop{∀}t ∈ [a,b], \|φ'(t)\| ≤\| df((1 − t)a + tb)\|.\|b − a\| ≤ M\|b − a\|. L’inégalité des accroissements finis pour les fonctions d’une variable donne alors \|φ(1) − φ(0)\| ≤ M\|b − a\|(1 − 0) = M\|b − a\|, ce qu’il fallait démontrer.

Remarque 15.2.7 Cette inégalité des accroissements finis a des conséquences similaires à celles de l’inégalité des accroissements finis pour les fonctions d’une variable (en prenant soin de respecter la condition restrictive : [a,b] ⊂ U) ; parmi les plus importantes citons celle là

Corollaire 15.2.9 Soit E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert convexe de E et f : U → F une application différentiable telle que \mathop{∀}x ∈ U, \|df(x)\| ≤ M. Alors f est M-lipschitzienne.