14.5 Produit de convolution

14.5.1 Convolution de fonctions périodiques

Définition 14.5.1 Soit f,g : ℝ → ℂ continues par morceaux et périodiques de période . On définit le produit de convolution de f et g comme la fonction f ∗ g : ℝ → ℂ définie par

\mathop{∀}x ∈ ℝ, f ∗ g(x) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)g(x − t) dt

Théorème 14.5.1

Démonstration (i) On a f ∗ g(x + 2π) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)g(x + 2π − t) dt ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)g(x − t) dt = f ∗ g(x) puisque g est périodique de période . Montrons la continuité de f ∗ g. Supposons tout d’abord que f est en escalier et soit {a}_{0} = 0 ≤ {a}_{1} ≤\mathop{\mathop{…}} ≤ {a}_{p} = 2π une subdivision de [0,2π] adaptée à f, si bien que \mathop{∀}t ∈]{a}_{i−1},{a}_{i}[, f(t) = {λ}_{i} ; on a alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)g(x − t) dt& =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{p}{λ}_{ i}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }g(x − t) dt %& \\ & =& −{\mathop{∑ }}_{i=1}^{p}{λ}_{ i}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{x−{a}_{i−1}}^{x−{a}_{i} }g(u) du%& \\ \end{eqnarray*}

en faisant le changement de variable u = x − t. Comme une intégrale de fonction réglée dépend de fa\c{c}on continue des bornes d’intégration, l’application x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{x−{a}_{i−1}}^{x−{a}_{i}}g(u) du est continue et donc f ∗ g est continue. Si maintenant f est continue par morceaux, soit ({f}_{n}) une suite d’applications en escalier qui converge uniformément vers f. On a alors

\begin{eqnarray*} |f ∗ g(x) − {f}_{n} ∗ g(x)& =& \left |{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}(f(t) − {f}_{ n}(t))g(x − t) dt\right |%& \\ & ≤&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}|f(t) − {f}_{ n}(t)|\,|g(x − t)| dt %& \\ & ≤& \|f − {f{}_{n}\|}_{∞}\|{g\|}_{∞} %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre que la suite ({f}_{n} ∗ g) converge uniformément vers f ∗ g. Comme ces applications sont continues, il en est de même de f ∗ g.

(ii) est évident

(iii) On a, en faisant le changement de variable u = x − t et en remarquant que la fonction intégrée étant périodique de période , son intégrale sur le segment de longueur , [x − 2π,x] est égale à l’intégrale sur [0,2π]

\begin{eqnarray*} f ∗ g(x)& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)g(x − t) dt %& \\ & =& −{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{x}^{x−2π}f(x − u)g(u) du %& \\ & =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{x−2π}^{x}f(x − u)g(u) du %& \\ & =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(x − u)g(u) du = g ∗ f(x)%& \\ \end{eqnarray*}

Ceci démontre la commutativité.

(iv) On a

\begin{eqnarray*} (f ∗ g) ∗ h(x)& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f ∗ g(t)h(x − t) dt %& \\ & =&{ 1 \over 4{π}^{2}} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}h(x − t)\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(u)g(t − u) du\right ) dt%& \\ & =&{ 1 \over 4{π}^{2}} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(u)g(t − u)h(x − t) du\right ) dt%& \\ \end{eqnarray*}

Si f, g et h sont continues, le théorème de Fubini permet d’intervertir les deux signes d’intégration et on obtient

\begin{eqnarray*} (f ∗ g) ∗ h(x)&& %& \\ & =&{ 1 \over 4{π}^{2}} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(u)g(t − u)h(x − t) dt\right ) du %& \\ & =&{ 1 \over 4{π}^{2}} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(u)\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{2π}g(t − u)h(x − t) dt\right ) du %& \\ & =&{ 1 \over 4{π}^{2}} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(u)\left ({\mathop{∫ } }_{−u}^{2π−u}g(v)h(x − u − v) dv\right ) du%& \\ & =&{ 1 \over 4{π}^{2}} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(u)\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{2π}g(v)h(x − u − v) dv\right ) du %& \\ & =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(u) g ∗ h(x − u) du = f ∗ (g ∗ h)(x) %& \\ \end{eqnarray*}

en faisant le changement de variable v = t − u, soit t = v + u, dans l’intégrale interne et en utilisant le fait que la fonction est périodique de période . Si f et g sont seulement continues par morceaux, il suffit d’utiliser des subdivisions adaptées et de découper les intégrales suivant ces subdivisions.

Théorème 14.5.2 Soit f et g des applications de dans périodiques de période . On suppose que f est continue par morceaux et que g est de classe {C}^{k}. Alors f ∗ g est de classe {C}^{k} et {(f ∗ g)}^{(k)} = f ∗ ({g}^{(k)}).

Démonstration Une récurrence évidente permet d’obtenir le résultat pour k quelconque à partir de k = 1. Quitte à utiliser une subdivision de [0,2π] et à découper l’intégrale, il suffit de montrer que x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t)g(x − t) dt est de classe {C}^{1} lorsque f est continue sur [a,b] et g de classe {C}^{1} sur . Mais l’application (x,t)\mathrel{↦}f(t)g(x − t) admet une dérivée partielle par rapport à x égale à { ∂ \over ∂x} (f(t)g(x − t)) = f(t)g'(x − t) qui est une fonction continue du couple (x,t). Le théorème de dérivation des intégrales dépendant d’un paramètre montre que x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t)g(x − t) dt est de classe {C}^{1} et que

(f ∗ g)'(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ ∂ \over ∂x} (f(t)g(x − t)) dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t)g'(x − t) dt

Ceci montre que f ∗ g est de classe {C}^{1} et que (f ∗ g)' = f ∗ (g').

14.5.2 Produit de convolution et séries de Fourier

Théorème 14.5.3 Soit f et g des applications de dans périodiques de période , continues par morceaux. Alors \mathop{∀}n ∈ ℤ, {c}_{n}(f ∗ g) = {c}_{n}(f){c}_{n}(g).

Démonstration On a pour f continue par morceaux,

\begin{eqnarray*} f ∗ {e}_{n}(x)& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t){e}^{in(x−t)} dt ={ 1 \over 2π} {e}^{inx}{\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t){e}^{−int} dt%& \\ & =& {c}_{n}(f){e}^{inx} %& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que

\begin{eqnarray*}{ c}_{n}(f ∗ g)& =& (f ∗ g) ∗ {e}_{n}(0) = f ∗ (g ∗ {e}_{n})(0) %& \\ & =& f ∗ ({c}_{n}(g){e}_{n})(0) = {c}_{n}(g)(f ∗ {e}_{n})(0) = {c}_{n}(g){c}_{n}(f)%& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 14.5.1 Pour une fonction g donnée, l’application f\mathrel{↦}f ∗ g se traduit donc comme un filtre sur le signal f : l’amplitude {c}_{n}(f) de l’harmonique de f correspondant à la fréquence n est multipliée par le coefficient {c}_{n}(g). Comme les {c}_{n}(g) tendent vers 0 quand |n| tend vers + ∞, on voit qu’il ne peut exister d’élément neutre pour le produit de convolution, c’est-à-dire de fonction ε telle que \mathop{∀}f ∈C, f ∗ ε = f.