14.4 Fonctions périodiques de période T

Remarque 14.4.1 Remarquons que si f est périodique de période T, alors \tilde{f} définie par \tilde{f}(t) = f({ T \over 2π} t) est périodique de période et l’on a f(x) =\tilde{ f}({ 2π \over T} x). Ceci permet d’adapter tous les résultats précédents aux fonctions de période T.

On pose

\begin{eqnarray*} (f\mathrel{∣}g)& =&{ 1 \over T} {\mathop{∫ } }_{0}^{T}\overline{f(t)}g(t) dt ={ 1 \over T} {\mathop{∫ } }_{a}^{a+T}\overline{f(t)}g(t) dt%& \\ \|{f\|}_{2}^{2}& =& (f\mathrel{∣}f) ={ 1 \over T} {\mathop{∫ } }_{0}^{T}|f(t){|}^{2} dt %& \\ {e}_{n}(t)& =& {e}^{2iπnt∕T} %& \\ \end{eqnarray*}

Alors {({e}_{n})}_{n∈ℤ} est une famille orthonormée de C. On définit les coefficients de Fourier de f ∈C par

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}n ∈ ℤ,\quad {c}_{n}(f)& =& ({e}_{n}\mathrel{∣}f) ={ 1 \over T} {\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t){e}^{−2πint∕T} dt%& \\ \mathop{∀}n ≥ 0,\quad {a}_{n}(f)& =&{ 2 \over T} {\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t)\mathop{cos} { 2πnt \over T} dt %& \\ \mathop{∀}n ≥ 1,\quad {b}_{n}(f)& =&{ 2 \over T} {\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t)\mathop{sin} { 2πnt \over T} dt %& \\ \end{eqnarray*}

la série de Fourier de f par

\begin{eqnarray*}{ c}_{0}(f)& +& {\mathop{∑ }}_{n≥1}({c}_{n}(f){e}^{2πinx∕T} + {c}_{ −n}(f){e}^{−2πinx∕T}) %& \\ & =&{ {a}_{0}(f) \over 2} +{ \mathop{∑ }}_{n≥1}({a}_{n}(f)\cos { 2πnx \over T} + {b}_{n}(f)\sin{ 2πnx \over T} )%& \\ \end{eqnarray*}

et on a les théorèmes

Théorème 14.4.1 (Bessel). Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période T. Alors la série |{c}_{0}(f){|}^{2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n≥1}(|{c}_{n}(f){|}^{2} + |{c}_{−n}(f){|}^{2}) est convergente et on a

|{c}_{0}(f){|}^{2} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{c}_{ n}(f){|}^{2} + |{c}_{ −n}(f){|}^{2}) ≤\| {f\|}_{ 2}^{2}

Théorème 14.4.2 (Dirichlet). Soit f : ℝ → ℂ de classe {C}^{1} par morceaux et périodique de période T. Alors la série de Fourier de f converge sur et \mathop{∀}x ∈ ℝ,

\begin{eqnarray*}{ f({x}^{+}) + f({x}^{−}) \over 2} && %& \\ & =& {c}_{0}(f) +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}({c}_{ n}(f){e}^{2πinx∕T} + {c}_{ −n}(f){e}^{−2πinx∕T}) %& \\ & =&{ {a}_{0}(f) \over 2} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}({a}_{ n}(f)\cos { 2πnx \over T} + {b}_{n}(f)\sin { 2πnx \over T} )%& \\ \end{eqnarray*}

Théorème 14.4.3 (Dirichlet). Soit f : ℝ → ℂ périodique de période Tde classe {C}^{1} par morceaux et continue. Alors la série |{c}_{0}(f)| +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n≥1}(|{c}_{n}(f)| + |{c}_{−n}(f)|) converge, la série de Fourier de f converge normalement sur et on a \mathop{∀}x ∈ ℝ,

\begin{eqnarray*} f(x)& =& {c}_{0}(f) +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}({c}_{ n}(f){e}^{2πinx∕T} + {c}_{ −n}(f){e}^{−2πinx∕T}) %& \\ & =&{ {a}_{0}(f) \over 2} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}({a}_{ n}(f)\cos { 2πnx \over T} + {b}_{n}(f)\sin { 2πnx \over T} )%& \\ \end{eqnarray*}

(autrement dit f est somme de sa série de Fourier).

Théorème 14.4.4 Soit f : ℝ → ℂ périodique de période T de classe {C}^{k}. Alors

\mathop{∀}n ∈ ℤ, {c}_{n}(f) ={ \left ({ 2πin \over T} \right )}^{k}{c}_{ n}({f}^{(k)})

et, quand |n| tend vers + ∞, {c}_{n}(f) = o({ 1 \over {n}^{k}} ).

Théorème 14.4.5 (Parseval-Plancherel). Soit f : ℝ → ℂ périodique de période T et continue par morceaux. Alors

\begin{eqnarray*} \|{f\|}_{2}^{2}& =&{ 1 \over T} {\mathop{∫ } }_{0}^{T}|f(t){|}^{2} dt %& \\ & =& |{c}_{0}(f){|}^{2} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{c}_{ n}(f){|}^{2} + |{c}_{ −n}(f){|}^{2}) %& \\ & =&{ |{a}_{0}(f){|}^{2} \over 4} +{ 1 \over 2} {\mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{a}_{ n}(f){|}^{2} + |{b}_{ n}(f){|}^{2})%& \\ \end{eqnarray*}