14.3 Série de Fourier d’une fonction

14.3.1 Les espaces C et D

Définition 14.3.1 On considère l’espace vectoriel C des fonctions de dans , continues par morceaux et périodiques de période . On désignera par D le sous-espace vectoriel des applications f : ℝ → ℂ, continues par morceaux, périodiques de période et vérifiant \mathop{∀}x ∈ ℝ, f(x) ={ f({x}^{+})+f({x}^{−}) \over 2} (où f({x}^{+}) et f({x}^{−}) désignent respectivement les limites à gauche et à droite de f au point x). Pour f,g ∈C, on posera (f\mathrel{∣}g) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}\overline{f(t)}g(t) dt, \|{f\|}_{2} = \sqrt{(f\mathrel{∣} f)} et {e}_{n} : t\mathrel{↦}{e}^{int}.

Théorème 14.3.1 L’application (f,g)\mathrel{↦}(f\mathrel{∣}g) est une forme hermitienne positive sur C dont la restriction à D est définie positive. La famille {({e}_{n})}_{n∈ℤ} est une famille orthonormée de C. Pour toute f ∈C, on a \|{f\|}_{2} ≤\| {f\|}_{∞} (norme de la convergence uniforme).

Démonstration Le caractère sesquilinéaire et la symétrie hermitienne sont évidents. Si f ∈C, on a (f\mathrel{∣}f) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}|f(t){|}^{2} dt ≥ 0. La nullité de (f\mathrel{∣}f) nécessite que f soit nulle en tout point de [0,2π] où elle est continue, soit sur [0,2π] privé d’un nombre fini de points. Si f est dans D, alors en chacun de ces points on a f({x}^{+}) = f({x}^{−}) = 0 (car il existe tout un intervalle ouvert à gauche de x sur lequel f est nul, et de même à droite) et donc f(x) = 0, par conséquent f est la fonction nulle sur [0,2π], donc sur .

Remarque 14.3.1 On prendra garde que si f est seulement continue par morceaux, \|{f\|}_{2} = 0 n’implique pas f = 0.

14.3.2 Coefficients de Fourier d’une fonction continue par morceaux

Définition 14.3.2 Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période . On définit les coefficients de Fourier de la fonction f par

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}n ∈ ℤ,\quad {c}_{n}(f)& =& ({e}_{n}\mathrel{∣}f) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t){e}^{−int} dt%& \\ \mathop{∀}n ≥ 0,\quad {a}_{n}(f)& =&{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)\mathop{cos} nt dt %& \\ \mathop{∀}n ≥ 1,\quad {b}_{n}(f)& =&{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)\mathop{sin} nt dt %& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 14.3.2 Les fonctions intégrées étant périodiques de période , on a aussi pour tout a ∈ ℝ, {c}_{n}(f) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{a}^{a+2π}f(t){e}^{−int} dt, {a}_{n}(f) ={ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{a}^{a+2π}f(t)\mathop{cos} nt dt, {b}_{n}(f) ={ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{a}^{a+2π}f(t)\mathop{sin} nt dt et en particulier {c}_{n}(f) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{−π}^{π}f(t){e}^{−int} dt, {a}_{n}(f) ={ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{−π}^{π}f(t)\mathop{cos} nt dt, {b}_{n}(f) ={ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{−π}^{π}f(t)\mathop{sin} nt dt

Proposition 14.3.2 On a les relations suivantes

\begin{eqnarray*} {c}_{0}(f)& =&{ {a}_{0}(f) \over 2} %& \\ \mathop{∀}n ≥ 1,\quad {c}_{n}(f)& =&{ {a}_{n}(f) − i{b}_{n}(f) \over 2} ,\quad {c}_{−n}(f) ={ {a}_{n}(f) + i{b}_{n}(f) \over 2} %& \\ \mathop{∀}n ≥ 1,\quad {a}_{n}(f)& =& {c}_{n}(f) + {c}_{−n}(f),\quad {b}_{n} = i({c}_{n}(f) − {c}_{−n}(f)) %& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration Elémentaire

Proposition 14.3.3 Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période . Si f est à valeurs réelles, on a {a}_{n}(f) ∈ ℝ, {b}_{n}(f) ∈ ℝ et {c}_{−n}(f) = \overline{{c}_{n}(f)}. Si f est paire (resp. impaire) on a {b}_{n}(f) = 0 (resp. {a}_{n}(f) = 0).

Démonstration Si f est à valeurs réelles, il en est de même de x\mathrel{↦}f(x)\mathop{cos} nx et de x\mathrel{↦}f(x)\mathop{sin} nx ce qui montre que {a}_{n}(f) et {b}_{n}(f) sont réels ; de plus f(x){e}^{inx} = \overline{f(x){e}^{−inx}} ce qui montre que {c}_{−n}(f) = \overline{{c}_{n}(f)}. Si f est paire, on a {b}_{n}(f) ={ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{−π}^{π}f(x)\mathop{sin} nx dx = 0 puisque la fonction f(x)\mathop{sin} nx est impaire. Le raisonnement est similaire si f est impaire avec les {a}_{n}(f).

Définition 14.3.3 Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période . On appelle série de Fourier de la fonction f la série trigonométrique

\begin{eqnarray*}{ c}_{0}(f) +{ \mathop{∑ }}_{n≥1}({c}_{n}(f){e}^{inx} + {c}_{ −n}(f){e}^{−inx})&& %& \\ & & ={ {a}_{0}(f) \over 2} +{ \mathop{∑ }}_{n≥1}({a}_{n}(f)\cos nx + {b}_{n}(f)\sin nx)%& \\ \end{eqnarray*}

Définition 14.3.4 Pour n ≥ 1, on posera (sommes partielles de la série de Fourier)

\begin{eqnarray*}{ S}_{n}(f)(x)& =& {c}_{0}(f) +{ \mathop{∑ }}_{p=1}^{n}({c}_{ p}(f){e}^{ipx} + {c}_{ −p}(f){e}^{−ipx}) %& \\ & =&{ {a}_{0}(f) \over 2} +{ \mathop{∑ }}_{p=1}^{n}({a}_{ p}(f)\cos px + {b}_{p}(f)\sin px)%& \\ \end{eqnarray*}

14.3.3 Inégalité de Bessel et théorème de Riemann-Lebesgue

Définition 14.3.5 Pour N ≥ 1, on posera {T}_{N} =\mathop{ \mathrm{Vect}}({e}_{−N},{e}_{−N+1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{−1},{e}_{0},{e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{N−1},{e}_{N}) (espace vectoriel des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à N.

Remarque 14.3.3 On a également

{T}_{N} = \{x\mathrel{↦}{ {a}_{0} \over 2} +{ \mathop{∑ }}_{p=1}^{N}({a}_{ p} \cos px + {b}_{p} \sin px)\}

Par définition même ({e}_{−N},{e}_{−N+1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{−1},{e}_{0},{e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{N−1},{e}_{N}) est une base orthonormée de {T}_{N}.

Lemme 14.3.4 Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période . Alors \|{S}_{N}{(f)\|}_{2}^{2} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=−N}^{N}|{c}_{k}(f){|}^{2}.

Démonstration {c}_{−N}(f),\mathop{\mathop{…}},{c}_{0}(f),\mathop{\mathop{…}},{c}_{N}(f) sont les coordonnées de {S}_{N}(f) dans la base orthonormée ({e}_{−N},{e}_{−N+1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{−1},{e}_{0},{e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{N−1},{e}_{N}) ; la norme au carré de {S}_{N}(f) est donc la somme des carrés des modules de ces coordonnées ; d’où le résultat.

Lemme 14.3.5 Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période . Alors {S}_{N}(f) est la projection orthogonale de f sur le sous-espace vectoriel {T}_{N}.

Démonstration Puisque {S}_{N}(f) appartient à {T}_{N}, il suffit de montrer que f − {S}_{N}(f) ⊥ {T}_{N} ou encore que \mathop{∀}n ∈ [−N,N], ({e}_{n}\mathrel{∣}f − {S}_{N}(f)) = 0, ou encore que \mathop{∀}n ∈ [−N,N], ({e}_{n}\mathrel{∣}f) = ({e}_{n}\mathrel{∣}{S}_{N}(f)). Mais ({e}_{n}\mathrel{∣}{S}_{N}(f)) est la coordonnée suivant {e}_{n} de {S}_{N}(f) (puisque la base est orthonormée), c’est donc {c}_{n}(f) = ({e}_{n}\mathrel{∣}f) par définition, ce qui montre le résultat.

Théorème 14.3.6 (Bessel). Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période . Alors la série |{c}_{0}(f){|}^{2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n≥1}(|{c}_{n}(f){|}^{2} + |{c}_{−n}(f){|}^{2}) est convergente et on a

|{c}_{0}(f){|}^{2} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{c}_{ n}(f){|}^{2} + |{c}_{ −n}(f){|}^{2}) ≤\| {f\|}_{ 2}^{2}

Démonstration Puisque {S}_{N}(f) est la projection orthogonale de f sur {T}_{N}, on a f = {S}_{N}(f) + (f − {S}_{N}(f)) avec {S}_{N}(f) ⊥ f − {S}_{N}(f). Le théorème de Pythagore assure que \|{f\|}_{2}^{2} =\| {S}_{N}{(f)\|}_{2}^{2} +\| f − {S}_{N}{(f)\|}_{2}^{2}, d’où encore d’après le lemme 1

|{c}_{0}(f){|}^{2} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{N}(|{c}_{ n}(f){|}^{2} + |{c}_{ −n}(f){|}^{2}) =\| {S}_{ N}{(f)\|}_{2}^{2} ≤\| {f\|}_{ 2}^{2}

La série à termes positifs |{c}_{0}(f){|}^{2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n≥1}(|{c}_{n}(f){|}^{2} + |{c}_{−n}(f){|}^{2}) a ses sommes partielles majorées par \|{f\|}_{2}^{2}, donc elle converge et sa somme est majorée par \|{f\|}_{2}^{2}, ce qui achève la démonstration.

Remarque 14.3.4 Un calcul élémentaire montre que pour n ≥ 1,

|{c}_{n}(f){|}^{2} + |{c}_{ −n}(f){|}^{2} ={ 1 \over 2} (|{a}_{n}(f){|}^{2} + |{b}_{ n}(f){|}^{2})

ce qui montre que les séries \mathop{\mathop{∑ }} |{a}_{n}(f){|}^{2} et \mathop{\mathop{∑ }} |{b}_{n}(f){|}^{2} convergent et que (en tenant compte de {a}_{0}(f) ={ {c}_{0}(f) \over 2} )

{ |{a}_{0}(f){|}^{2} \over 4} +{ 1 \over 2} {\mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{a}_{ n}(f){|}^{2} + |{b}_{ n}(f){|}^{2}) ≤\| {f\|}^{2}

Théorème 14.3.7 (Riemann-Lebesgue). Soit f : ℝ → ℂ continue par morceaux et périodique de période . Alors

{\mathop{lim}}_{n→±∞}{c}_{n}(f) ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{a}_{n}(f) ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{b}_{n}(f) = 0

Démonstration Puisque les séries {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}(|{c}_{n}(f){|}^{2} + |{c}_{−n}(f){|}^{2}), \mathop{\mathop{∑ }} |{a}_{n}(f){|}^{2} et \mathop{\mathop{∑ }} |{b}_{n}(f){|}^{2} sont convergentes, leurs termes généraux admettent la limite 0, ce qui montre le résultat.

14.3.4 Les théorèmes de Dirichlet

Nous aurons besoin par la suite du lemme suivant

Lemme 14.3.8 Pour tout entier n ≥ 1 et pour t\mathrel{∉}2πℤ, {\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=−n}^{n}{e}^{ikt} ={ \mathop{sin} (2n+1){ t \over 2} \over \mathop{sin} { t \over 2} } .

Démonstration On a en effet

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{k=−n}^{n}{e}^{ikt}& =& {e}^{−int}{ \mathop{∑ }}_{k=0}^{2n}{e}^{ikt} = {e}^{−int}{ {e}^{(2n+1)it} − 1 \over {e}^{it} − 1} %& \\ & =&{ {e}^{(n+1)it} − {e}^{−int} \over {e}^{it} − 1} ={ {e}^{(n+{ 1 \over 2} )it} − {e}^{−(n+{ 1 \over 2} )it} \over {e}^{i{ t \over 2} } − {e}^{−i{ t \over 2} }} %& \\ \end{eqnarray*}

en multipliant numérateur et dénominateur par {e}^{−it∕2}. On en déduit immédiatement la formule souhaitée.

Théorème 14.3.9 (Dirichlet). Soit f : ℝ → ℂ de classe {C}^{1} par morceaux et périodique de période . Alors la série de Fourier de f converge sur et

\mathop{∀}x ∈ ℝ,{ f({x}^{+}) + f({x}^{−}) \over 2} = {c}_{0}(f) +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}({c}_{ n}(f){e}^{inx} + {c}_{ −n}(f){e}^{−inx})

Démonstration On a

\begin{eqnarray*}{ S}_{n}(f)(x)& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∑ }}_{k=−n}^{n}{e}^{inx}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{2π}f(t){e}^{−int} dt%& \\ & =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)\left ({\mathop{∑ }}_{k=−n}^{n}{e}^{in(x−t)}\right ) dt%& \\ & =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t){ \mathop{sin} (2n + 1){ x−t \over 2} \over \mathop{sin} { x−t \over 2} } dt %& \\ \end{eqnarray*}

Faisons le changement de variable t = x + u, on obtient

\begin{eqnarray*}{ S}_{n}(f)(x)& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{−x}^{2π−x}f(x + u){ \mathop{sin} (2n + 1){ u \over 2} \over \mathop{sin} { u \over 2} } du%& \\ & =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{−π}^{π}f(x + u){ \mathop{sin} (2n + 1){ u \over 2} \over \mathop{sin} { u \over 2} } du %& \\ \end{eqnarray*}

puisque la fonction intégrée est périodique de période et que donc son intégrale sur tout intervalle de longueur est la même. Coupons l’intégrale en deux, l’une de − π à 0, l’autre de 0 à π. Dans la première faisons le changement de variable u = −2v et dans la seconde le changement de variable u = 2v. On obtient

\begin{eqnarray*}{ S}_{n}(f)(x)& =&{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}f(x − 2v){ \mathop{sin} (2n + 1)v \over \mathop{sin} v} dv %& \\ & \text{} & +{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}f(x + 2v){ \mathop{sin} (2n + 1)v \over \mathop{sin} v} dv %& \\ & =&{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}(f(x + 2v) + f(x − 2v)){ \mathop{sin} (2n + 1)v \over \mathop{sin} v} dv%& \\ \end{eqnarray*}

Appliquons le résultat précédent à la fonction constante {f}_{0} : x\mathrel{↦}1. On a bien entendu {S}_{n}({f}_{0})(x) = 1 puisque {c}_{0}({f}_{0}) = 1 et {c}_{n}({f}_{0}) = 0 pour n\mathrel{≠}0 ; on obtient

1 ={ 2 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}{ \mathop{sin} (2n + 1)v \over \mathop{sin} v} dv

On en déduit que

\begin{eqnarray*}{ S}_{n}(f)(x) −{ f({x}^{+}) + f({x}^{−}) \over 2} =&& %& \\ & &{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}{ f(x + 2v) − f({x}^{+}) + f(x − 2v) − f({x}_{ −}) \over \mathop{sin} v} \mathop{sin} (2n + 1)v dv%& \\ \end{eqnarray*}

Considérons la fonction g périodique de période définie par

\begin{eqnarray*} g(v)& =&{ f(x + 2v) − f({x}^{+}) + f(x − 2v) − f({x}_{−}) \over \mathop{sin} v} \text{ pour }v ∈]0,{ π \over 2} ]%& \\ g(0)& =& 2(f'({x}^{+}) − f'({x}^{−})) %& \\ g(v)& =& 0\text{ pour }v ∈]{ π \over 2} ,2π[ %& \\ \end{eqnarray*}

Comme la fonction \tilde{f} définie par \tilde{f}(x) = f({x}^{+}) et \tilde{f}(t) = f(t) pour t > x est dérivable à droite au point x (puisque f est de classe {C}^{1} par morceaux), on a, quand v tend vers 0 par valeurs supérieures,

\begin{eqnarray*}{ f(x + 2v) − f({x}^{+})) \over \mathop{sin} v} & {∼}_{v→0,v>0}&{ f(x + 2v) − f({x}^{+}) \over v} %& \\ & = & 2{ \tilde{f}(x + 2v) −\tilde{ f}(x) \over 2v} %& \\ \end{eqnarray*}

de limite 2f'({x}^{+}). De même on a

{\mathop{lim}}_{v→0,v>0}{ f(x − 2v) − f({x}_{−}) \over \mathop{sin} v} = −2f'({x}^{−})

ce qui montre que g est continue à droite au point 0. On en déduit immédiatement que g est continue par morceaux. Mais alors

\begin{eqnarray*}{ S}_{n}(f)(x) −{ f({x}^{+}) + f({x}^{−}) \over 2} && %& \\ & =&{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}g(v)\mathop{sin} (2n + 1)v dv = {b}_{ 2n+1}(g)%& \\ \end{eqnarray*}

D’après le théorème de Riemann-Lebesgue, cette expression tend vers 0 quand n tend vers + ∞, ce qui montre à la fois la convergence de la série et donne la valeur de sa somme.

Lemme 14.3.10 Soit f : ℝ → ℂ périodique de période de classe {C}^{1} par morceaux et continue. Alors \mathop{∀}n ∈ ℤ, {c}_{n}(f') = in{c}_{n}(f) (où f' désigne la fonction de D égale à la dérivée de f sauf en un nombre fini de points modulo ).

Démonstration Soit σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤p} une subdivision de [0,2π] adaptée à f. En tout point de [0,2π] ∖\{{a}_{0},\mathop{\mathop{…}},{a}_{p}\}, f'(t) est la dérivée de f et on pose f'({a}_{i}) ={ 1 \over 2} (f'({a}_{i}^{+}) + f'({a}_{ i}^{−})), si bien que f' ∈D. Une intégration par parties donne, si [a,b] ⊂]{a}_{i−1},{a}_{i}[,

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f'(t){e}^{−int} dt& =&{ \left [f(t){e}^{−int}\right ]}_{ a}^{b} + in{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t){e}^{−int} dt %& \\ & =& f(b){e}^{−inb} − f(a){e}^{−ina} + in{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t){e}^{−int} dt%& \\ \end{eqnarray*}

En faisant tendre a vers {a}_{i−1} et b vers {a}_{i}, en tenant compte de la continuité de f aux points {a}_{i−1} et {a}_{i} on obtient

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }f'(t){e}^{−int} dt& =& f({a}_{ i}){e}^{−in{a}_{i} } − f({a}_{i−1}){e}^{−in{a}_{i−1} }%& \\ & \text{} & +in{\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }f(t){e}^{−int} dt %& \\ \end{eqnarray*}

et en sommant

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f'(t){e}^{−int} dt&& %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{p}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }f'(t){e}^{−int} dt %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{p}\left (f({a}_{ i}){e}^{−in{a}_{i} } − f({a}_{i−1}){e}^{−in{a}_{i−1} }\right ) + in{\mathop{\mathop{∫ } } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }f(t){e}^{−int} dt%& \\ & =& f({a}_{p}){e}^{−in{a}_{p} } − f({a}_{0}){e}^{−in{a}_{0} } + in{\mathop{∫ } }_{{a}_{0}}^{{a}_{p} }f(t){e}^{−int} dt %& \\ & =& in{\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t){e}^{−int} dt %& \\ \end{eqnarray*}

puisque {a}_{0} = 0, {a}_{p} = 2π, f({a}_{p}){e}^{−in{a}_{p}} = f(2π){e}^{−in2π} = f(2π) = f(0) = f({a}_{0}){e}^{−in{a}_{0}}. En divisant par , on obtient {c}_{n}(f') = in{c}_{n}(f).

Théorème 14.3.11 (Dirichlet). Soit f : ℝ → ℂ périodique de période de classe {C}^{1} par morceaux et continue. Alors la série |{c}_{0}(f)| +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n≥1}(|{c}_{n}(f)| + |{c}_{−n}(f)|) converge, la série de Fourier de f converge normalement sur et on a

\mathop{∀}x ∈ ℝ, f(x) = {c}_{0}(f) +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}({c}_{ n}(f){e}^{inx} + {c}_{ −n}(f){e}^{−inx})

(autrement dit f est somme de sa série de Fourier).

Démonstration Pour a et b réels on a ab ≤{ 1 \over 2} ({a}^{2} + {b}^{2}) ; on en déduit que si n\mathrel{≠}0, on a 0 ≤|{c}_{n}(f)| = \left |{ {c}_{n}(f') \over in} \right |≤{ 1 \over 2} (|{c}_{n}(f){|}^{2} +{ 1 \over {n}^{2}} ). D’après le théorème de Bessel, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}|{c}_{n}(f'){|}^{2} converge et d’après la théorie des séries de Riemann la série \mathop{\mathop{∑ }} { 1 \over {n}^{2}} converge. On en déduit que la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}|{c}_{n}(f)| converge. On montre de la même fa\c{c}on que la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}|{c}_{−n}(f)| converge, d’où la convergence de la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}(|{c}_{n}(f)| + |{c}_{−n}(f)|). La convergence normale de la série de Fourier en résulte immédiatement puisque

\mathop{∀}x ∈ ℝ, |{c}_{n}(f){e}^{inx} + {c}_{ −n}(f){e}^{−inx}|≤|{c}_{ n}(f)| + |{c}_{−n}(f)|

qui est une série convergente indépendante de x. La formule résulte du premier théorème de Dirichlet en remarquant que si f est continue, f(x) ={ f({x}^{+})+f({x}^{−}) \over 2} .

14.3.5 Coefficients de Fourier des fonctions de classe {C}^{k}

Théorème 14.3.12 Soit f : ℝ → ℂ périodique de période de classe {C}^{k}. Alors

\mathop{∀}n ∈ ℤ, {c}_{n}(f) = {(in)}^{k}{c}_{ n}({f}^{(k)})

et, quand |n| tend vers + ∞, {c}_{n}(f) = o({ 1 \over {n}^{k}} ).

Démonstration On a vu que {c}_{n}(f') = in{c}_{n}(f) et il suffit de faire une récurrence évidente sur k pour obtenir {c}_{n}(f) = {(in)}^{k}{c}_{n}({f}^{(k)}). Comme le théorème de Riemann-Lebesgue assure que {\mathop{lim}}_{|n|→+∞}{c}_{n}({f}^{(k)}) = 0, on a {c}_{n}(f) = o({ 1 \over {n}^{k}} ).

Remarque 14.3.5 Autrement dit, plus la fonction est régulière, plus vite les coefficients de Fourier tendent vers 0 à l’infini. Si f est de classe {C}^{∞}, on a pour tout k ∈ ℕ, {\mathop{lim}}_{|n|→+∞}{n}^{k}{c}_{n}(f) = 0 (typiquement les coefficients de Fourier seront à décroissance exponentielle).

14.3.6 Le théorème de Parseval

Lemme 14.3.13 Soit f : ℝ → ℂ périodique de période et continue par morceaux. Alors, pour tout ε > 0, il existe g : ℝ → ℂ périodique de période , de classe {C}^{1} par morceaux et continue telle que \|f − {g\|}_{2} < ε.

Démonstration Supposons tout d’abord que f est en escalier et soit 0 = {a}_{0} < {a}_{1} < \mathop{\mathop{…}} < {a}_{p} = 2π une subdivision de [0,2π] adaptée à f avec f(t) = {λ}_{i} pour t ∈]{a}_{i−1},{a}_{i}[. Soit δ le pas de la subdivision. Pour { 2 \over n} < η définissons une fonction {g}_{n} par

  • (i) \mathop{∀}i ∈ [0,p], {g}_{n}({a}_{i}) = 0
  • (ii) \mathop{∀}i ∈ [1,p], \mathop{∀}t ∈ [{a}_{i−1} +{ 1 \over n} ,{a}_{i} −{ 1 \over n} ], {g}_{n}(t) = {λ}_{i}
  • (iii) {g}_{n} est affine sur chacun des intervalles [{a}_{i−1},{a}_{i−1} +{ 1 \over n} ] et [{a}_{i} −{ 1 \over n} ,{a}_{i}].

Il est clair que {g}_{n} est continue, affine par morceaux. Comme de plus {g}_{n}(0) = {g}_{n}(2π) = 0 elle se prolonge en une application continue et périodique de période sur . Puisque {g}_{n} est affine par morceaux, elle est a fortiori de classe {C}^{1} par morceaux. On a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }|f(t) − {g}_{n}(t){|}^{2} dt& =& {\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i−1}+{ 1 \over n} }|f(t) − {g}_{n}(t){|}^{2} dt + %& \\ & \text{} & {\mathop{∫ } }_{{a}_{i}−{ 1 \over n} }^{{a}_{i} }|f(t) − {g}_{n}(t){|}^{2} dt %& \\ \end{eqnarray*}

Mais on a g(t) = n{λ}_{i}(t − {a}_{i}) pour t ∈ [{a}_{i−1},{a}_{i−1} +{ 1 \over n} ] et g(t) = −n{λ}_{i}(t − {a}_{i}) pour t ∈ [{a}_{i} −{ 1 \over n} ,{a}_{i}]. On a donc

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }|f(t) − {g}_{n}(t){|}^{2} dt&& %& \\ & =& |{λ}_{i}{|}^{2}\left ({\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i−1}+{ 1 \over n} }{(1 − n(t − {a}_{i−1}))}^{2} dt\right . %& \\ & \text{} & \quad \quad + \left .{\mathop{∫ } }_{{a}_{i}−{ 1 \over n} }^{{a}_{i} }{(1 + n(t − {a}_{i}))}^{2} dt\right ) %& \\ & =& |{λ}_{i}{|}^{2}\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{{ 1 \over n} }{(1 − nu)}^{2} dt +{\mathop{∫ } }_{−{ 1 \over n} }^{0}{(1 + nu)}^{2} dt\right )%& \\ & =&{ |{λ}_{i}{|}^{2} \over 3n} \left ({\left [−{(1 − nu)}^{3}\right ]}_{ 0}^{{ 1 \over n} } +{ \left [{(1 + nu)}^{3}\right ]}_{−{ 1 \over n} }^{0}\right ) %& \\ & =&{ 2|{λ}_{i}{|}^{2} \over 3n} %& \\ \end{eqnarray*}

soit encore

2π\|f − {g{}_{n}\|}_{2}^{2} ={\mathop{∫ } }_{0}^{2π}|f(t) − {g}_{ n}(t){|}^{2} dt ={ 2 \over 3n} {\mathop{∑ }}_{i=1}^{p}|{λ}_{ i}{|}^{2}

On en déduit que {\mathop{lim}}_{n→+∞}\|f − {g{}_{n}\|}_{2} = 0 et que donc on peut trouver un n tel que { 2 \over n} < η avec \|f − {g{}_{n}\|}_{2} < ε.

Supposons maintenant que f est continue par morceaux. Sa restriction à [0,2π] est réglée et donc on peut trouver φ en escalier sur [0,2π[ (et que l’on prolonge par périodicité) telle que \|f − {φ\|}_{∞} <{ ε \over 2} . On a alors

\begin{eqnarray*} \|f − {φ\|}_{2}^{2}& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}|f(t) − φ(t){|}^{2} dt ≤{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}\|f − {φ\|}_{ ∞}^{2} dt%& \\ & =& \|f − {φ\|}_{∞}^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

soit encore \|f − {φ\|}_{2} ≤\| f − {φ\|}_{∞} <{ ε \over 2} . Mais d’autre part, comme φ est en escalier, on sait qu’on peut trouver g continue et affine par morceaux telle que \|φ − {g\|}_{2} <{ ε \over 2} . On a alors \|f − {g\|}_{2} ≤\| f − {φ\|}_{2} +\| φ − {g\|}_{2} < ε ce qui démontre le lemme.

Théorème 14.3.14 (Parseval-Plancherel). Soit f : ℝ → ℂ périodique de période et continue par morceaux. Alors

\begin{eqnarray*} \|{f\|}_{2}^{2}& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}|f(t){|}^{2} dt %& \\ & =& |{c}_{0}(f){|}^{2} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{c}_{ n}(f){|}^{2} + |{c}_{ −n}(f){|}^{2}) %& \\ & =&{ |{a}_{0}(f){|}^{2} \over 4} +{ 1 \over 2} {\mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{a}_{ n}(f){|}^{2} + |{b}_{ n}(f){|}^{2})%& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration On sait que |{c}_{0}(f){|}^{2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=1}^{N}(|{c}_{n}(f){|}^{2} + |{c}_{−n}(f){|}^{2}) =\| {S}_{N}{(f)\|}_{2}^{2}. D’autre part, à l’aide du théorème de Pythagore et puisque {S}_{N}(f) est la projection orthogonale de f sur le sous-espace {T}_{N} des polynômes trigonométriques de degré au plus N, on a \|{f\|}_{2}^{2} =\| {S}_{N}{(f)\|}_{2}^{2} +\| f − {S}_{N}{(f)\|}_{2}^{2}. Le résultat à démontrer est donc équivalent à {\mathop{lim}}_{N→+∞}\|{S}_{N}{(f)\|}_{2}^{2} =\| {f\|}_{2}^{2}, soit encore à {\mathop{lim}}_{N→+∞}\|f − {S}_{N}{(f)\|}_{2} = 0.

Supposons tout d’abord que f est {C}^{1} par morceaux et continue. On sait que la série de Fourier de f converge normalement, donc uniformément vers f. On a donc {\mathop{lim}}_{N→+∞}\|f − {S}_{N}{(f)\|}_{∞} = 0, mais comme ci dessus, on a \|f − {S}_{N}{(f)\|}_{2} ≤\| f − {S}_{N}{(f)\|}_{∞} ce qui montre que {\mathop{lim}}_{N→+∞}\|f − {S}_{N}{(f)\|}_{2} = 0.

Si maintenant f est seulement continue par morceaux, soit ε > 0 et g : ℝ → ℂ périodique de période , de classe {C}^{1} par morceaux et continue telle que \|f − {g\|}_{2} <{ ε \over 2} . D’après le premier cas, on a {\mathop{lim}}_{N→+∞}\|g − {S}_{N}{(g)\|}_{2} = 0 et donc il existe {N}_{0} ∈ ℕ tel que N ≥ {N}_{0} ⇒\| g − {S}_{N}{(g)\|}_{2} <{ ε \over 2} . Mais comme {S}_{N}(g) ∈ {T}_{N} et que {S}_{N}(f) est la projection orthogonale de f sur {T}_{N}, on a \|f − {S}_{N}{(f)\|}_{2} ≤\| f − {S}_{N}{(g)\|}_{2} soit encore, pour N ≥ {N}_{0},

\begin{eqnarray*} \|f − {S}_{N}{(f)\|}_{2}& ≤& \|f − {S}_{N}{(g)\|}_{2} ≤\| f − {g\|}_{2} +\| g − {S}_{N}{(g)\|}_{2}%& \\ & <&{ ε \over 2} +{ ε \over 2} = ε %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui démontre le résultat. La deuxième formule résulte d’un calcul précédent qui montre que

\begin{eqnarray*} |{c}_{0}(f){|}^{2}& +& {\mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{c}_{ n}(f){|}^{2} + |{c}_{ −n}(f){|}^{2}) %& \\ & =&{ |{a}_{0}(f){|}^{2} \over 4} +{ 1 \over 2} {\mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}(|{a}_{ n}(f){|}^{2} + |{b}_{ n}(f){|}^{2})%& \\ \end{eqnarray*}

Corollaire 14.3.15 (injectivité de la transformation de Fourier). Soit f et g deux fonctions de D telles que \mathop{∀}n ∈ ℕ, {c}_{n}(f) = {c}_{n}(g). Alors f = g.

Démonstration On a \mathop{∀}n ∈ ℕ, {c}_{n}(f − g) = 0, soit encore d’après le théorème de Parseval, \|f − {g\|}_{2} = 0. Comme f − g appartient à D sur laquelle le produit scalaire est défini positif, on a f − g = 0.

Remarque 14.3.6 Si on suppose seulement que f et g sont continues par morceaux, on obtient seulement que f et g coïncident sauf en un nombre fini de points (sur un intervalle de longueur ).