14.2 Séries trigonométriques

14.2.1 Rappels d’intégration

Lemme 14.2.1 Soit f : ℝ → ℂ périodique de période T, continue par morceaux. Alors, pour tout a ∈ ℝ, {\mathop{∫ } }_{a}^{a+T}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t) dt

Démonstration On écrit {\mathop{∫ } }_{a}^{a+T}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{0}f(t) dt+{\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t) dt+{\mathop{∫ } }_{T}^{a+T}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{0}f(t) dt+{\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t) dt+{\mathop{∫ } }_{0}^{a}f(u+T) du = {\mathop{∫ } }_{a}^{0}f(t) dt +{\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t) dt +{\mathop{∫ } }_{0}^{a}f(u) du ={\mathop{∫ } }_{0}^{T}f(t) dt en faisant le changement de variable u = t − T.

Lemme 14.2.2 Pour tout n ∈ ℤ, {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}{e}^{int} dt = 2π{δ}_{n}^{0}.

14.2.2 Généralités

Définition 14.2.1 (forme réelle). Soit {({a}_{n})}_{n≥0} et {({b}_{n})}_{n≥1} deux suites de nombres complexes. On appelle série trigonométrique associée la série de fonctions de dans ,

{a}_{0} +{ \mathop{∑ }}_{n≥1}({a}_{n} \cos nx + {b}_{n} \sin nx)

Remarque 14.2.1 Soit n ∈ {ℕ}^{∗} et {a}_{n} et {b}_{n} deux nombres complexes. On a alors {a}_{n}\mathop{ cos} nx + {b}_{n}\mathop{ sin} nx = {c}_{n}{e}^{inx} + {c}_{−n}{e}^{−inx} avec {c}_{n} ={ {a}_{n}−i{b}_{n} \over 2} et {c}_{−n} ={ {a}_{n}+i{b}_{n} \over 2} . Inversement, si on se donne deux nombres complexes {c}_{n} et {c}_{−n}, on a {c}_{n}{e}^{inx} + {c}_{−n}{e}^{−inx} = {a}_{n}\mathop{ sin} nx + {b}_{n}\mathop{ cos} nx avec {a}_{n} = {c}_{n} + {c}_{−n} et {b}_{n} = i({c}_{n} − {c}_{−n}). Ceci amène également à poser

Définition 14.2.2 (forme complexe). Soit {({c}_{n})}_{n∈ℤ} une suite de nombres complexes. On appelle série trigonométrique associée la série de fonctions de dans ,

{c}_{0} +{ \mathop{∑ }}_{n≥1}({c}_{n}{e}^{inx} + {c}_{ −n}{e}^{−inx})

On passe donc de la forme réelle à la forme complexe ou vice versa par les formules

\begin{eqnarray*} {a}_{0}& =& {c}_{0} %& \\ \mathop{∀}n ≥ 1,\quad {c}_{n}& =&{ {a}_{n} − i{b}_{n} \over 2} ,\quad {c}_{−n} ={ {a}_{n} + i{b}_{n} \over 2} %& \\ \mathop{∀}n ≥ 1,\quad {a}_{n}& =& {c}_{n} + {c}_{−n},\quad {b}_{n} = i({c}_{n} − {c}_{−n})%& \\ \end{eqnarray*}

14.2.3 Un cas de convergence normale

Théorème 14.2.3 On considère une série trigonométrique vérifiant les conditions équivalentes

  • (i) les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} |{a}_{n}| et \mathop{\mathop{∑ }} |{b}_{n}| sont convergentes.
  • (ii) les deux séries {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}|{c}_{n}| et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}|{c}_{−n}| sont convergentes.

Alors la série trigonométrique converge normalement sur , sa somme f est une fonction continue périodique de période et on a

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}n ∈ ℤ,\quad {c}_{n}& =&{ 1 \over 2π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t){e}^{−int} dt %& \\ \mathop{∀}n ≥ 1,\quad {a}_{n}& =&{ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)\mathop{cos} nt dt,\quad {b}_{ n} ={ 1 \over π} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t)\mathop{sin} nt dt%& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration Les relations |{a}_{n}|≤|{c}_{n}| + |{c}_{−n}|, |{b}_{n}|≤|{c}_{n}| + |{c}_{−n}|, |{c}_{n}|≤{ 1 \over 2} (|{a}_{n}| + |{b}_{n}|) et |{c}_{−n}|≤{ 1 \over 2} (|{a}_{n}| + |{b}_{n}|) (que l’on déduit facilement des relations du paragraphe précédent) montrent clairement l’équivalence. Alors on a

\mathop{∀}x ∈ ℝ, |{c}_{n}{e}^{inx} + {c}_{ −n}{e}^{−inx}|≤|{c}_{ n}| + |{c}_{−n}|

qui est une série convergente indépendante de x. On a donc la convergence normale de la série et en particulier la continuité de sa somme. Cette somme est évidemment périodique de période puisque toutes les applications x\mathrel{↦}{c}_{n}{e}^{inx} + {c}_{−n}{e}^{−inx} le sont. Soit p ∈ ℤ. On a aussi \mathop{∀}x ∈ ℝ, |({c}_{n}{e}^{inx} + {c}_{−n}{e}^{−inx}){e}^{−ipx}|≤|{c}_{n}| + |{c}_{−n}| ce qui montre que la série {c}_{0}{e}^{−ipx} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n≥1}({c}_{n}{e}^{inx} + {c}_{−n}{e}^{−inx}){e}^{−ipx} converge normalement sur , donc sur [0,2π]. Ceci justifie donc dans le calcul suivant l’interversion du signe d’intégrale et du signe somme

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}f(t){e}^{−ipt} dt&& %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}\left ({c}_{ 0}{e}^{−ipt} +{ \mathop{∑ }}_{n≥1}({c}_{n}{e}^{int} + {c}_{ −n}{e}^{−int}){e}^{−ipt}\right ) dt %& \\ & =& {c}_{0}{\mathop{∫ } }_{0}^{2π}{e}^{−ipt} dt %& \\ & \text{} & +{\mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}\left ({c}_{ n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{2π}{e}^{i(n−p)t} dt + {c}_{ −n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{2π}{e}^{−i(n+p)t} dt\right )%& \\ & =& 2π\left ({c}_{0}{δ}_{p}^{0} +{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}({c}_{ n}{δ}_{p}^{n} + {c}_{ −n}{δ}_{p}^{−n})\right ) = 2π{c}_{ p} %& \\ \end{eqnarray*}

en distinguant les différents cas possibles p = 0, p ≥ 1 ou p ≤−1. Les relations sur les {a}_{n} et {b}_{n} s’en déduisent facilement par les formules du premier paragraphe.

Remarque 14.2.2 La même technique permet d’aboutir aux mêmes formules dès que la série trigonométrique converge uniformément sur un segment de longueur .