14.1 Introduction : transformée de Fourier sur les groupes abéliens finis

Ce paragraphe sert simplement d’introduction à la suite du chapitre. Lors d’une première lecture il peut être sauté sans inconvénient.

14.1.1 Caractères des groupes abéliens finis

Définition 14.1.1 Soit (G,.) un groupe abélien fini. On appelle caractère de G tout morphisme de groupe χ de G dans ({ℂ}^{∗},.). On note \hat{G} l’ensemble des caractères de G.

Remarque 14.1.1 On vérifie immédiatement que \hat{G} est lui même muni d’une structure de groupes en posant (χχ')(x) = χ(x)χ'(x).

Proposition 14.1.1 Soit χ ∈\hat{ G}. Alors \mathop{∀}x ∈ G, |χ(x)| = 1.

Démonstration Puisque G est un groupe fini, tout élément est d’ordre fini, et donc il existe n ∈ ℕ tel que {x}^{n} = e. On a donc 1 = χ(e) = χ({x}^{n}) = χ{(x)}^{n} ce qui montre que χ(x) est une racine de l’unité donc de module 1.

Proposition 14.1.2 \hat{G} est un groupe abélien fini.

Démonstration On sait que \mathop{∀}x ∈ G, {x}^{|G|} = e. Le même raisonnement que ci dessus monte que χ(x) est une racine |G|-ième de l’unité. Donc \hat{G} est un sous-ensemble de l’ensemble des applications de G dans le groupe fini {Γ}_{|G|} des racines |G|-ièmes de l’unité, donc il est fini.

Lemme 14.1.3 Soit G un groupe abélien fini et H un sous-groupe de G. Soit ψ un caractère de H. Alors il existe un caractère χ de G dont la restriction à H est ψ.

Démonstration Pour des raisons de cardinal, il existe un sous-groupe K maximal auquel ψ admet un prolongement φ ∈\hat{ K}. Nous allons montrer par l’absurde que K = G, ce qui démontrera le lemme. Supposons donc que K\mathrel{≠}G et soit x ∈ G ∖ K. L’ensemble des n ∈ ℤ tel que {x}^{n} ∈ K est un sous-groupe de , donc de la forme dℤ pour un d > 0 (car ({x}^{|G|} = e ∈ K) et d\mathrel{≠}1 (car x\mathrel{∉}K). Soit ω ∈ ℂ tel que {ω}^{d} = φ({x}^{d}). Soit K' = \{{x}^{n}k\mathrel{∣}n ∈ ℤ, k ∈ K\} le sous-groupe de G engendré par K et x et prolongeons φ à K' en posant φ'({x}^{n}k) = {ω}^{n}φ(k). Montrons tout d’abord que φ' est bien définie. Si l’on a {x}^{n}k = {x}^{m}k', on a {x}^{n−m} = k'{k}^{−1} ∈ K et donc d divise n − m. Posons n − m = dq si bien que {x}^{dq} = k'{k}^{−1} ; on a alors φ(k')φ{(k)}^{−1} = φ({x}^{dq}) = φ{({x}^{d})}^{q} = {({ω}^{d})}^{q} = {ω}^{dq} = {ω}^{n−m}, si bien que {ω}^{n}φ(k) = {ω}^{m}φ(k') ce qui montre que φ' est bien définie. Il est élémentaire de vérifier que φ' est encore un morphisme de groupes et il est clair qu’il prolonge φ et donc qu’il prolonge ψ. Mais ceci contredit alors la maximalité de K. On a donc K = G et donc ψ se prolonge à G tout entier.

Théorème 14.1.4 Soit x ∈ G, x\mathrel{≠}e. Alors il existe χ ∈\hat{ G} tel que χ(x)\mathrel{≠}1.

Démonstration Soit d l’ordre de x, ω =\mathop{ exp} ({ 2iπ \over d} ), H le sous-groupe engendré par x. L’application {x}^{n}\mathrel{↦}{ω}^{n} est bien définie (car si {x}^{n} = {x}^{p}, alors d divise n − p et donc {ω}^{n} = {ω}^{p}) et c’est un caractère de H (facile). Donc il existe χ ∈\hat{ G} qui prolonge ψ. On a en particulier χ(x) = ω\mathrel{≠}1.

Définition 14.1.2 Si f est une application de G dans , on notera {\mathop{∫ } }_{G}f ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{x∈G}f(x). En posant alors (f\mathrel{∣}g) ={ 1 \over |G|} {\mathop{∫ } }_{G}\overline{f}g, on munit l’espace E des applications de G dans d’une structure d’espace hermitien.

Proposition 14.1.5

  • (i) Soit χ ∈\hat{ G}. Alors {\mathop{∫ } }_{G}χ = \left \{\cases{ 0 &si χ\mathrel{≠}1 \cr |G|&si χ = 1 } \right ..
  • (ii) Soit x ∈ G. Alors {\mathop{\mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}χ(x) = \left \{\cases{ 0 &si x\mathrel{≠}e \cr |\hat{G}|&si x = e } \right .

Démonstration (i) Supposons que χ\mathrel{≠}1 et soit x ∈ G tel que χ(x)\mathrel{≠}1. On a alors

χ(x){\mathop{∑ }}_{g∈G}χ(g) ={ \mathop{∑ }}_{g∈G}χ(xg) ={ \mathop{∑ }}_{g∈G}χ(g)

puisque g\mathrel{↦}xg est une bijection de G sur lui même. Comme χ(x)\mathrel{≠}1, on en déduit que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{g∈G}χ(g) = 0. Si par contre, χ = 1, on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{g∈G}χ(g) = |G|.

(ii) Si x\mathrel{≠}e, soit φ ∈\hat{ G} tel que φ(x)\mathrel{≠}1. On a alors

φ(x){\mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}χ(x) ={ \mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}(φχ)(x) ={ \mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}χ(x)

puisque χ\mathrel{↦}φχ est une bijection de \hat{G} sur lui même. Comme φ(x)\mathrel{≠}1, on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}χ(x) = 0. Si par contre, x = e, on a pour tout χ, χ(x) = 1 et donc {\mathop{\mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}χ(x) = |\hat{G}|.

Corollaire 14.1.6 |G| = |\hat{G}|.

Démonstration Soit S ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{x∈G}χ(x). On a (en utilisant le symbole de Kronecker {δ}_{a}^{b} = \left \{ \cases{ 1&si a = b \cr 0&si a\mathrel{≠}b
} \right .
et en notant 1 le caractère constant égal à 1) S ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}|G|{δ}_{χ}^{1} = |G|. Mais on a aussi S ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{x∈G}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}χ(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{x∈G}|\hat{G}|{δ}_{x}^{e} = |\hat{G}| d’où le résultat.

Corollaire 14.1.7 \hat{G} est une famille orthonormée de E.

Démonstration On a (χ\mathrel{∣}φ) ={ 1 \over |G|} {\mathop{∫ } }_{G}\overline{χ}φ = 0 si \overline{χ}φ\mathrel{≠}1, soit χ\mathrel{≠}φ (puisque \overline{χ(g)} ={ 1 \over χ(g)} comme nombre complexe de module 1). Si par contre, χ = φ, on a \overline{χ}φ = |χ{|}^{2} = 1 et donc (χ\mathrel{∣}φ) = 1.

14.1.2 Transformée de Fourier sur un groupe abélien fini

Définition 14.1.3 Soit G un groupe abélien fini et soit f : G → ℂ. On définit la transformée de Fourier de f comme étant l’application \hat{f} :\hat{ G} → ℂ définie par

\mathop{∀}χ ∈\hat{ G}, \hat{f}(χ) = (χ\mathrel{∣}f) = {1\over |G|}{\mathop{∫ } }_{G}f\overline{χ}

Théorème 14.1.8 (cf Dirichlet). Soit f : G → ℂ. Alors,

\mathop{∀}x ∈ G, f(x) ={ \mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}\hat{f}(χ)χ(x)

Démonstration On a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}\hat{f}(χ)χ(x)& =&{ 1 \over |G|} {\mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}{ \mathop{∑ }}_{y∈G}f(y)\overline{χ(y)}χ(x)%& \\ & =&{ 1 \over |G|} {\mathop{∑ }}_{y∈G}f(y){\mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}χ(x{y}^{−1}) %& \\ \end{eqnarray*}

puisque \overline{χ(y)} ={ 1 \over χ(y)} = χ({y}^{−1}). Mais, d’après un résultat précédent {\mathop{\mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}χ(x{y}^{−1}) = 0 si x{y}^{−1}\mathrel{≠}e, soit y\mathrel{≠}x et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}χ(x{y}^{−1}) = |\hat{G}| = |G| si y = x. D’où ne persiste dans la somme que le terme pour y = x et donc {\mathop{\mathop{∑ }} }_{χ∈\hat{G}}\hat{f}(χ)χ(x) = f(x).

Corollaire 14.1.9 \hat{G} est une base orthonormée de E.

Démonstration Le théorème précédent montre que c’est une famille génératrice et on a vu précédemment que c’est une famille orthonormée, donc libre.

Théorème 14.1.10 (cf Parseval-Plancherel). Soit f : G → ℂ. Alors

\|{f\|}^{2} = (f\mathrel{∣}f) ={ \mathop{∑ }}_{χ∈\hat{G}}|\hat{f}(χ){|}^{2}

Démonstration On a vu précédemment que les \hat{f}(χ) sont les coordonnées de f dans la base orthonormée \hat{G} de E et le carré de la norme de f dans E est la somme des modules des carrés des coordonnées dans une base orthonormée.