13.4 Endomorphismes d’un espace hermitien

13.4.1 Notion d’adjoint

Soit E un espace préhilbertien complexe

Définition 13.4.1 Soit E un espace préhilbertien complexe. Soit u,v ∈ L(E). On dit que u et v sont des endomorphismes adjoints si

\mathop{∀}x,y ∈ E, (u(x)\mathrel{∣}y) = (x\mathrel{∣}v(y))

Remarque 13.4.1 La symétrie hermitienne du produit scalaire montre clairement que u et v jouent des rôles symétriques, donc que u est adjoint de v si et seulement si v est adjoint de u.

Théorème 13.4.1 Soit E un espace hermitien. Tout endomorphisme de E admet un unique adjoint {u}^{∗}. Si u ∈ L(E), une base de E, Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ), alors

\mathop{\mathrm{Mat}} ({u}^{∗},ℰ) = {Ω}^{−1}{A}^{∗}Ω

Démonstration Soit une base de E et Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ). Comme φ est non dégénérée, la matrice Ω est inversible. Soit u,v ∈ L(E), A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ) et B =\mathop{ \mathrm{Mat}} (v,ℰ). Si x,y ∈ E, on a (u(x)\mathrel{∣}y) = {(AX)}^{∗}ΩY = {X}^{∗}{A}^{∗}ΩY et (x\mathrel{∣}v(y)) = {X}^{∗}ΩBY . L’unicité de la matrice de la forme sesquilinéaire (x,y)\mathrel{↦}(u(x)\mathrel{∣}y) montre que

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}x,y ∈ E, (u(x)\mathrel{∣}y) = (x\mathrel{∣}v(y))&& %& \\ & \mathrel{⇔} & {A}^{∗}Ω = ΩB \mathrel{⇔} B = {Ω}^{−1}{A}^{∗}Ω%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre à la fois l’existence et l’unicité de l’adjoint et la formule voulue.

Proposition 13.4.2 Soit E un espace hermitien. L’application u\mathrel{↦}{u}^{∗} est un endomorphisme semi-linéaire involutif de L(E). Si u,v ∈ L(E), alors u ∘ v aussi et {(u ∘ v)}^{∗} = {v}^{∗}∘ {u}^{∗}. Si u ∈ L(E) est inversible, alors {u}^{∗} est inversible et {({u}^{−1})}^{∗} = {({u}^{∗})}^{−1}.

Démonstration On a déjà vu que la relation u et v sont adjoints était symétrique, donc si u ∈ L(E), {u}^{∗} aussi et {u}^{∗∗} = u. Si u,v ∈ L(E), α,β ∈ ℂ, on a

\begin{eqnarray*} ((αu + βv)(x)\mathrel{∣}y)& =& (αu(x) + βv(x)\mathrel{∣}y) %& \\ & =& \overline{α}(u(x)\mathrel{∣}y) + \overline{β}(v(x)\mathrel{∣}y) %& \\ & =& \overline{α}(x\mathrel{∣}{u}^{∗}(y)) + \overline{β}(x\mathrel{∣}{v}^{∗}(y))%& \\ & =& (x\mathrel{∣}(\overline{α}{u}^{∗} + \overline{β}{v}^{∗})(y)) %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre que {(αu + βv)}^{∗} = \overline{α}{u}^{∗} + \overline{β}{v}^{∗} et donc la semilinéarité de u\mathrel{↦}{u}^{∗}. Si u,v ∈ L(E), on a

(u ∘ v(x)\mathrel{∣}y) = (v(x)\mathrel{∣}{u}^{∗}(y)) = (x\mathrel{∣}{v}^{∗}∘ {u}^{∗}(y))

ce qui montre que u ∘ v admet {v}^{∗}∘ {u}^{∗} comme adjoint.

Si u est inversible, on a {u}^{−1} ∘ u ={ \mathrm{Id}}_{E} d’où {({u}^{−1} ∘ u)}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}^{∗}, soit {u}^{∗}∘ {({u}^{−1})}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}. De même u ∘ {u}^{−1} ={ \mathrm{Id}}_{E} donne par passage à l’adjoint {({u}^{−1})}^{∗}∘ {u}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}. Ceci montre que {u}^{∗} est inversible et que {({u}^{−1})}^{∗} = {({u}^{∗})}^{−1}

Proposition 13.4.3 Soit E un espace hermitien, u ∈ L(E). Alors

Démonstration (i) Soit une base de E, Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ), alors \mathop{\mathrm{Mat}} ({u}^{∗},ℰ) = {Ω}^{−1}{A}^{∗}Ω. On a donc \mathop{\mathrm{det}} {u}^{∗} =\mathop{ \mathrm{det}} {Ω}^{−1}{A}^{∗}Ω =\mathop{ \mathrm{det}} {A}^{∗} = \overline{\mathop{\mathrm{det}} A} = \overline{\mathop{\mathrm{det}} u}. La démonstration est la même pour la trace et pour le polynôme caractéristique.

(ii) On a

\begin{eqnarray*} x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}& \mathrel{⇔} & {u}^{∗}(x) = 0 \mathrel{⇔} \mathop{∀}y ∈ E, ({u}^{∗}(x)\mathrel{∣}y) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}y ∈ E, (x\mathrel{∣}u(y)) = 0 \mathrel{⇔} x ∈ {(\mathop{\mathrm{Im}}u)}^{⊥}%& \\ \end{eqnarray*}

En appliquant ce résultat à {u}^{∗} on obtient, \mathop{\mathrm{Ker}}u = {(\mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗})}^{⊥} et en prenant l’orthogonal, \mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗} = {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥}

(iii) On a visiblement u(x) = 0 ⇒ {u}^{∗}u(x) = 0, donc \mathop{\mathrm{Ker}}u ⊂\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u ; mais d’autre part, si x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u, on a

\|u{(x)\|}^{2} = (u(x)\mathrel{∣}u(x)) = ({u}^{∗}u(x)\mathrel{∣}x) = (0\mathrel{∣}x) = 0

et donc u(x) = 0, soit \mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u ⊂\mathop{\mathrm{Ker}}u et l’égalité. On en déduit alors que

\mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗}u = {(\mathop{\mathrm{Ker}}{({u}^{∗}u)}^{∗})}^{⊥} = {(\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u)}^{⊥} = {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥} =\mathop{ \mathrm{Im}}{u}^{∗}

Une des propriétés essentielles de l’adjoint que nous utiliserons de fa\c{c}on systématique pour la réduction des endomorphismes est la suivante

Théorème 13.4.4 Soit u ∈ L(E). Soit F un sous-espace de E stable par u ; alors {F}^{⊥} est stable par {u}^{∗}.

Démonstration Soit x ∈ {F}^{⊥}. Si y ∈ F, on a φ({u}^{∗}(x),y) = φ(x,u(y)) = 0 puisque u(y) ∈ F et x ∈ {F}^{⊥}. Donc {u}^{∗}(x) ∈ {F}^{⊥} et {F}^{⊥} est stable par {u}^{∗}.

13.4.2 Endomorphismes hermitiens

Définition 13.4.2 Soit E un espace hermitien, u ∈ L(E). On dit que u est hermitien (ou autoadjoint) s’il vérifie les conditions équivalentes

  • (i) {u}^{∗} = u
  • (ii) \mathop{∀}x,y ∈ E, (u(x)\mathrel{∣}y) = (x\mathrel{∣}u(y))

Remarque 13.4.2 Si la base est orthonormée, alors \mathop{\mathrm{Mat}} (( \mathrel{∣} ),ℰ) = {I}_{n} et \mathop{\mathrm{Mat}} ({u}^{∗},ℰ) =\mathop{ \mathrm{Mat}} {(u,ℰ)}^{∗} ; en particulier

Théorème 13.4.5 Soit une base orthonormée de E ; alors u est hermitien si et seulement si \mathop{\mathrm{Mat}} (u,ℰ) est une matrice hermitienne.

Proposition 13.4.6 L’ensemble H(E) des endomorphismes hermitiens est un -sous-espace vectoriel de L(E) (mais pas un sous-espace vectoriel). On a L(E) = H(E) ⊕ iH(E)

Démonstration L’endomorphisme de {L}^{∗}(E), u\mathrel{↦}{u}^{∗} étant linéaire et involutif, l’espace L(E) est somme directe du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 (les endomorphismes hermitiens) et du sous-espace propre associé à la valeur propre -1 (les endomorphismes antihermitiens, qui ne sont autre que les endomorphismes hermitiens multipliés par i).

13.4.3 Groupe unitaire

Soit E un espace hermitien

Définition 13.4.3 On dit que u ∈ L(E) est un endomorphisme unitaire si on a les propriétés équivalentes

  • (i) \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| =\| x\|
  • (ii) \mathop{∀}x,y ∈ E, (u(x)\mathrel{∣}u(y)) = (x\mathrel{∣}y)
  • (iii) u est inversible et {u}^{−1} = {u}^{∗}
  • (iv) u ∘ {u}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}
  • (v) {u}^{∗}∘ u ={ \mathrm{Id}}_{E}

Démonstration (ii)(i) est évident (faire y = x). (i)(ii) provient de l’identité de polarisation et de la linéarité de u. Pour un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, on sait que l’inversibilité est équivalente à l’inversibilité à gauche ou à droite. On a donc (iii) \mathrel{⇔} (iv) \mathrel{⇔} (v). Supposons (ii) vérifié. Alors φ(x,y) = φ(u(x),u(y)) = φ(x,{u}^{∗}∘ u(y)), ce qui montre (puisque φ est non dégénérée) que {u}^{∗}∘ u ={ \mathrm{Id}}_{E} ; donc (ii)(v). De même (v)(ii) puisque φ(u(x),u(y)) = φ(x,{u}^{∗}∘ u(y)).

Théorème 13.4.7 L’ensemble U(E) des endomorphismes unitaires de E est un sous-groupe de (GL(E),∘). Pour tout endomorphisme unitaire u de E, on a |\mathop{\mathrm{det}} u| = 1. L’ensemble SU(E) des endomorphismes unitaires de déterminant 1 est un sous-groupe distingué de U(E).

Démonstration On a clairement {\mathrm{Id}}_{E} ∈ U(E). La définition (i) montre évidemment que si u et v sont unitaires, il en est de même de u ∘ v. De plus, soit u ∈ U(E) ; on a \|{u}^{−1}(x)\| =\| u({u}^{−1}(x))\| =\| x\| ce qui montre que {u}^{−1} ∈ U(E). Donc U(E) est un sous-groupe de (GL(E),∘). On a alors 1 =\mathop{ \mathrm{det}} {\mathrm{Id}}_{E} =\mathop{ \mathrm{det}} ({u}^{∗}∘ u) =\mathop{ \mathrm{det}} {u}^{∗}\mathop{\mathrm{det}} u = |\mathop{\mathrm{det}} u{|}^{2}, soit |\mathop{\mathrm{det}} u| = 1. L’application de U(E) dans le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1, u\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{det}} u est un morphisme de groupes ; son noyau SU(E) est donc un sous groupe distingué.

Théorème 13.4.8 Soit u ∈ L(E).

  • (i) Si u est unitaire, il envoie toute base orthonormée sur une base orthonormée.
  • (ii) Inversement, s’il existe une base orthonormée de E telle que u(ℰ) soit encore orthonormée, alors u est un endomorphisme unitaire.

Démonstration (i) On a (u({e}_{i})\mathrel{∣}u({e}_{j})) = ({e}_{i}\mathrel{∣}{e}_{j}) = {δ}_{i}^{j}.

(ii) Soit x =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i} ∈ E. On a \|{x\|}^{2} =\mathop{ \mathop{∑ }} |{x}_{i}{|}^{2}. Mais on a aussi u(x) =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}u({e}_{i}) et comme u(ℰ) est orthonormée, \|u{(x)\|}^{2} =\mathop{ \mathop{∑ }} |{x}_{i}{|}^{2} ; on a donc \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| =\| x\|.

Théorème 13.4.9 Soit u un endomorphisme unitaire et F un sous-espace de E stable par u. Alors {F}^{⊥} est stable par u.

Démonstration On a u(F) ⊂ F et comme u est inversible, on a \mathop{dim} u(F) =\mathop{ dim} F. On a donc u(F) = F. Soit donc x ∈ {F}^{⊥} et y ∈ F ; il existe z ∈ F tel que u(z) = y, d’où (u(x)\mathrel{∣}y) = (u(x)\mathrel{∣}u(z)) = (x\mathrel{∣}z) = 0, et donc u(x) ∈ {F}^{⊥}.

13.4.4 Matrices unitaires

Proposition 13.4.10 Soit E un espace hermitien. Soit u ∈ L(E), une base de E, Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (( \mathrel{∣} ),ℰ) et A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ). Alors u est un endomorphisme unitaire si et seulement si {A}^{∗}ΩA = Ω.

Démonstration On a φ(u(x),u(y)) = {(AX)}^{∗}Ω(AY ) = {X}^{∗}{A}^{∗}ΩAY . L’unicité de la matrice d’une forme bilinéaire montre que

\mathop{∀}x,y ∈ E, (u(x)\mathrel{∣}u(y)) = (x\mathrel{∣}y) \mathrel{⇔} {A}^{∗}ΩA = Ω

En particulier, si est une base orthonormée de E, u est un endomorphisme unitaire si et seulement si {A}^{∗}A = {I}_{n}. Ceci conduit à la définition suivante

Définition 13.4.4 Soit A ∈ {M}_{ℂ}(n). On dit que A est une matrice unitaire si elle vérifie les conditions équivalentes

  • (i) A est inversible et {A}^{−1} = {A}^{∗}
  • (ii) {A}^{∗}A = {I}_{n}
  • (iii) A{A}^{∗} = {I}_{n}

Théorème 13.4.11 L’ensemble U(n) des matrices carrées unitaires d’ordre n est un sous-groupe de (G{L}_{ℂ}(n),.). Pour toute matrice unitaire A, on a |\mathop{\mathrm{det}} A| = 1. L’ensemble SU(n) des matrices unitaires de déterminant 1 est un sous-groupe distingué de U(n) .

Démonstration On a clairement {I}_{n} ∈ U(n). La définition (i) montre évidemment que si A et B sont unitaires, il en est de même de AB. De plus, soit A ∈ U(n) ; on a {A}^{−1}{({A}^{−1})}^{∗} = {A}^{−1}{({A}^{∗})}^{∗} = {A}^{−1}A = {I}_{n} ce qui montre que {A}^{−1} ∈ U(n). Donc U(n) est un sous-groupe de (G{L}_{ℂ}(n),.). On a alors 1 =\mathop{ \mathrm{det}} {I}_{n} =\mathop{ \mathrm{det}} ({A}^{∗}A) = |\mathop{\mathrm{det}} A{|}^{2}, soit |\mathop{\mathrm{det}} A| = 1. L’application de U(n) dans le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1, A\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{det}} A est un morphisme de groupes multiplicatifs ; son noyau SU(n) est donc un sous-groupe distingué.

Dans ce paragraphe, on munira {ℂ}^{n} de la forme sesquilinéaire hermitienne naturelle (qui rend la base canonique orthonormée), c’est-à-dire que l’on posera (x\mathrel{∣}y) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}\overline{{x}_{i}}{y}_{i}

Théorème 13.4.12 Une matrice A ∈ {M}_{ℂ}(n) est unitaire si et seulement si ses vecteurs colonnes (resp. lignes) forment une base orthonormée de {ℂ}^{n}.

Démonstration Soit ({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n}) les vecteurs colonnes de A, ({l}_{1},\mathop{\mathop{…}},{l}_{n}) ses vecteurs lignes. On a

\begin{eqnarray*} A ∈ U(n)& \mathrel{⇔} & {A}^{∗}A = {I}_{ n} \mathrel{⇔} \mathop{∀}i,j, {({A}^{∗}A)}_{ i,j} = {δ}_{i}^{j} %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}i,j, {\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}\overline{{a}_{ k,i}}{a}_{k,j} = {δ}_{i}^{j} \mathrel{⇔} \mathop{∀}i,j, ({c}_{ i}\mathrel{∣}{c}_{j}) = {δ}_{i}^{j}%& \\ \end{eqnarray*}

De la même fa\c{c}on, en traduisant la relation A{A}^{∗} = {I}_{n}, on obtiendrait ({l}_{i}\mathrel{∣}{l}_{j}) = {δ}_{i}^{j}.

Théorème 13.4.13 Soit E un espace hermitien. Soit une base orthonormée de E, ℰ' une base de E. Alors on a équivalence de

  • (i) ℰ' est orthonormée
  • (ii) la matrice {P}_{ℰ}^{ℰ'} de passage de la base à la base ℰ' est unitaire.

Démonstration On sait que {P}_{ℰ}^{ℰ'} =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ)u est l’endomorphisme de E défini par \mathop{∀}i, u({e}_{i}) = {e}_{i}'. Or d’après les résultats du paragraphe précédent, u est un endomorphisme unitaire si et seulement si ℰ' est orthonormée ; mais d’autre part, comme est orthonormée, u est unitaire si et seulement si \mathop{\mathrm{Mat}} (u,ℰ) est une matrice unitaire, d’où l’équivalence entre (i) et (ii).

13.4.5 Réduction des endomorphismes normaux

Définition 13.4.5 Soit E un espace hermitien et u ∈ L(E). On dit que u est un endomorphisme normal si

{u}^{∗}u = u{u}^{∗}

Lemme 13.4.14 Soit u un endomorphisme normal. Alors \mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗} =\mathop{ \mathrm{Ker}}u.

Démonstration On a

\begin{eqnarray*} x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}& \mathrel{⇔} & ({u}^{∗}(x)\mathrel{∣}{u}^{∗}(x)) = 0 \mathrel{⇔} (u{u}^{∗}(x)\mathrel{∣}x) = 0%& \\ & \mathrel{⇔} & ({u}^{∗}u(x)\mathrel{∣}x) = 0 \mathrel{⇔} (u(x)\mathrel{∣}u(x)) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}u %& \\ \end{eqnarray*}

Lemme 13.4.15 2. Soit u un endomorphisme normal. Alors, pour tout λ ∈ ℂ, \mathop{\mathrm{Ker}}({u}^{∗}−\overline{λ}{\mathrm{Id}}_{E}) =\mathop{ \mathrm{Ker}}(u − λ{\mathrm{Id}}_{E}).

Démonstration Il suffit de remarquer que u − λ\mathrm{Id} est encore normal (élémentaire) et de lui appliquer le lemme précédent en remarquant que {u}^{∗}−\overline{λ}{\mathrm{Id}}_{E} = {(u − λ{\mathrm{Id}}_{E})}^{∗}

Théorème 13.4.16 Soit u un endomorphisme d’un espace hermitien. On a équivalence de

  • (i) u est normal
  • (ii) u est diagonalisable dans une base orthonormée.

Démonstration (ii)(i) Soit une base orthonormée de diagonalisation de u. Alors \mathop{\mathrm{Mat}} (u,ℰ) =\mathop{ diag}({λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n}). Comme est orthonormée, on a \mathop{\mathrm{Mat}} ({u}^{∗},ℰ) =\mathop{ \mathrm{Mat}} {(u,ℰ)}^{∗} =\mathop{ diag}(\overline{{λ}_{1}},\mathop{\mathop{…}},\overline{{λ}_{n}}). Les deux matrices diagonales commutant, on a u{u}^{∗} = {u}^{∗}u, donc u est normal.

(i)(ii) Montrons le résultat par récurrence sur \mathop{dim} E, le résultat étant évident si \mathop{dim} E = 1. Supposons que u est normal. Comme est algébriquement clos, u admet une valeur propre λ. Comme \mathop{\mathrm{Ker}}({u}^{∗}−\overline{λ}{\mathrm{Id}}_{E}) =\mathop{ \mathrm{Ker}}(u − λ{\mathrm{Id}}_{E}), {E}_{u}(λ) =\mathop{ \mathrm{Ker}}(u − λ{\mathrm{Id}}_{E}) est stable par {u}^{∗} et donc {E}_{u}{(λ)}^{⊥} est stable par {u}^{∗∗} = u. Mais comme {E}_{u}(λ) est stable par u, le sous-espace {E}_{u}{(λ)}^{⊥} est stable par {u}^{∗}. Soit v = {u}_{{|}_{{ E}_{u}{(λ)}^{⊥}}}. La relation (v(x)\mathrel{∣}y) = (u(x)\mathrel{∣}y) = (x\mathrel{∣}{u}^{∗}(y)) pour x,y ∈ {E}_{u}{(λ)}^{⊥} montre que {v}^{∗} = {u}_{{|}_{{ E}_{u}{(λ)}^{⊥}}}^{∗}, donc {v}^{∗}v = v{v}^{∗} et donc v est un endomorphisme normal de {E}_{u}{(λ)}^{⊥}. Par hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormée de {E}_{u}{(λ)}^{⊥} formée de vecteurs propres de v donc de u. Comme E = {E}_{u}(λ) ⊥ ⊕ {E}_{u}{(λ)}^{⊥}, si on réunit cette base avec une base orthonormée de {E}_{u}(λ), on obtient une base orthonormée de E formée évidemment de vecteurs propres de u, ce qui achève la démonstration.

Remarque 13.4.3 Soit une telle base. Alors \mathop{\mathrm{Mat}} (u,ℰ) =\mathop{ diag}({λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n}). L’endomorphisme u est hermitien si et seulement si sa matrice dans la base orthonormée est hermitienne, c’est-à-dire si et seulement si \mathop{∀}i, {λ}_{i} ∈ ℝ ; de même u est unitaire si et seulement si sa matrice dans la base orthonormée est unitaire, c’est-à-dire si et seulement si \mathop{∀}i, |{λ}_{i}| = 1. Comme il est clair que tout endomorphisme hermitien ou unitaire est normal on obtient les deux corollaires

Corollaire 13.4.17 Soit u un endomorphisme d’un espace hermitien. On a équivalence de

  • (i) u est hermitien
  • (ii) u est diagonalisable dans une base orthonormée et \mathop{\mathrm{Sp}}(u) ⊂ ℝ

Corollaire 13.4.18 Soit u un endomorphisme d’un espace hermitien. On a équivalence de

  • (i) u est unitaire
  • (ii) u est diagonalisable dans une base orthonormée et \mathop{\mathrm{Sp}}(u) ⊂ U (ensemble des nombres complexes de module 1)

13.4.6 Réduction des matrices normales

En traduisant le paragraphe précédent en terme de matrices (en utilisant le produit hermitien canonique sur {ℂ}^{2} défini par (x\mathrel{∣}y) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i}\overline{{x}_{i}}{y}_{i}) on obtient la définition et les résultats suivants.

Définition 13.4.6 Soit A ∈ {M}_{ℂ}(n). On dit que A est une matrice normale si

{A}^{∗}A = A{A}^{∗}

Théorème 13.4.19 Soit A ∈ {M}_{ℂ}(n). On a équivalence de

  • (i) A est normal
  • (ii) Il existe P unitaire telle que {P}^{−1}AP = {P}^{∗}AP soit diagonale.

Corollaire 13.4.20 Soit A ∈ {M}_{ℂ}(n). On a équivalence de

  • (i) A est hermitienne
  • (ii) Il existe P unitaire telle que {P}^{−1}AP = {P}^{∗}AP soit diagonale réelle

Corollaire 13.4.21 Soit A ∈ {M}_{ℂ}(n). On a équivalence de

  • (i) A est unitaire
  • (ii) Il existe P unitaire telle que {P}^{−1}AP = {P}^{∗}AP soit diagonale à éléments diagonaux dans U (ensemble des nombres complexes de module 1)