13.3 Formes quadratiques hermitiennes

13.3.1 Notion de forme quadratique hermitienne

Soit E un -espace vectoriel et φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E. Soit Φ l’application de E dans qui à x associe Φ(x) = φ(x,x) (on a en effet φ(x,x) = \overline{φ(x,x)} donc Φ(x) ∈ ℝ).

Proposition 13.3.1 On a les identités suivantes

Démonstration (i) Φ(λx) = φ(λx,λx) = λ\overline{λ}φ(x,x) = |λ{|}^{2}Φ(x)

(ii) Φ(x + y) = φ(x + y,x + y) = Φ(x) + φ(x,y) + φ(y,x) + Φ(y) = Φ(x) + 2\mathop{\mathrm{Re}}(φ(x,y)) + Φ(y) ; (ii)’ s’en déduit immédiatement par un petit calcul

(iii) changeant y en − y dans l’identité précédente, on a aussi Φ(x − y) = Φ(x) − 2φ(x,y) + Φ(y), et en additionnant les deux on trouve Φ(x + y) + Φ(x − y) = 2(Φ(x) + Φ(y)).

Remarque 13.3.1 L’identité (ii)’ montre que l’application φ\mathrel{↦}Φ est injective de H(E) dans {ℝ}^{E} (espace vectoriel des applications de E dans ) puisque la connaissance de Φ permet de retrouver φ. Ceci nous amène à poser

Définition 13.3.1 Soit E un -espace vectoriel . On appelle forme quadratique hermitienne sur E toute application Φ : E → ℝ telle qu’il existe une forme sesquilinéaire hermitienne φ : E × E → ℂ vérifiant \mathop{∀}x ∈ E, Φ(x) = φ(x,x). Dans ce cas, φ est unique et est appelée la forme polaire de Φ.

Exemple 13.3.1 Sur {ℂ}^{n}, Φ(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}|{x}_{i}{|}^{2} est une forme quadratique hermitienne dont la forme polaire associée est φ(x,y) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}\overline{{x}_{i}}{y}_{i}. Si E désigne l’espace vectoriel des fonctions continues de [a,b] dans , Φ(f) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}|f(t){|}^{2} dt est une forme quadratique hermitienne dont la forme polaire est φ(f,g) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\overline{f(t)}g(t) dt.

Proposition 13.3.2 L’ensemble Q(E) des formes quadratiques sur E est un -sous-espace vectoriel de {ℝ}^{E} ; l’application φ\mathrel{↦}Φ est un isomorphisme de -espaces vectoriels de H(E) sur Q(E).

Remarque 13.3.2 Par la suite on confondra toutes les notions relatives à φ et à Φ : orthogonalité, matrice, non dégénérescence, isotropie ; en particulier on posera \mathop{\mathrm{Ker}}Φ =\mathop{ \mathrm{Ker}}φ = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}y ∈ E, φ(x,y) = 0\}. On remarquera qu’en général, \mathop{\mathrm{Ker}}Φ\mathrel{≠}\{x ∈ E\mathrel{∣}Φ(x) = 0\}.

Théorème 13.3.3 (Pythagore). Soit E un -espace vectoriel  et Φ ∈Q(E), φ la forme polaire de Φ. Alors

x {⊥}_{φ}y ⇒ Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y)

Démonstration C’est une conséquence évidente de l’identité Φ(x + y) = Φ(x) + 2\mathop{\mathrm{Re}}(φ(x,y)) + Φ(y). Remarquons l’absence de réciproque, contrairement au cas des formes quadratiques.

13.3.2 Formes quadratiques hermitiennes en dimension finie

Soit E un -espace vectoriel  de dimension finie, Φ ∈Q(E) de forme polaire φ.

Théorème 13.3.4 Soit une base de E. Alors \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) est l’unique matrice Ω ∈ {M}_{ℂ}(n) qui est hermitienne et qui vérifie

\mathop{∀}x ∈ E, Φ(x) = {X}^{∗}ΩX

Démonstration Il est clair que Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (Φ,ℰ) est hermitienne et vérifie Φ(x) = φ(x,x) = {X}^{∗}ΩX. Inversement, soit Ω une matrice hermitienne vérifiant cette propriété. On a alors

φ(y,x) ={ 1 \over 4} (Φ(x + y) − Φ(x − y) + iΦ(x + iy) − iΦ(x − iy)) = {Y }^{∗}ΩX

(après un calcul un peu pénible) ce qui montre que Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ).

Posons Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) = {({ω}_{i,j})}_{1≤i,j≤n}. On a alors

φ(x,y) ={ \mathop{∑ }}_{i,j}{ω}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{y}_{j} ={ \mathop{∑ }}_{i}{ω}_{i,i}\overline{{x}_{i}}{y}_{i} +{ \mathop{∑ }}_{i<j}({ω}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{y}_{j} + {ω}_{j,i}\overline{{x}_{j}}{y}_{i})

En tenant compte de {ω}_{i,j} = \overline{{ω}_{j,i}}, on a donc

Φ(x) = φ(x,x) ={ \mathop{∑ }}_{i}{ω}_{i,i}|{x}_{i}{|}^{2} + 2\mathrm{Re}({\mathop{∑ }}_{i<j}{ω}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{x}_{j}) = {P}_{Φ}({x}_{1},\mathop{…},{x}_{n})

Inversement, soit P de la forme P({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{a}_{i,i}|{x}_{i}{|}^{2} + 2\mathop{\mathrm{Re}}({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i<j}{a}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{x}_{j}). Définissons φ sur E par

φ(x,y) ={ \mathop{∑ }}_{i}{a}_{i,i}\overline{{x}_{i}}{y}_{i} +{ \mathop{∑ }}_{i<j}({a}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{y}_{j} + \overline{{a}_{i,j}}\overline{{x}_{j}}{y}_{i})

si x =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i} et y =\mathop{ \mathop{∑ }} {y}_{i}{e}_{i}. Alors φ est clairement une forme sesquilinéaire hermitienne sur E et la forme quadratique associée vérifie Φ(x) = P({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}). On obtient l’expression de φ(x,y) à partir de l’expression polynomiale de Φ(x) en rempla\c{c}ant partout les termes carrés |{x}_{i}{|}^{2} par \overline{{x}_{i}}{y}_{i} et les termes rectangles \mathop{\mathrm{Re}}({a}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{x}_{j}) par { 1 \over 2} ({a}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{x}_{j} + \overline{{a}_{i,j}}\overline{{x}_{j}}{y}_{i}).

Théorème 13.3.5 Si est une base orthonormée de E (c’est à dire φ({e}_{i},{e}_{j}) = {δ}_{i}^{j}), alors \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) = {I}_{n}, φ(x,y) = {X}^{∗}Y ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}\overline{{x}_{i}}{y}_{i} et Φ(x) = {X}^{∗}X ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}|{x}_{i}{|}^{2}.

Démonstration Evident.

13.3.3 Formes quadratiques hermitiennes définies positives

Définition 13.3.2 Soit E un espace vectoriel et Φ une forme quadratique hermitienne sur E. On dit que Φ est définie positive si \mathop{∀}x ∈ E ∖\{0\}, Φ(x) > 0.

Théorème 13.3.6 (inégalité de Schwarz). Soit E un espace vectoriel et Φ une forme quadratique hermitienne définie positive sur E de forme polaire φ. Alors

\mathop{∀}x,y ∈ E, |φ(x,y){|}^{2} ≤ Φ(x)Φ(y)

avec égalité si et seulement si la famille (x,y) est liée.

Démonstration L’inégalité est évidente si y = 0 ; supposons donc y\mathrel{≠}0. Soit θ ∈ ℝ. On écrit \mathop{∀}t ∈ ℝ, Φ(x + t{e}^{iθ}y) ≥ 0, soit encore {t}^{2}Φ(y) + 2t\mathop{\mathrm{Re}}({e}^{iθ}φ(x,y)) + Φ(x) ≥ 0. Choisissons θ tel que φ(x,y) = {e}^{−iθ}|φ(x,y)| (autrement dit l’opposé d’un argument de φ(x,y)). On a donc {t}^{2}Φ(y) + 2t|φ(x,y)| + Φ(x) ≥ 0. Ce trinome du second degré doit donc avoir un discriminant réduit négatif, soit |φ(x,y){|}^{2} − Φ(x)Φ(y) ≤ 0. Si on a l’égalité, deux cas sont possibles. Soit y = 0 auquel cas la famille (x,y) est liée, soit Φ(y)\mathrel{≠}0 ; mais dans ce cas ce trinome en t a une racine double {t}_{0}, et donc Φ(x + {t}_{0}{e}^{iθ}y) = 0 d’où x + {t}_{0}{e}^{iθ}y = 0 et donc la famille est liée. Inversement, si la famille (x,y) est liée, on a par exemple x = λy et dans ce cas |φ(x,y){|}^{2} = |{λ}^{2}|Φ{(y)}^{2} = Φ(x)Φ(y).

Théorème 13.3.7 (inégalité de Minkowski). Soit E un espace vectoriel et Φ une forme quadratique hermitienne définie positive sur E. Alors

\mathop{∀}x,y ∈ E, \sqrt{Φ(x + y)} ≤\sqrt{Φ(x)} + \sqrt{Φ(y)}

avec égalité si et seulement si la famille (x,y) est positivement liée.

Démonstration On a

\begin{eqnarray*} Φ(x + y)& =& Φ(x) + 2\mathop{\mathrm{Re}}(φ(x,y)) + Φ(y)%& \\ & ≤& Φ(x) + 2|φ(x,y)| + Φ(y) %& \\ & ≤& Φ(x) + 2\sqrt{Φ(x)Φ(y)} + Φ(y)%& \\ & =&{ \left (\sqrt{Φ(x)} + \sqrt{Φ(y)}\right )}^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

d’où \sqrt{Φ(x + y)} ≤\sqrt{Φ(x)} + \sqrt{Φ(y)}. L’égalité nécessite à la fois que |φ(x,y)| = \sqrt{Φ(x)Φ(y)}, donc que (x,y) soit liée, et que \mathop{\mathrm{Re}}(φ(x,y)) = |φ(x,y)|≥ 0, c’est-à-dire que le coefficient de proportionnalité soit réel et positif.

Définition 13.3.3 On appelle espace préhilbertien complexe un couple (E,Φ) d’un -espace vectoriel  E et d’une forme quadratique hermitienne définie positive sur E. On appelle espace hermitien un espace préhilbertien complexe de dimension finie.

Théorème 13.3.8 Soit (E,Φ) un espace préhilbertien complexe. Alors l’application x\mathrel{↦}\sqrt{Φ(x)} est une norme sur E appelée norme hermitienne.

Démonstration La propriété de séparation provient du fait que Φ est définie. L’homogénéité provient de l’homogénéité de la forme quadratique. Quant à l’inégalité triangulaire, ce n’est autre que l’inégalité de Minkowski.

Définition 13.3.4 On notera (x\mathrel{∣}y) = φ(x,y) et \|{x\|}^{2} = (x\mathrel{∣}x) = Φ(x)

13.3.4 Espaces hermitiens

Une forme définie positive étant clairement non dégénérée, on a bien évidemment

Théorème 13.3.9 Soit E un espace hermitien. Pour toute forme linéaire f sur E, il existe un unique vecteur {v}_{f} ∈ E tel que \mathop{∀}x ∈ E, f(x) = ({v}_{f}\mathrel{∣}x)

D’autre part si Φ est définie positive, et si A est un sous-espace vectoriel de E on a

x ∈ A ∩ {A}^{⊥}⇒ x ⊥ x ⇒ (x\mathrel{∣}x) = 0 ⇒ x = 0

Comme de plus \mathop{dim} A +\mathop{ dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} E, on obtient

Théorème 13.3.10 Soit E un espace hermitien.Pour tout sous-espace vectoriel A de E, on a E = A ⊕ {A}^{⊥} et {({A}^{⊥})}^{⊥} = A.

Enfin l’existence de bases orthonormées nous est garanti par l’algorithme de Gramm-Schmidt, dont la démonstration est strictement la même que pour les formes quadratiques :

Théorème 13.3.11 Soit E un espace hermitien. Soit ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E. Alors il existe une base orthonormée ℰ' = ({ε}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ε}_{n}) de E vérifiant les conditions équivalentes suivantes

  • (i) \mathop{∀}k ∈ [1,n], {ε}_{k} ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{k})
  • (ii) \mathop{∀}k ∈ [1,n], \mathop{\mathrm{Vect}}({ε}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ε}_{k}) =\mathop{ \mathrm{Vect}}({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{k})
  • (iii) la matrice de passage de à ℰ' est triangulaire supérieure

Si ℰ' = ({ε}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ε}_{n}) et ℰ'' = ({η}_{1},\mathop{\mathop{…}},{η}_{n}) sont deux telles bases orthonormées, il existe des scalaires {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n} de module 1 tels que \mathop{∀}i ∈ [1,n], {η}_{i} = {λ}_{i}{ε}_{i}.