13.2 Formes sesquilinéaires

13.2.1 Généralités

Définition 13.2.1 Soit E un -espace vectoriel . On appelle forme sesquilinéaire sur E toute application φ : E × E → ℂ telle que

Remarque 13.2.1 On a en particulier \mathop{∀}y ∈ E, φ(y,0) = φ(0,y) = 0 ; de plus φ(x,λy) = λφ(x,y), φ(λx,y) = \overline{λ}φ(x,y). Plus généralement φ(\mathop{\mathop{∑ }} {λ}_{i}{x}_{i},\mathop{\mathop{∑ }} {μ}_{j}{y}_{j}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i,j}\overline{{λ}_{i}}{μ}_{j}φ({x}_{i},{y}_{j}).

Il est clair que si φ et ψ sont deux formes sesquilinéaires sur E, il en est de même de αφ + βψ, d’où la proposition

Proposition 13.2.1 L’ensemble {L}_{3∕2}(E) des formes sesquilinéaires sur E est un sous-espace vectoriel de l’espace {ℂ}^{E×E} des applications de E × E dans .

Remarque 13.2.2 Soit φ une forme sesquilinéaire sur E. Pour chaque x ∈ E, l’application y\mathrel{↦}φ(x,y) est une forme linéaire sur E donc un élément, noté {g}_{φ}(x), du dual {E}^{∗} de E. De même, pour chaque y ∈ E, l’application x\mathrel{↦}\overline{φ(x,y)} est une forme linéaire sur E, donc un élément, noté {d}_{φ}(y), de {E}^{∗}. La relation

\begin{eqnarray*} \left [{g}_{φ}(αx + βx')\right ](y)& =& φ(αx + βx',y) = \overline{α}φ(x,y) + \overline{β}φ(x',y)%& \\ & =& \left [\overline{α}{g}_{φ}(x) + \overline{β}{g}_{φ}(x')\right ](y) %& \\ \end{eqnarray*}

montre clairement que {g}_{φ} : x\mathrel{↦}{g}_{φ}(x) est une application semilinéaire de E dans {E}^{∗}. Il en est de même de {d}_{φ} : y\mathrel{↦}{d}_{φ}(y).

Définition 13.2.2 L’application {g}_{φ} : E → {E}^{∗} (resp. {d}_{φ}) est appelée l’application semilinéaire gauche (resp. droite) associée à la forme sesquilinéaire φ.

13.2.2 Formes sesquilinéaires hermitiennes, antihermitiennes

Définition 13.2.3 Soit φ ∈ {L}_{3∕2}(E). On dit que φ est hermitienne (resp. antihermitienne) si \mathop{∀}x,y ∈ E, φ(y,x) = \overline{φ(x,y)} (resp. = −\overline{φ(x,y)}).

Proposition 13.2.2 φ est hermitienne si et seulement si  est antihermitienne.

Démonstration Evident

Remarque 13.2.3 Ceci nous permettra par la suite de ne considérer que le cas des formes hermitiennes.

Proposition 13.2.3 Soit φ ∈ {L}_{3∕2}(E). Alors φ est hermitienne si et seulement si {d}_{φ} = {g}_{φ}.

Démonstration En effet φ(x,y) =\big [{g}_{φ}(x)\big ](y) et \overline{φ(y,x)} =\big [{d}_{φ}(x)\big ](y). Alors

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}x,y ∈ E, \overline{φ(y,x)} = φ(x,y)&& %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x,y ∈ E, \big [{g}_{φ}(x)\big ](y) = ε\big [{d}_{φ}(x)\big ](y)%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈ E, {g}_{φ}(x) = {d}_{φ}(x) \mathrel{⇔} {g}_{φ} = {d}_{φ} %& \\ \end{eqnarray*}

Proposition 13.2.4 L’ensemble H(E) des formes sesquilinéaires hermitiennes est un -sous-espace vectoriel de {L}_{3∕2}(E) (mais pas un sous-espace vectoriel). On a {L}_{3∕2}(E) = H(E) ⊕ iH(E).

Démonstration La première affirmation est laissée aux soins du lecteur. On a clairement H(E) ∩ iH(E) = \{0\} et la relation φ = ψ + iθ avec ψ(x,y) ={ 1 \over 2} (φ(x,y) + φ(y,x)), θ(x,y) ={ 1 \over 2i} (φ(x,y) − φ(y,x)) qui sont toutes deux hermitiennes montre que {L}_{3∕2}(E) = H(E) ⊕ iH(E).

13.2.3 Matrice d’une forme sesquilinéaire

Supposons que E est de dimension finie et soit ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E.

Définition 13.2.4 Soit φ ∈ {L}_{3∕2}(E). On appelle matrice de φ dans la base la matrice

\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) = {(φ({e}_{i},{e}_{j}))}_{1≤i,j≤n} ∈ {M}_{ℂ}(n)

Proposition 13.2.5 \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) est l’unique matrice Ω ∈ {M}_{ℂ}(n) vérifiant

\mathop{∀}(x,y) ∈ E × E, φ(x,y) = {X}^{∗}ΩY

où X (resp. Y ) désigne le vecteur colonne des coordonnées de x (resp. y) dans la base .

Démonstration Si Ω = ({ω}_{i,j}), on a

{X}^{∗}ΩY ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\overline{{x}_{ i}}{(ΩY )}_{i} ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\overline{{x}_{ i}}{ \mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ω}_{ i,j}{y}_{j} ={ \mathop{∑ }}_{i,j}{ω}_{i,j}\overline{{x}_{i}}{y}_{j}

Mais d’autre part φ(x,y) = φ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{x}_{i}{e}_{i},{\mathop{\mathop{∑ }} }_{j=1}^{n}{y}_{j}{e}_{j}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i,j}φ({e}_{i},{e}_{j})\overline{{x}_{i}}{y}_{j} en utilisant la sesquilinéarité de φ. Ceci montre que \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) vérifie bien la relation voulue. Inversement, si Ω vérifie cette formule, on a φ({e}_{k},{e}_{l}) = {E}_{k}^{∗}Ω{E}_{l} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i,j}{ω}_{i,j}{δ}_{i}^{k}{δ}_{j}^{l} = {ω}_{k,l} ce qui montre que Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ).

Théorème 13.2.6 L’application φ\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) est un isomorphisme d’espaces vectoriels de {L}_{3∕2}(E) sur {M}_{ℂ}(n).

Démonstration Les détails sont laissés aux soins du lecteur. L’application réciproque est bien entendu l’application qui à Ω ∈ {M}_{ℂ}(n) associe φ : E × E → ℂ définie par φ(x,y) = {X}^{∗}ΩY qui est clairement sesquilinéaire.

Théorème 13.2.7 Soit E de dimension finie, ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E, {ℰ}^{∗} = ({e}_{1}^{∗},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}^{∗}) la base duale. Soit φ ∈ {L}_{3∕2}(E). Alors

\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) = \overline{\mathop{\mathrm{Mat}} ({d}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗})} {= }^{t}\mathop{ \mathrm{Mat}} ({g}_{ φ},ℰ,{ℰ}^{∗})

Démonstration Notons Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ), A =\mathop{ \mathrm{Mat}} ({d}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}) et B =\mathop{ \mathrm{Mat}} ({g}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}). On a

\begin{eqnarray*} \overline{{ω}_{i,j}}& =& \overline{φ({e}_{i},{e}_{j})} = \left ({d}_{φ}({e}_{j})\right )({e}_{i}) %& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{a}_{ k,j}{e}_{k}^{∗}\right )({e}_{ i}) = {a}_{i,j}%& \\ \end{eqnarray*}

compte tenu de {e}_{k}^{∗}({e}_{i}) = {δ}_{k}^{i} ; de même

\begin{eqnarray*}{ ω}_{i,j}& =& φ({e}_{i},{e}_{j}) = \left ({g}_{φ}({e}_{i})\right )({e}_{j}) %& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{b}_{ k,i}{e}_{k}^{∗}\right )({e}_{ j}) = {b}_{j,i}%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui démontre le résultat.

Corollaire 13.2.8 La forme sesquilinéaire φ est hermitienne si et seulement si sa matrice dans la base est hermitienne.

Le rang de \mathop{\mathrm{Mat}} ({d}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}) est indépendant du choix de la base  ; il en est donc de même du rang de \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ). Ceci conduit à la définition suivante

Définition 13.2.5 Soit E de dimension finie et φ ∈ {L}_{3∕2}(E). On appelle rang de E le rang de sa matrice dans n’importe quelle base de E. On a

\mathop{\mathrm{rg}}φ =\mathop{ \mathrm{rg}}{d}_{φ} =\mathop{ \mathrm{rg}}{g}_{φ} =\mathop{ \mathrm{rg}}\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ)

13.2.4 Changements de bases

Théorème 13.2.9 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et ℰ' deux bases de E, P = {P}_{ℰ}^{ℰ'} la matrice de passage de à ℰ'. Soit φ ∈ {L}_{3∕2}(E), Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et Ω' =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ'). Alors

Ω' = {P}^{∗}ΩP

Démonstration Si X (resp. Y ) désigne le vecteur colonne des coordonnées de x (resp. y) dans la base et X' (resp. Y ') désigne le vecteur colonne des coordonnées de x (resp. y) dans la base ℰ', on a X = PX', Y = PY ', d’où

φ(x,y) = {(PX')}^{∗}Ω(PY ') = {X'}^{∗}({P}^{∗}ΩP)Y '

Comme Ω' est l’unique matrice vérifiant \mathop{∀}(x,y) ∈ E × E, φ(x,y) = {X'}^{∗}Ω'Y ', on a Ω' = {P}^{∗}ΩP.

13.2.5 Orthogonalité

Soit E un -espace vectoriel  et φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E.

Définition 13.2.6 On dit que x est orthogonal à y (relativement à φ), et on pose x ⊥ y, si φ(x,y) = 0.

Remarque 13.2.4 φ étant supposée hermitienne, il s’agit visiblement d’une relation symétrique

Définition 13.2.7 Soit A une partie de E. On pose {A}^{⊥} = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}a ∈ A, φ(a,x) = 0\}

Remarque 13.2.5 Notons {A}^{{⊥}^{∗} } l’orthogonal de A dans le dual {E}^{∗} de E, c’est-à-dire l’espace vectoriel des formes linéaires sur E qui sont nulles sur A. On a

\begin{eqnarray*} x ∈ {A}^{⊥}& \mathrel{⇔} & \mathop{∀}a ∈ A, φ(a,x) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}a ∈ A, \big [{d}_{φ}(x)\big ](a) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & {d}_{φ}(x) ∈ {A}^{{⊥}^{∗} } \mathrel{⇔} x ∈ {d}_{φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} })%& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que {A}^{⊥} = {d}_{φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} }) = {g}_{φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} }).

Proposition 13.2.10 Soit A une partie de E ; alors

  • (i){A}^{⊥} est un sous-espace vectoriel de E
  • (ii){A}^{⊥} =\mathop{ \mathrm{Vect}}{(A)}^{⊥}
  • (iii) A ⊂ {({A}^{⊥})}^{⊥}
  • (iv) A ⊂ B ⇒ {B}^{⊥}⊂ {A}^{⊥}.

Démonstration (i) découle immédiatement de la sesquilinéarité de φ ou de la remarque précédente. Il en est de même pour (ii) puisqu’un vecteur x est orthogonal à tout vecteur de A si et seulement si il est orthogonal à toute combinaison linéaire de vecteurs de A, c’est à dire à \mathop{\mathrm{Vect}}(A). En ce qui concerne (iii), il suffit de remarquer que tout vecteur a de A est orthogonal à tout vecteur qui est orthogonal à tout vecteur de A. Pour (iv), un vecteur x qui est orthogonal à tout vecteur de B est évidemment orthogonal à tout vecteur de A.

13.2.6 Formes non dégénérées

En règle générale on posera

Définition 13.2.8 Soit E un -espace vectoriel , φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E. On appelle noyau de φ le sous-espace

\mathop{\mathrm{Ker}}φ = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}y ∈ E, φ(x,y) = 0\} = {E}^{⊥} =\mathop{ \mathrm{Ker}}{d}_{ φ}

Définition 13.2.9 Soit E un -espace vectoriel , φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E. On dit que φ est non dégénérée si elle vérifie les conditions équivalentes

  • (i) \mathop{\mathrm{Ker}}φ = {E}^{⊥} = \{0\}
  • (ii) pour x ∈ E on a \left (\mathop{∀}y ∈ E, φ(x,y) = 0\right ) ⇒ x = 0
  • (iii) {d}_{φ} (resp. {g}_{φ}) est une application semilinéaire injective de E dans {E}^{∗}.

L’équivalence entre ces trois propriétés est évidente.

Si E est un espace vectoriel de dimension finie, on sait que \mathop{dim} {E}^{∗} =\mathop{ dim} E. Si {g}_{φ} est injective, elle est nécessairement bijective et on obtient

Théorème 13.2.11 Soit E un -espace vectoriel  de dimension finie, φ une forme sesquilinéaire hermitienne non dégénérée sur E. Alors l’application semilinéaire gauche {g}_{φ} est un isomorphisme d’espace vectoriel de E sur {E}^{∗} ; autrement dit, pour toute forme linéaire f sur E, il existe un unique vecteur {v}_{f} ∈ E tel que \mathop{∀}x ∈ E, f(x) = φ({v}_{f},x).

Corollaire 13.2.12 Soit E un -espace vectoriel  de dimension finie, φ une forme sesquilinéaire hermitienne non dégénérée sur E. Soit A un sous-espace vectoriel de E. Alors \mathop{dim} A +\mathop{ dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} E et A = {A}^{⊥⊥}.

Démonstration On a en effet

\mathop{dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} {g}_{ φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} }) =\mathop{ dim} {A}^{{⊥}^{∗} } =\mathop{ dim} E −\mathop{ dim} A

puisque {g}_{φ} est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On sait d’autre part que A ⊂ {A}^{⊥⊥} et que \mathop{dim} {A}^{⊥⊥} =\mathop{ dim} E −\mathop{ dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} A, d’où l’égalité.

Remarque 13.2.6 Il ne faudrait pas en déduire abusivement que A et {A}^{⊥} sont supplémentaires ; en effet, en général A ∩ {A}^{⊥}\mathrel{≠}\{0\}. Nous nous intéresserons plus particulièrement à ce point dans le paragraphe suivant.

Si est une base de E, alors Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) {= }^{t}\mathop{ \mathrm{Mat}} ({g}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}) et \mathop{\mathrm{rg}}φ =\mathop{ \mathrm{rg}}Ω. On en déduit

Théorème 13.2.13 Soit E un -espace vectoriel  de dimension finie n, φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E, une base de E et Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ). Alors les propositions suivantes sont équivalentes

  • (i) φ est non dégénérée
  • (ii) Ω est une matrice inversible
  • (iii) \mathop{\mathrm{rg}}φ = n.

Remarque 13.2.7 En général, \mathop{\mathrm{Ker}}φ =\mathop{ \mathrm{Ker}}{g}_{φ}, \mathop{\mathrm{rg}}φ =\mathop{ \mathrm{rg}}{g}_{φ}, si bien que le théorème du rang devient

Proposition 13.2.14 Soit E un -espace vectoriel  de dimension finie n, φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E, une base de E. Alors \mathop{dim} E =\mathop{ \mathrm{rg}}φ +\mathop{ dim} \mathop{\mathrm{Ker}}φ.