13.1 Compléments sur la conjugaison

13.1.1 Applications semi-linéaires

Définition 13.1.1 Soit E et F deux -espaces vectoriels et u : E → F. On dit que u est semi-linéaire si elle vérifie

Remarque 13.1.1 Soit E un -espace vectoriel . On munit E d’une autre structure d’espace vectoriel, notée \check{E} en posant λ ∗ x = \overline{λ}x. Une application semi-linéaire de E dans F n’est autre qu’une application linéaire de E dans \check{F}. Ceci permet d’appliquer aux applications semi-linéaires la plupart des résultats sur les applications linéaires en tenant compte des résultats suivants dont la démonstration est élémentaire :

13.1.2 Matrices conjuguées et transconjuguées

Définition 13.1.2 Soit A = {({a}_{i,j})}_{1≤i≤m,1≤j≤n} ∈ {M}_{ℂ}(m,n). On appelle matrice conjuguée de A la matrice \overline{A} = {(\overline{{a}_{i,j}})}_{1≤i≤m,1≤j≤n} ∈ {M}_{ℂ}(m,n).

Proposition 13.1.1 L’application A\mathrel{↦}\overline{A} est un automorphisme semi-linéaire de {M}_{ℂ}(m,n). On a \mathop{\mathrm{rg}}\overline{A} =\mathop{ \mathrm{rg}}A. Si A ∈ {M}_{ℂ}(m,n) et B ∈ {M}_{ℂ}(n,p), alors \overline{AB} = \overline{A}\,\overline{B}. Dans le cadre des matrices carrées, on a \mathop{\mathrm{det}} \overline{A} = \overline{\mathop{\mathrm{det}} A}, \mathop{\mathrm{tr}}\overline{A} = \overline{\mathop{\mathrm{tr}}A}, {χ}_{\overline{A}}(X) = \overline{{χ}_{A}(X)}, A est inversible si et seulement si \overline{A} est inversible, et dans ce cas {(\overline{A})}^{−1} = \overline{{A}^{−1}}.

Démonstration Vérification élémentaire laissée au lecteur.

Définition 13.1.3 Soit A = {({a}_{i,j})}_{1≤i≤m,1≤j≤n} ∈ {M}_{ℂ}(m,n). On appelle matrice transconjuguée (ou matrice adjointe) de A la matrice {A}^{∗} {= }^{t}(\overline{A}) = \overline{{}^{t}A} = {(\overline{{a}_{j,i}})}_{1≤i≤m,1≤j≤n} ∈ {M}_{ℂ}(n,m).

A partir des propriétés de A{\mathrel{↦}}^{t}A et de A\mathrel{↦}\overline{A} on déduit facilement les propriétés suivantes

Proposition 13.1.2 L’application A\mathrel{↦}{A}^{∗} est un isomorphisme semi-linéaire involutif de {M}_{ℂ}(m,n) sur {M}_{ℂ}(n,m). On a \mathop{\mathrm{rg}}{A}^{∗} =\mathop{ \mathrm{rg}}A. Si A ∈ {M}_{ℂ}(m,n) et B ∈ {M}_{ℂ}(n,p), alors {(AB)}^{∗} = {B}^{∗}{A}^{∗}. Dans le cadre des matrices carrées, on a \mathop{\mathrm{det}} {A}^{∗} = \overline{\mathop{\mathrm{det}} A}, \mathop{\mathrm{tr}}{A}^{∗} = \overline{\mathop{\mathrm{tr}}A}, {χ}_{{A}^{∗}}(X) = \overline{{χ}_{A}(X)}, A est inversible si et seulement si {A}^{∗} est inversible, et dans ce cas {({A}^{∗})}^{−1} = {({A}^{−1})}^{∗}.

Remarque 13.1.2 On prendra garde à la relation {(λA)}^{∗} = \overline{λ}{A}^{∗} en n’oubliant pas la conjugaison.

13.1.3 Matrices hermitiennes, antihermitiennes

Définition 13.1.4 Soit A ∈ {M}_{ℂ}(n). on dit que A est hermitienne (resp. antihermitienne) si {A}^{∗} = A (resp. {A}^{∗} = −A).

Remarque 13.1.3 A = ({a}_{i,j}) est hermitienne si et seulement si \mathop{∀}i,j, {a}_{j,i} = \overline{{a}_{i,j}}. En particulier les coefficients diagonaux {a}_{i,i} doivent être réels

Théorème 13.1.3 Les ensembles des matrices hermitiennes et antihermitiennes sont des -sous-espaces vectoriels (mais pas des -sous-espaces vectoriels) de {M}_{ℂ}(n). On a

A\text{ hermitienne } \mathrel{⇔} iA\text{ antihermitienne}

Si {ℋ}_{n} désigne le -sous-espace vectoriel des matrices hermitiennes, on a {M}_{ℂ}(n) = {ℋ}_{n} ⊕ i{ℋ}_{n}.

Démonstration La vérification du premier point est élémentaire. Si on a A = {A}_{1} + i{A}_{2} avec {A}_{1} et {A}_{2} hermitiennes, alors {A}^{∗} = {A}_{1} − i{A}_{2} ce qui donne {A}_{1} ={ 1 \over 2} (A + {A}^{∗}) et {A}_{2} ={ 1 \over 2i} (A − {A}^{∗}) et démontre déjà l’unicité de la décomposition. De plus la formule

A ={ 1 \over 2} (A + {A}^{∗}) + i{ 1 \over 2i} (A − {A}^{∗})

avec { 1 \over 2} (A + {A}^{∗}) et { 1 \over 2i} (A − {A}^{∗}) qui sont hermitiennes (facile) montre l’existence de la décomposition.

Remarque 13.1.4 On voit donc que contrairement aux matrices symétriques ou antisymétriques qui sont de nature différentes, il n’y a pas de différence essentielle entre matrices hermitiennes ou antihermitiennes : on passe des unes aux autres par multiplication par i, ce qui permet de limiter l’étude aux matrices hermitiennes. Pour une telle matrice, les formules \mathop{\mathrm{det}} {A}^{∗} = \overline{\mathop{\mathrm{det}} A}, \mathop{\mathrm{tr}}{A}^{∗} = \overline{\mathop{\mathrm{tr}}A}, {χ}_{{A}^{∗}}(X) = \overline{{χ}_{A}(X)} montrent que \mathop{\mathrm{det}} A ∈ ℝ, \mathop{\mathrm{tr}}A ∈ ℝ et que {χ}_{A}(X) ∈ ℝ[X].