12.5 Endomorphismes et formes quadratiques

12.5.1 Notion d’adjoint

Soit E un K-espace vectoriel , Φ une forme quadratique non dégénérée sur E de forme polaire φ.

Définition 12.5.1 Soit u,v ∈ L(E). On dit que u et v sont des endomorphismes adjoints si

\mathop{∀}x,y ∈ E, φ(u(x),y) = φ(x,v(y))

Remarque 12.5.1 La symétrie de φ montre clairement que u et v jouent des rôles symétriques, donc que u est adjoint de v si et seulement si v est adjoint de u.

Proposition 12.5.1 Si u ∈ L(E) admet un adjoint, celui-ci est unique.

Démonstration Si {v}_{1} et {v}_{2} sont adjoints de u, on a \mathop{∀}x,y ∈ E, φ(u(x),y) = φ(x,{v}_{1}(y)) = φ(x,{v}_{2}(y)). On a donc \mathop{∀}x,y ∈ E, φ({v}_{1}(y) − {v}_{2}(y),x) = 0, donc pour y ∈ E, {v}_{1}(y) − {v}_{2}(y) ∈\mathop{\mathrm{Ker}}φ = \{0\} et donc {v}_{1} = {v}_{2}.

Définition 12.5.2 Lorsque u ∈ L(E) admet un adjoint, nous le noterons {u}^{∗} et nous noterons {L}^{∗}(E) l’ensemble des endomorphismes de E qui admettent un adjoint. Il est clair que {\mathrm{Id}}_{E} appartient à {L}^{∗}(E) et que {\mathrm{Id}}^{∗} = \mathrm{Id}.

Proposition 12.5.2 {L}^{∗}(E) est un sous-espace vectoriel de L(E). L’application u\mathrel{↦}{u}^{∗} est un endomorphisme involutif de {L}^{∗}(E). Si u,v ∈ {L}^{∗}(E), alors u ∘ v aussi et {(u ∘ v)}^{∗} = {v}^{∗}∘ {u}^{∗}.

Démonstration On a déjà vu que la relation u et v sont adjoints était symétrique, donc si u ∈ {L}^{∗}(E), {u}^{∗} aussi et {u}^{∗∗} = u. Si u,v ∈ {L}^{∗}(E), α,β ∈ K, on a

\begin{eqnarray*} φ((αu + βv)(x),y)& =& φ(αu(x) + βv(x),y) %& \\ & =& αφ(u(x),y) + βφ(v(x),y) %& \\ & =& αφ(x,{u}^{∗}(y)) + βφ(x,{v}^{∗}(y))%& \\ & =& φ(x,(α{u}^{∗} + β{v}^{∗})(y)) %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre que αu + βv ∈ {L}^{∗}(E) et que {(αu + βv)}^{∗} = α{u}^{∗} + β{v}^{∗} ; donc {L}^{∗}(E) est un sous-espace vectoriel de L(E) et u\mathrel{↦}{u}^{∗} est linéaire. Si u,v ∈ {L}^{∗}(E), on a

φ(u ∘ v(x),y) = φ(v(x),{u}^{∗}(y)) = φ(x,{v}^{∗}∘ {u}^{∗}(y))

ce qui montre que u ∘ v admet {v}^{∗}∘ {u}^{∗} comme adjoint.

Une des propriétés essentielles de l’adjoint que nous utiliserons de fa\c{c}on assez systématique pour la réduction des endomorphismes est la suivante

Théorème 12.5.3 Soit u ∈ {L}^{∗}(E). Soit F un sous-espace de E stable par u ; alors {F}^{⊥} est stable par {u}^{∗}.

Démonstration Soit x ∈ {F}^{⊥}. Si y ∈ F, on a φ({u}^{∗}(x),y) = φ(x,u(y)) = 0 puisque u(y) ∈ F et x ∈ {F}^{⊥}. Donc {u}^{∗}(x) ∈ {F}^{⊥} et {F}^{⊥} est stable par {u}^{∗}.

Définition 12.5.3 On dit que u ∈ L(E) est symétrique ou autoadjoint si {u}^{∗} = u. On dit que u est antisymétrique si {u}^{∗} = −u.

Proposition 12.5.4 L’espace {L}^{∗}(E) est somme directe du sous-espace des endomorphismes symétriques et du sous-espace des endomorphismes antisymétriques.

Démonstration L’endomorphisme de {L}^{∗}(E), u\mathrel{↦}{u}^{∗} étant involutif, l’espace {L}^{∗}(E) est somme directe du sous-espace propre associé à la valeur propre 1 (les endomorphismes symétriques) et du sous-espace propre associé à la valeur propre -1 (les endomorphismes antisymétriques).

12.5.2 Adjoint en dimension finie

Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, Φ une forme quadratique non dégénérée sur E de forme polaire φ.

Théorème 12.5.5 Tout endomorphisme de E admet un unique adjoint {u}^{∗} (autrement dit {L}^{∗}(E) = L(E)). Si u ∈ L(E), une base de E, Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ), alors

\mathop{\mathrm{Mat}} ({u}^{∗},ℰ) = {Ω{}^{−1}}^{t}AΩ

Démonstration Soit une base de E et Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ). Comme φ est non dégénérée, la matrice Ω est inversible. Soit u,v ∈ L(E), A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ) et B =\mathop{ \mathrm{Mat}} (v,ℰ). Si x,y ∈ E, on a φ(u(x),y) {= }^{t}(AX)ΩY {= }^{t}{X}^{t}AΩY et φ(x,v(y)) {= }^{t}XΩBY . L’unicité de la matrice de la forme bilinéaire (x,y)\mathrel{↦}φ(u(x),y) montre que

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}x,y ∈ E, φ(u(x),y) = φ(x,v(y)){& \mathrel{⇔} & }^{t}AΩ = ΩB %& \\ & \mathrel{⇔} & B = {Ω{}^{−1}}^{t}AΩ%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre à la fois l’existence (et l’unicité) de l’adjoint et la formule voulue.

Remarque 12.5.2 Si la base est orthonormée, alors Ω = {I}_{n} et \mathop{\mathrm{Mat}} ({u}^{∗},ℰ) {= }^{t}\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ) ; en particulier

Corollaire 12.5.6 Soit une base orthonormée de E ; alors u est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si \mathop{\mathrm{Mat}} (u,ℰ) est une matrice symétrique (resp. antisymétrique).

Corollaire 12.5.7 Si u ∈ L(E) est inversible, alors {u}^{∗} est inversible et {({u}^{−1})}^{∗} = {({u}^{∗})}^{−1}.

Démonstration On a {u}^{−1} ∘ u ={ \mathrm{Id}}_{E} d’où {({u}^{−1} ∘ u)}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}^{∗}, soit {u}^{∗}∘ {({u}^{−1})}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}. De même u ∘ {u}^{−1} ={ \mathrm{Id}}_{E} donne par passage à l’adjoint {({u}^{−1})}^{∗}∘ {u}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}. Ceci montre que {u}^{∗} est inversible et que {({u}^{−1})}^{∗} = {({u}^{∗})}^{−1}

Corollaire 12.5.8 \mathop{\mathrm{det}} {u}^{∗} =\mathop{ \mathrm{det}} u, \mathop{\mathrm{tr}}{u}^{∗} =\mathop{ \mathrm{tr}}u, {χ}_{{u}^{∗}} = {χ}_{u}.

Démonstration Soit une base de E, Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ), alors \mathop{\mathrm{Mat}} ({u}^{∗},ℰ) = {Ω{}^{−1}}^{t}AΩ. On a donc \mathop{\mathrm{det}} {u}^{∗} =\mathop{ \mathrm{det}} {Ω{}^{−1}}^{t}AΩ ={\mathop{ \mathrm{det}} }^{t}A =\mathop{ \mathrm{det}} A =\mathop{ \mathrm{det}} u. La démonstration est la même pour la trace et pour le polynôme caractéristique.

Proposition 12.5.9 Soit E un espace euclidien, u ∈ L(E). Alors

  • (i) \mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗} = {(\mathop{\mathrm{Im}}u)}^{⊥}, \mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗} = {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥}
  • (ii) \mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u =\mathop{ \mathrm{Ker}}u et \mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗}u =\mathop{ \mathrm{Im}}{u}^{∗}

Démonstration (ii) On a

\begin{eqnarray*} x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}& \mathrel{⇔} & {u}^{∗}(x) = 0 \mathrel{⇔} \mathop{∀}y ∈ E, ({u}^{∗}(x)\mathrel{∣}y) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}y ∈ E, (x\mathrel{∣}u(y)) = 0 \mathrel{⇔} x ∈ {(\mathop{\mathrm{Im}}u)}^{⊥}%& \\ \end{eqnarray*}

En appliquant ce résultat à {u}^{∗} on obtient, \mathop{\mathrm{Ker}}u = {(\mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗})}^{⊥} et en prenant l’orthogonal, \mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗} = {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥}

(ii) On a visiblement u(x) = 0 ⇒ {u}^{∗}u(x) = 0, donc \mathop{\mathrm{Ker}}u ⊂\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u ; mais d’autre part, si x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u, on a

\|u{(x)\|}^{2} = (u(x)\mathrel{∣}u(x)) = ({u}^{∗}u(x)\mathrel{∣}x) = (0\mathrel{∣}x) = 0

et donc u(x) = 0, soit \mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u ⊂\mathop{\mathrm{Ker}}u et l’égalité. On en déduit alors que

\mathop{\mathrm{Im}}{u}^{∗}u = {(\mathop{\mathrm{Ker}}{({u}^{∗}u)}^{∗})}^{⊥} = {(\mathop{\mathrm{Ker}}{u}^{∗}u)}^{⊥} = {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥} =\mathop{ \mathrm{Im}}{u}^{∗}

12.5.3 Endomorphismes symétriques et formes quadratiques

Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, Φ une forme quadratique non dégénérée sur E de forme polaire φ. A tout endomorphisme u de E, on peut associer la forme bilinéaire {ψ}_{u} : (x,y)\mathrel{↦}φ(x,u(y)). Il est clair que u est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si {ψ}_{u} est une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique).

Théorème 12.5.10 L’application u\mathrel{↦}{ψ}_{u} est un isomorphisme d’espaces vectoriels de L(E) sur l’espace {L}_{2}(E) des formes bilinéaires sur E.

Démonstration Soit une base de E, Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ). Alors {ψ}_{u}(x,y) = φ(x,u(y)) {= }^{t}XΩAY et donc \mathop{\mathrm{Mat}} ({ψ}_{u},ℰ) = ΩA. Comme l’application A\mathrel{↦}ΩA est un isomorphisme, il en est de même de u\mathrel{↦}{ψ}_{u}.

Remarque 12.5.3 Supposons que la base est orthonormée, si bien que Ω = {I}_{n}. Alors \mathop{\mathrm{Mat}} ({ψ}_{u},ℰ) =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ). Une matrice carrée est à la fois la matrice d’un endomorphisme u de E et d’une forme bilinéaire {ψ}_{u} sur E. Mais le lecteur prendra garde au fait que les formules de changement de bases ne sont évidemment pas les mêmes pour l’endomorphisme (A\mathrel{↦}{P}^{−1}AP) et pour la forme bilinéaire (A{\mathrel{↦}}^{t}PAP).

12.5.4 Groupe orthogonal

Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, Φ une forme quadratique non dégénérée sur E de forme polaire φ.

Définition 12.5.4 On dit que u ∈ L(E) est un endomorphisme orthogonal si on a les propriétés équivalentes

  • (i) \mathop{∀}x ∈ E, Φ(u(x)) = Φ(x)
  • (ii) \mathop{∀}x,y ∈ E, φ(u(x),u(y)) = φ(x,y)
  • (iii) u est inversible et {u}^{−1} = {u}^{∗}
  • (iv) u ∘ {u}^{∗} ={ \mathrm{Id}}_{E}
  • (v) {u}^{∗}∘ u ={ \mathrm{Id}}_{E}

Démonstration (ii)(i) est évident (faire y = x). (i)(ii) provient de l’identité de polarisation pour Φ et de la linéarité de u

\begin{eqnarray*} φ(u(x),u(y))& =&{ 1 \over 2} (Φ(u(x) + u(y)) − Φ(u(x)) − Φ(u(y)))%& \\ & =&{ 1 \over 2} (Φ(u(x + y)) − Φ(u(x)) − Φ(u(y))) %& \\ & =&{ 1 \over 2} (Φ(x + y) − Φ(x) − Φ(y)) = φ(x,y) %& \\ \end{eqnarray*}

Pour un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, on sait que l’inversibilité est équivalente à l’inversibilité à gauche ou à droite. On a donc (iii) \mathrel{⇔} (iv) \mathrel{⇔} (v). Supposons (ii) vérifié. Alors φ(x,y) = φ(u(x),u(y)) = φ(x,{u}^{∗}∘ u(y)), ce qui montre (puisque φ est non dégénérée) que {u}^{∗}∘ u ={ \mathrm{Id}}_{E} ; donc (ii)(v). De même (v)(ii) puisque φ(u(x),u(y)) = φ(x,{u}^{∗}∘ u(y)).

Remarque 12.5.4 La définition peut s’étendre au cas de la dimension infinie, à condition d’imposer a priori que u est inversible.

Théorème 12.5.11 L’ensemble {O}_{Φ}(E) des endomorphismes orthogonaux de E est un sous groupe de (GL(E),∘). Pour tout endomorphisme orthogonal u de E, on a \mathop{\mathrm{det}} u = ±1. L’ensemble S{O}_{Φ}(E) des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1 est un sous-groupe distingué de {O}_{Φ}(E) dont les éléments sont appelés des rotations.

Démonstration On a clairement {\mathrm{Id}}_{E} ∈ {O}_{Φ}(E). La définition (i) montre évidemment que si u et v sont orthogonaux, il en est de même de u ∘ v. De plus, soit u ∈ {O}_{Φ}(E) ; on a Φ({u}^{−1}(x)) = Φ(u({u}^{−1}(x))) = Φ(x) ce qui montre que {u}^{−1} ∈ {O}_{Φ}(E). Donc {O}_{Φ}(E) est un sous-groupe de (GL(E),∘). On a alors 1 =\mathop{ \mathrm{det}} {\mathrm{Id}}_{E} =\mathop{ \mathrm{det}} ({u}^{∗}∘ u) =\mathop{ \mathrm{det}} {u}^{∗}\mathop{\mathrm{det}} u = {(\mathop{\mathrm{det}} u)}^{2}, soit \mathop{\mathrm{det}} u = ±1. L’application {O}_{Φ}(E) →\{− 1,1\}, u\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{det}} u est un morphisme de groupes multiplicatifs ; son noyau S{O}_{Φ}(E) est donc un sous-groupe distingué.

Théorème 12.5.12 On suppose qu’il existe dans E des bases orthonormées. Soit u ∈ L(E).

  • (i) Si u est orthogonal, il envoie toute base orthonormée sur une base orthonormée.
  • (ii) Inversement, s’il existe une base orthonormée de E telle que u(ℰ) soit encore orthonormée, alors u est un endomorphisme orthogonal.

Démonstration (i) On a φ(u({e}_{i}),u({e}_{j})) = φ({e}_{i},{e}_{j}) = {δ}_{i}^{j}.

(ii) Soit x =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i} ∈ E. On a Φ(x) =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}^{2}. Mais on a aussi u(x) =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}u({e}_{i}) et comme u(ℰ) est orthonormée, Φ(u(x)) =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}^{2} ; on a donc \mathop{∀}x ∈ E, Φ(u(x)) = Φ(x).

Théorème 12.5.13 Soit u un endomorphisme orthogonal et F un sous-espace de E stable par u. Alors {F}^{⊥} est stable par u.

Démonstration On a u(F) ⊂ F et comme u est inversible, on a \mathop{dim} u(F) =\mathop{ dim} F. On a donc u(F) = F. Soit donc x ∈ {F}^{⊥} et y ∈ F ; il existe z ∈ F tel que u(z) = y, d’où φ(u(x),y) = φ(u(x),u(z)) = φ(x,z) = 0, et donc u(x) ∈ {F}^{⊥}.

12.5.5 Matrices orthogonales

Proposition 12.5.14 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, Φ une forme quadratique non dégénérée sur E de forme polaire φ. Soit u ∈ L(E), une base de E, Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et A =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ). Alors u est un endomorphisme orthogonal si et seulement si {}^{t}AΩA = Ω.

Démonstration On a φ(u(x),u(y)) {= }^{t}(AX)Ω(AY ) {= }^{t}{X}^{t}AΩAY . L’unicité de la matrice d’une forme bilinéaire montre que

\mathop{∀}x,y ∈ E, φ(u(x),u(y)) = φ(x,y){ \mathrel{⇔} }^{t}AΩA = Ω

En particulier, si est une base orthonormée de E, u est un endomorphisme orthogonal si et seulement si {}^{t}AA = {I}_{n}. Ceci conduit à la définition suivante

Définition 12.5.5 Soit A ∈ {M}_{K}(n) ; On dit que A est une matrice orthogonale si elle vérifie les conditions équivalentes

  • (i) A est inversible et {A}^{−1} {= }^{t}A
  • (ii) {}^{t}AA = {I}_{n}
  • (iii) {A}^{t}A = {I}_{n}

Théorème 12.5.15 L’ensemble {O}_{K}(n) des matrices carrées orthogonales d’ordre n est un sous groupe de (G{L}_{K}(n),.). Pour toute matrice orthogonale A, on a \mathop{\mathrm{det}} A = ±1. L’ensemble S{O}_{K}(n) des matrices orthogonales de déterminant 1 est un sous-groupe distingué de {O}_{K}(n) dont les éléments sont appelés des matrices de rotations.

Démonstration On a clairement {I}_{n} ∈ {O}_{K}(n). La définition (i) montre évidemment que si A et B sont orthogonales, il en est de même de AB. De plus, soit A ∈ {O}_{K}(n) ; on a {A{}^{−1}}^{t}({A}^{−1}) = {A{}^{−1}}^{t}{(}^{t}A) = {A}^{−1}A = {I}_{n} ce qui montre que {A}^{−1} ∈ {O}_{K}(n). Donc {O}_{K}(n) est un sous-groupe de (G{L}_{K}(n),.). On a alors 1 =\mathop{ \mathrm{det}} {I}_{n} =\mathop{ \mathrm{det}} {(}^{t}AA) = {(\mathop{\mathrm{det}} A)}^{2}, soit \mathop{\mathrm{det}} A = ±1. L’application {O}_{K}(n) →\{− 1,1\}, A\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{det}} A est un morphisme de groupes multiplicatifs ; son noyau S{O}_{K}(n) est donc un sous-groupe distingué.

Dans ce paragraphe, on munira {K}^{n} de la forme bilinéaire symétrique naturelle (qui rend la base canonique orthonormée), c’est-à-dire que l’on posera (x\mathrel{∣}y) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}

Théorème 12.5.16 Une matrice A ∈ {M}_{K}(n) est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes (resp. lignes) forment une base orthonormée de {K}^{n}.

Démonstration Soit ({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n}) les vecteurs colonnes de A, ({l}_{1},\mathop{\mathop{…}},{l}_{n}) ses vecteurs lignes. On a

\begin{eqnarray*} A ∈ {O}_{K}(n){& \mathrel{⇔} & }^{t}AA = {I}_{ n} \mathrel{⇔} \mathop{∀}i,j, {{(}^{t}AA)}_{ i,j} = {δ}_{i}^{j}%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}i,j, {\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{a}_{ k,i}{a}_{k,j} = {δ}_{i}^{j} %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}i,j, ({c}_{i}\mathrel{∣}{c}_{j}) = {δ}_{i}^{j} %& \\ \end{eqnarray*}

De la même fa\c{c}on, en traduisant la relation {A}^{t}A = {I}_{n}, on obtiendrait ({l}_{i}\mathrel{∣}{l}_{j}) = {δ}_{i}^{j}.

Théorème 12.5.17 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, Φ une forme quadratique non dégénérée sur E de forme polaire φ. Soit une base orthonormée de E, ℰ' une base de E. Alors on a équivalence de

  • (i) ℰ' est orthonormée
  • (ii) la matrice {P}_{ℰ}^{ℰ'} de passage de la base à la base ℰ' est orthogonale.

Démonstration On sait que {P}_{ℰ}^{ℰ'} =\mathop{ \mathrm{Mat}} (u,ℰ)u est l’endomorphisme de E défini par \mathop{∀}i, u({e}_{i}) = {e}_{i}'. Or d’après les résultats du paragraphe précédent, u est un endomorphisme orthogonal si et seulement si ℰ' est orthonormée ; mais d’autre part, comme est orthonormée, u est orthogonal si et seulement si \mathop{\mathrm{Mat}} (u,ℰ) est une matrice orthogonale, d’où l’équivalence entre (i) et (ii).