2.1 Généralités sur les espaces vectoriels

2.1.1 Notion de K-espace vectoriel

Définition 2.1.1 On appelle K-espace vectoriel un triplet (E,+,.) où (E,+) est un groupe abélien, . une loi externe à domaine d’opérateurs K, doublement distributive par rapport à l’addition dans K et dans E, vérifiant \mathop{∀}x ∈ E, {1}_{K}x = x et \mathop{∀}α,β ∈ K, \mathop{∀}x ∈ E, α(βx) = (αβ)x.

Exemples fondamentaux : si L est un sur-corps de K, L est naturellement un K-espace vectoriel .

Soit n ∈ ℕ ; {K}^{n} muni des lois ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) + ({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n}) = ({x}_{1} + {y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} + {y}_{n}) et λ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) = (λ{x}_{1},\mathop{\mathop{…}},λ{x}_{n})est un K-espace vectoriel. Plus généralement, si I est un ensemble,

{K}^{(I)} = \{{({a}_{ i})}_{i∈I}\mathrel{∣}\mathop{∀}i, {a}_{i} ∈ K\text{ et nombre fini de ${a}_{i}$ non nuls}\}

est un K-espace vectoriel pour les lois ({a}_{i}) + ({b}_{i}) = ({a}_{i} + {b}_{i}) et λ({a}_{i}) = (λ{a}_{i}).

2.1.2 Notion de sous-espace vectoriel

Remarque 2.1.1 Un sous-espace vectoriel est une partie stable aussi bien par la loi interne que par la loi externe et qui est muni par les lois induites d’une structure d’espace vectoriel. On vérifie immédiatement que c’est équivalent à la définition suivante que l’on retiendra :

Définition 2.1.2 On appelle sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E une partie F de E telle que

Remarque 2.1.2 L’intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels en est encore un ce qui conduit à la définition suivante

Définition 2.1.3 L’ensemble des sous-espaces vectoriels contenant une partie A de E admet un plus petit élément appelé le sous-espace vectoriel engendré par A et noté \mathop{\mathrm{Vect}}(A). On a \mathop{\mathrm{Vect}}(A) ={\mathop{ \mathop{⋂ }} }_{{ A⊂F \atop F\text{sev }} }F

Définition 2.1.4 On appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille {({x}_{i})}_{i∈I} le plus petit sous-espace vectoriel contenant tous les vecteurs de la famille, et on le note \mathop{\mathrm{Vect}}({x}_{i},i ∈ I). On a

\begin{eqnarray*} \mathop{\mathrm{Vect}}({x}_{i},i ∈ I)& =& \mathop{\mathrm{Vect}}({\mathop{⋃ }}_{i∈I}\{{x}_{i}\}) %& \\ & =& \{{\mathop{∑ }}_{i∈I}{α}_{i}{x}_{i}\mathrel{∣}({α}_{i}) ∈ {K}^{(I)}\}%& \\ \end{eqnarray*}

(ensemble des combinaisons linéaires de la famille ({x}_{i})).

2.1.3 Produits, quotients

Définition 2.1.5 (espace produit) Si E et F sont deux espaces vectoriels , l’espace E × F est muni d’une structure d’espace vectoriel en posant ({x}_{1},{y}_{1}) + ({x}_{2},{y}_{2}) = ({x}_{1} + {x}_{2},{y}_{1} + {y}_{2}), λ(x,y) = (λx,λy).

Définition 2.1.6 (espace quotient) Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. La relation ”xℛy \mathrel{⇔} x − y ∈ F est une relation d’équivalence sur E. La classe d’un élément x de E est x + F. Il existe sur E∕F une unique structure d’espace vectoriel telle que la projection π : E → E∕F vérifie \mathop{∀}α,β ∈ K, \mathop{∀}x,y ∈ E, π(αx + βy) = απ(x) + βπ(y).

Démonstration La relation d’équivalence et la caractérisation de la classe d’équivalence proviennent du même résultat sur les groupes additifs. La loi d’espace vectoriel sur E∕F doit être définie de telle sorte que α(x + F) + β(y + F) = (αx + βy) + F ; il suffit donc de vérifier que si x + F = x' + F et y + F = y' + F, alors (αx + βy) + F = (αx' + βy') + F. Or les deux premières relations signifient que x − x' ∈ F et y − y' ∈ F. On a donc (αx + βy) − (αx' + βy') = α(x − x') + β(y − y') ∈ F, soit encore (αx + βy) + F = (αx' + βy') + F. Ceci définit parfaitement une structure d’espace vectoriel sur E∕F (vérification facile) et on a bien π(αx + βy) = απ(x) + βπ(y).

2.1.4 Applications linéaires

Proposition 2.1.1 Soit E et F deux espaces vectoriels . On appelle application linéaire une application f : E → F telle que \mathop{∀}α,β ∈ K, \mathop{∀}x,y ∈ E, f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

Notation : L(E,F) l’ensemble des applications linéaires de E dans F.

Proposition 2.1.2 L’ensemble L(E,F) est muni d’une structure de K espace vectoriel en posant (f + g)(x) = f(x) + g(x) et (λf)(x) = λf(x).

Proposition 2.1.3 Soit f ∈ L(E,F). L’image par f de tout sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F. L’image réciproque de tout sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E.

Remarque 2.1.3 En particulier \mathop{\mathrm{Ker}}f = {f}^{−1}(\{0\}) et \mathop{\mathrm{Im}}f = f(E) sont des sous-espaces vectoriels respectivement de E et F.

Théorème 2.1.4 Soit f ∈ L(E,F). L’application f est injective si et seulement si \mathop{\mathrm{Ker}}f = \{0\}.

Démonstration C’est une traduction du résultat sur les groupes.

Théorème 2.1.5 Soit f ∈ L(E,F). Il existe une unique application \overline{f} : E∕\mathop{\mathrm{Ker}}f →\mathop{\mathrm{Im}}f vérifiant \mathop{∀}x ∈ E, \overline{f}(π(x)) = f(x) (où π désigne la projection canonique de E sur E∕\mathop{\mathrm{Ker}}f). L’application \overline{f} est un isomorphisme d’espaces vectoriels .

Démonstration Analogue au résultat similaire sur les groupes.

2.1.5 Somme de sous-espaces

Soit E un K-espace vectoriel et {F}_{1},\mathop{\mathop{…}},{F}_{k} des sous-espaces vectoriels de E. Soit f : {F}_{1} ×\mathrel{⋯} × {F}_{k} → E définie par f({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{k}) = {x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{k}. On vérifie facilement que f est linéaire.

Définition 2.1.7 On appelle somme des sous-espaces vectoriels {F}_{1},\mathop{\mathop{…}},{F}_{k} le sous-espace vectoriel {F}_{1} + \mathrel{⋯} + {F}_{k} =\mathop{ \mathrm{Im}}f = \{{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{k}\mathrel{∣}\mathop{∀}i, {x}_{i} ∈ {F}_{i}\}. On dit que {F}_{1},\mathop{\mathop{…}},{F}_{k} sont en somme directe si f est injective (c’est-à-dire si l’écriture d’un x sous la forme x = {x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{k} lorsqu’elle existe, est unique). Dans ce cas on écrit la somme sous la forme {F}_{1} ⊕\mathrel{⋯} ⊕ {F}_{k}.

Théorème 2.1.6 Les sous-espaces {F}_{1},\mathop{\mathop{…}},{F}_{k} sont en somme directe si et seulement si

{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{k} = 0 ⇒ {x}_{1} = 0,\mathop{\mathop{…}},{x}_{k} = 0

Démonstration Ceci traduit simplement que f est injective si et seulement si son noyau est réduit à \{0\}.

Remarque 2.1.4 Il n’existe pas d’autre caractérisation correcte et réellement utile de la somme directe dans le cas où k ≥ 3. Par contre, si k = 2 on a

Théorème 2.1.7 Les sous-espaces {F}_{1} et {F}_{2} sont en somme directe si et seulement si {F}_{1} ∩ {F}_{2} = \{0\}.

Démonstration On a en effet

{x}_{1} + {x}_{2} = 0 \mathrel{⇔} {x}_{1} = −{x}_{2} ∈ {F}_{1} ∩ {F}_{2}

Définition 2.1.8 On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G de l’espace vectoriel E sont supplémentaires s’ils vérifient les trois propriétés équivalentes

  • (i) E = F ⊕ G
  • (ii) E = F + G et F ∩ G = \{0\}
  • (iii) Tout élément x de E s’écrit de manière unique sous la forme x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G.

On dit que y est la projection de x sur F parallèlement à G : y = {π}_{F∥G}(x).

Proposition 2.1.8 Si F et G sont supplémentaires, {π}_{F∥G} est une application linéaire de E dans E et on a {π}_{F∥G} + {π}_{G∥F} ={ \mathrm{Id}}_{E}.

Le théorème suivant peut rendre de grands services

Théorème 2.1.9 Soit f : E → F une application linéaire et V un supplémentaire de \mathop{\mathrm{Ker}}f dans E. Alors la restriction de f à V , {f}_{{|}_{V }}, induit un isomorphisme de V sur \mathop{\mathrm{Im}}f.

Démonstration Soit f' la restriction de f à V  ; on a \mathop{\mathrm{Ker}}f' =\mathop{ \mathrm{Ker}}f ∩ V = \{0\} ce qui montre que f' est injective. De plus, si y ∈\mathop{\mathrm{Im}}f, il existe x ∈ E tel que y = f(x). Cet élément x peut s’écrire x = {x}_{1} + {x}_{2} avec {x}_{1} ∈ V,{x}_{2} ∈\mathop{\mathrm{Ker}}f, d’où y = f(x) = f({x}_{1}) + f({x}_{2}) = f({x}_{1}) = f'({x}_{1}) ce qui montre que f' est surjective de V sur \mathop{\mathrm{Im}}f.

Remarque 2.1.5 Appelons g l’isomorphisme réciproque ; on a alors f ∘ g ={ \mathrm{Id}}_{\mathop{\mathrm{Im}} f} et g ∘ f = {π}_{V ∥\mathop{\mathrm{Ker}} f}. Le résultat suivant n’est qu’un cas particulier utile du théorème énoncé :

Proposition 2.1.10 Si F et G sont supplémentaires, soit π la projection canonique de E sur E∕F. Alors la restriction de π à G est un isomorphisme de G sur E∕F

Remarque 2.1.6 Contrairement au quotient E∕F qui est unique, un supplémentaire G ne l’est pas ; par contre deux supplémentaires d’un même sous-espace vectoriel sont isomorphes (puisqu’ils sont tous deux isomorphes à E∕F).

2.1.6 Algèbres

Définition 2.1.9 On appelle K-algèbre un quadruplet (A,+,∗,.) tel que (A,+,∗) est un anneau, (A,+,.) est un K-espace vectoriel avec

\mathop{∀}λ ∈ K, \mathop{∀}x,y ∈ A, (λx) ∗ y = x ∗ (λy) = λ(x ∗ y)

(avec la distributivité, ces propriétés traduisent la bilinéarité du produit ).

Remarque 2.1.7 Notions évidentes : sous-algèbres, morphisme d’algèbres.

Exemple 2.1.1 L’ensemble L(E) = L(E,E) des endomorphismes de E est une K-algèbre, la multiplication étant la composition. Le groupe des éléments inversibles (automorphismes de E) est noté GL(E).

2.1.7 Familles libres, génératrices. Bases

Soit E un espace vectoriel, X = {({x}_{i})}_{i∈I} une famille de vecteurs de E. A cette famille on peut associer une application linéaire {f}_{X} : {K}^{(I)} → E par f({({α}_{i})}_{i∈I}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i∈I}{α}_{i}{x}_{i}.

Définition 2.1.10 On dit que la famille X est (i) libre si {f}_{X} est injective (ii) génératrice si {f}_{X} est surjective (iii) une base de E si {f}_{X} est bijective.

Proposition 2.1.11 La famille X est (i) libre si et seulement si \mathop{∀}({α}_{i}) ∈ {K}^{(I)}, \mathop{\mathop{∑ }} {α}_{i}{x}_{i} = 0 ⇒\mathop{∀}i ∈ I, {α}_{i} = 0 (ii) génératrice si et seulement si tout élément x de E s’écrit sous la forme x =\mathop{ \mathop{∑ }} {α}_{i}{x}_{i} (iii) une base si et seulement si tout élément x de E s’écrit de manière unique sous la forme x =\mathop{ \mathop{∑ }} {α}_{i}{x}_{i} (on dit alors que les {α}_{i} sont les coordonnées de x dans la base X).

Démonstration Seul (i) n’est pas totalement évident. Il traduit que {f}_{X} est injective si et seulement si son noyau est réduit à la famille nulle. On remarque alors facilement qu’une famille est libre si et seulement si toute sous-famille finie est libre.

Définition 2.1.11 On dit qu’une famille est liée lorsqu’elle n’est pas libre.

Proposition 2.1.12 Toute sous-famille d’une famille libre est libre, toute surfamille d’une famille génératrice est génératrice. L’image par une application linéaire injective d’une famille libre est libre. L’image par une application linéaire surjective d’une famille génératrice est génératrice. L’image par une application linéaire d’une famille liée est liée. L’image par un isomorphisme d’une base est une base.

Démonstration Elémentaire

2.1.8 Théorèmes fondamentaux

Théorème 2.1.13 Une famille {({x}_{i})}_{i∈I} est liée si et seulement si il existe {i}_{0} ∈ I tel que {x}_{{i}_{0}} soit combinaison linéaire de la famille {({x}_{i})}_{i∈I∖\{{i}_{0}\}}

Démonstration Si {x}_{{i}_{0}} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i∈I∖\{{i}_{0}\}}{α}_{i}{x}_{i}, on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{α}_{i}{x}_{i} = 0 en posant {α}_{{i}_{0}} = −1 et la famille est donc liée. En ce qui concerne la réciproque, on écrit {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}{α}_{i}{x}_{i} = 0 avec par exemple {α}_{{i}_{0}}\mathrel{≠}0. Alors {x}_{{i}_{0}} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i∈I∖\{{i}_{0}\}}(−{ {α}_{i} \over {α}_{{i}_{0}}} ){x}_{i}. En adaptant de fa\c{c}on évidente la démonstration on a

Théorème 2.1.14 Soit {({x}_{i})}_{i∈I} une famille liée. On suppose que la famille {({x}_{i})}_{i∈I∖\{{i}_{0}\}} est libre. Alors {x}_{{i}_{0}} est combinaison linéaire de la famille {({x}_{i})}_{i∈I∖\{{i}_{0}\}}

Démonstration En effet le fait que la famille {({x}_{i})}_{i∈I∖\{{i}_{0}\}} soit libre implique que nécessairement {α}_{{i}_{0}}\mathrel{≠}0.

Théorème 2.1.15 Soit E et F deux K-espaces vectoriels et ℰ = {({e}_{i})}_{i∈I} une base de E. Pour toute famille {({b}_{i})}_{i∈I} d’éléments de F indexée par I, il existe une unique application linéaire f : E → F vérifiant

\mathop{∀}i ∈ I, f({e}_{i}) = {b}_{i}

Démonstration L’application f est bien évidemment définie par f(\mathop{\mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i}) =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}{b}_{i}. On vérifie facilement qu’elle est linéaire.

Remarque 2.1.8 Les deux théorèmes suivants découlent simplement de la relation

{\mathop{∑ }}_{i∈I}{α}_{i}{e}_{i} ={ \mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{\underbrace{ {\mathop{∑ }}_{i∈{I}_{j}}{α}_{i}{e}_{i}} }_{∈{E}_{j}}

et des caractérisations d’une base et d’une somme directe :

Théorème 2.1.16 Soit E un K-espace vectoriel , ℰ = {({e}_{i})}_{i∈I} une base de E, I = {I}_{1} ∪\mathop{\mathop{…}} ∪ {I}_{p} une partition de I, {E}_{j} =\mathop{ \mathrm{Vect}}({e}_{i}, i ∈ {I}_{j}). Alors E = {E}_{1} ⊕\mathrel{⋯} ⊕ {E}_{p}.

Théorème 2.1.17 Soit E un K-espace vectoriel , E = {E}_{1} ⊕\mathrel{⋯} ⊕ {E}_{p} une décomposition en somme directe. Pour j ∈ [1,p], soit {ℰ}_{j} = {({e}_{i})}_{i∈{I}_{j}} une base de {E}_{j} (les ensembles {I}_{j} sont disjoints). Alors la famille {ℰ}_{1} ∪\mathop{\mathop{…}} ∪{ℰ}_{p} est une base de E (dite adaptée à la décomposition en somme directe).