12.1 Formes bilinéaires

12.1.1 Généralités

Définition 12.1.1 Soit E un K-espace vectoriel . On appelle forme bilinéaire sur E toute application φ : E × E → K telle que

Remarque 12.1.1 On a en particulier \mathop{∀}x,y ∈ E, φ(x,0) = φ(0,y) = 0.

Remarque 12.1.2 Il est clair que si φ et ψ sont deux formes bilinéaires sur E, il en est de même de αφ + βψ, d’où la proposition

Proposition 12.1.1 L’ensemble {L}_{2}(E) des formes bilinéaires sur E est un sous-espace vectoriel de l’espace {K}^{E×E} des applications de E × E dans K.

Remarque 12.1.3 Soit φ une forme bilinéaire sur E. Pour chaque x ∈ E, l’application y\mathrel{↦}φ(x,y) est une forme linéaire sur E donc un élément, noté {g}_{φ}(x), du dual {E}^{∗} de E. De même, pour chaque y ∈ E, l’application x\mathrel{↦}φ(x,y) est une forme linéaire sur E, donc un élément, noté {d}_{φ}(y), de {E}^{∗}. La relation

\begin{eqnarray*} \left [{g}_{φ}(αx + βx')\right ](y)& =& φ(αx + βx',y) = αφ(x,y) + βφ(x',y)%& \\ & =& \left [α{g}_{φ}(x) + β{g}_{φ}(x')\right ](y) %& \\ \end{eqnarray*}

montre clairement que {g}_{φ} : x\mathrel{↦}{g}_{φ}(x) est une application linéaire de E dans {E}^{∗}. Il en est évidemment de même de {d}_{φ} : y\mathrel{↦}{d}_{φ}(y).

Définition 12.1.2 L’application {g}_{φ} : E → {E}^{∗} (resp. {d}_{φ}) est appelée l’application linéaire gauche (resp. droite) associée à la forme bilinéaire φ.

12.1.2 Formes bilinéaires symétriques, antisymétriques

Définition 12.1.3 Soit φ ∈ {L}_{2}(E). On dit que φ est symétrique (resp. antisymétrique) si \mathop{∀}x,y ∈ E, φ(y,x) = φ(x,y) (resp. = −φ(x,y)).

Proposition 12.1.2 Soit φ ∈ {L}_{2}(E). Alors φ est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si {d}_{φ} = {g}_{φ} (resp. {d}_{φ} = −{g}_{φ}).

Démonstration En effet φ(x,y) =\big [{g}_{φ}(x)\big ](y) et φ(y,x) =\big [{d}_{φ}(x)\big ](y). Donc

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}x,y ∈ E, φ(y,x) = εφ(x,y)&& %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x,y ∈ E, \big [{g}_{φ}(x)\big ](y) = ε\big [{d}_{φ}(x)\big ](y) %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈ E, {g}_{φ}(x) = ε{d}_{φ}(x) \mathrel{⇔} {g}_{φ} = ε{d}_{φ}%& \\ \end{eqnarray*}

Proposition 12.1.3 L’ensemble {S}_{2}(E) (resp. {A}_{2}(E)) des formes bilinéaires symétriques (resp. antisymétriques) est un sous-espace vectoriel de {L}_{2}(E). Si la caractéristique de K est différente de 2, alors {L}_{2}(E) = {S}_{2}(E) ⊕ {A}_{2}(E).

Démonstration La première affirmation est laissée aux soins du lecteur. Si la caractéristique de K est différente de 2, on a clairement {S}_{2}(E) ∩ {A}_{2}(E) = \{0\} et la relation φ = ψ + θ avec ψ(x,y) ={ 1 \over 2} (φ(x,y) + φ(y,x)), θ(x,y) ={ 1 \over 2} (φ(x,y) − φ(y,x)), qui sont respectivement symétrique et antisymétrique, montre que {L}_{2}(E) = {S}_{2}(E) + {A}_{2}(E).

12.1.3 Matrice d’une forme bilinéaire

Supposons que E est de dimension finie et soit ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E.

Définition 12.1.4 Soit φ ∈ {L}_{2}(E). On appelle matrice de φ dans la base la matrice

\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) = {(φ({e}_{i},{e}_{j}))}_{1≤i,j≤n} ∈ {M}_{K}(n)

Proposition 12.1.4 \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) est l’unique matrice Ω ∈ {M}_{K}(n) vérifiant

\mathop{∀}(x,y) ∈ E × E, φ(x,y) {= }^{t}XΩY

où X (resp. Y ) désigne le vecteur colonne des coordonnées de x (resp. y) dans la base .

Démonstration Si Ω = ({ω}_{i,j}), on a

{ }^{t}XΩY ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{x}_{ i}{(ΩY )}_{i} ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{x}_{ i}{ \mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ω}_{ i,j}{y}_{j} ={ \mathop{∑ }}_{i,j}{ω}_{i,j}{x}_{i}{y}_{j}

Mais d’autre part φ(x,y) = φ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{x}_{i}{e}_{i},{\mathop{\mathop{∑ }} }_{j=1}^{n}{y}_{j}{e}_{j}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i,j}φ({e}_{i},{e}_{j}){x}_{i}{y}_{j} en utilisant la bilinéarité de φ. Ceci montre que \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) vérifie bien la relation voulue. Inversement, si Ω vérifie cette formule, on a φ({e}_{k},{e}_{l}) {= }^{t}{E}_{k}Ω{E}_{l} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i,j}{ω}_{i,j}{δ}_{i}^{k}{δ}_{j}^{l} = {ω}_{k,l} ce qui montre que Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ).

Théorème 12.1.5 L’application φ\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) est un isomorphisme d’espaces vectoriels de {L}_{2}(E) sur {M}_{K}(n).

Démonstration Les détails sont laissés aux soins du lecteur. L’application réciproque est bien entendu l’application qui à Ω ∈ {M}_{K}(n) associe φ : E × E → K définie par φ(x,y) {= }^{t}XΩY qui est clairement bilinéaire.

Corollaire 12.1.6 Si E est de dimension finie, \mathop{dim} {L}_{2}(E) = {(\mathop{dim} E)}^{2}.

Théorème 12.1.7 Soit E de dimension finie, ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E, {ℰ}^{∗} = ({e}_{1}^{∗},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}^{∗}) la base duale. Soit φ ∈ {L}_{2}(E). Alors

\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ) =\mathop{ \mathrm{Mat}} ({d}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}) {= }^{t}\mathop{ \mathrm{Mat}} ({g}_{ φ},ℰ,{ℰ}^{∗})

Démonstration Notons Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ), A =\mathop{ \mathrm{Mat}} ({d}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}) et B =\mathop{ \mathrm{Mat}} ({g}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}). On a

\begin{eqnarray*}{ ω}_{i,j}& =& φ({e}_{i},{e}_{j}) = \left ({d}_{φ}({e}_{j})\right )({e}_{i}) %& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{a}_{ k,j}{e}_{k}^{∗}\right )({e}_{ i}) = {a}_{i,j}%& \\ \end{eqnarray*}

compte tenu de {e}_{k}^{∗}({e}_{i}) = {δ}_{k}^{i} ; de même

\begin{eqnarray*}{ ω}_{i,j}& =& φ({e}_{i},{e}_{j}) = \left ({g}_{φ}({e}_{i})\right )({e}_{j}) %& \\ & =& \left ({\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{b}_{ k,i}{e}_{k}^{∗}\right )({e}_{ j}) = {b}_{j,i}%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui démontre le résultat.

Corollaire 12.1.8 La forme bilinéaire φ est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si sa matrice dans la base est symétrique (resp. antisymétrique).

Le rang de \mathop{\mathrm{Mat}} ({d}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}) est indépendant du choix de la base  ; il en est donc de même du rang de \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ). Ceci conduit à la définition suivante

Définition 12.1.5 Soit E de dimension finie et φ ∈ {L}_{2}(E). On appelle rang de E le rang de sa matrice dans n’importe quelle base de E. On a

\mathop{\mathrm{rg}}φ =\mathop{ \mathrm{rg}}{d}_{φ} =\mathop{ \mathrm{rg}}{g}_{φ} =\mathop{ \mathrm{rg}}\mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ)

12.1.4 Changements de bases, discriminant

Théorème 12.1.9 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et ℰ' deux bases de E, P = {P}_{ℰ}^{ℰ'} la matrice de passage de à ℰ'. Soit φ ∈ {L}_{2}(E), Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) et Ω' =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ'). Alors

Ω' {= }^{t}PΩP

Démonstration Si X (resp. Y ) désigne le vecteur colonne des coordonnées de x (resp. y) dans la base et X' (resp. Y ') désigne le vecteur colonne des coordonnées de x (resp. y) dans la base ℰ', on a X = PX', Y = PY ', d’où

φ(x,y) {= }^{t}(PX')Ω(PY ) {= }^{t}X'{(}^{t}PΩP)Y '

Comme Ω' est l’unique matrice vérifiant \mathop{∀}(x,y) ∈ E × E, φ(x,y) {= }^{t}X'Ω'Y ', on a Ω' {= }^{t}PΩP.

Définition 12.1.6 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, une base de E et φ ∈ {L}_{2}(E). On appelle discriminant de φ dans la base le déterminant de la matrice \mathop{\mathrm{Mat}} (φ,ℰ).

Remarque 12.1.4 La formule ci dessus montre que lors d’un changement de base, le discriminant est multiplié par {(\mathop{\mathrm{det}} P)}^{2}.

On introduit ainsi une nouvelle relation d’équivalence sur les matrices carrées d’ordre n : représenter une même forme bilinéaire dans des bases différentes.

Définition 12.1.7 Soit Ω,Ω' ∈ {M}_{K}(n). On dit que ces deux matrices sont congruentes s’il existe P ∈ G{L}_{K}(n) telle que Ω' {= }^{t}PΩP. Il s’agit d’une relation d’équivalence sur {M}_{K}(n).

Remarque 12.1.5 Bien entendu cette relation de congruence laisse stables les sous-espaces vectoriels des matrices symétriques ou antisymétriques.

12.1.5 Orthogonalité

Soit E un K-espace vectoriel  et φ une forme bilinéaire sur E.

Définition 12.1.8 On dit que x est orthogonal à y (relativement à φ), et on pose x ⊥ y, si φ(x,y) = 0.

Définition 12.1.9 Soit A une partie de E. On pose

  • (i) {A}^{⊥} = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}a ∈ A, φ(a,x) = 0\}
  • (ii) {}^{⊥} A = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}a ∈ A, φ(x,a) = 0\}

Remarque 12.1.6 Notons {A}^{{⊥}^{∗} } l’orthogonal de A dans le dual {E}^{∗} de E, c’est-à-dire l’espace vectoriel des formes linéaires sur E qui sont nulles sur A. On a

\begin{eqnarray*} x ∈ {A}^{⊥}& \mathrel{⇔} & \mathop{∀}a ∈ A, φ(a,x) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}a ∈ A, \big [{d}_{φ}(x)\big ](a) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & {d}_{φ}(x) ∈ {A}^{{⊥}^{∗} } \mathrel{⇔} x ∈ {d}_{φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} })%& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que {A}^{⊥} = {d}_{φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} }) et {}^{⊥} A = {g}_{φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} }).

Proposition 12.1.10 Soit A une partie de E ; alors

  • (i){A}^{⊥} et {}^{⊥} A sont des sous espaces vectoriels de E
  • (ii){A}^{⊥} =\mathop{ \mathrm{Vect}}{(A)}^{⊥} et {}^{⊥} A {= }^{⊥} \mathop{\mathrm{Vect}}(A)
  • (iii) A {⊂}^{⊥} ({A}^{⊥}) et A ⊂ {{(}^{⊥} A)}^{⊥}
  • (iv) A ⊂ B ⇒ {B}^{⊥}⊂ {A}^{⊥} et {}^{⊥} B {⊂}^{⊥} A.

Démonstration (i) découle immédiatement de la bilinéarité de φ ou de la remarque précédente. Il en est de même pour (ii) puisqu’un vecteur x est orthogonal (aussi bien à gauche qu’à droite) à tout vecteur de A si et seulement si il est orthogonal à toute combinaison linéaire de vecteurs de A, c’est à dire à \mathop{\mathrm{Vect}}(A). En ce qui concerne (iii), il suffit de remarquer que tout vecteur a de A est orthogonal à tout vecteur qui est orthogonal à tout vecteur de A. Pour (iv), un vecteur x qui est orthogonal à tout vecteur de B est évidemment orthogonal à tout vecteur de A.

Remarque 12.1.7 Dans le cas où φ est symétrique ou antisymétrique, on a φ(x,y) = 0 \mathrel{⇔} φ(y,x) = 0, si bien que la relation d’orthogonalité est symétrique. Dans ce cas, il n’y a pas lieu de distinguer {}^{⊥} A de {A}^{⊥}. Dans toute la suite nous ferons l’hypothèse que φ est soit symétrique, soit antisymétrique.

12.1.6 Formes non dégénérées

En règle générale on posera

Définition 12.1.10 Soit E un K-espace vectoriel , φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) sur E. On appelle noyau de φ le sous-espace

\mathop{\mathrm{Ker}}φ = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}y ∈ E, φ(x,y) = 0\} = {E}^{⊥} =\mathop{ \mathrm{Ker}}{d}_{ φ}

Définition 12.1.11 Soit E un K-espace vectoriel , φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) sur E. On dit que φ est non dégénérée si elle vérifie les conditions équivalentes

  • (i) \mathop{\mathrm{Ker}}φ = {E}^{⊥} = \{0\}
  • (ii) pour x ∈ E on a \left (\mathop{∀}y ∈ E, φ(x,y) = 0\right ) ⇒ x = 0
  • (iii) {d}_{φ} (resp. {g}_{φ}) est une application linéaire injective de E dans {E}^{∗}.

L’équivalence entre ces trois propriétés est évidente.

Si E est un espace vectoriel de dimension finie, on sait que \mathop{dim} {E}^{∗} =\mathop{ dim} E. Si {d}_{φ} est injective, elle est nécessairement bijective et on obtient

Théorème 12.1.11 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) non dégénérée sur E. Alors l’application linéaire droite {d}_{φ} est un isomorphisme d’espace vectoriel de E sur {E}^{∗} ; autrement dit, pour toute forme linéaire f sur E, il existe un unique vecteur {v}_{f} ∈ E tel que \mathop{∀}x ∈ E, f(x) = φ(x,{v}_{f}).

Corollaire 12.1.12 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) non dégénérée sur E. Soit A un sous-espace vectoriel de E. Alors \mathop{dim} A +\mathop{ dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} E et A = {A}^{⊥⊥}.

Démonstration On a en effet

\mathop{dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} {d}_{ φ}^{−1}({A}^{{⊥}^{∗} }) =\mathop{ dim} {A}^{{⊥}^{∗} } =\mathop{ dim} E −\mathop{ dim} A

puisque {d}_{φ} est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On sait d’autre part que A ⊂ {A}^{⊥⊥} et que \mathop{dim} {A}^{⊥⊥} =\mathop{ dim} E −\mathop{ dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} A, d’où l’égalité.

Remarque 12.1.8 Il ne faudrait pas en déduire abusivement que A et {A}^{⊥} sont supplémentaires ; en effet, en général A ∩ {A}^{⊥}\mathrel{≠}\{0\}. Nous nous intéresserons plus particulièrement à ce point dans le paragraphe suivant.

Si est une base de E, alors Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ) =\mathop{ \mathrm{Mat}} ({d}_{φ},ℰ,{ℰ}^{∗}) et \mathop{\mathrm{rg}}φ =\mathop{ \mathrm{rg}}Ω. On en déduit

Théorème 12.1.13 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie n, φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) sur E, une base de E et Ω =\mathop{ \mathrm{Mat}} (φ,ℰ). Alors les propositions suivantes sont équivalentes

  • (i) φ est non dégénérée
  • (ii) Ω est une matrice inversible
  • (iii) \mathop{\mathrm{rg}}φ = n.

Remarque 12.1.9 En général, \mathop{\mathrm{Ker}}φ =\mathop{ \mathrm{Ker}}{d}_{φ}, \mathop{\mathrm{rg}}φ =\mathop{ \mathrm{rg}}{d}_{φ}, si bien que le théorème du rang devient

Proposition 12.1.14 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie n, φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) sur E, une base de E. Alors \mathop{dim} E =\mathop{ \mathrm{rg}}φ +\mathop{ dim} \mathop{\mathrm{Ker}}φ.

12.1.7 Isotropie

Définition 12.1.12 Soit E un K-espace vectoriel , φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) sur E. On dit qu’un sous-espace vectoriel A de E est non isotrope s’il vérifie les conditions équivalentes

  • (i) A ∩ {A}^{⊥} = \{0\}
  • (ii) la restriction de φ à A × A est non dégénérée.

Démonstration On a en effet \mathop{\mathrm{Ker}}{φ}_{{|}_{A×A}} = \{x ∈ A\mathrel{∣}\mathop{∀}y ∈ A, φ(x,y) = 0\} = \{x ∈ A\mathrel{∣}x ∈ {A}^{⊥}\} = A ∩ {A}^{⊥}.

Définition 12.1.13 Soit E un K-espace vectoriel , φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) sur E. On dit que x ∈ E est un vecteur isotrope s’il vérifie les conditions équivalentes suivantes

  • (i) la droite Kx est un sous-espace isotrope ou x = 0
  • (ii) φ(x,x) = 0

Démonstration (i)(ii) : soit y ∈ Kx ∩ {(Kx)}^{⊥}∖\{0\} ; on a y = λx avec λ\mathrel{≠}0, d’où 0 = φ(y,y) = {λ}^{2}φ(x,x), soit φ(x,x) = 0.

(ii)(i) si φ(x,x) = 0, on a clairement Kx ⊂ {(Kx)}^{⊥}.

Remarque 12.1.10 Il est clair que si φ est antisymétrique et si \mathop{\mathrm{car}}K\mathrel{≠}2, alors tout vecteur est isotrope. La notion n’est donc réellement intéressante que pour les formes symétriques.

Exemple 12.1.1 Pour la forme bilinéaire symétrique sur {ℝ}^{4}, φ(x,y) = {x}_{1}{y}_{1} + {x}_{2}{y}_{2} + {x}_{3}{y}_{3} − {x}_{4}{y}_{4} (forme de Lorentz, celle de la relativité), le vecteur (1,0,0,1) est isotrope ; cette forme est bien entendu non dégénérée puisque sa matrice dans la base canonique est la matrice \mathop{\mathrm{diag}}(1,1,1,−1) qui est inversible ; on voit donc que φ peut être non dégénérée, alors que sa restriction à un sous-espace est dégénérée (et même nulle).

Définition 12.1.14 On dit que la forme bilinéaire symétrique φ sur E est définie s’il n’existe pas de vecteur isotrope autre que 0.

Remarque 12.1.11 Si A est un sous-espace isotrope, alors tout vecteur de A ∩ {A}^{⊥}∖\{0\} est clairement isotrope (étant orthogonal à tout vecteur de A, il est orthogonal à lui même). On en déduit que si φ est une forme bilinéaire symétrique définie, alors tout sous-espace de E est non isotrope. En particulier, E lui même est non isotrope et donc

Proposition 12.1.15 Soit φ une forme bilinéaire symétrique définie ; alors φ est non dégénérée et tout sous-espace est non isotrope pour φ.

Théorème 12.1.16 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, φ une forme bilinéaire symétrique (resp. antisymétrique) non dégénérée sur E. Soit A un sous-espace vectoriel de E. Alors on a l’équivalence de

  • (i) A est non isotrope
  • (ii) E = A ⊕ {A}^{⊥}

Démonstration En effet on sait que \mathop{dim} A +\mathop{ dim} {A}^{⊥} =\mathop{ dim} E. On a donc

A ∩ {A}^{⊥} = \{0\} \mathrel{⇔} E = A ⊕ {A}^{⊥}

Corollaire 12.1.17 Soit E un K-espace vectoriel  de dimension finie, φ une forme bilinéaire symétrique définie sur E. Soit A un sous-espace vectoriel de E. Alors E = A ⊕ {A}^{⊥}.