11.2 Somme d’une série entière

11.2.1 Etude sur le disque ouvert de convergence (domaine complexe)

Théorème 11.2.1 (continuité de la somme). Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière à coefficients dans E, de rayon de convergence R > 0. Alors la fonction S : z\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{a}_{n}{z}^{n} est continue sur le disque D(0,R) = \{z ∈ K\mathrel{∣}|z| < R\}.

Démonstration On a vu en effet que la série convergeait normalement sur D'(0,r) pour r < R, donc S est continue sur un tel D'(0,r) et donc finalement sur D(0,R).

Corollaire 11.2.2 (principe des zéros isolés). Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière non nulle à coefficients dans E, de rayon de convergence R > 0. Alors, il existe η > 0 tel que la fonction S : z\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{a}_{n}{z}^{n} ne s’annule pas sur D(0,η) ∖\{0\}.

Démonstration Soit en effet p =\mathop{ min}\{k ∈ ℕ\mathrel{∣}{a}_{k}\mathrel{≠}0\}. On a alors S(z) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=p}^{+∞}{a}_{n}{z}^{n} = {z}^{p}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=p}^{+∞}{a}_{n}{z}^{n−p} = {z}^{p}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{a}_{n+p}{z}^{n}. Mais la série entière {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{a}_{n+p}{z}^{n} a même rayon de convergence que la série entière \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} (facile) et sa somme définit donc une fonction s continue sur D(0,R) avec s(0) = {a}_{p}\mathrel{≠}0. Donc il existe η > 0 tel que |z| < η ⇒ s(z)\mathrel{≠}0. Mais alors, pour 0 < |z| < η, on a S(z) = {z}^{p}s(z)\mathrel{≠}0, ce que l’on voulait démontrer.

Corollaire 11.2.3 (principe d’identification). Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} et et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n} deux séries entières à coefficients dans E, de rayons de convergence non nuls, de sommes {S}_{1} et {S}_{2}. Alors on a équivalence de (i) \mathop{∀}n ∈ ℕ, {a}_{n} = {b}_{n} (ii) il existe η > 0 tel que \mathop{∀}z ∈ D(0,η), {S}_{1}(z) = {S}_{2}(z) (iii) il existe une suite ({z}_{n}) de K formée d’éléments distincts telle que \mathop{lim}{z}_{n} = 0 et \mathop{∀}n ∈ ℕ, {S}_{1}({z}_{n}) = {S}_{2}({z}_{n})

Démonstration Il suffit d’appliquer le principe des zéros isolés à la série entière \mathop{\mathop{∑ }} ({a}_{n} − {b}_{n}){z}^{n} dont la somme est {S}_{1} − {S}_{2} dans le disque D(0,\mathop{min}({R}_{1},{R}_{2})).

Remarque 11.2.1 Le corollaire précédent qui garantit l’unicité du développement en série entière d’une fonction est très souvent utilisé ; il permet en particulier de travailler par identification. Il laisse penser qu’il doit être possible de récupérer les valeurs des coefficients {a}_{n} à partir de la somme S de la série. En fait, dans une première approche, les techniques sont très différentes suivant que le corps de base est ou .

Dans le cadre complexe, on a le théorème suivant qui relie les coefficients du développement en série entière à la somme de la fonction

Théorème 11.2.4 (formules de Cauchy). Soit E un -espace vectoriel normé complet, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière à coefficients dans E, de rayon de convergence R > 0, de somme S. Alors, pour tout r < R, on a

\mathop{∀}n ∈ ℕ, {a}_{n} ={ 1 \over 2π{r}^{n}} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}S(r{e}^{iθ}){e}^{−inθ} dθ

Démonstration Puisque r < R, la série \mathop{\mathop{∑ }} \|{a}_{n}\|{r}^{n} est convergente.

On a S(r{e}^{iθ}){e}^{−inθ} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{+∞}{a}_{p}{r}^{p}{e}^{i(p−n)θ}. Mais l’inégalité \|{a}_{n}{r}^{p}{e}^{i(p−n)θ}\| ≤\| {a}_{p}\|{r}^{p} montre que la série converge normalement par rapport à θ. On en déduit que

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}S(r{e}^{iθ}){e}^{−inθ} dθ& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{a}_{ p}{r}^{p}{e}^{i(p−n)θ} dθ%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{a}_{ p}{r}^{p}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{2π}{e}^{i(p−n)θ} dθ%& \\ & =& 2π{a}_{n}{r}^{n} %& \\ \end{eqnarray*}

car {\mathop{∫ } }_{0}^{2π}{e}^{ikθ} dθ = \left \{ \cases{ 0 &si k\mathrel{≠}0 \cr 2π&si k = 0 } \right .. On obtient donc la formule ci dessus.

Théorème 11.2.5 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}_{n} une série entière de rayon de convergence R et de somme S(z). Soit {z}_{0} ∈ ℂ tel que |{z}_{0}| < R. Alors la fonction S({z}_{0} + u) est développable en série entière de u dans le disque ouvert |u| < R −|{z}_{0}|, ce que l’on traduit par : la somme d’une série entière est analytique dans son disque ouvert de convergence.

Démonstration Puisque |{z}_{0} + u|≤|{z}_{0}| + |u| < R, on peut écrire

\begin{eqnarray*} S({z}_{0} + u)& =& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n}{({z}_{0} + u)}^{n} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{m=0}^{n}{C}_{ n}^{m}{a}_{ n}{z}_{0}^{n−m}{u}^{m}\right )%& \\ \end{eqnarray*}

On considère alors la famille {({x}_{m,n})}_{m,n∈ℕ} définie par

{ x}_{m,n} = \left \{ \cases{ {C}_{n}^{m}{a}_{n}{z}_{0}^{n−m}{u}^{m}&si m ≤ n \cr 0 &si m > n } \right .

On a

{\mathop{∑ }}_{m=0}^{+∞}|{x}_{ m,n}| ={ \mathop{∑ }}_{m=0}^{n}|{C}_{ n}^{m}{a}_{ n}{z}_{0}^{n−m}{u}^{m}| = |{a}_{ n}|{(|{z}_{0}| + |u|)}^{n}

qui est une série convergente puisque la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}|{a}_{n}|{(|{z}_{0}| + |u|)}^{n} converge (une série entière converge absolument dans son disque ouvert de convergence). Ceci montre que la famille {({x}_{m,n})}_{m,n∈ℕ} est sommable. On peut donc appliquer d’interversion des sommations et on a

\begin{eqnarray*} S({z}_{0} + u)& =& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{m=0}^{+∞}{x}_{ m,n}\right ) ={ \mathop{∑ }}_{m=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ m,n}\right )%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{m=0}^{+∞}{u}^{m}\left ({\mathop{∑ }}_{n=m}^{+∞}{C}_{ n}^{m}{a}_{ n}{z}_{0}^{n−m}\right ) %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre le résultat.

11.2.2 Etude sur le disque ouvert de convergence (domaine réel)

Avant de regarder le cas réel, nous allons démontrer le lemme suivant

Lemme 11.2.6 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière à coefficients dans le K-espace vectoriel normé E, de rayon de convergence R. Soit F ∈ K(X) une fraction rationnelle non nulle et N ∈ ℕ tel que F n’ait pas de pôle entier supérieur à N. Alors la série entière \mathop{\mathop{∑ }} F(n){a}_{n}{z}^{n} a encore pour rayon de convergence R.

Démonstration Soit z ∈ K tel que |z| < R et soit r tel que |z| < r < R. La suite \|{a}_{n}\|{r}^{n} est donc bornée, par exemple majorée par M. On a alors, pour n ≥ N, \|F(n){a}_{n}{z}^{n}\| ≤ M|F(n)|{\left ({ |z| \over r} \right )}^{n} ∼ λ{n}^{d}{\left ({ |z| \over r} \right )}^{n} (où d est le degré de la fraction rationnelle, différence entre le degré de son numérateur et celui de son dénominateur, si bien que |F(t)|∼ λ{t}^{d} au voisinage de + ∞) qui tend vers 0 quand n tend vers + ∞. On a donc R' ≥ R. Mais on a aussi {a}_{n} ={ 1 \over F} (n)\left (F(n){a}_{n}\right ) si bien que les suites ({a}_{n}) et (F(n){a}_{n}) jouent ici un rôle parfaitement symétrique. On a donc aussi R ≥ R', soit R = R'.

On va en déduire le théorème suivant

Théorème 11.2.7 Soit E un -espace vectoriel normé complet, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{t}^{n} une série entière à coefficients dans E, de rayon de convergence R > 0, de somme S. Alors la fonction S est de classe {C}^{∞} sur ] − R,R[ et \mathop{∀}p ∈ ℕ, \mathop{∀}t ∈] − R,R[

\begin{eqnarray*}{ S}^{(p)}(t)& =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{+∞}n(n − 1)\mathop{…}(n − p + 1){a}_{ p}{t}^{n−p}%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{ (n + p)! \over n!} {a}_{n+p}{t}^{n} %& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration Les deux formules se déduisent l’une de l’autre par un changement d’indice (le changement de n − p en n). Il suffit donc de montrer la première. Mais le lemme précédent assure que la série entière {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥p}n(n − 1)\mathop{\mathop{…}}(n − p + 1){a}_{p}{t}^{n} a même rayon de convergence R que la série de départ. Il en est donc de même de la série entière {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥p}n(n − 1)\mathop{\mathop{…}}(n − p + 1){a}_{p}{t}^{n−p} et cette série converge donc normalement sur [−r,r] pour r < R. Montrons donc le résultat par récurrence sur p. Pour p = 0, il n’y a rien à montrer. Supposons le résultat vrai pour p avec \mathop{∀}t ∈] − R,R[, {S}^{(p)}(t) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=p}^{+∞}n(n − 1)\mathop{\mathop{…}}(n − p + 1){a}_{p}{t}^{n−p}. La série dérivée {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥p+1}n(n − 1)\mathop{\mathop{…}}(n − p + 1)(n − p){a}_{p}{t}^{n−p−1} converge normalement sur [−r,+r] et le théorème de dérivation des séries de fonctions nous garantit que {S}^{(p)} est de classe {C}^{1} (donc S de classe {C}^{p+1}) sur [−r,r] avec \mathop{∀}t ∈ [−r,r], {S}^{(p)}(t) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=p}^{+∞}n(n − 1)\mathop{\mathop{…}}(n − p + 1)(n − p){a}_{p}{t}^{n−p−1} ; mais comme r est quelconque (r < R), S est de classe {C}^{p+1} sur ] − R,R[ et la formule ci-dessus y reste valable, ce qui achève la récurrence.

Corollaire 11.2.8 Soit E un -espace vectoriel normé complet, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{t}^{n} une série entière à coefficients dans E, de rayon de convergence R > 0, de somme S. Alors

\mathop{∀}n ∈ ℕ, {a}_{n} ={ {S}^{(n)}(0) \over n!}

Démonstration Faire t = 0 dans la formule précédente.

Remarque 11.2.2 Les coefficients {a}_{n} sont donc les mêmes que ceux qui apparaissent dans un développement limité en 0 de la fonction S.

Le même argument de convergence normale sur [−r,r] ⊂] − R,R[ montrera le théorème suivant

Théorème 11.2.9 Soit E un -espace vectoriel normé complet, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{t}^{n} une série entière à coefficients dans E, de rayon de convergence R > 0, de somme S. Alors

\mathop{∀}t ∈] − R,R[, {\mathop{∫ } }_{0}^{t}S(u) du ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n}{ {t}^{n+1} \over n + 1}

11.2.3 Etude sur le cercle de convergence

On a vu qu’en un point du cercle de convergence, la série pouvait aussi bien diverger que converger. Si la série converge, la question de la continuité de la somme en ce point se pose immédiatement. En fait, on peut montrer que sur , la somme peut très bien être discontinue en un tel point, mais qu’il s’agit en fait d’une discontinuité tangentielle : il se peut que S(z) ne tende pas vers S({z}_{0}) quand z tend vers {z}_{0} tangentiellement au cercle de convergence. Pour nous il nous suffira de savoir que S(z) tend vers S({z}_{0}) quand z tend vers {z}_{0} suivant un rayon, ce que garantit le théorème suivant

Théorème 11.2.10 (Abel) Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière à coefficients dans E, de rayon de convergence R > 0 et S : z\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{a}_{n}{z}^{n} continue sur le disque D(0,R) = \{z ∈ K\mathrel{∣}|z| < R\}. Soit {z}_{0} ∈ K tel que |{z}_{0}| = R et la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}_{0}^{n} converge. Alors

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n}{z}_{0}^{n} ={ lim}_{ t→{1}^{−}}S(t{z}_{0})

Démonstration On considère la série de fonctions \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}_{0}^{n}{t}^{n}, qui converge sur [0,1]. Nous allons démontrer sa convergence uniforme ; ceci garantira la continuité de sa somme au point 1, ce qui n’est autre l’assertion à démontrer.

Premier cas : la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}_{0}^{n} converge absolument. Alors on a \mathop{∀}t ∈ [0,1], \|{a}_{n}{z}_{0}^{n}{t}^{n}\| ≤\| {a}_{n}{z}_{0}^{n}\|, série convergente indépendante de t. Donc la série converge normalement.

Deuxième cas : le critère des séries alternées s’applique à la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}_{0}^{n}, autrement dit {a}_{n}{z}_{0}^{n} = {(−1)}^{n}{b}_{n} avec ({b}_{n}) qui tend vers 0 en décroissant. Alors {a}_{n}{z}_{0}^{n}{t}^{n} = {(−1)}^{n}{b}_{n}{t}^{n}, avec t\mathrel{↦}{b}_{n}{t}^{n} qui tend uniformément vers 0 en décroissant. Le critère de convergence uniforme des séries alternées garantit la convergence uniforme de la série.

Cas général : nous allons montrer que la série de fonctions vérifie le critère de Cauchy uniforme. Pour cela posons {R}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=n}^{+∞}{a}_{k}{z}_{0}^{k}. On a alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}{z}_{0}^{n}{t}^{n}& =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}({R}_{ n} − {R}_{n+1}){t}^{n} ={ \mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{R}_{ n}{t}^{n} −{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{R}_{ n+1}{t}^{n}%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{R}_{ n}{t}^{n} −{\mathop{∑ }}_{n=p+1}^{q+1}{R}_{ n}{t}^{n−1} %& \\ & =& {R}_{p}{t}^{p} − {R}_{ q+1}{t}^{q} −{\mathop{∑ }}_{n=p+1}^{q}{R}_{ n}({t}^{n−1} − {t}^{n}) %& \\ \end{eqnarray*}

On a \mathop{lim}{R}_{n} = 0 (reste d’une série convergente). Soit ε > 0 ; il existe N ∈ ℕ (indépendant de t) tel que n ≥ N ⇒\| {R}_{n}\| <{ ε \over 2} . Alors, en tenant compte de {t}^{p} ≥ 0, {t}^{q} ≥ 0 et {t}^{n−1} − {t}^{n} ≥ 0, on a \mathop{∀}t ∈ [0,1],

\|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}{z}_{0}^{n}{t}^{n}\| ≤{ ε \over 2} ({t}^{p} + {t}^{q} +{ \mathop{∑ }}_{n=p+1}^{q}({t}^{n−1} − {t}^{n})) = 2{t}^{p}{ ε \over 2} ≤ ε

ce qui montre que la série vérifie le critère de Cauchy uniforme, donc est uniformément convergente.

Remarque 11.2.3 Une des premières utilités du théorème précédent est de calculer la somme de certaines séries numériques du type \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}_{0}^{n} ; il arrive en effet fréquemment que la somme de la série entière \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} soit facile à calculer pour |z| < R (par exemple par dérivation ou par résolution d’une certaine équation différentielle). Il suffit alors de passer à la limite pour calculer la somme de la série.

Exemple 11.2.1 On cherche à calculer la somme de la série alternée {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{ {(−1)}^{n−1} \over n} . Pour |t| < 1, on pose f(t) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{ {(−1)}^{n−1} \over n} {t}^{n} ; on sait que f est {C}^{∞} sur ] − 1,1[ et que f'(t) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{(−1)}^{n−1}{t}^{n−1} ={ 1 \over 1+t} . Comme f(0) = 0, on a f(t) =\mathop{ log} (1 + t). Le théorème précédent assure que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{ {(−1)}^{n−1} \over n} ={\mathop{ lim}}_{t→{1}^{−}}\mathop{log} (1 + t) =\mathop{ log} 2. Suivant le même principe, le lecteur montrera que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{ {(−1)}^{n} \over 2n+1} =\mathop{ \mathrm{arctg}} 1 ={ π \over 4} , en introduisant la série entière {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{ {(−1)}^{n} \over 2n+1} {t}^{2n+1}.