11.1 Convergence des séries entières

11.1.1 Notion de série entière

Définition 11.1.1 Soit {({a}_{n})}_{n∈ℕ} une suite de l’espace vectoriel normé complet E. On appelle série entière associée à la suite ({a}_{n}) la série de fonctions de (resp. ) dans E, {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}{u}_{n}, où l’on pose {u}_{n}(z) = {a}_{n}{z}^{n} ; on notera simplement {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}{a}_{n}{z}^{n} cette série de fonctions de la variable z.

Remarque 11.1.1 Dans le cas où E = ℝ ou E = ℂ, la série entière est associée à une unique série formelle {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{a}_{n}{X}^{n} ∈ K[[X]].

11.1.2 Rayon de convergence

Lemme 11.1.1 (Abel). Soit E un K-espace vectoriel normé complet, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière à coefficients dans E. Soit {z}_{0} ∈ {K}^{∗} tel que la suite ({a}_{n}{z}_{0}^{n}) soit bornée. Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} converge absolument pour tout z ∈ K tel que |z| < |{z}_{0}| ; la série entière converge même normalement dans tout disque fermé D'(0,r) = \{z ∈ K\mathrel{∣}|z|≤ r\} pour tout nombre réel r tel que r < |{z}_{0}|.

Démonstration Soit M ≥ 0 tel que \mathop{∀}n ∈ ℕ, \|{a}_{n}{z}_{0}^{n}\| ≤ M et soit z ∈ K tel que |z| < |{z}_{0}|. On a alors \|{a}_{n}{z}^{n}\| =\| {a}_{n}{z}_{0}^{n}\|{ \left |{ z \over {z}_{0}} \right |}^{n} ≤ M{\left |{ z \over {z}_{0}} \right |}^{n}. Comme \left |{ z \over {z}_{0}} \right | < 1, la série géométrique est convergente et donc la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} converge absolument. Pour z ∈ D'(0,r), on a de la même fa\c{c}on \|{a}_{n}{z}^{n}\| ≤ M{\left |{ r \over {z}_{0}} \right |}^{n} qui est une série convergente indépendante de z, donc la série converge normalement sur D'(0,r).

Théorème 11.1.2 Soit E un K-espace vectoriel normé complet, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière à coefficients dans E. Posons {R}_{1} =\mathop{ sup}\{|z|\mathrel{∣}\mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n}\text{ converge }\} ∈ {ℝ}^{+} ∪\{ + ∞\} et {R}_{2} =\mathop{ sup}\{|z|\mathrel{∣}({a}_{n}{z}^{n})\text{ est bornée }\} ∈ {ℝ}^{+} ∪\{ + ∞\}. On a {R}_{1} = {R}_{2}. En notant R la valeur commune, la série converge absolument dans D(0,R) = \{z ∈ K\mathrel{∣}|z| < R\} et converge normalement dans tout disque fermé D'(0,r) = \{z ∈ K\mathrel{∣}|z|≤ r\} tel que r < R.

Démonstration Soit r ∈ [0,{R}_{1}[ ; d’après la propriété caractéristique de la borne supérieure, il existe z ∈ K tel que la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} converge avec r < |z|≤ {R}_{1}. Mais alors \mathop{lim}{a}_{n}{z}^{n} = 0, donc la suite ({a}_{n}{z}^{n}) est bornée et a fortiori la suite ({a}_{n}{r}^{n}) est bornée ; donc r ∈ [0,{R}_{2}], soit [0,{R}_{1}[⊂ [0,{R}_{2}] et donc {R}_{1} ≤ {R}_{2}. Soit r ∈ [0,{R}_{2}[ ; d’après la propriété caractéristique de la borne supérieure, il existe z ∈ K tel que la suite ({a}_{n}{z}^{n}) soit bornée avec r < |z|≤ {R}_{2}. Mais alors, d’après le lemme d’Abel, la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{r}^{n} converge absolument, r ∈ [0,{R}_{1}], soit [0,{R}_{2}[⊂ [0,{R}_{1}] et donc {R}_{2} ≤ {R}_{1}.

Soit alors z ∈ D(0,R) ; il existe {z}_{0} ∈ K tel que la suite ({a}_{n}{z}_{0}^{n}) soit bornée avec |z| < |{z}_{0}|≤ R. Mais alors, d’après le lemme d’Abel, la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} converge absolument. De même, soit r < R ; il existe {z}_{0} ∈ K tel que la suite ({a}_{n}{z}_{0}^{n}) soit bornée avec r < |{z}_{0}|≤ R. Mais alors, d’après le lemme d’Abel, la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} converge normalement sur D'(0,r).

Remarque 11.1.2 Le lecteur prendra garde au fait qu’en général la série ne converge pas normalement sur D(0,R) ni même uniformément.

Définition 11.1.2 R est appelé le rayon de convergence de la série entière, D(0,R) son disque ouvert de convergence, C(0,R) = \{z ∈ K\mathrel{∣}|z| = R\} son cercle de convergence.

Remarque 11.1.3 Par définition même au vu des résultats précédents, la série converge absolument dans le disque ouvert de convergence (et même uniformément dans tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence) ; pour |z| > R la série diverge et en fait, la suite ({a}_{n}{z}^{n}) n’est même pas bornée. La nature de la série sur le disque fermé de convergence dépend de la série et du point considéré.

Exemple 11.1.1 Soit α ∈ ℝ ; la série entière \mathop{\mathop{∑ }} { {z}^{n} \over {n}^{α}} a pour rayon de convergence 1 ; pour |z| = 1 la nature de la série dépend à la fois de α et de z.

11.1.3 Recherche du rayon de convergence

Les deux remarques suivantes, qui découlent immédiatement des résultats précédents peuvent rendre de grands services dans la détermination du rayon de convergence

On pourra éventuellement, pour cette recherche, trouver refuge dans l’un des théorèmes suivants

Théorème 11.1.3 (règle de d’Alembert). On suppose que \mathop{∀}n ∈ ℕ, {a}_{n}\mathrel{≠}0 ; si la suite { \|{a}_{n+1}\| \over \|{a}_{n}\|} admet une limite ℓ ∈ {ℝ}^{+} ∪\{ + ∞\}, alors le rayon de convergence de la série entière \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} est { 1 \over ℓ} .

Démonstration Il suffit d’appliquer la règle de d’Alembert pour les séries numériques en remarquant que { \|{a}_{n+1}{z}^{n+1}\| \over \|{a}_{n}{z}^{n}\|} admet la limite ℓ|z| et que donc la série converge absolument pour ℓ|z| < 1 et diverge pour ℓ|z| > 1.

Remarque 11.1.4 On prendra garde à la condition \mathop{∀}n ∈ ℕ, {a}_{n}\mathrel{≠}0. En particulier, on ne tentera pas d’appliquer cette règle à des séries comportant une infinité de termes nuls comme les séries entières du type \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{2n} ou \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{{n}^{2} } ; c’est ainsi qu’une application imprudente de la règle de d’Alembert à la série entière \mathop{\mathop{∑ }} {3}^{n}{z}^{2n} pourrait faire croire que le rayon de convergence est { 1 \over 3} alors que l’écriture |{3}^{n}{z}^{2n}| ={ \left (3|z{|}^{2}\right )}^{n} montre qu’il vaut { 1 \over \sqrt{3}} .

Exemple 11.1.2 Pour \mathop{\mathop{∑ }} { {z}^{n} \over n!} , on a R = +∞ ; pour \mathop{\mathop{∑ }} { {z}^{n} \over {n}^{α}} , on a R = 1 ; pour \mathop{\mathop{∑ }} n!{z}^{n}, on a R = 0 (la série diverge pour tout z\mathrel{≠}0).

Théorème 11.1.4 (règle d’Hadamard). Le rayon de convergence de la série entière \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} est égal à

{ 1 \over \mathop{limsup}\root{n}\of{\|{a}_{n}\|}} ∈ {ℝ}^{+} ∪\{ + ∞\}

Démonstration Posons ℓ =\mathop{ limsup}\root{n}\of{\|{a}_{n}\|} ∈ {ℝ}^{+} ∪\{ + ∞\}. Soit z ∈ K tel que |z| <{ 1 \over ℓ} . On a alors ℓ <{ 1 \over |z|} . Soit donc ρ tel que ℓ < ρ <{ 1 \over |z|} . D’après la propriété de la limite supérieure, il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\root{n}\of{\|{a}_{n}\|} ≤ ρ soit encore \|{a}_{n}\| ≤ {ρ}^{n} et donc \|{a}_{n}{z}^{n}\| ≤ {(ρ|z|)}^{n}. Mais ρ|z| < 1 et donc la série \mathop{\mathop{∑ }} {(ρ|z|)}^{n} converge. On en déduit que la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} converge absolument, soit R ≥{ 1 \over ℓ} . De plus, si |z| >{ 1 \over ℓ} , on a ℓ >{ 1 \over |z|} . Comme est valeur d’adhérence de la suite (\root{n}\of{\|{a}_{n}\|}), il existe une infinité de n tels que \root{n}\of{\|{a}_{n}\|} >{ 1 \over |z|} soit \|{a}_{n}{z}^{n}\| > 1 ; la suite ({a}_{n}{z}^{n}) ne tend pas vers 0, donc la série diverge ; ceci montre que R ≤{ 1 \over ℓ} , ce qui achève la démonstration.

Remarque 11.1.5 En particulier, si la suite (\root{n}\of{\|{a}_{n}\|}) converge vers , on a R ={ 1 \over ℓ} .

11.1.4 Opérations sur les séries entières

Proposition 11.1.5 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n} deux séries entières à coefficients dans E de rayons de convergence respectifs {R}_{1} et {R}_{2}, α et β des scalaires. Alors la série entière \mathop{\mathop{∑ }} (α{a}_{n} + β{b}_{n}){z}^{n} a un rayon de convergence supérieur ou égal à \mathop{min}({R}_{1},{R}_{2}) et

|z| <\mathop{ min}({R}_{1},{R}_{2}) ⇒{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}(α{a}_{ n} + β{b}_{n}){z}^{n} = α{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n}{z}^{n} + β{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{b}_{ n}{z}^{n}

Démonstration En effet, si |z| <\mathop{ min}({R}_{1},{R}_{2}), les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n} sont convergentes, et donc la série \mathop{\mathop{∑ }} (α{a}_{n} + β{b}_{n}){z}^{n} converge également, soit R ≥\mathop{ min}({R}_{1},{R}_{2}). La formule découle immédiatement du résultat similaire sur les séries numériques.

Remarque 11.1.6 L’exemple {b}_{n} = −{a}_{n}, α = β = 1, montre que l’on peut avoir R >\mathop{ min}({R}_{1},{R}_{2})

Proposition 11.1.6 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n} deux séries entières à coefficients dans K de rayons de convergence respectifs {R}_{1} et {R}_{2}. Posons {c}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}{a}_{k}{b}_{n−k} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p+q=n}{a}_{p}{b}_{q} (série entière produit). Alors la série entière \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n}{z}^{n} a un rayon de convergence supérieur ou égal à \mathop{min}({R}_{1},{R}_{2}) et

|z| <\mathop{ min}({R}_{1},{R}_{2}) ⇒{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{c}_{ n}{z}^{n} = \left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n}{z}^{n}\right )\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{b}_{ n}{z}^{n}\right )

Démonstration En effet, si |z| <\mathop{ min}({R}_{1},{R}_{2}), les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n} sont absolument convergentes, et donc la série produit de Cauchy est également absolument convergente. Mais on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p+q=n}({a}_{p}{z}^{p})({b}_{q}{z}^{q}) = {z}^{n}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p+q=n}{a}_{p}{b}_{q} = {c}_{n}{z}^{n}. On a donc R ≥\mathop{ min}({R}_{1},{R}_{2}). La formule découle immédiatement du résultat similaire sur les séries numériques (la somme du produit de Cauchy est le produit des sommes des séries).

Proposition 11.1.7 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} une série entière à coefficients dans K avec {a}_{0}\mathrel{≠}0. Il existe alors une unique série entière \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n} tel que le produit des deux séries entières soit la constante 1. Si \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} a un rayon de convergence non nul R, il en est de même du rayon de convergence R' de la série entière \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n}. On a

|z| <\mathop{ min}(R,R') ⇒{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{b}_{ n}{z}^{n} ={ 1 \over {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{n}{z}^{n}}

Démonstration On doit avoir {a}_{0}{b}_{0} = 1 et pour n ≥ 1, {\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}{a}_{n−k}{b}_{k} = 0. La suite ({b}_{n}) est donc définie par {b}_{0} ={ 1 \over {a}_{0}} et pour n ≥ 1, {b}_{n} = −{ 1 \over {a}_{0}} {\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{n−1}{a}_{n−k}{b}_{k} ce qui définit parfaitement la suite par récurrence. Remarquons que si l’on multiplie tous les {a}_{n} par λ\mathrel{≠}0, tous les {b}_{n} sont divisés par λ, et les rayons de convergence ne sont pas modifiés. Sans nuire à la généralité, on peut donc supposer que {a}_{0} = 1. On a alors {b}_{0} = 1 et {b}_{n} = −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{n−1}{a}_{n−k}{b}_{k}. Supposons donc R > 0 et soit r < R. La suite ({a}_{n}{r}^{n}) est donc bornée. Soit M tel que \mathop{∀}n, |{a}_{n}|{r}^{n} ≤ M soit |{a}_{n}|≤ M{r}^{−n}. On va montrer que \mathop{∀}n ≥ 1, |{b}_{n}|≤ M{(M + 1)}^{n−1}{r}^{−n} par récurrence sur n. Pour n = 1, on a {b}_{1} = −{a}_{1}, soit |{b}_{1}| = |{a}_{1}|≤ M{r}^{−1} ce qui est bien l’inégalité souhaitée. Supposons l’inégalité vérifiée de 1 à n − 1. On a alors (compte tenu de {b}_{0} = 1)

\begin{eqnarray*} |{b}_{n}|& ≤& |{a}_{n}| +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n−1}|{a}_{ n−k}||{b}_{k}| %& \\ & ≤& M{r}^{−n} +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n−1}M{r}^{k−n}M{(M + 1)}^{k−1}{r}^{−k} %& \\ & =& M{r}^{−n}\left (1 + M{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n−1}{(M + 1)}^{k−1}\right ) %& \\ & =& M{r}^{−n}\left (1 + M{ {(M + 1)}^{n−1} − 1 \over (M + 1) − 1} \right ) = M{(M + 1)}^{n−1}{r}^{−n}%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui achève la récurrence. Alors |{b}_{n}{z}^{n}|≤{ M \over M+1} {\left ({ (M+1)|z| \over r} \right )}^{n} ce qui montre que la série \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n} converge pour |z| <{ r \over M+1} , soit R' ≥{ r \over M+1} > 0.

La formule découle immédiatement de la proposition précédente.

Remarque 11.1.7 L’exemple {a}_{0} = 1, {a}_{1} = −1, {a}_{n} = 0 pour n ≥ 2 (c’est-à-dire de la série entière 1 − z), pour laquelle la série inverse est la série \mathop{\mathop{∑ }} {z}^{n} pour laquelle R' = 1, montre qu’on ne peut pas dire grand chose de la valeur effective de R'. On peut avoir aussi bien R' ≤ R que R' ≥ R (échanger le rôle de \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{z}^{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}{z}^{n}).