10.2 Séries de fonctions

10.2.1 Différents modes de convergence

Remarque 10.2.1 Soit E un ensemble, F un espace vectoriel normé. Soit {({u}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications de E dans F. On s’intéressera ici à la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n}(x) ; c’est à la fois, pour chaque x ∈ E, une série d’éléments de F et une suite de fonctions, la suite de ses sommes partielles {S}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{u}_{p}. On peut donc déjà distinguer trois modes possibles de convergence de la série de fonctions.

Définition 10.2.1 On dit que la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n} d’applications de E dans F converge (i) simplement sur E si pour chaque x ∈ E, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n}(x) converge (ii) absolument sur E si pour chaque x ∈ E, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n}(x) converge absolument (autrement dit la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}\|{u}_{n}(x)\| converge) (iii) uniformément sur E si la suite d’applications de E dans F, x\mathrel{↦}{S}_{n}(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{u}_{p}(x) converge uniformément sur E

Remarque 10.2.2 Les résultats sur les séries à valeurs dans F montrent que si F est complet, la convergence absolue implique la convergence simple. De même, les résultats sur les suites de fonctions montrent que la convergence uniforme implique la convergence simple. Bien entendu, le critère de Cauchy uniforme peut s’appliquer à des séries de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé complet, et on obtient

Théorème 10.2.1 Soit E un ensemble et F un espace vectoriel normé complet. Une série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n} d’applications de E dans F est uniformément convergente si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}N ∈ ℕ, q ≥ p ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ E, \|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{u}_{ n}(x)\| < ε

Démonstration C’est tout simplement le critère de Cauchy pour les suites de fonctions en remarquant que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{u}_{n} = {S}_{q} − {S}_{p−1}.

Remarque 10.2.3 Nous allons introduire un quatrième mode de convergence plus fort que les trois autres, la convergence normale :

Définition 10.2.2 Soit {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n} une série d’applications de E dans F. On dit qu’elle converge normalement si elle vérifie les conditions équivalentes (i) chaque {u}_{n} est une application bornée et la série (à termes réels positifs) {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}\|{u}_{n}\|∞ est convergente (ii) il existe une série à termes réels positifs {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{α}_{n} qui converge et qui vérifie \mathop{∀}x ∈ E, \|{u}_{n}(x)\| ≤ {α}_{n}.

Démonstration (i)(ii) : prendre {α}_{n} =\| {u}_{n}\|∞.

(ii)(i) : il suffit de remarquer que 0 ≤\| {u}_{n}\|∞ ≤ {α}_{n} pour avoir la convergence de {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}\|{u}_{n}\|∞.

Remarque 10.2.4 Montrer une convergence normale, c’est donc majorer \|{u}_{n}(x)\| par une série convergente indépendante de x. On constate que la convergence normale n’est autre que la convergence absolue dans (ℬ(E,F),\|{.\|}_{∞}).

Théorème 10.2.2 Si F est complet, la convergence normale implique à la fois la convergence absolue et la convergence uniforme.

Démonstration Pour tout x ∈ E, on a 0 ≤\| {u}_{n}(x)\| ≤\| {u}_{n}\|∞, et donc si la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}\|{u}_{n}\|∞, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}\|{u}_{n}(x)\| converge. Pour montrer la convergence uniforme, puisque F est complet, il suffit de montrer que le critère de Cauchy uniforme est vérifié ; mais on a, pour x ∈ E,

\|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{u}_{ n}(x)\| ≤{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}\|{u}_{ n}(x)\| ≤{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}\|{u}_{ n}\|∞

Comme la série \mathop{\mathop{∑ }} \|{u}_{n}\|∞ converge, pour ε > 0, il existe N ∈ ℕ tel que q > p ≥ N ⇒{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}\|{u}_{n}\|∞ < ε. Alors

q ≥ p ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ E, \|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{u}_{ n}(x)\| < ε

Exemple 10.2.1 Soit α > 0 et soit la série d’applications de {ℝ}^{+} dans , {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}{ 1 \over {n}^{α}(1+nx)} . On a 0 ≤{ 1 \over {n}^{α}(1+nx)} ≤{ 1 \over {n}^{α}} série indépendante de x. Cette dernière série converge si α > 1 et donc, si α > 1, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}{ 1 \over {n}^{α}(1+nx)} converge normalement sur {ℝ}^{+}. Si α ≤ 1, la série diverge au point 0. Elle ne peut pas converger uniformément sur ]0,+∞[, sinon elle vérifierait le critère de Cauchy uniforme et pour ε > 0, il existerait N ∈ ℕ tel que q ≥ p ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈]0,+∞[, {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{ 1 \over {n}^{α}(1+nx)} < ε ; mais alors, pour q et p fixés, en faisant tendre x vers 0 on obtiendrait {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{ 1 \over {n}^{α}} ≤ ε, donc la série \mathop{\mathop{∑ }} { 1 \over {n}^{α}} convergerait par le critère de Cauchy, ce qui est absurde. Par contre, l’équivalent { 1 \over {n}^{α}(1+nx)} ∼{ 1 \over x{n}^{α+1}} > 0 montre que si x > 0 la série converge (car α + 1 > 1). Donc la série converge simplement sur ]0,+∞[ (et même absolument puisque c’est une série à termes positifs). Si a > 0, on a, pour x ∈ [a,+∞[, 0 ≤{ 1 \over {n}^{α}(1+nx)} <{ 1 \over {n}^{α}(1+na)} ∼{ 1 \over a{n}^{α+1}} > 0, ce qui montre que la série converge normalement sur [a,+∞[.

Remarque 10.2.5 Le même argument utilisant le critère de Cauchy uniforme permet de montrer que si \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} est une série d’applications continues de E dans F (complet) qui converge uniformément sur une partie A de E, alors elle converge encore uniformément sur l’adhérence \overline{A} de A ; la plupart du temps, les convergences uniformes se produisent donc sur des ensembles fermés et toute affirmation d’une convergence uniforme sur une partie non fermée doit immédiatement susciter une inquiétude légitime (même si parfois elle peut être infondée, une ou plusieurs des {u}_{n} pouvant ne pas être continue).

10.2.2 Critères supplémentaires de convergence uniforme

A part le critère de Cauchy uniforme, il y a peu de méthodes générales permettant de montrer des convergences uniformes qui ne sont pas des convergences normales. On retiendra cependant les deux cas suivants qui sont importants.

Théorème 10.2.3 (convergence uniforme des séries alternées) Soit {({u}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications de l’ensemble E dans vérifiant les hypothèses suivantes (i) pour chaque x ∈ E, la suite {({u}_{n}(x))}_{n∈ℕ} est décroissante (ii) la suite ({u}_{n}) converge uniformément vers la fonction nulle. Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {(−1)}^{n}{u}_{n} converge uniformément sur E.

Démonstration Pour chaque x ∈ E, la série \mathop{\mathop{∑ }} {(−1)}^{n}{u}_{n}(x) est convergente d’après le théorème sur les séries alternées. De plus si l’on désigne par {S}_{n} sa somme partielle d’indice n et par S sa somme, on sait (par le théorème sur les séries alternées) que |S(x) − {S}_{n}(x)|≤ {u}_{n+1}(x) ; la convergence uniforme de ({u}_{n}) vers la fonction nulle implique donc la convergence uniforme de ({S}_{n}) vers S.

Théorème 10.2.4 (critère d’Abel uniforme) Soit ({a}_{n}) une suite d’applications de E dans et ({u}_{n}) une suite d’applications de E dans l’espace vectoriel normé complet F telles que (i) \mathop{∃}M ≥ 0, \mathop{∀}n ∈ ℕ, \mathop{∀}x ∈ E, \|{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{u}_{p}(x)\| ≤ M (ii) la suite ({a}_{n}) converge uniformément vers 0 en décroissant. Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{u}_{n} converge uniformément

Démonstration On a, en posant {S}_{n}(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{u}_{p}(x)

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}(x){u}_{n}(x)& =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}(x)({S}_{n}(x) − {S}_{n−1}(x)) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}(x){S}_{n}(x) −{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}(x){S}_{n−1}(x) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}(x){S}_{n}(x) −{\mathop{∑ }}_{n=p−1}^{q−1}{a}_{ n+1}(x){S}_{n}(x)%& \\ \text{(changement d’indices $n − 1\mathrel{↦}n$)}&& %& \\ & =& {a}_{q}(x){S}_{q}(x) − {a}_{p}(x){S}_{p−1}(x) %& \\ & \text{} & +{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q−1}({a}_{ n}(x) − {a}_{n+1}(x)){S}_{n}(x) %& \\ \end{eqnarray*}

On a effectué ici une transformation d’Abel. Comme \mathop{∀}n, \mathop{∀}x ∈ E, \|{S}_{n}(x)\| ≤ M on a

\|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}(x){u}_{n}(x)\| ≤ M(|{a}_{q}(x)| + |{a}_{p}(x)| +{ \mathop{∑ }}_{n=p}^{q−1}|{a}_{ n}(x) − {a}_{n+1}(x)|) = 2M{a}_{p}(x)

en tenant compte de {a}_{n}(x) ≥ 0 et {a}_{n}(x) − {a}_{n+1}(x) ≥ 0. Comme la suite ({a}_{n}) converge uniformément vers 0, la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{u}_{n} vérifie le critère de Cauchy uniforme, donc elle converge uniformément.

10.2.3 Propriétés de la convergence uniforme

Il suffit d’appliquer à la suite ({S}_{n}) d’applications de E dans F les résultats sur les suites de fonctions pour obtenir les théorèmes suivants

Théorème 10.2.5 (conservation de la continuité) Soit E un espace métrique, F un espace vectoriel normé. Soit {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n} une série d’applications de E dans F qui converge simplement, de somme S : E → F, x\mathrel{↦}S(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n}(x). Soit a ∈ E. On suppose que (i) chacune des {u}_{n} est continue au point a (ii) il existe U voisinage de a telle que la série \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} converge uniformément sur U Alors S est continue au point a.

Démonstration Chacune des {u}_{n} étant continue en a, il en est de même de {S}_{n}.

Corollaire 10.2.6 Soit E un espace métrique, F un espace vectoriel normé. Soit {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n} une série d’applications continues de E dans F qui converge uniformément. Alors la somme S de la série est continue.

Remarque 10.2.6 Il suffit évidemment que tout point ait un voisinage sur lequel la série converge uniformément, ce que l’on appelle la convergence uniforme locale.

Théorème 10.2.7 (interversion des limites) Soit E un espace métrique, F un espace vectoriel normé complet. Soit {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n} une série de fonctions de E dans F. Soit a ∈ E, A ⊂ E tel que a ∈\overline{A} et \mathop{∀}n ∈ ℕ, A ⊂\mathop{ Def} ({u}_{n}). On suppose que

Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {ℓ}_{n} converge et x\mathrel{↦}S(x) admet {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{ℓ}_{n} pour limite en a suivant A, autrement dit

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({lim}_{ x→a,x∈A}{u}_{n}(x)\right ) ={ lim}_{x→a,x∈A}\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n}(x)\right )

Démonstration Il suffit de remarquer que {S}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{u}_{p} admet la limite {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{ℓ}_{p} en a suivant A et d’appliquer le théorème d’interversion des limites à la suite ({S}_{n}).

Remarque 10.2.7 Le résultat suivant s’applique en particulier dans le cas où a = +∞ et A = ℕ, c’est-à-dire au cas d’une suite double ({x}_{n,p}) d’éléments de E : avec les hypothèses

Alors la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{ℓ}_{n} converge et

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({lim}_{ p→+∞}{x}_{n,p}\right ) ={ lim}_{p→+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n,p}\right )

Exemple 10.2.2 Le résultat précédent utilise de manière essentielle la convergence uniforme par rapport à p comme le montre l’exemple {x}_{n,p} ={ n \over n+p} −{ n−1 \over n+p−1} ={ p \over (n+p)(n+p−1)} pour lequel on a

0 ={ \mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}\left ({lim}_{ p→+∞}{x}_{n,p}\right )\mathrel{≠}{lim}_{p→+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{n=1}^{+∞}{x}_{ n,p}\right ) = 1

Théorème 10.2.8 (intégration) Soit \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} une suite de fonctions réglées de [a,b] dans E (espace vectoriel normé complet) qui converge uniformément sur [a,b], de somme S : [a,b] → E. Alors S est réglée et la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{u}_{n}(t) dt converge, de somme {\mathop{∫ } }_{a}^{b}S(t) dt, autrement dit {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n}(t)\right ) dt ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{u}_{n}(t) dt (interversion du signe somme et du signe intégrale).

Démonstration Il suffit d’appliquer le théorème correspondant sur les suites de fonctions en remarquant que {S}_{n} est réglée et que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}{S}_{n}(t) dt ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{u}_{p}(t) dt

Remarque 10.2.8 Comme pour les suites de fonctions, le fait que l’intervalle soit borné est essentiel. Le résultat précédent ne s’étend donc pas aux intégrales impropres sur des intervalles non bornés. Par contre on a

Corollaire 10.2.9 Soit I un intervalle de , \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} une suite de fonctions réglées de I dans E (espace vectoriel normé complet) qui converge uniformément sur I, de somme S : I → E. Alors S est réglée. Soit a ∈ I, {U}_{n}(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{x}{u}_{n}(t) dt et U(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{x}S(t) dt. Alors la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{U}_{n} converge uniformément sur tout segment inclus dans I et elle admet U pour somme.

La convergence uniforme d’une série de fonctions dérivables n’implique pas que la somme soit elle-même dérivable. C’est même de cette manière, par limite uniforme, qu’ont été construits les premiers exemples de fonctions continues n’admettant de dérivée en aucun point (voir ci-dessous). Par contre on a

Théorème 10.2.10 Soit I un intervalle de , \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} une suite d’applications de I dans E qui converge simplement sur I, de somme S : I → E. On suppose que (i) chacune des {u}_{n} est de classe {C}^{1} (ii) la série \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n}' converge uniformément sur I Alors S est de classe {C}^{1} et \mathop{∀}x ∈ I, S'(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n}'(x).

Démonstration Il suffit de remarquer que les {S}_{n} sont de classe {C}^{1} et que {S}_{n}'(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{u}_{p}'(x). Il ne reste plus qu’à appliquer le théorème correspondant sur les suites de fonctions.

Remarque 10.2.9 Comme pour les suites de fonctions, il suffit, avec les mêmes hypothèses, que la suite \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} converge en un point a pour qu’elle converge simplement sur I, cette convergence étant d’ailleurs uniforme sur tout segment inclus dans I. On retiendra donc, que pour montrer la dérivabilité d’une somme de série de fonctions, il faut s’attacher à la convergence uniforme de la série des dérivées, et non à celle de la série elle-même.

Exemple 10.2.3 Etude de la fonction ζ de Riemann : on pose, pour x > 1, ζ(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{ 1 \over {n}^{x}} . Pour a > 1 et x ∈ [a,+∞[, on a { 1 \over {n}^{x}} ≤{ 1 \over {n}^{a}} qui est une série convergente indépendante de a. Donc la série converge normalement sur [a,+∞[ et la fonction ζ est continue sur [a,+∞[ quel que soit a > 1 ; elle est donc continue sur ]1,+∞[. La fonction x →{ 1 \over {n}^{x}} est de classe {C}^{∞} et sa dérivée p-ième est { {(−1)}^{p}{(\mathop{log} n)}^{p} \over {n}^{x}} . Si a > 1, la série de fonctions {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}{ {(−1)}^{p}{(\mathop{log} n)}^{p} \over {n}^{x}} converge normalement sur [a,+∞[ (car \left |{ {(−1)}^{p}{(\mathop{log} n)}^{p} \over {n}^{x}} \right |≤{ {(\mathop{log} n)}^{p} \over {n}^{a}} qui est une série de Bertrand convergente, indépendante de x) et donc ζ est de classe {C}^{p} sur [a,+∞[ avec {ζ}^{(p)}(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{ {(−1)}^{p}{(\mathop{log} n)}^{p} \over {n}^{x}} . Comme a est quelconque avec a > 1, ζ est de classe {C}^{∞} sur ]1,+∞[ et on a la formule ci-dessus.

Exemple 10.2.4 Nous allons donner un exemple de fonction continue sur un intervalle, qui n’est dérivable en aucun point. Posons pour cela f(x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{a}^{n}\mathop{ cos} ({b}^{n}πx) avec 0 < a < 1 et b entier multiple de 4. La majoration \left |{a}^{n}cos({b}^{n}πx)\right | ≤ {a}^{n} montre que la série converge normalement sur et que sa somme est donc une fonction continue sur . On a { f(x+h)−f(x) \over h} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{a}^{n}{ \mathop{cos} ({b}^{n}π(x+h))−\mathop{cos} ({b}^{n}πx) \over h} . Prenons en particulier h ={ 1 \over {b}^{p}} p est un entier. On a alors,

\begin{eqnarray*}{ f(x + h) − f(x) \over h} & =& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}^{n}{ \cos ({b}^{n}πx + {b}^{n}hπ) − \cos ({b}^{n}πx) \over h} %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{p}{a}^{n}{ \cos ({b}^{n}πx + {b}^{n}hπ) − \cos ({b}^{n}πx) \over h} %& \\ \end{eqnarray*}

car {b}^{n}h = {b}^{n−p} est un entier pair pour n > p. On peut donc écrire { f(x+h)−f(x) \over h} = {S}_{p−1} − 2{b}^{p}{a}^{p}\mathop{ cos} ({b}^{p}πx) avec

\begin{eqnarray*} |{S}_{p−1}|& =& \left |{\mathop{∑ }}_{n=0}^{p−1}{a}^{n}{ \cos ({b}^{n}πx + {b}^{n}hπ) − \cos ({b}^{n}πx) \over h} \right |%& \\ & =& 2\left |{\mathop{∑ }}_{n=0}^{p−1}{a}^{n}{ \sin ({b}^{n}πx +{ {b}^{n}hπ \over 2} )\sin ({ {b}^{n}hπ \over 2} ) \over h} \right | %& \\ & ≤& 2{\mathop{∑ }}_{n=0}^{p−1}{a}^{n}\left |{ \sin ({ {b}^{n}hπ \over 2} ) \over h} \right | %& \\ & <& π{\mathop{∑ }}_{n=0}^{p−1}{b}^{n}{a}^{n} %& \\ \end{eqnarray*}

en utilisant |\mathop{sin} x| < x pour x > 0. Supposons a et b choisis de telle sorte que ba − 1 > 2π ; on a alors |{S}_{p−1}| < π{ {b}^{p}{a}^{p}−1 \over ba−1} < π{ {b}^{p}{a}^{p} \over ba−1} et donc {S}_{p−1} = {ε}_{p}{b}^{p}{a}^{p} avec |{ε}_{p}| <{ 1 \over 2} . On a alors { f(x+h)−f(x) \over h} = {a}^{p}{b}^{p}({ε}_{ p} − 2\mathop{cos} ({b}^{p}πx)). En suivant la même méthode on peutécrire { f(x+{ h \over 2} )−f(x) \over { h \over 2} } = {a}^{p}{b}^{p}({η}_{p} − 2\sqrt{2}\mathop{cos} ({b}^{p}πx +{ π \over 4} )) avec |{η}_{p}| <{ 1 \over 2} . Mais les deux nombres {b}^{p}πx et {b}^{p}πx +{ π \over 4} différant de { π \over 4} , l’un des deux cosinus au moins est en valeur absolue supérieur à \mathop{sin} { π \over 8} (exercice facile), et donc on a soit \left |{ f(x+h)−f(x) \over h} \right |≥ {a}^{p}{b}^{p}(2\mathop{sin} { π \over 8} −{ 1 \over 2} ), soit \left |{ f(x+{ h \over 2} )−f(x) \over { h \over 2} } \right |≥ {a}^{p}{b}^{p}(2\sqrt{2}\mathop{sin} { π \over 8} −{ 1 \over 2} ). Comme {\mathop{lim}}_{p→+∞}{b}^{p}{a}^{p} = +∞, on a donc {\mathop{limsup}}_{h→0}\left |{ f(x+h)−f(x) \over h} \right | = +∞, donc f n’est pas dérivable au point x.

10.2.4 Séries de fonctions intégrables sur un intervalle

Remarque 10.2.10 Comme pour les suites de fonctions, les théorèmes du type \mathop{\mathop{∑ }} \mathop{∫ } {u}_{n} =\mathop{∫ } \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} démontrés précédemment ont des hypothèses trop restrictives : ils nécessitent d’une part que l’intervalle soit borné et d’autre part que la série de fonctions converge uniformément sur tout l’intervalle. La théorie de Lebesgue étend également ces théorèmes à des situations plus générales d’où nous extrairons un certain nombre de résultats utiles.

Théorème 10.2.11 (convergence monotone) Soit I un intervalle de , \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} une série de fonctions de I dans positives, continues par morceaux et intégrables sur I ; on suppose que la série converge simplement sur I et que sa somme S =\mathop{ \mathop{∑ }} {u}_{n} est continue par morceaux. Alors la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{n} converge si et seulement si la fonction S est intégrable. Dans ces conditions on a

{\mathop{∫ } }_{I}S ={\mathop{∫ } }_{I}{ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{\mathop{\mathop{∫ } } }_{I}{u}_{n}

Démonstration Il suffit d’appliquer le théorème de convergence monotone pour les suites de fonctions à la suite {S}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{u}_{p}. C’est une suite croissante de fonctions positives, intégrables et continues par morceaux qui converge simplement vers S. Donc la suite des intégrales {\mathop{∫ } }_{I}{S}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{p} converge si et seulement si S est intégrable et dans ce cas {\mathop{∫ } }_{I}S =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{I}{S}_{n} ; donc la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{n} converge si et seulement si la fonction S est intégrable et dans ces conditions on a

{\mathop{∫ } }_{I}S ={\mathop{∫ } }_{I}{ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{\mathop{\mathop{∫ } } }_{I}{u}_{n}

Théorème 10.2.12 (intégration terme à terme) Soit I un intervalle de , \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} une série de fonctions de I dans continues par morceaux et intégrables sur I ; on suppose que la série converge simplement sur I et que sa somme S =\mathop{ \mathop{∑ }} {u}_{n} est continue par morceaux. Si la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{\mathop{∫ } }_{I}|{u}_{n}| est convergente, alors S est intégrable sur I, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{n} converge et on a à la fois

{\mathop{∫ } }_{I}S ={\mathop{∫ } }_{I}{ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{\mathop{\mathop{∫ } } }_{I}{u}_{n}\text{ et }{\mathop{\mathop{∫ } } }_{I}|S|≤{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{\mathop{\mathop{∫ } } }_{I}|{u}_{n}|

Démonstration Soit {S}_{n} : I → {ℝ}^{+}, t\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}{u}_{k}(t), {M}_{n} : I → {ℝ}^{+}, t\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}|{u}_{k}(t)| et {h}_{n} : I → {ℝ}^{+}, t\mathrel{↦}\mathop{min}(|S(t)|,{M}_{n}(t)). La formule classique \mathop{min}(x,y) = {1\over 2}(x + y −|x − y|) montre que {h}_{n} est continue par morceaux. Puisque chacune des fonctions |{u}_{k}| est intégrable sur I, il en est de même de {M}_{n} et donc de {h}_{n} qui est dominée par {M}_{n} ; on a aussi

{\mathop{∫ } }_{I}{h}_{n} ≤{\mathop{∫ } }_{I}{M}_{n} ={ \mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{I}|{u}_{k}|≤{\mathop{∑ }}_{k=0}^{+∞}{\mathop{\mathop{∫ } } }_{I}|{u}_{k}|

Comme {M}_{n+1}(t) ≥ {M}_{n}(t), la suite {({h}_{n})}_{n∈ℕ} est croissante. Fixons t ∈ I et ε > 0 ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒|S(t) − {S}_{n}(t)| < ε ; on a alors, pour n ≥ N, |S(t)|− ε ≤|{S}_{n}(t)|≤ {M}_{n}(t) et donc |S(t)|− ε ≤ {h}_{n}(t) =\mathop{ min}(|S(t)|,{M}_{n}(t)) ≤|S(t)|, ce qui montre que la suite {({h}_{n})}_{n∈ℕ} converge simplement vers |S|, qui est continue par morceaux. On peut donc appliquer le théorème de convergence monotone à la suite {({h}_{n})}_{n∈ℕ} et en déduire que |S| est intégrable avec {\mathop{∫ } }_{I}|S| =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{I}{h}_{n} ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{+∞}{\mathop{∫ } }_{I}|{u}_{k}|. On en conclut que S est intégrable et que \left |{\mathop{∫ } }_{I}S\right |≤{\mathop{∫ } }_{I}|S|≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{+∞}{\mathop{∫ } }_{I}|{u}_{k}|.

On applique ce que l’on vient de démontrer à la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p≥n+1}{u}_{p} et l’on obtient

\left |{\mathop{∫ } }_{I}S −{\mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{I}{u}_{k}\right | = \left |{\mathop{∫ } }_{I}(S −{\mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{u}_{ k})\right | = \left |{\mathop{∫ } }_{I}{ \mathop{∑ }}_{k=n+1}^{+∞}{u}_{ k}\right |≤{\mathop{∑ }}_{k=n+1}^{+∞}{\mathop{\mathop{∫ } } }_{I}|{u}_{k}|

qui tend vers 0 quand n tend vers + ∞ (reste d’une série convergente). On a donc {\mathop{∫ } }_{I}S ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{+∞}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{k}.

Remarque 10.2.11 Il est important de constater que l’hypothèse de convergence de la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{\mathop{∫ } }_{I}|{u}_{n}| sert non seulement à garantir l’intégrabilité de S et la convergence (absolue) de la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{n}, mais est également un argument essentiel de la démonstration de {\mathop{∫ } }_{I}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{n}, et donc de la validité du résultat. La série \mathop{\mathop{∑ }} {u}_{n} peut très bien converger avec une somme intégrable, la série \mathop{\mathop{∑ }} {\mathop{∫ } }_{I}{u}_{n} convergeant (même absolument) sans que l’on ait {\mathop{∫ } }_{I}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{\mathop{∫ } }_{I}{u}_{n}