10.1 Suites de fonctions

10.1.1 Convergence simple, convergence uniforme

Définition 10.1.1 Soit X un ensemble, E un espace métrique, {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications de X dans E. On dit que la suite converge simplement si pour tout x ∈ X, la suite {({f}_{n}(x))}_{n∈ℕ} converge dans E. Dans ce cas, on pose f(x) =\mathop{ lim}{f}_{n}(x) et on dit que f : X → E est limite simple de la suite ({f}_{n}).

Remarque 10.1.1 La traduction en métrique de f est limite simple de la suite ({f}_{n}) est

\mathop{∀}x ∈ X, \mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}N(ε,x),\quad n ≥ N(ε,x) ⇒ d(f(x),{f}_{n}(x)) < ε

où l’entier N dépend à la fois de ε et de x ∈ X.

Exemple 10.1.1 Soit {f}_{n} : [0,1] → ℝ, x\mathrel{↦}{x}^{n}. La suite {f}_{n} converge simplement vers f : [0,1] → ℝ définie par f(x) = \left \{ \cases{ 1&si x = 1 \cr 0&si x\mathrel{≠}1 } \right .. Pour un ε < 1 donné, le meilleur N(ε,x) que l’on puisse prendre est 0 si x = 1 ou x = 0, et E({ \mathop{log} ε \over \mathop{log} x} ) si 0 < x < 1. On constate que {\mathop{sup}}_{x∈[0,1]}N(ε,x) = +∞. Il n’est donc pas question de prendre le même N pour tous les x.

Définition 10.1.2 Soit X un ensemble, E un espace métrique, {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications de X dans E. On dit que la suite converge uniformément s’il existe f : X → E vérifiant les conditions équivalentes

Démonstration L’équivalence est claire puisque {μ}_{n} < ε ⇒ (\mathop{∀}x ∈ X, d({f}_{n}(x),f(x)) < ε) et qu’inversement (\mathop{∀}x ∈ X, d({f}_{n}(x),f(x)) < ε) ⇒ {μ}_{n} ≤ ε.

Remarque 10.1.2 Il est clair que si la suite ({f}_{n}) converge uniformément vers f, elle converge simplement vers f. On en déduit que la fonction f est unique.

10.1.2 Plan d’étude d’une suite de fonctions

Soit X un ensemble, E un espace métrique, {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications de X dans E.

On commence par étudier la convergence simple de la suite de fonctions. Pour chaque x ∈ X on étudie la suite ({f}_{n}(x)) d’éléments de E. Dans le cas où cette suite est convergente pour chaque x ∈ X, on définit f : X → E par f(x) =\mathop{ lim}{f}_{n}(x) ; l’application f est limite simple de la suite ({f}_{n}).

On étudie ensuite la convergence uniforme de la suite ({f}_{n}) vers f. Pour montrer une convergence uniforme, on peut soit chercher une suite ({α}_{n}) de limite 0 indépendante de x telle que \mathop{∀}x ∈ X, d({f}_{n}(x),f(x)) ≤ {α}_{n}, soit étudier directement la suite ({μ}_{n}){μ}_{n} ={\mathop{ sup}}_{x∈X}d({f}_{n}(x),f(x)) ∈ ℝ ∪\{ + ∞\}. Pour montrer une non convergence uniforme, on peut soit utiliser un des théorèmes suivants qui garantissent qu’un certain nombre de propriétés des fonctions {f}_{n} sont conservées par limite uniforme, soit utiliser la proposition suivante

Proposition 10.1.1 Soit X un ensemble, E un espace métrique, {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications de X dans E. Alors la suite ({f}_{n}) converge uniformément vers f si et seulement si pour toute suite ({x}_{n}) de X, on a \mathop{lim}d(f({x}_{n}),{f}_{n}({x}_{n})) = 0.

Démonstration La condition est évidemment nécessaire puisque 0 ≤ d(f({x}_{n}),{f}_{n}({x}_{n})) ≤ {μ}_{n}. Inversement, si la suite ne converge pas uniformément vers f, on a, en niant la propriété (i)

\mathop{∃}ε > 0, \mathop{∀}N ∈ ℕ, \mathop{∃}n ≥ N, \mathop{∃}{x}_{n} ∈ X,\quad d(f({x}_{n}),{f}_{n}({x}_{n})) ≥ ε

Ceci définit {x}_{n} pour une infinité de n. Pour les autres, on choisit un {x}_{n} arbitraire. On a pour une infinité de n, d(f({x}_{n}),{f}_{n}({x}_{n})) ≥ ε et donc la suite d(f({x}_{n}),{f}_{n}({x}_{n})) ne tend pas vers 0.

Exemple 10.1.2 Soit {f}_{n} : [0,1] → ℝ, x\mathrel{↦}{x}^{n}. La suite {f}_{n} converge simplement vers f : [0,1] → ℝ définie par f(x) = \left \{ \cases{ 1&si x = 1 \cr 0&si x\mathrel{≠}1 } \right .. Prenons {x}_{n} = 1 −{ 1 \over n} . On a {f}_{n}({x}_{n}) − f({x}_{n}) = {(1 −{ 1 \over n} )}^{n} de limite { 1 \over e} et non 0. Donc la suite ne converge pas uniformément.

Remarque 10.1.3 Lorsque la convergence n’est pas uniforme sur X tout entier, on peut rechercher des parties de X sur lesquelles cette convergence est uniforme.

Exemple 10.1.3 Soit {f}_{n} : [0, {π\over 2} ] → ℝ définie par {f}_{n}(t) = {n}^{α}{\mathop{ sin} }^{n}t\mathop{cos} t. Il est clair que \mathop{∀}t ∈ [0, {π\over 2} ], \mathop{lim}{f}_{n}(t) = 0 : si t ∈ [0, {π\over 2} [ on a 0 ≤\mathop{ sin} t < 1 et si t = π∕2, on a \mathop{cos} t = 0. La suite converge simplement vers la fonction nulle. On a {μ}_{n} ={\mathop{ sup}}_{t∈[0,{π\over 2} ]}|f(t) − {f}_{n}(t)| ={\mathop{ sup}}_{t∈[0,{π\over 2} ]}{f}_{n}(t). Mais {f}_{n}'(t) = {n}^{α}{\mathop{ sin} }^{n−1}t(n − (n + 1){\mathop{sin} }^{2}t) et on a donc le tableau de variation, en posant {t}_{n} =\mathop{ arcsin} \sqrt{ {n\over n+1}}







t0 {t}_{n} {π\over 2}






{f}_{n}(t)0{μ}_{n}0






On a donc

{μ}_{n} = {f}_{n}({t}_{n}) = {n}^{α}{\left ( {n\over n + 1}\right )}^{n∕2} {1\over \sqrt{n + 1}} ∼ {{n}^{α}\over \sqrt{e}\sqrt{n}}

La suite converge uniformément si et seulement si α < {1\over 2}. Par contre, soit a < {π\over 2} et soit N tel que \mathop{arcsin} \sqrt{ {N\over N+1}} > a. Alors dès que n ≥ N, la fonction {f}_{n} est croissante sur [0,a] et donc {\mathop{sup}}_{t≤a}{f}_{n}(t) = {f}_{n}(a) qui tend vers 0 quand n tend vers + ∞. On en déduit que la suite {f}_{n} converge uniformément vers la fonction nulle sur tout intervalle [0,a] (mais pas sur leur réunion [0, {π\over 2} [).

A titre d’introduction à ce qui suit, calculons {\mathop{∫ } }_{0}^{{π\over 2} }{f}_{n}(t) dt ; on a par un simple changement de variables u =\mathop{ sin} t, {\mathop{∫ } }_{0}^{{π\over 2} }{f}_{n}(t) dt = {n}^{α}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}{u}^{n} du = {{n}^{α}\over n+1}. On voit donc que bien que \mathop{∀}t ∈ [0, {π\over 2} ], {\mathop{lim}}_{n→+∞}{f}_{n}(t) = 0, la suite {\mathop{∫ } }_{0}^{{π\over 2} }{f}_{n}(t) dt ne converge vers 0 que si α < 1. Si α = 1, elle converge vers 1, et si α > 1, elle converge vers + ∞. Autrement dit, si α ≥ 1, on a {\mathop{lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}_{n}(t) dt\mathrel{≠}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}{\mathop{ lim}}_{n→+∞}{f}_{n}(t) dt. On voit qu’une convergence simple ne permet pas d’intervertir le symbole limite et le symbole d’intégrale.

10.1.3 Critère de Cauchy uniforme

Définition 10.1.3 Soit X un ensemble, E un espace métrique. On dit qu’une suite {({f}_{n})}_{n∈ℕ} d’applications de X dans E vérifie le critère de Cauchy uniforme si on a

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}N ∈ ℕ, p,q ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ X, d({f}_{p}(x),{f}_{q}(x)) < ε

Remarque 10.1.4 Il est clair que si la suite ({f}_{n}) vérifie le critère de Cauchy uniforme, pour chaque x ∈ X, la suite ({f}_{n}(x)) d’éléments de E est une suite de Cauchy.

Théorème 10.1.2 Soit X un ensemble, E un espace métrique complet. Alors une suite {({f}_{n})}_{n∈ℕ} d’applications de X dans E est uniformément convergente si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme.

Démonstration Le sens direct se démontre de la manière habituelle et n’utilise pas la complétude de E : si ({f}_{n}) converge uniformément vers f, soit ε > 0 et N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ X, d(f(x),{f}_{n}(x)) <{ ε \over 2} . Alors, si p,q ≥ N, on a \mathop{∀}x ∈ X, d({f}_{p}(x),{f}_{q}(x)) ≤ d({f}_{p}(x),f(x)) + d(f(x),{f}_{q}(x)) <{ ε \over 2} +{ ε \over 2} = ε.

Pour la réciproque, supposons que E est complet et que la suite ({f}_{n}) vérifie le critère de Cauchy uniforme. D’après la remarque précédente, pour chaque x ∈ X, la suite ({f}_{n}(x)) d’éléments de E est une suite de Cauchy, donc elle converge. On pose f(x) =\mathop{ lim}{f}_{n}(x). Montrons que la suite converge uniformément vers f. Soit ε > 0, et soit N ∈ ℕ tel que p,q ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ X, d({f}_{p}(x),{f}_{q}(x)) <{ ε \over 2} . Fixons p ≥ N et faisons tendre q vers + ∞. On obtient, en tenant compte de \mathop{lim}{f}_{q}(x) = f(x) et de la continuité de la fonction distance, \mathop{∀}x ∈ X, d({f}_{p}(x),f(x)) ≤{ ε \over 2} < ε, ce qui montre la convergence uniforme vers f.

10.1.4 Fonctions bornées, norme de la convergence uniforme

Soit X un ensemble, E un espace vectoriel normé. On notera ℬ(X,E) l’ensemble des applications bornées de X dans E. Pour f ∈ℬ(X,E), on posera \|f\|∞ ={\mathop{ sup}}_{t∈X}\|f(t)\| ∈ ℝ.

Proposition 10.1.3 L’application f\mathrel{↦}\|f\|∞ est une norme sur l’espace vectoriel ℬ(X,E). Soit ({f}_{n}) une suite de ℬ(X,E). Alors la suite ({f}_{n}) converge uniformément si et seulement si elle converge dans (ℬ(X,E),\| \|∞), avec la même limite.

Démonstration La vérification des propriétés des normes est élémentaire. Si la suite ({f}_{n}) converge dans (ℬ(X,E),\| \|∞), soit f sa limite. On a alors {μ}_{n} ={\mathop{ sup}}_{x∈X}\|f(x) − {f}_{n}(x)\| =\| f − {f}_{n}\|∞. On en déduit que la suite converge uniformément vers f. Inversement, si la suite converge uniformément vers f : X → E, il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {μ}_{n} ={\mathop{ sup}}_{x∈X}\|f(x) − {f}_{n}(x)\| < 1. La fonction f − {f}_{N} est donc bornée ; comme {f}_{N} est bornée, la fonction f est également bornée. On a alors \|f − {f}_{n}\|∞ = {μ}_{n}, ce qui montre que la suite ({f}_{n}) converge vers f dans (ℬ(X,E),\| \|∞).

Remarque 10.1.5 On voit en particulier qu’une suite de fonctions bornées qui converge uniformément a une limite qui est également une fonction bornée.

Remarque 10.1.6 Soit ({f}_{n}) une suite de ℬ(X,E). Alors la suite ({f}_{n}) vérifie le critère de Cauchy uniforme si et seulement si c’est une suite de Cauchy de (ℬ(X,E),\| \|∞) (immédiat). On en déduit, d’après un théorème précédent, que si E est complet, (ℬ(X,E),\| \|∞) est lui aussi complet.

10.1.5 Opérations sur les fonctions

Bien entendu, les théorèmes de continuité des opérations algébriques s’appliquent immédiatement aux suites simplement convergentes puisque si f(x) =\mathop{ lim}{f}_{n}(x) et g(x) =\mathop{ lim}{g}_{n}(x), on a (αf + βg)(x) =\mathop{ lim}(α{f}_{n} + β{g}_{n})(x) et f(x)g(x) =\mathop{ lim}{f}_{n}(x){g}_{n}(x).

La convergence uniforme est stable par combinaisons linéaires comme le montre le théorème suivant.

Théorème 10.1.4 Soit X un ensemble, E un espace vectoriel normé. Soit ({f}_{n}) et ({g}_{n}) deux suites d’applications de X dans E qui convergent uniformément. Soit α et β des scalaires. Alors la suite {(α{f}_{n} + β{g}_{n})}_{n∈ℕ} converge uniformément.

Démonstration Soit f =\mathop{ lim}{f}_{n} et g =\mathop{ lim}{g}_{n}. Soit ε > 0, et N ∈ ℕ tel que

n ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ X, \|f(x) − {f}_{n}(x)\| ≤{ ε \over 2(1 + |α|)}

et

\|g(x) − {g}_{n}(x)\| ≤{ ε \over 2(1 + |β|)}

Alors pour n ≥ N, on a \mathop{∀}x ∈ X, \|(αf + βg)(x) − (α{f}_{n} + β{g}_{n})(x)\| ≤|α|{ ε \over 2(1+|α|)} + |β|{ ε \over 2(1+|β|)} < ε.

Par contre, la convergence uniforme n’est pas stable par produit comme le montre l’exemple suivant :

Exemple 10.1.4 Soit {f}_{n} : ℝ → ℝ définie par {f}_{n}(x) ={ 1 \over n} . La suite ({f}_{n}) converge uniformément vers la fonction nulle. Soit g : ℝ → ℝ définie par g(x) = x. Alors la suite ({f}_{n}g) converge simplement vers 0, mais pas uniformément puisque {\mathop{sup}}_{x∈ℝ}|{f}_{n}(x)g(x)| ={\mathop{ sup}}_{x∈ℝ}\left |{ x \over n} \right | = +∞. A fortiori, la convergence uniforme d’une suite ({f}_{n}) et d’une suite ({g}_{n}) n’implique pas la convergence uniforme de la suite ({f}_{n}{g}_{n}) (prendre {g}_{n} = g). Cependant, on a le résultat suivant

Théorème 10.1.5 Soit X un ensemble. Soit ({f}_{n}) et ({g}_{n}) deux suites d’applications bornées de X dans K qui convergent uniformément. Alors la suite ({f}_{n}{g}_{n}) converge uniformément.

Démonstration Soit f =\mathop{ lim}{f}_{n} et g =\mathop{ lim}{g}_{n}. On sait déjà que f et g sont bornées. On écrit alors

\begin{eqnarray*} f(x)g(x) − {f}_{n}(x){g}_{n}(x)& =& ({f}_{n}(x) − f(x))({g}_{n}(x) − g(x)) %& \\ & \text{} & +f(x)({g}_{n}(x) − g(x)) + g(x)({f}_{n}(x) − f(x))%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui nous donne

\begin{eqnarray*} |f(x)g(x) − {f}_{n}(x){g}_{n}(x)|& ≤& |{f}_{n}(x) − f(x)||{g}_{n}(x) − g(x)| %& \\ & & +|f(x)||{g}_{n}(x) − g(x)| + |g(x)||{f}_{n}(x) − f(x)|%& \\ \end{eqnarray*}

puis \|fg − {f}_{n}{g}_{n}\|∞ ≤\| {f}_{n} − f\|∞\|{g}_{n} − g\|∞ +\| f\|∞\|f − {f}_{n}\|∞ +\| g\|∞\|g − {g}_{n}\|∞. On obtient donc \mathop{lim}\|fg − {f}_{n}{g}_{n}\|∞ = 0 et donc ({f}_{n}{g}_{n}) converge uniformément vers fg.

10.1.6 Propriétés de la convergence uniforme

Exemple 10.1.5 Soit {f}_{n} : [0,1] → ℝ, x\mathrel{↦}{x}^{n}. La suite {f}_{n} converge simplement vers f : [0,1] → ℝ définie par f(x) = \left \{ \cases{ 1&si x = 1 \cr 0&si x\mathrel{≠}1 } \right .. Chacune des fonctions {f}_{n} est continue au point 1, alors que f ne l’est pas. De nouveau, on a 1 ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}\left ({\mathop{lim}}_{x→{1}^{−}}{x}^{n}\right )\mathrel{≠}{\mathop{lim}}_{x→{1}^{−}}\left ({\mathop{lim}}_{n→+∞}{x}^{n}\right ) = 0.

Théorème 10.1.6 (conservation de la continuité) Soit E et F deux espaces métriques, {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications de E dans F qui converge simplement vers f : E → F. Soit a ∈ E. On suppose que (i) chacune des {f}_{n} est continue au point a (ii) il existe U voisinage de a telle que la suite ({f}_{n}) converge uniformément sur U Alors f est continue au point a.

Démonstration Soit ε > 0 et soit N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ U, d(f(x),{f}_{n}(x)) <{ ε \over 3} . Comme {f}_{N} est continue au point a, il existe V voisinage de a tel que x ∈ V ⇒ d({f}_{N}(x),{f}_{N}(a)) <{ ε \over 3} . Alors, pour x ∈ U ∩ V , on a d(f(x),f(a)) ≤ d(f(x),{f}_{N}(x)) + d({f}_{N}(x),{f}_{N}(a)) + d({f}_{N}(a),f(a)) ≤{ ε \over 3} +{ ε \over 3} +{ ε \over 3} = ε. Donc f est continue au point a.

Corollaire 10.1.7 Soit E et F deux espaces métriques, {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’applications continues de E dans F qui converge uniformément vers f : E → F. Alors f est continue.

Remarque 10.1.7 Il suffit évidemment que tout point ait un voisinage sur lequel la suite converge uniformément, ce que l’on appelle la convergence uniforme locale.

Théorème 10.1.8 (interversion des limites) Soit E un espace métrique, F un espace métrique complet, {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite de fonctions de E dans F. Soit a ∈ E, A ⊂ E tel que a ∈\overline{A} et \mathop{∀}n ∈ ℕ, A ⊂\mathop{ Def} ({f}_{n}). On suppose que

  • (i) la suite {f}_{n} converge uniformément vers f sur A
  • (ii) chacune des {f}_{n} a une limite {ℓ}_{n} en a suivant A

Alors la suite ({ℓ}_{n}) admet une limite et f admet pour limite en a suivant A, autrement dit

{\mathop{lim}}_{n→+∞}\left ({\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}{f}_{n}(x)\right ) ={\mathop{ lim}}_{x→a,x∈A}\left ({\mathop{lim}}_{n→+∞}{f}_{n}(x)\right )

Démonstration Pour montrer que la suite ({ℓ}_{n}) admet une limite , il suffit de montrer que c’est une suite de Cauchy. Mais, la suite ({f}_{n}) vérifie le critère de Cauchy uniforme sur A. Soit ε > 0 ; il existe N ∈ ℕ tel que p,q ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ A, d({f}_{p}(x),{f}_{q}(x)) < ε. Soit p,q ≥ N ; en faisant tendre x vers a en restant dans A, on obtient d({ℓ}_{p},{ℓ}_{q}) ≤ ε ce qui montre effectivement que la suite ({ℓ}_{n}) est une suite de Cauchy de F, donc qu’elle converge.

Soit ε > 0 et soit N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\mathop{∀}x ∈ A, d(f(x),{f}_{n}(x)) <{ ε \over 3} et soit N' ∈ ℕ tel que n ≥ N' ⇒ d({ℓ}_{n},ℓ) <{ ε \over 3} . Soit n =\mathop{ max}(N,N'). Comme {f}_{n} admet {ℓ}_{n} pour limite en a suivant A, il existe U voisinage de a dans E tel que x ∈ U ∩ A ⇒ d({f}_{n}(x),{ℓ}_{n}) ≤{ ε \over 3} . Alors, pour x ∈ U ∩ A, on a

\begin{eqnarray*} d(f(x),ℓ)& ≤& d(f(x),{f}_{n}(x)) + d({f}_{n}(x),{ℓ}_{n}) + d({ℓ}_{n},ℓ)%& \\ & <&{ ε \over 3} +{ ε \over 3} +{ ε \over 3} = ε %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre que {\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}f(x) = ℓ.

Remarque 10.1.8 Le résultat suivant s’applique en particulier dans le cas où a = +∞ et A = ℕ, c’est-à-dire au cas d’une suite double ({x}_{n,p}) d’éléments de F : avec les hypothèses

  • (i) {\mathop{lim}}_{n→+∞}{x}_{n,p} = {y}_{p} uniformément par rapport à p
  • (ii) {\mathop{lim}}_{p→+∞}{x}_{n,p} = {ℓ}_{n}

Alors la suite ({ℓ}_{n}) admet une limite et on a {\mathop{lim}}_{p→+∞}{y}_{p} = ℓ, autrement dit

{\mathop{lim}}_{n→+∞}\left ({\mathop{lim}}_{p→+∞}{x}_{n,p}\right ) ={\mathop{ lim}}_{p→+∞}\left ({\mathop{lim}}_{n→+∞}{x}_{n,p}\right )

Exemple 10.1.6 Le résultat précédent utilise de manière essentielle la convergence uniforme par rapport à p comme le montre l’exemple {x}_{n,p} ={ n \over n+p} pour lequel on a

0 ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}\left ({\mathop{lim}}_{p→+∞}{x}_{n,p}\right )\mathrel{≠}{\mathop{lim}}_{p→+∞}\left ({\mathop{lim}}_{n→+∞}{x}_{n,p}\right ) = 1

Théorème 10.1.9 (intégration) Soit ({f}_{n}) une suite de fonctions réglées de [a,b] dans E (espace vectoriel normé complet) qui converge uniformément vers f : [a,b] → E. Alors f est réglée et la suite ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{f}_{n}(t) dt) admet la limite {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt.

Démonstration Soit ε > 0 ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\| f − {f}_{n}\|∞ <{ ε \over 2} . Mais puisque {f}_{N} est réglée, il existe φ : [a,b] → E en escalier telle que \|{f}_{N} − φ\|∞ <{ ε \over 2} . On a donc \|f − φ\|∞ ≤\| f − {f}_{N}\|∞ +\| {f}_{N} − φ\|∞ < ε ce qui montre que f est encore réglée. On a alors

\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{f}_{ n}\| ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f − {f}_{ n}\| ≤ (b − a)\|f − {f}_{n}\|∞

ce qui montre que la suite ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{f}_{n}(t) dt) admet la limite {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt.

Remarque 10.1.9 Comme le montre la démonstration précédente, le fait que l’intervalle soit borné est essentiel. Le résultat précédent ne s’étend donc pas aux intégrales sur des intervalles non bornés (voir pour cela le paragraphe sur les fonctions intégrables). Par contre on a

Corollaire 10.1.10 Soit I un intervalle de , ({f}_{n}) une suite de fonctions réglées de I dans E (espace vectoriel normé complet) qui converge uniformément vers f : I → E. Alors f est réglée. Soit a ∈ I, {F}_{n}(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{x}{f}_{n}(t) dt et F(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt. Alors la suite ({F}_{n}) converge uniformément vers F sur tout segment inclus dans I.

Démonstration Le théorème précédent montre que f est réglée sur tout segment inclus dans I, donc réglée. De plus, si J est un segment inclus dans I, on peut, quitte à l’agrandir, supposer qu’il contient a. On a alors, pour x ∈ J,

\begin{eqnarray*} \|F(x) − {F}_{n}(x)\|& ≤& \left |{\mathop{∫ } }_{a}^{x}\|f(t) − {f}_{ n}(t)\| dt\right | %& \\ & ≤& |x − a|\|f − {f}_{n}\|∞ ≤ ℓ(J)\|f − {f}_{n}\|∞%& \\ \end{eqnarray*}

(en travaillant séparément dans les cas a ≤ x et a > x), ce qui montre la convergence uniforme sur J de {F}_{n} vers F.

Par contre, la convergence uniforme d’une suite de fonctions dérivables n’implique pas que la limite soit elle-même dérivable. C’est même de cette manière, par limite uniforme, qu’ont été construits les premiers exemples de fonctions continues n’admettant de dérivée en aucun point (voir le paragraphe sur les séries de fonctions). Par contre on a

Théorème 10.1.11 Soit I un intervalle de , ({f}_{n}) une suite de fonctions de I dans E (espace vectoriel normé complet) qui converge simplement vers f : I → E. On suppose que (i) chacune des {f}_{n} est de classe {C}^{1} (ii) la suite ({f}_{n}') converge uniformément sur I vers une fonction g. Alors f est de classe {C}^{1} et f' = g.

Démonstration Soit a ∈ I. Puisque chaque {f}_{n} est de classe {C}^{1}, on a \mathop{∀}x ∈ I, {f}_{n}(x) = {f}_{n}(a) +{\mathop{∫ } }_{a}^{x}{f}_{n}'(t) dt. D’après le théorème précédent la suite x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}{f}_{n}'(t) dt converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt. On obtient donc, en faisant tendre n vers + ∞, \mathop{∀}x ∈ I, f(x) = f(a) +{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt. Comme g est continue (limite uniforme de fonctions continues), f est de classe {C}^{1} et f' = g.

Remarque 10.1.10 Comme le montre la démonstration précédente, il suffit, avec les mêmes hypothèses, que la suite ({f}_{n}) converge en un point a pour qu’elle converge simplement sur I, cette convergence étant d’ailleurs uniforme sur tout segment inclus dans I. On retiendra que, pour montrer la dérivabilité d’une limite de suites de fonctions, il faut s’attacher à la convergence uniforme de la suite des dérivées, et non à celle de la suite elle-même.

10.1.7 Suites de fonctions intégrables sur un intervalle

Remarque 10.1.11 Les théorèmes du type \mathop{lim}\mathop{∫ } {f}_{n} =\mathop{∫ } \mathop{lim}{f}_{n} démontrés précédemment ont des hypothèses trop restrictives : ils nécessitent d’une part que l’intervalle soit borné et d’autre part que la suite de fonctions converge uniformément sur tout l’intervalle. La théorie de Lebesgue étend ces théorèmes à des situations plus générales que nous n’étudierons pas en détail, mais d’où nous extrairons un certain nombre de résultats utiles, qui ne seront pas démontrés en toute généralité, mais seulement avec quelques hypothèses supplémentaires.

Nous admettrons le résultat fondamental suivant suivant dont la démonstration est difficile

Lemme 10.1.12 Soit J un segment de , {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite de fonctions continues par morceaux de J dans {ℝ}^{+} vérifiant

  • il existe M ≥ 0 tel que \mathop{∀}n ∈ ℕ, \mathop{∀}t ∈ J, {f}_{n}(t) ≤ M
  • la suite {({f}_{n})}_{n∈ℕ} converge simplement vers 0, soit \mathop{∀}t ∈ J, {\mathop{lim}}_{n→+∞}{f}_{n}(t) = 0

Alors la suite {({\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n})}_{n∈ℕ} converge vers 0.

On en déduit le lemme suivant

Lemme 10.1.13 (Convergence bornée sur un segment) Soit J un segment de , {({f}_{n})}_{n∈ℕ} une suite de fonctions continues par morceaux de J dans qui converge simplement vers f continue par morceaux. On suppose qu’il existe M ≥ 0 tel que \mathop{∀}n ∈ ℕ, \mathop{∀}t ∈ J, |{f}_{n}(t)|≤ M. Alors la suite {({\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n})}_{n∈ℕ} admet la limite {\mathop{∫ } }_{J}f.

Démonstration On pose {g}_{n}(t) = |f(t) − {f}_{n}(t)|. Comme \mathop{∀}n ∈ ℕ, \mathop{∀}t ∈ J, |{f}_{n}(t)|≤ M, en passant à la limite on a |f(t)|≤ M, soit encore 0 ≤ g(t) ≤ 2M. D’autre part, \mathop{∀}t ∈ J, {\mathop{lim}}_{n→+∞}{g}_{n}(t) = 0. D’après le lemme précédent, on a \mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{J}{g}_{n} = 0. Or

\left |{\mathop{∫ } }_{J}f −{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n}\right | = \left |{\mathop{∫ } }_{J}(f − {f}_{n})\right |≤{\mathop{∫ } }_{J}|f − {f}_{n}| ={\mathop{∫ } }_{J}{g}_{n}

qui tend vers 0. Autrement dit la suite {({\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n})}_{n∈ℕ} admet la limite {\mathop{∫ } }_{J}f.

Théorème 10.1.14 (convergence dominée) Soit I un intervalle de , ({f}_{n}) une suite de fonctions de I dans continues par morceaux qui converge simplement vers f : I → ℂ continue par morceaux. On suppose qu’il existe φ : I → {ℝ}^{+} continue par morceaux et intégrable sur I telle que \mathop{∀}n ∈ ℕ, |{f}_{n}|≤ φ (hypothèse de domination). Alors les fonctions {f}_{n} et f sont intégrables sur I et la suite ({\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}) est convergente de limite {\mathop{∫ } }_{I}f :

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}

Démonstration Comme |{f}_{n}(t)|≤ φ(t) et que φ est intégrable, les fonctions {f}_{n} sont intégrables sur I. De plus, en faisant tendre n vers + ∞, on a aussi |f(t)|≤ φ(t), donc f est également intégrable sur I. Soit J un segment inclus dans I. On a

\begin{eqnarray*} \left |{\mathop{∫ } }_{I}f −{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}\right |& ≤& \left |{\mathop{∫ } }_{I}f −{\mathop{∫ } }_{J}f\right | + \left |{\mathop{∫ } }_{J}f −{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n}\right | + \left |{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n} −{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}\right |%& \\ & =& \left |{\mathop{∫ } }_{I∖J}f\right | + \left |{\mathop{∫ } }_{J}f −{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n}\right | + \left |{\mathop{∫ } }_{I∖J}{f}_{n}\right | %& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{I∖J}φ + \left |{\mathop{∫ } }_{J}f −{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n}\right | +{\mathop{∫ } }_{I∖J}φ %& \\ \end{eqnarray*}

Comme φ est intégrable positive, on a {\mathop{∫ } }_{I}φ =\mathop{ sup}\{{\mathop{∫ } }_{J}φ\mathrel{∣}J ⊂ I\}. Soit donc ε > 0 ; il existe J segment inclus dans I tel que {\mathop{∫ } }_{I}φ −{ε\over 3} ≤{\mathop{∫ } }_{J}φ ≤{\mathop{∫ } }_{I}φ, soit encore 0 ≤{\mathop{∫ } }_{I∖J}φ ≤ {ε\over 3}. Fixons un tel segment J ; sur ce segment, la suite {f}_{n} converge simplement vers f et |{f}_{n}(t)|≤ φ(t)|≤ M avec M ={\mathop{ sup}}_{t∈J}φ(t) (qui existe puisque φ est continue par morceaux, donc bornée sur tout segment). Le lemme de convergence bornée sur un segment assure que {\mathop{∫ } }_{J}f ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n} ; donc il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\left |{\mathop{∫ } }_{J}f −{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n}\right | < {ε\over 3}. Alors, pour n ≥ N, on a

\left |{\mathop{∫ } }_{I}f −{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}\right |≤ 2{ε\over 3} + {ε\over 3} = ε

ce qui montre bien que la suite ({\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}) est convergente de limite {\mathop{∫ } }_{I}f

Remarque 10.1.12 Il est important de constater que l’hypothèse de domination par une fonction intégrable φ indépendante de n sert non seulement à garantir l’intégrabilité des {f}_{n} et de f, mais est également un argument essentiel de la démonstration de {\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}, et donc de la validité du résultat. Comme on l’a déjà vu avec la suite de fonctions continues sur [0, {π\over 2} ], t\mathrel{↦}{n}^{α}{\mathop{ sin} }^{n−1}t\mathop{cos} t, une suite de fonctions intégrables peut très bien converger simplement vers une fonction intégrable sans que l’on ait {\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}.

Théorème 10.1.15 (convergence monotone) Soit I un intervalle de , ({f}_{n}) une suite croissante de fonctions de I dans continues par morceaux et intégrables sur I, qui converge simplement vers f : I → ℝ continue par morceaux. Alors la suite ({\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}) est majorée si et seulement si la fonction f est intégrable. Dans ces conditions on a

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{ sup}}_{n∈ℕ}{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n} ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n}

Démonstration En rempla\c{c}ant éventuellement {f}_{n} par {f}_{n} − {f}_{0} et f par f − {f}_{0}, on peut supposer que les fonctions {f}_{n} sont positives, et donc f également.

Supposons tout d’abord que la fonction f est intégrable. On a alors \mathop{∀}t ∈ I, |{f}_{n}(t)| = {f}_{n}(t) ≤ f(t), et le théorème de convergence dominée assure que la suite (croissante) {({\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n})}_{n∈ℕ} converge vers {\mathop{∫ } }_{I}f ; en particulier elle est majorée.

Supposons en sens inverse que que la suite {({\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n})}_{n∈ℕ} est majorée par M. Soit J un segment inclus dans I ; on a donc 0 ≤{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n} ≤{\mathop{∫ } }_{I}{f}_{n} ≤ M, mais d’autre part, on a \mathop{∀}t ∈ J, |{f}_{n}(t)| = {f}_{n}(t) ≤ f(t) et f est intégrable sur le segment J puisqu’elle est continue par morceaux sur ce segment. On a donc {\mathop{∫ } }_{J}f =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{J}{f}_{n} ≤ M par le théorème de convergence dominée. Pour tout segment J ⊂ I, on a {\mathop{∫ } }_{J}f ≤ M et f est positive, par définition même, elle est intégrable sur I, ce qui achève la démonstration de l’équivalence