1.6 Polynômes à plusieurs variables

1.6.1 Généralités

Définition 1.6.1 Soit A un anneau commutatif.

\begin{eqnarray*} A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] =& \{{\mathop{∑ }}_{({k}_{1},\mathop{…},{k}_{n})∈{ℕ}^{n}}{a}_{{k}_{1},\mathop{…},{k}_{n}}{X}_{1}^{{k}_{1}}\mathop{…}{X}_{n}^{{k}_{n}}\mathrel{∣}& %& \\ & \text{nombre fini de }{a}_{{k}_{1},\mathop{\mathop{…}},{k}_{n}}\text{ non nuls}\} & %& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 1.6.1 On a bien entendu un isomorphisme naturel entre A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] et A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n−1}][{X}_{n}] qui montre que si A est intègre, il en est de même de A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}].

Proposition 1.6.1 (règle de substitution). Soit A et B deux anneaux commutatifs et φ:A → B un morphisme d’anneaux. Soit {β}_{1},\mathop{\mathop{…}},{β}_{n} ∈ B. Alors l’application {T}_{φ,{β}_{1},\mathop{\mathop{…}},{β}_{n}}:A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] → B,

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{({k}_{1},\mathop{…},{k}_{n})∈{ℕ}^{n}}{a}_{{k}_{1},\mathop{…},{k}_{n}}{X}_{1}^{{k}_{1} }\mathop{…}{X}_{n}^{{k}_{n} }&& %& \\ & & \mathrel{↦}{\mathop{∑ }}_{({k}_{1},\mathop{…},{k}_{n})∈{ℕ}^{n}}φ({a}_{{k}_{1},\mathop{…},{k}_{n}}){β}_{1}^{{k}_{1} }\mathop{…}{β}_{n}^{{k}_{n} }%& \\ \end{eqnarray*}

est un morphisme d’anneaux.

1.6.2 Dérivées partielles, formule de Taylor

Définition 1.6.2 Soit P ∈ A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}]. On note { ∂P \over ∂{X}_{i}} la dérivée de P dans (A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{i−1},{X}_{i+1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}])[{X}_{i}].

Par simple calcul sur les monômes on montre alors

Lemme 1.6.2 (Schwarz) Soit P ∈ A[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}], i,j ∈ [1,n]. Alors { ∂ \over ∂{X}_{i}} ({ ∂P \over ∂{X}_{j}} ) ={ ∂ \over ∂{X}_{j}} ({ ∂P \over ∂{X}_{i}} ).

Ceci permet de définir des dérivées partielles itérées { {∂}^{k}P \over ∂{X}_{1}^{{k}_{1}}\mathop{\mathop{…}}∂{X}_{n}^{{k}_{n}}} si k = {k}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {k}_{n}. On a alors

Théorème 1.6.3 (Formule de Taylor) Soit K un corps de caractéristique 0, P ∈ K[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] et ({a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n}) ∈ {K}^{n}. Alors

\begin{eqnarray*} P({X}_{1} + {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n} + {a}_{n})&& %& \\ & & ={ \mathop{∑ }}_{{k}_{1},\mathop{…},{k}_{n}}{ 1 \over {k}_{1}!\mathop{…}{k}_{n}!} { {∂}^{{k}_{1}+\mathop{…}+{k}_{n}}P \over ∂{X}_{1}^{{k}_{1}}\mathop{…}∂{X}_{n}^{{k}_{n}}} ({a}_{1},\mathop{…},{a}_{n}){X}_{1}^{{k}_{1} }\mathop{…}{X}_{n}^{{k}_{n} }%& \\ \end{eqnarray*}

1.6.3 Degré total, polynômes homogènes

Définition 1.6.3 On définit le degré d’un monôme non nul a{X}_{1}^{{k}_{1}}\mathop{\mathop{…}}{X}_{n}^{{k}_{n}} comme étant l’entier {k}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {k}_{n}. On appelle degré d’un polynôme P non nul, le plus grand des degrés de ses monômes non nuls. On dit qu’un polynôme P ∈ K[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] est homogène de degré p si tous ses monômes non nuls ont le même degré p ou s’il est nul. On notera {H}_{p}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}) l’espace vectoriel des polynômes homogènes de degré p.

Théorème 1.6.4 On a {H}_{p}.{H}_{q} ⊂ {H}_{p+q} et K[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] = {⊕}_{p∈ℕ}{H}_{p}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}) (c’est-à-dire que tout polynôme s’écrit de manière unique comme somme finie de polynômes homogènes de degrés distincts).

Démonstration La décomposition correspond tout simplement au regroupement des termes de même degré au sein d’un polynôme homogène. Cela montre à la fois l’existence et l’unicité de la décomposition.

Corollaire 1.6.5 Soit K un corps. On a \mathop{deg} PQ =\mathop{ deg} P +\mathop{ deg} Q.

Démonstration On décompose P et Q en polynômes homogènes P = {P}_{m} + \mathop{\mathop{…}} et Q = {Q}_{n} + \mathop{\mathop{…}}{P}_{m} et {Q}_{n} sont les parties homogènes de plus haut degré. Alors {P}_{m}{Q}_{n}\mathrel{≠}0 et c’est la partie homogène de plus haut degré de PQ, d’où le résultat.

Théorème 1.6.6 (Euler). Soit K un corps commutatif de caractéristique 0 et P ∈ K[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}]. On a équivalence de (i) P est homogène de degré p (ii) {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{X}_{i}{ ∂P \over ∂{X}_{i}} = pP.

Démonstration On pose D ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{X}_{i}{ ∂ \over ∂{X}_{i}} . On démontre (i)(ii) en calculant sur les monômes et en utilisant la linéarité de D. On démontre (ii)(i) en décomposant P en somme de polynômes homogènes : si P = {P}_{m} + \mathop{\mathop{…}} + {P}_{0}, on a p{P}_{m} + \mathop{\mathop{…}} + p{P}_{0} = pP = DP = D{P}_{m} + \mathop{\mathop{…}} + D{P}_{0} = m{P}_{m} + \mathop{\mathop{…}} + 0{P}_{0}. Par unicité de la décomposition en polynômes homogènes, on a pour tout k, p{P}_{k} = k{P}_{k} ce qui exige {P}_{k} = 0 si k\mathrel{≠}p. Finalement P = {P}_{p} est homogène de degré p.

1.6.4 Polynômes symétriques

Définition 1.6.4 On dit que P ∈ K[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] est symétrique si pour toute permutation σ on a

P({X}_{σ(1)},\mathop{\mathop{…}},{X}_{σ(n)}) = P({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n})

Exemple 1.6.1 Pour 1 ≤ k ≤ n, on définit les polynômes symétriques élémentaires à n variables {σ}_{k}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{1≤{i}_{1}<\mathrel{⋯}<{i}_{k}≤n}{X}_{{i}_{1}}\mathop{\mathop{…}}{X}_{{i}_{n}} (homogène de degré k, {C}_{n}^{k} monômes). Ces polynômes symétriques vérifient la formule de récurrence (séparer les termes ne contenant pas {X}_{n} de ceux contenant {X}_{n}) :

{σ}_{k}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}) = {σ}_{k}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n−1}) + {σ}_{k−1}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n−1}){X}_{n}

Théorème 1.6.7

\begin{eqnarray*} {\mathop{∏ }}_{i=1}^{n}(T − {X}_{ i})&& %& \\ & =& {T}^{n} −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{(−1)}^{k}{σ}_{ k}({X}_{1},\mathop{…},{X}_{n}){T}^{n−k} %& \\ & =& {T}^{n} − {σ}_{ 1}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}){T}^{n−1} + \mathop{\mathop{…}} + {(−1)}^{n}{σ}_{ n}({X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n})%& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration Par récurrence sur n en utilisant la formule de récurrence vérifiée par les {σ}_{k}.

Corollaire 1.6.8 Soit P ∈ K[X] scindé sur K. On peut donc écrire

P(X) = {a}_{n}{X}^{n} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{ 0} = {a}_{n}{ \mathop{∏ }}_{i=1}^{n}(X − {α}_{ i})

Alors on a, \mathop{∀}k ∈ [1,n], {σ}_{k}({α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{n}) = {(−1)}^{k}{ {a}_{n−k} \over {a}_{n}} .

On admettra le résultat suivant

Théorème 1.6.9 Soit P ∈ K[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] un polynôme symétrique. Il existe un unique polynôme Q ∈ K[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] tel que P = Q({σ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{σ}_{n}).