9.10 Convergence absolue, semi-convergence

9.10.1 Critère de Cauchy pour les intégrales

Théorème 9.10.1 (critère de Cauchy). Soit E un espace vectoriel normé complet et −∞ < a < b ≤ +∞. Soit f : [a,b[→ E réglée. Alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si et seulement si 

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}c ∈ [a,b[, c < u < v < b ⇒\|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t) dt\| < ε

Démonstration Si F(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt, la propriété ci dessus est équivalente à

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}c ∈ [a,b[, c < u < v < b ⇒\| F(v) − F(u)\| < ε

ce qui n’est autre que le critère de Cauchy pour l’existence de la limite de F au point b.

9.10.2 Convergence absolue

Définition 9.10.1 Soit f : [a,b[→ E réglée. On dit que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge absolument si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f(t)\| dt converge.

Théorème 9.10.2 Soit E un espace vectoriel normé complet et −∞ < a < b ≤ +∞. Soit f : [a,b[→ E réglée. Si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge absolument, elle converge.

Démonstration Soit ε > 0. Puisque l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f(t)\|dt converge, d’après le critère de Cauchy, il existe c ∈ [a,b[ tel que c < u < v < b ⇒{\mathop{∫ } }_{u}^{v}\|f(t)\| dt < ε. Alors c < u < v < b ⇒\|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t) dt\| ≤{\mathop{∫ } }_{u}^{v}\|f(t)\| dt < ε. Donc l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt vérifie le critère de Cauchy, par conséquent elle converge.

Remarque 9.10.1 L’avantage est évidemment que la convergence absolue concerne la convergence d’une intégrale de fonction à valeurs réelles positives pour laquelle nous disposons déjà de critères simples.

9.10.3 Règles de convergence

Proposition 9.10.3 Soit f : [a,b[→ E et g : [a,b[→ F réglées. On suppose que f = 0(g) et que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge absolument. Alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge absolument.

Démonstration En effet f = 0(g) \mathrel{⇔} \|f(t)\| = O(\|g(t)\|) au voisinage de b.

Remarque 9.10.2 En général la fonction étalon g sera choisie à valeurs réelles positives.

Théorème 9.10.4 Soit f : [a,b[→ E et g : [a,b[→ ℝ réglées. On suppose que g est positive et qu’il existe ℓ ∈ E ∖\{0\} tel que, au voisinage de b, f(t) ∼ ℓg(t). Alors (i) si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge, l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge absolument (ii) si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt diverge, l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt diverge.

Démonstration On a bien entendu, f = O(g), et d’après la proposition précédente, si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge, l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge absolument. Inversement, supposons que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge. On a f − ℓg = o(\|ℓg\|) et donc il existe c ∈ [a,b[ tel que t > c ⇒\| f(t) − ℓg(t)\| ≤{ 1 \over 2} \|ℓg(t)\| ={ 1 \over 2} \|ℓ\|g(t). Soit alors c < u < v < b ; on a \|ℓ\|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}g(t) dt =\| ℓ{\mathop{∫ } }_{u}^{v}g(t) dt\| puisque g est réelle positive. On a donc

\begin{eqnarray*} \|ℓ\|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}g(t) dt& =& \|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}(ℓg(t) − f(t)) dt +{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t) dt\|%& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{u}^{v}\|ℓg(t) − f(t)\| dt +\|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t) dt\| %& \\ & ≤&{ 1 \over 2} \|ℓ\|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}g(t) dt +\|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t) dt\| %& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que {\mathop{∫ } }_{u}^{v}g(t) dt ≤{ 2 \over \|ℓ\|} \|{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t) dt\|. Comme {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge, l’intégrale vérifie le critère de Cauchy ; l’inégalité ci dessus montre que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt vérifie également le critère de Cauchy, donc converge.

En utilisant alors nos fonctions ”étalons” { 1 \over {t}^{α}} en + ∞ et { 1 \over {(b−t)}^{α}} en b ∈ ℝ, on obtient les critères suivants

Théorème 9.10.5 Soit E un espace vectoriel normé. Soit f : [a,+∞[→ E réglée. (i) S’il existe α > 1 tel que f(t) = 0({ 1 \over {t}^{α}} ), alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{+∞}f(t) dt converge absolument (ii) S’il existe α ∈ ℝ et ℓ ∈ E ∖\{0\} tels que f(t) ∼{ ℓ \over {t}^{α}} alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{+∞}f(t) dt converge absolument si α > 1 et diverge si α ≤ 1. (iii) Si E = ℝ et f(t) ≥ 0, et s’il existe α ≤ 1 et ℓ > 0 (y compris + ∞) tel que {\mathop{lim}}_{t→+∞}{t}^{α}f(t) = ℓ, alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{+∞}f(t) dt diverge.

Théorème 9.10.6 Soit E un espace vectoriel normé, b ∈ ℝ. Soit f : [a,b[→ E réglée. (i) S’il existe α < 1 tel que f(t) = 0({ 1 \over {(b−t)}^{α}} ), alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge absolument (ii) S’il existe α ∈ ℝ et ℓ ∈ E ∖\{0\} tels que f(t) ∼{ ℓ \over {(b−t)}^{α}} alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge absolument si α < 1 et diverge si α ≥ 1. (iii) Si E = ℝ et f(t) ≥ 0, et s’il existe α ≥ 1 et ℓ > 0 (y compris + ∞) tel que {\mathop{lim}}_{t→b}{(b − t)}^{α}f(t) = ℓ, alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt diverge.

Exemple 9.10.1 La fonction t\mathrel{↦}{e}^{−{t}^{2} } est continue sur [0,+∞[ et en + ∞ on a {e}^{−{t}^{2} } = o({ 1 \over {t}^{2}} ). Donc l’intégrale {\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{e}^{−{t}^{2} } dt converge. De même, considérons l’intégrale {\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{t}^{s−1}{e}^{−t} dt. L’application t\mathrel{↦}{t}^{s−1}{e}^{−t} est continue sur ]0,+∞[, donc l’intégrale est a priori doublement impropre en 0 et en + ∞. En + ∞, on a {t}^{s−1}{e}^{−t} = o({ 1 \over {t}^{2}} ) et donc l’intégrale converge en + ∞. En 0, on a {t}^{s−1}{e}^{−t} ∼ {t}^{s−1} > 0, donc l’intégrale converge si et seulement si s − 1 > −1 soit s > 0. En définitive, l’intégrale converge si et seulement si s > 0. On pose alors Γ(s) ={\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{t}^{s−1}{e}^{−t} dt. Une intégration par parties donne alors pour s > 0

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{x}^{y}{t}^{s}{e}^{−t} dt& =&{ \left [−{t}^{s}{e}^{−t}\right ]}_{ x}^{y} + s{\mathop{∫ } }_{x}^{y}{t}^{s−1}{e}^{−t} dt %& \\ & =& {x}^{s}{e}^{−x} − {y}^{s}{e}^{−y} + s{\mathop{∫ } }_{x}^{y}{t}^{s−1}{e}^{−t} dt%& \\ \end{eqnarray*}

et en faisant tendre x vers 0 et y vers + ∞, on obtient l’équation fonctionnelle Γ(s) = sΓ(s − 1). Tenant compte de Γ(1) ={\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{e}^{−t} dt = 1, on obtient \mathop{∀}n ∈ ℕ, Γ(n) = (n − 1)!. Remarquons également qu’en faisant le changement de variables t = \sqrt{u} qui est de classe {C}^{1} sur [x,y] pour 0 < x < y < +∞, on obtient

{\mathop{∫ } }_{x}^{y}{e}^{−{t}^{2} } dt ={ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{\sqrt{x}}^{\sqrt{y}}{ {e}^{−u} \over \sqrt{u}} du

En faisant tendre x vers 0 et y vers + ∞, on obtient {\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{e}^{−{t}^{2} } dt ={ 1 \over 2} Γ({ 1 \over 2} ).

9.10.4 Semi-convergence

On dit qu’une intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt est semi-convergente si elle converge, sans être absolument convergente. L’outil essentiel pour montrer une convergence non absolue est l’intégration par parties ; les autres outils sont un théorème d’Abel ou le retour pur et simple au critère de Cauchy.

Exemple 9.10.2 Etude de l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ \mathop{sin} t \over {t}^{α}} dt. On a { \mathop{sin} t \over {t}^{α}} = O({ 1 \over {t}^{α}} ), donc si α > 1 l’intégrale converge absolument.

Si 0 < α ≤ 1, on a après intégration par parties

{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ \mathop{sin} t \over {t}^{α}} dt =\mathop{ cos} 1 −{ \mathop{cos} x \over {x}^{α}} +{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ \mathop{cos} t \over {t}^{α+1}} dt

Mais {\mathop{lim}}_{x→+∞}{ \mathop{cos} x \over {x}^{α}} = 0 et l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ \mathop{cos} t \over {t}^{α+1}} dt converge absolument puisque { \mathop{cos} t \over {t}^{α+1}} = O({ 1 \over {t}^{α+1}} ). On en déduit que le terme de droite de l’égalité ci dessus a une limite en + ∞, et donc le terme de gauche aussi. En conséquence, l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ \mathop{sin} t \over {t}^{α}} dt converge. Montrons qu’elle ne converge pas absolument ; on a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ |\mathop{sin} t| \over {t}^{α}} & ≥& {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ {\mathop{sin} }^{2}t \over {t}^{α}} dt ={ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ 1 −\mathop{ cos} (2t) \over {t}^{α}} dt%& \\ & =&{ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ 1 \over {t}^{α}} dt −{ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ \mathop{cos} (2t) \over {t}^{α}} dt %& \\ \end{eqnarray*}

Mais l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ 1 \over {t}^{α}} dt est divergente (car α ≤ 1), alors que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ \mathop{cos} (2t) \over {t}^{α}} dt converge (même méthode d’intégration par parties). On en déduit que {\mathop{lim}}_{x→+∞}{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ {\mathop{sin} }^{2}t \over {t}^{α}} dt = +∞ et donc aussi {\mathop{lim}}_{x→+∞}{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ |\mathop{ sin} t| \over {t}^{α}} dt = +∞.

Si α ≤ 0, posons β = −α. On a (en posant t = u + nπ),

\begin{eqnarray*} \left |{\mathop{∫ } }_{nπ}^{(n+1)π}{t}^{β}\mathop{ sin} t dt\right |& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{π}{(u + nπ)}^{β}\mathop{ sin} u du %& \\ & ≥& {(nπ)}^{β}{\mathop{∫ } }_{0}^{π}\mathop{ sin} u du = 2{(nπ)}^{β}%& \\ \end{eqnarray*}

qui ne tend pas vers 0 quand n tend vers + ∞ ; le critère de Cauchy n’est pas vérifié, et donc l’intégrale diverge.

Dans certains cas, le théorème d’Abel peut rendre des services (mais très souvent, une simple intégration par parties peut s’y substituer)

Théorème 9.10.7 (Abel). Soit f : [a,b[→ ℝ de classe {C}^{1} et g : [a,b[→ ℝ continue. On suppose que

Alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t)g(t) dt converge.

Démonstration On montre que cette intégrale impropre vérifie le critère de Cauchy à l’aide de la deuxième formule de la moyenne (dont les hypothèses sur [u,v] sont bien vérifiées)

\begin{eqnarray*} \left |{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t)g(t) dt\right |& =& f(u)\left |{\mathop{∫ } }_{u}^{w}g(t) dt\right | %& \\ & =& f(u)\left |{\mathop{∫ } }_{a}^{w}g(t) dt −{\mathop{∫ } }_{a}^{u}g(t) dt\right |≤ 2Mf(u)%& \\ \end{eqnarray*}

Soit ε > 0. Il existe c ∈ [a,b[ tel que c < u < b ⇒ 2Mf(u) < ε. Alors c < u < v < b ⇒\left |{\mathop{∫ } }_{u}^{v}f(t)g(t) dt\right | ce qui assure la convergence de l’intégrale.