9.9 Intégrale des fonctions réelles positives

9.9.1 Critère de convergence des fonctions réelles positives

Remarque 9.9.1 Dans toute la suite, sauf précision contraire on supposera que −∞ < a < b ≤ +∞ si on considère l’intervalle [a,b[ et que −∞≤ a < b < +∞ si on considère l’intervalle ]a,b].

Théorème 9.9.1 Soit f : [a,b[→ ℝ réglée positive. Alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si et seulement si les intégrales partielles {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt sont majorées :

\mathop{∃}M ≥ 0, \mathop{∀}x ∈ [a,b[, {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ≤ M

Démonstration Si a ≤ x < x' < b, on a {\mathop{∫ } }_{a}^{x'}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{x}^{x'}f(t) dt ≥ 0, dont l’application x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt est croissante. En conséquence, elle admet une limite au point b si et seulement si elle est majorée.

Remarque 9.9.2 Dans le cas d’une fonction réglée f :]a,b] → ℝ positive, l’application x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt est cette fois-ci décroissante ; donc elle admet une limite (à droite) au point a si et seulement si elle est majorée. Dans tous les cas d’intégrales impropres à gauche ou à droite d’une fonction réelle positive, la convergence est équivalente à la majoration des intégrales partielles ; dans ce cas, si l’intégrale diverge, les intégrales partielles tendent vers + ∞.

Théorème 9.9.2 Soit f,g : [a,b[→ ℝ réglées telles que \mathop{∀}t ∈ [a,b[, 0 ≤ f(t) ≤ g(t). Alors (i) si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge, l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge. (ii) si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt diverge, l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt diverge.

Démonstration Pour (i), il suffit de remarquer que {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt, donc que tout majorant des intégrales partielles de g majore également les intégrales partielles de f. Quant à (ii), ce n’est que la contraposée de (i).

Remarque 9.9.3 On a déjà vu que la convergence ou la divergence de l’intégrale était une propriété locale en b. Pour appliquer le résultat précédent, il suffit donc de supposer que sur un voisinage de b on a 0 ≤ f(t) ≤ Kg(t), autrement dit que f(t) = O(g(t)) au voisinage de b.

9.9.2 Règles de comparaison

Théorème 9.9.3 Soit f,g : [a,b[→ ℝ réglées positives. On suppose qu’au voisinage de b on a f = 0(g) (resp. f = o(g)). Alors (i) si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge, {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge également et {\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt = 0({\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt) (resp. {\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt)) (ii) si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge, {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge également et {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt = 0({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) (resp. {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt))

Démonstration Les convergences et divergences découlent immédiatement de la remarque qui suit le théorème ci-dessus et du fait que f = o(g) ⇒ f = O(g). En ce qui concerne la comparaison des restes ou des intégrales partielles, la démonstration est tout à fait similaire à celle du théorème analogue sur les séries. Nous allons les faire dans le cas f = o(g), la démonstration étant analogue pour f = O(g) en changeant ε en K ou en 2K.

(i) Supposons f = o(g) et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt convergente. Soit ε > 0. Il existe c ∈ [a,b[ tel que t ≥ c ⇒ 0 ≤ f(t) ≤ εg(t). Alors pour x ≥ c, on a (en intégrant l’inégalité de c à b), 0 ≤{\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt ≤ ε{\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt et donc {\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt).

(ii) Supposons f = o(g) et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt divergente. Soit ε > 0. Il existe c ∈ [a,b[ tel que t ≥ c ⇒ 0 ≤ f(t) ≤{ ε \over 2} g(t). Alors pour x ≥ c, on a (en intégrant l’inégalité de c à x), {\mathop{∫ } }_{c}^{x}f(t) dt ≤{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{c}^{x}g(t) dt, soit encore à l’aide de la relation de Chasles

0 ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ≤{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt + \left ({\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt −{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{c}g(t) dt\right )

Mais comme on sait que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt diverge et que g ≥ 0, on a {\mathop{lim}}_{x→b}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt = +∞. Donc il existe c' ∈ [a,b[ tel que x ≥ c' ⇒{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt >{\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt −{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{c}g(t) dt. Alors, pour x ≥\mathop{ max}(c,c'), on a

0 ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ≤{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt +{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt = ε{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt

et donc {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt).

Remarque 9.9.4 Il suffit pour appliquer le théorème précédent que la condition de positivité de f et g soit vérifiée dans un voisinage de b.

Théorème 9.9.4 Soit f,g : [a,b[→ ℝ réglées. On suppose que g est positive et que au voisinage de b, on a f ∼ g. Alors les deux intégrales {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt sont de même nature. Plus précisément (i) Si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge, alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge également et {\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt (ii) Si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt diverge, alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt diverge également et {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt.

Démonstration Puisque f(t) ∼ g(t), il existe c ∈ [a,b[ tel que x > c ⇒{ 1 \over 2} g(t) ≤ f(t) ≤{ 3 \over 2} g(t) ce qui montre que f est positive au voisinage de b et que l’on a à la fois f = O(g) et g = O(f). Le théorème précédent assure alors que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g(t) dt converge si et seulement si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge. Pla\c{c}ons nous dans le cas de convergence. On a |f − g| = o(g), on en déduit que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}|f(t) − g(t)| dt converge et que {\mathop{∫ } }_{x}^{b}|f(t) − g(t)| dt = o({\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt). Mais bien évidemment \left |{\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt\right |≤{\mathop{∫ } }_{x}^{b}|f(t) − g(t)| dt. On a donc {\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt) et donc {\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{x}^{b}g(t) dt. Dans le cas de divergence, deux cas se présentent. Si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}|f(t) − g(t)| dt diverge, le théorème précédent assure que {\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) ; si par contre elle converge, {\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt admet une limite finie en b alors que {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt tend vers + ∞ et on a donc encore {\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt). L’inégalité \left |{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt\right |≤{\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt donne alors {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) et donc {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt.

9.9.3 Exemples fondamentaux

L’idée générale est d’obtenir une famille de fonctions étalon.

Proposition 9.9.5 L’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ dt \over {t}^{α}} converge si et seulement si α > 1.

Démonstration {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ dt \over {t}^{α}} = \left \{ \cases{ { 1 \over α−1} (1 − {x}^{1−α})&si α\mathrel{≠}1 \cr \mathop{log} x &si α = 1 \cr } \right . qui admet une limite finie en + ∞ si et seulement si α > 1.

Exemple 9.9.1 Intégrales de Bertrand {\mathop{∫ } }_{e}^{+∞}{ dt \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} . Si α > 1, soit γ tel que 1 < α < γ. On a alors { 1 \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} = o({ 1 \over {t}^{γ}} ) et donc l’intégrale converge. Si α < 1, soit γ tel que α < γ < 1 ; on a alors { 1 \over {t}^{γ}} = o({ 1 \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} ) et comme {\mathop{∫ } }_{e}^{+∞}{ dt \over {t}^{γ}} diverge, l’intégrale diverge. Si α = 1, on a par le changement de variables u =\mathop{ log} t,

{\mathop{∫ } }_{e}^{x}{ dt \over t{(\mathop{log} t)}^{β}} ={\mathop{∫ } }_{1}^{\mathop{log} x}{ du \over {u}^{β}} = \left \{ \cases{ { 1 \over α−1} (1 − {(\mathop{log} x)}^{1−α})&si α\mathrel{≠}1 \cr \mathop{log} \mathop{log} x &si α = 1 } \right .

qui admet une limite en + ∞ si et seulement si β > 1. En définitive l’intégrale de Bertrand {\mathop{∫ } }_{e}^{+∞}{ dt \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

Proposition 9.9.6 Soit −∞ < a < b < +∞. L’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ dt \over |b−t{|}^{α}} converge si et seulement si α < 1.

Démonstration On a

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ dt \over {(b − t)}^{α}} = \left \{ \cases{ { 1 \over 1−α} ({(b − a)}^{1−α} − {(b − x)}^{1−α})&si α\mathrel{≠}1 \cr \mathop{log} (b − a) −\mathop{ log} (b − x)&si α = 1 } \right .

qui admet une limite au point b si et seulement si α < 1.

Exemple 9.9.2 Intégrales de Bertrand {\mathop{∫ } }_{0}^{1∕e}{t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β} dt. Si α > −1, soit γ tel que α > γ > −1. On a alors en 0, {t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β} = o({t}^{γ}) (car { {t}^{α}|\mathop{ log} t{|}^{β} \over {t}^{γ}} = {t}^{α−γ}|\mathop{log} t{|}^{β} tend vers 0 quand t tend vers 0) et comme {\mathop{∫ } }_{0}^{1∕e}{t}^{γ} dt converge, l’intégrale converge. Si α < −1, soit γ tel que α < γ < −1. Alors {t}^{γ} = o({t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β}) et comme {\mathop{∫ } }_{0}^{1∕e}{t}^{γ} dt diverge, l’intégrale diverge. Si α = −1, le changement de variables u = −\mathop{log} t conduit à

{\mathop{∫ } }_{x}^{1∕e}{ |\mathop{log} t{|}^{β} \over t} dt ={\mathop{∫ } }_{1}^{−\mathop{ log} x}{u}^{β} du

qui admet une limite quand x tend vers 0 si et seulement si β < −1. En définitive, l’intégrale de Bertrand {\mathop{∫ } }_{0}^{1∕e}{t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β} dt converge si et seulement si α > −1 ou (α = −1 et β < −1).

Remarque 9.9.5 Ce dernier exemple aurait pu également être traité à partir des intégrales de Bertrand en + ∞ à l’aide du changement de variables u ={ 1 \over t} qui est de classe {C}^{1} et un homéomorphisme de ]0,1∕e] sur [e,+∞[ et donc qui conserve la nature des intégrales. Ceci montre que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{0}^{1∕e}{t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β} dt est de même nature que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{e}^{+∞}{ {(\mathop{log} u)}^{β} \over {u}^{α}} { du \over {u}^{2}} qui converge si et seulement si 2 + α > 1 ou 2 + α = 1 et β < −1.