9.8 Généralités sur les intégrales impropres

Remarque 9.8.1 Ce paragraphe et ceux qui suivent, qui correspondent aux anciens programmes de classes préparatoires, font double emploi avec les paragraphes sur les fonctions intégrables sur un intervalle. Ils ont été maintenus ici par souci de compatibilité avec certains enseignements universitaires.

Définition 9.8.1 On dit qu’une fonction est réglée sur un intervalle I si elle est réglée sur tout segment inclus dans I.

9.8.1 Notion d’intégrale impropre

Définition 9.8.2 Soit −∞ < a < b ≤ +∞ et f : [a,b[→ E réglée. On dit que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si existe {\mathop{lim}}_{x→b,x<b}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt. Dans ce cas on pose {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ={\mathop{ lim}}_{x→b,x<b}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt. On a une notion similaire avec −∞≤ a < b < +∞ et f :]a,b] → E réglée.

Remarque 9.8.2 Si l’intégrale ne converge pas, elle est dite divergente. Si b < +∞ et si f est la restriction à [a,b[ d’une fonction réglée sur [a,b], alors l’application x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt est continue au point b ; l’intégrale impropre est donc convergente et la valeur de l’intégrale impropre est donc la valeur de l’intégrale, si bien qu’il n’y a pas d’ambiguïté dans la notation {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ; dans ce cas nous parlerons d’une intégrale faussement impropre. Un exemple typique est celui de {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{ \mathop{sin} t \over t} dt qui est a priori impropre en 0, mais qui est la restriction à ]0,1] de la fonction continue f(t) = \left \{ \cases{ { \mathop{sin} t \over t} &si t\mathrel{≠}0 \cr 1 &si t = 0 \cr } \right ..

Proposition 9.8.1 Soit f : [a,b[→ E une fonction réglée et c ∈ [a,b[. Alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si et seulement si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{c}^{b}f(t) dt converge.

Démonstration On a {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt +{\mathop{∫ } }_{c}^{x}f(t) dt ce qui montre que {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt a une limite en b si et seulement si {\mathop{∫ } }_{c}^{x}f(t) dt en a une.

Remarque 9.8.3 Cette propriété montre que si f : [a,b[→ E est une fonction réglée, la convergence de {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ne dépend que de la restriction de f à un voisinage de b ; il s’agit donc d’une notion locale en b.

9.8.2 Intégrales plusieurs fois impropres

Définition 9.8.3 Soit −∞≤ a < b ≤ +∞ et f :]a,b[→ E réglée. On dit que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si on a les conditions équivalentes (i) il existe c ∈]a,b[ tel que les deux intégrales impropres {\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt et {\mathop{∫ } }_{c}^{b}f(t) dt convergent (ii) pour tout c ∈]a,b[, les deux intégrales impropres {\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt et {\mathop{∫ } }_{c}^{b}f(t) dt convergent (iii) l’application (x,y)\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{x}^{y}f(t) dt admet une limite quand x tend vers a et y tend vers b indépendamment l’un de l’autre. On pose alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt +{\mathop{∫ } }_{c}^{b}f(t) dt ={\mathop{ lim}}_{x→a,y→b}{\mathop{∫ } }_{x}^{y}f(t) dt.

Démonstration Découle immédiatement de la relation de Chasles.

Remarque 9.8.4 L’intégrale {\mathop{∫ } }_{−∞}^{+∞}t dt diverge alors que {\mathop{lim}}_{x→+∞}{\mathop{∫ } }_{−x}^{x}t dt = 0. Il est donc impératif dans (iii) d’introduire deux variables x et y et de les faire varier indépendamment.

Définition 9.8.4 Soit −∞≤ {a}_{0} < {a}_{1} < \mathop{\mathop{…}} < {a}_{n} ≤ +∞ et f :]{a}_{0},{a}_{n}[∖\{{a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n−1}\} → E une fonction réglée. On dit que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{{a}_{0}}^{{a}_{n}}f(t) dt converge si chacune des intégrales {\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i}}f(t) dt converge. On pose alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i}}f(t) dt

Avec ces définitions, toutes les questions concernant des intégrales plusieurs fois impropres se ramènent à des problèmes sur les intégrales une fois impropres.

9.8.3 Opérations sur les intégrales impropres

Théorème 9.8.2 L’ensemble des fonctions réglées de [a,b[ dans E telles que l’intégrale impropre {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge est un sous espace vectoriel  de l’ensemble des fonctions réglées de [a,b[ dans E. L’application f\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt est linéaire de cet espace vectoriel dans E.

Démonstration Il suffit d’écrire {\mathop{∫ } }_{a}^{x}(αf(t) + βg(t)) dt = α{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt + β{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt et d’utiliser les théorèmes sur les limites.

Théorème 9.8.3 Soit u : E → F une application linéaire continue, f : [a,b[→ E réglée telle que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge. Alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}u(f(t)) dt converge et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}u(f(t)) dt = u({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt).

Démonstration Il suffit d’écrire {\mathop{∫ } }_{a}^{x}u(f(t)) dt = u({\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt) et d’utiliser la continuité de u.

Corollaire 9.8.4 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E, f : [a,b[→ E réglée. On écrit f(t) = {f}_{1}(t){e}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {f}_{n}(t){e}_{n}. Alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si et seulement si chacune des intégrales {\mathop{∫ } }_{a}^{b}{f}_{i}(t) dt converge et alors

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt = ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{f}_{ 1}(t) dt){e}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{f}_{ n}(t) dt){e}_{n}

Démonstration Soit u : {K}^{n} → E, ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})\mathrel{↦}{x}_{1}{e}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{n}{e}_{n}. L’application linéaire u est un isomorphisme d’espaces vectoriels et puisque les espaces sont de dimension finie, u et {u}^{−1} sont continues. Il suffit alors d’appliquer le théorème précédent en remarquant que f = u ∘ ({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}) et que ({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}) = {u}^{−1} ∘ f.

Changement de variables Soit φ : [a,b[→ [α,β[ de classe {C}^{1} telle que {\mathop{lim}}_{u→b}φ(u) = β. Soit f : [α,β[→ E continue. Pour x ∈ [a,b[, on peut alors écrire {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(φ(u))φ'(u) du ={\mathop{∫ } }_{φ(a)}^{φ(x)}f(t) dt. On en déduit par le théorème de composition des limites, que si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{α}^{β}f(t) dt converge, alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(φ(u))φ'(u) du converge et que dans ce cas

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(φ(u))φ'(u) du ={\mathop{∫ } }_{φ(a)}^{β}f(t) dt

Inversement, si l’on suppose que φ est un homéomorphisme de [a,b[ sur [α,β[, on a, pour y ∈ [α,β[, {\mathop{∫ } }_{α}^{y}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{{φ}^{−1}(α)}^{{φ}^{−1}(y) }f(φ(u))φ'(u) du et alors la convergence de {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(φ(u))φ'(u) du implique celle de {\mathop{∫ } }_{α}^{β}f(t) dt et l’égalité ci-dessus. On retiendra en particulier

Théorème 9.8.5 Soit φ : [a,b[→ [α,β[ un homéomorphisme. On suppose que φ est de classe {C}^{1} et que {\mathop{lim}}_{u→b}φ(u) = β. Soit f : [α,β[→ E continue. Alors les deux intégrales impropres {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(φ(u))φ'(u) du et {\mathop{∫ } }_{α}^{β}f(t) dt sont de même nature (convergentes ou divergentes) et on a l’égalité

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(φ(u))φ'(u) du ={\mathop{∫ } }_{φ(a)}^{β}f(t) dt

Intégration par parties Soit f,g : [a,b[→ ℂ de classe {C}^{1}. Pour x ∈ [a,b[, on peut alors faire une intégration par parties et écrire

{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t)g'(t) dt ={ \left [f(t)g(t)\right ]}_{ a}^{x} −{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f'(t)g(t) dt

Si deux des trois termes qui dépendent de x admettent une limite en b, alors le troisième aussi et on a alors

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t)g'(t) dt ={\mathop{ lim}}_{ x→b}(f(x)g(x)) − f(a)g(a) −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f'(t)g(t) dt

que l’on écrit encore

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t)g'(t) dt ={ \left [f(t)g(t)\right ]}_{ a}^{b} −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f'(t)g(t) dt

Sinon, on conserve les intégrales partielles de a à x jusqu’à pouvoir lever les indéterminations éventuelles.

Remarque 9.8.5 Le lecteur devra faire preuve d’une grande prudence : une intégration par parties peut facilement faire passer d’une intégrale convergente à une intégrale divergente, en particulier avec des fonctions comme le logarithme.

9.8.4 Intégrales et séries : intégration par paquets

Théorème 9.8.6 Soit f : [a,b[→ E réglée, ({b}_{n}) une suite strictement croissante de [a,b[ de limite b. On pose pour n ≥ 1, {x}_{n} ={\mathop{∫ } }_{{b}_{n−1}}^{{b}_{n}}f(t) dt. Alors

  • (i) si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}{x}_{n} converge
  • (ii) la réciproque est exacte dans les deux cas suivants
    • (a) la suite ({b}_{n} − {b}_{n−1}) est bornée et {\mathop{lim}}_{t→b}f(t) = 0
    • (b) E = ℝ et la fonction f est de signe constant sur chaque intervalle [{b}_{n−1},{b}_{n}].

Démonstration (i) On a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=1}^{N}{x}_{n} ={\mathop{∫ } }_{{b}_{0}}^{{b}_{N}}f(t) dt = F({b}_{N}) avec F(x) ={\mathop{∫ } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt. Puisque l’intégrale converge, la fonction F a une limite au point b ; le théorème de composition des limites assure alors l’existence de {\mathop{lim}}_{N→+∞}F({b}_{N}), donc la convergence de la série ; on a d’ailleurs {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{x}_{n} ={\mathop{∫ } }_{{b}_{0}}^{b}f(t) dt.

(ii)(a) Soit x > {b}_{0} et soit p l’unique entier tel que {b}_{p−1} ≤ x < {b}_{p}. On a alors

{\mathop{∑ }}_{n=1}^{p}{x}_{ n} −{\mathop{\mathop{∫ } } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt ={ \mathop{\mathop{∫ } } }_{x}^{{b}_{p} }f(t) dt

Soit alors ε > 0, K > 0 tel que \mathop{∀}n ∈ ℕ, {b}_{n} − {b}_{n−1} ≤ K, c ∈ [a,b[ tel que t ∈ [c,b[⇒\| f(t)\| <{ ε \over 2K} . Pour x > c, on a alors \|{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=1}^{p}{x}_{n} −{\mathop{∫ } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt\| ≤{\mathop{∫ } }_{x}^{{b}_{p}}\|f(t)\| dt ≤ K{ ε \over 2K} ={ ε \over 2} . Soit S ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=1}^{+∞}{x}_{n} et N ∈ ℕ tel que n ⇒ N ⇒\| S −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=1}^{n}{x}_{k}\| <{ ε \over 2} . Pour x ≥ {x}_{N}, on a p ≥ N et donc pour x >\mathop{ max}(c,{b}_{N}) on a

\begin{eqnarray*} \|S −{\mathop{∫ } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt\|& ≤& \|S −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{p}{x}_{ k}\| +\|{ \mathop{∑ }}_{n=1}^{p}{x}_{ n} −{\mathop{\mathop{∫ } } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt\|%& \\ & <&{ ε \over 2} +{ ε \over 2} = ε %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre la convergence de l’intégrale.

(ii)(b) La démonstration est similaire. Mais on écrit, en utilisant le fait que f est de signe constant sur [{b}_{p−1},{b}_{p}]

\begin{eqnarray*} |{\mathop{∑ }}_{n=1}^{p}{x}_{ n} −{\mathop{\mathop{∫ } } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt|& =& |{\mathop{∫ } }_{x}^{{b}_{p} }f(t) dt| ={\mathop{∫ } }_{x}^{{b}_{p} }|f(t)| dt %& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{{b}_{p−1}}^{{b}_{p} }|f(t)| dt = |{\mathop{∫ } }_{{b}_{p−1}}^{{b}_{p} }f(t) dt|%& \\ & =& |{x}_{p}| %& \\ \end{eqnarray*}

Puisque la série converge, \mathop{lim}{x}_{n} = 0 et donc, il existe M tel que n ≥ M ⇒|{x}_{n}| <{ ε \over 2} . Soit N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒|S −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=1}^{n}{x}_{k}| <{ ε \over 2} . Pour x ≥\mathop{ max}({x}_{N},{x}_{M}), on a p ≥\mathop{ max}(N,M) et donc

|S −{\mathop{∫ } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt|≤|S −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{p}{x}_{ k}| + |{\mathop{∑ }}_{n=1}^{p}{x}_{ n} −{\mathop{\mathop{∫ } } }_{{b}_{0}}^{x}f(t) dt| <{ ε \over 2} +{ ε \over 2} = ε

ce qui montre la convergence de l’intégrale.