9.7 Développements asymptotiques et analyse numérique

9.7.1 La formule d’Euler-Mac Laurin

Proposition 9.7.1 Il existe une unique famille de polynômes {B}_{n}(X) (polynômes de Bernoulli) dans ℝ[X] vérifiant les relations

Démonstration La relation (ii) définit {B}_{n} à une constante près et la relation (iii) fixe les deux constantes d’intégration qui se sont introduites pour le passage de {B}_{2n−1} à {B}_{2n+1}.

Théorème 9.7.2

Démonstration (i) est évident par récurrence à partir de {B}_{n}'(X) = n{B}_{n−1}(X). Pour démontrer (ii), il suffit de démontrer que, si l’on pose {C}_{n}(X) = {(−1)}^{n}{B}_{n}(1 − X), la suite ({C}_{n}) vérifie les mêmes relations que la suite ({B}_{n}(X)), ce qui est immédiat. On montre (iii) par récurrence sur n. La relation est vérifiée pour n = 1 et si elle est vérifiée pour n − 1, soit P(X) = {B}_{n}(X + 1) − {B}_{n}(X) − n{X}^{n−1}. On a P'(X) = n({B}_{n−1}(X + 1) − {B}_{n−1}(X) − (n − 1){X}^{n−2}) = 0 par l’hypothèse de récurrence. Mais d’autre part P(0) = {B}_{n}(1) − {B}_{n}(0) = 0 (par définition si n est impair, d’après l’assertion précédente si n est pair), donc P est le polynôme nul.

Théorème 9.7.3 (formule d’Euler-Mac Laurin). Soit f : [0,1] → E de classe {C}^{2n+1}. Alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}f(t) dt& =&{ 1 \over 2} (f(1) + f(0)) %& \\ & \text{} & −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}({f}^{(2k−1)}(1) − {f}^{(2k−1)}(0)){ {b}_{2k} \over (2k)!} %& \\ & \text{} & −{ 1 \over (2n + 1)!} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+1)}(t){B}_{ 2n+1}(t) dt %& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration Par récurrence sur n. Pour n = 0, on écrit

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}f(t) dt& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}f(t){B}_{ 0}(t) dt ={ \left [f(t){B}_{1}(t)\right ]}_{0}^{1} −{\mathop{∫ } }_{0}^{1}f'(t){B}_{ 1}(t) dt%& \\ & =&{ 1 \over 2} (f(1) + f(0)) −{\mathop{∫ } }_{0}^{1}f'(t){B}_{ 1}(t) dt %& \\ \end{eqnarray*}

Si la formule est vérifiée pour n, deux intégrations par parties donnent

\begin{eqnarray*}{ 1 \over (2n + 1)!} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+1)}(t){B}_{ 2n+1}(t) dt\quad && %& \\ & =&{ 1 \over (2n + 1)!} {\left [{f}^{(2n+1)}(t){ {B}_{2n+2}(t) \over 2n + 2} \right ]}_{0}^{1} %& \\ & \text{} & −{ 1 \over (2n + 2)!} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+2)}(t){B}_{ 2n+2}(t) dt%& \\ & =&{ {b}_{2n+2} \over (2n + 2)!} ({f}^{(2n+1)}(1) − {f}^{(2n+1)}(0)) %& \\ & \text{} & −{\Biggl ({ 1 \over (2n + 2)!} {\left [{f}^{(2n+2)}(t){ {B}_{2n+3}(t) \over 2n + 3} \right ]}_{0}^{1} %& \\ & \text{} & −{ 1 \over (2n + 3)!} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+3)}(t){B}_{ 2n+3}(t) dt\Biggr )}%& \\ & =&{ {b}_{2n+2} \over (2n + 2)!} ({f}^{(2n+1)}(1) − {f}^{(2n+1)}(0)) %& \\ & \text{} & +{ 1 \over (2n + 3)!} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+3)}(t){B}_{ 2n+3}(t) dt%& \\ \end{eqnarray*}

en tenant compte de {B}_{2n+2}(0) = {B}_{2n+2}(1) = {b}_{2n+2} et de {B}_{2n+3}(0) = {B}_{2n+3}(1) = 0.

Remarque 9.7.1 On peut montrer que \mathop{∀}x ∈ [0,1], |{B}_{n}(x)|≤ 4{e}^{2π}{ n! \over {(2π)}^{n}} ce qui permet d’avoir une estimation du reste. Si f est à valeurs réelles, on peut obtenir une autre estimation du reste en montrant par récurrence que les polynômes {B}_{n} ont les variations suivantes

̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ x 0 1∕2 1 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ {B}_{4n}(x) {b}_{4n} < 0 ↗0↗> 0↘0↘ {b}_{4n} < 0 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ {B}_{4n+1}(x) 0 ↘ ↗ 0 ↗ ↘ 0 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ {B}_{4n+2}(x){b}_{4n+2} > 0↘0↘< 0↗0↗{b}_{4n+2} > 0 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ {B}_{4n+3}(x) 0 ↗ ↘ 0 ↘ ↗ 0 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲

PIC

Ceci montre que les polynômes {B}_{2p} − {b}_{2p} sont de signe constant sur [0,1]. On peut donc utiliser la première formule de la moyenne, ce qui nous donne

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+2)}(t){B}_{ 2n+2}(t) dt\quad && %& \\ & =& {b}_{2n+2}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+2)}(t) dt +{\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+2)}(t)({B}_{ 2n+2}(t) − {b}_{2n+2}) dt%& \\ & =& {b}_{2n+2}({f}^{(2n+1)}(1) − {f}^{(2n+1)}(0)) %& \\ & \text{} & +{f}^{(2n+2)}(ξ){\mathop{∫ } }_{0}^{1}({B}_{ 2n+2}(t) − {b}_{2n+2}) dt %& \\ & =& {b}_{2n+2}({f}^{(2n+1)}(1) − {f}^{(2n+1)}(0)) − {b}_{ 2n+2}{f}^{(2n+2)}(ξ) %& \\ \end{eqnarray*}

car {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{B}_{2n+2}(t) dt ={ \left [{ {B}_{2n+3}(t) \over 2n+3} \right ]}_{0}^{1} = 0. On obtient, en reprenant la démonstration du lemme, la formule sous la forme

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}f(t) dt& =&{ 1 \over 2} (f(1) + f(0)) %& \\ & \text{} & −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n+1}({f}^{(2k−1)}(1) − {f}^{(2k−1)}(0)){ {b}_{2k} \over (2k)!} %& \\ & \text{} & +{ {b}_{2n+2} \over (2n + 1)!} {f}^{(2n+2)}(ξ) %& \\ \end{eqnarray*}

Exemple 9.7.1 Appliquons cette formule à f(t) ={ 1 \over t+p} . On va obtenir

\begin{eqnarray*} \mathop{log} (p + 1) −\mathop{ log} (p)& =&{ 1 \over 2} ({ 1 \over p + 1} +{ 1 \over p} ) %& \\ & \text{} & +{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n+1}({ 1 \over {(p + 1)}^{2k}} −{ 1 \over {p}^{2k}} ){ {b}_{2k} \over 2k} %& \\ & \text{} & +{ (2n + 2){b}_{2n+2} \over {ξ}_{p}^{2n+3}} %& \\ \end{eqnarray*}

avec {ξ}_{p} ∈ [p,p + 1] et donc {ξ}_{p} ∼ p. En sommant de p = 1 jusque N − 1, on obtient

\begin{eqnarray*} \mathop{log} N& =& {\mathop{∑ }}_{p=1}^{N}{ 1 \over p} −{ 1 \over 2} −{ 1 \over 2N} +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n+1}({ 1 \over {N}^{2k}} − 1){ {b}_{2k} \over 2k} %& \\ & \text{} & +(2n + 2){b}_{2n+2}{ \mathop{∑ }}_{p=1}^{N−1}{ 1 \over {ξ}_{p}^{2n+3}} %& \\ \end{eqnarray*}

et en utilisant {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=N}^{+∞}{ 1 \over {ξ}_{p}^{2n+3}} = O({ 1 \over {N}^{2n+2}} ) on obtient, après amalgame de tous les termes ne dépendant pas de N en une constante γ,

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{p=1}^{N}{ 1 \over p} & =& \mathop{log} N + γ +{ 1 \over 2N} −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {b}_{2k} \over 2k{N}^{2k}} + O({ 1 \over {N}^{2n+2}} )%& \\ \end{eqnarray*}

9.7.2 Calcul approché d’intégrales

Méthode des trapèzes

Soit f : [a,b] → ℝ de classe {C}^{2} et p ∈ {ℕ}^{∗}. Pour k ∈ [0,p] posons {a}_{k} = a + k{ b−a \over p} . On approche la fonction f par la fonction φ : [a,b] → E qui vérifie \mathop{∀}k ∈ [0,p], φ({a}_{k}) = f({a}_{k}) et qui est linéaire sur chaque intervalle [{a}_{k−1},{a}_{k}]. On a immédiatement {\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k}}φ = ({a}_{ k} − {a}_{k−1}){ f({a}_{k})+f({a}_{k−1}) \over 2} (aire d’un trapèze). D’où, {\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ ={ b−a \over n} \left ({ f(a) \over 2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=1}^{p−1}f({a}_{k}) +{ f(b) \over 2} \right ) = {T}_{p} avec les notations du paragraphe précédent. On prendra donc comme valeur approchée de I ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f, \overline{I} ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ = {T}_{p}.

Majoration de l’erreur : on cherche à majorer |I −\overline{I}| = |{\mathop{∫ } }_{a}^{b}(f − φ)|. Posons g = f − φ et calculons à l’aide d’une intégration par parties l’intégrale suivante (en remarquant que la restriction de g à [{a}_{k−1},{a}_{k}] est de classe {C}^{2} avec g'' = f'')

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }f''(t)(t − {a}_{k−1})({a}_{k} − t) dt&& %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }g''(t)(t − {a}_{k−1})({a}_{k} − t) dt %& \\ & =&{ \left [g'(t)(t − {a}_{k−1})({a}_{k} − t)\right ]}_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} } +{\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }g'(t)(2t − {a}_{k−1} − {a}_{k}) dt%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }g'(t)(2t − {a}_{k−1} − {a}_{k}) dt %& \\ & =&{ \left [g(t)(2t − {a}_{k−1} − {a}_{k})\right ]}_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} } − 2{\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }g(t) dt %& \\ & =& −2{\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }g(t) dt %& \\ \end{eqnarray*}

puisque g({a}_{k−1}) = g({a}_{k}) = 0. On a donc

\begin{eqnarray*} \left |{\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }g(t) dt\right |& =&{ 1 \over 2} \left |{\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }f''(t)(t − {a}_{k−1})({a}_{k} − t) dt\right |%& \\ & ≤&{ {M}_{2} \over 2} {\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }(t − {a}_{k−1})({a}_{k} − t) dt %& \\ & =&{ {M}_{2} \over 12} {({a}_{k} − {a}_{k−1})}^{3} ={ {M}_{2}{(b − a)}^{3} \over 12{p}^{3}} %& \\ \end{eqnarray*}

En sommant de k = 1 à p, on obtient

|I −\overline{I}|≤{ {M}_{2}{(b − a)}^{3} \over 12{p}^{2}}

Application de la formule d’Euler-Mac Laurin

Soit alors f : [a,b] → E de classe {C}^{2n+1} et p ∈ {ℕ}^{∗}. Pour k ∈ [0,p] posons {a}_{k} = a + k{ b−a \over p}  ; appliquons la formule précédente à t\mathrel{↦}f({a}_{k−1} + t{ b−a \over p} ). On obtient alors (avec le changement de variable x = {a}_{k−1} + t{ b−a \over p} )

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{{a}_{k−1}}^{{a}_{k} }f(x) dx& =&{ b − a \over n} {\mathop{∫ } }_{0}^{1}f({a}_{ k−1} + t{ b − a \over p} ) dt%& \\ & =&{ b − a \over 2p} (f({a}_{k−1}) + f({a}_{k})) %& \\ & −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {(b − a)}^{2k} \over {p}^{2k}} ({f}^{(2k−1)}({a}_{ k}) − {f}^{(2k−1)}({a}_{ k−1})){ {b}_{2k} \over (2k)!} &%& \\ & \text{} & +{ {(b − a)}^{2n+2} \over {p}^{2n+2}(2n + 1)!} {ρ}_{n,k} %& \\ \end{eqnarray*}

avec {ρ}_{n,k} ={\mathop{∫ } }_{0}^{1}{f}^{(2n+1)}({a}_{k−1} + t{ b−a \over p} ){B}_{2n+1}(t) dt. Posons {M}_{2n+1} ={\mathop{ sup}}_{t∈[a,b]}\|{f}^{(2n+1)}(t)\|. On a alors \|{ρ}_{n,k}\| ≤ {M}_{2n+1}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}|{B}_{2n+1}(t)| dt. Sommons alors les égalités ci dessus, en posant

{T}_{p} ={ b − a \over n} \left ({ f(a) \over 2} +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{p−1}f({a}_{ k}) +{ f(b) \over 2} \right )

on obtient,

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(x) dx& =& {T}_{ p} −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {(b − a)}^{2k} \over {p}^{2k}} ({f}^{(2k−1)}(b) − {f}^{(2k−1)}(a)){ {b}_{2k} \over (2k)!} %& \\ & \text{} & +{ {(b − a)}^{2n+2} \over {p}^{2n+2}(2n + 1)!} {S}_{n,p} %& \\ \end{eqnarray*}

avec {S}_{n,p} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=1}^{p}{ρ}_{n,k} et donc \|{S}_{n,p}\| ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=1}^{p}\|{ρ}_{n,k}\| ≤ p{M}_{2n+1}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}|{B}_{2n+1}(t)| dt. On obtient donc

Théorème 9.7.4 Soit f : [a,b] → E de classe {C}^{2n+1} et p ∈ {ℕ}^{∗}. Pour k ∈ [0,p] posons {a}_{k} = a + k{ b−a \over p} . Soit {T}_{p} ={ b−a \over n} \left ({ f(a) \over 2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=1}^{p−1}f({a}_{k}) +{ f(b) \over 2} \right ) et {M}_{2n+1} ={\mathop{ sup}}_{t∈[a,b]}\|{f}^{(2n+1)}(t)\|. Alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(x) dx& =& {T}_{ p} −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {b}_{2k}{(b − a)}^{2k} \over {p}^{2k}(2k)!} ({f}^{(2k−1)}(b) − {f}^{(2k−1)}(a))%& \\ & \text{} & +{ {(b − a)}^{2n+2} \over {p}^{2n+1}(2n + 1)!} {R}_{n,p} %& \\ \end{eqnarray*}

avec \|{R}_{n,p}\| ≤ {M}_{2n+1}{\mathop{∫ } }_{0}^{1}|{B}_{2n+1}(t)| dt.

Remarque 9.7.2 Ce théorème nous donne un développement à un ordre arbitraire de la différence entre l’intégrale et sa valeur approchée par la méthode des trapèzes

Méthode de Simpson

La formule d’Euler-Mac Laurin, nous montre que si f est de classe {C}^{4}, on a

I − {T}_{p} ={ λ \over {p}^{2}} + O({ 1 \over {p}^{4}} )

On a donc également I − {T}_{2p} ={ λ \over 4{p}^{2}} + O({ 1 \over {p}^{4}} ) puis 4(I − {T}_{2p}) − (I − {T}_{p}) = O({ 1 \over {p}^{4}} ) ou encore

I −{ 1 \over 3} (4{T}_{2p} − {T}_{p}) = O({ 1 \over {p}^{4}} )

Posons donc {a}_{k} = a + k{ b−a \over 2p} , on a

\begin{eqnarray*}{ S}_{p}& =&{ (b − a) \over 6p} ({T}_{p} + 4{T}_{2p}) %& \\ & =&{ (b − a) \over 6p} (f(a) + 4f({a}_{1}) + 2f({a}_{2}) + 4f({a}_{3}) + \mathop{\mathop{…}}%& \\ & \text{} & +2f({a}_{2p−2}) + 4f({a}_{2p−1}) + f(b)) %& \\ \end{eqnarray*}

On sait donc que l’on a une majoration du type

|I − {S}_{p}|≤{ M \over {p}^{4}}

Remarque 9.7.3 On peut montrer qu’en fait |I − {S}_{p}|≤{ {M}_{4}{(b−a)}^{5} \over 2880{p}^{4}} avec {M}_{4} ={\mathop{ sup}}_{t∈[a,b]}\|{f}^{(4)}(t)\|, majoration de peu d’intérêt dans la pratique vu la difficulté qu’il y a habituellement à trouver un majorant de {M}_{4}.

Méthode de Romberg

Elle consiste à généraliser la méthode qui nous a fait passer de la méthode des trapèzes à la méthode de Simpson en utilisant le calcul de {T}_{p},{T}_{2p},{T}_{4p},\mathop{\mathop{…}},{T}_{{2}^{k}p} pour éliminer successivement les termes en { 1 \over {p}^{2}} ,{ 1 \over {p}^{4}} ,\mathop{\mathop{…}},{ 1 \over {p}^{2k}} du développement asymptotique donné par la formule d’Euler-Mac Laurin.

9.7.3 La méthode de Laplace

C’est une méthode classique de recherche d’équivalents d’intégrales dépendant d’un paramètre (ici n) consistant à remarquer qu’un intégrande du type f(t){e}^{ng(t)} va privilégier, pour n grand, les valeurs de t pour lesquelles la fonction g atteint son maximum (car si x < y, {e}^{nx} = o({e}^{ny})).

Proposition 9.7.5 Soit f :]a,b[→ ℝ continue intégrable sur ]a,b[. Soit g :]a,b[→ ℝ de classe {C}^{2}. On suppose que g atteint son maximum en un point c ∈]a,b[ avec g''(c) < 0, f(c)\mathrel{≠}0 et que \mathop{∀}η > 0, {\mathop{sup}}_{|t−c|≥η}g(t) < g(c). Alors, quand n tend vers + ∞

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t){e}^{ng(t)} dt ∼ f(c){e}^{ng(c)}\sqrt{{ 2π \over n|g''(c)|} }

Démonstration Quitte à changer f en − f, on peut supposer f(c) > 0. Soit α tel que 0 < α <\mathop{ min}(|g''(c)|,f(c)) et soit η > 0 tel que |t − c|≤ η ⇒|f(t) − f(c)|≤ α et |g(t) − g(c) −{ {(t−c)}^{2} \over 2} g''(c)| < α{ {(t−c)}^{2} \over 2} (puisque g'(c) = 0). Sur [c − η,c + η], on a f(c) − α < f(t) < f(c) + α et

g(c) +{ {(t − c)}^{2} \over 2} (g''(c) − α) ≤ g(t) ≤ g(c) +{ {(t − c)}^{2} \over 2} (g''(c) + α)

On obtient donc

\begin{eqnarray*} (f(c) − α){e}^{ng(c)}{\mathop{∫ } }_{c−η}^{c+η}\mathop{ exp} \left (n{ {(t − c)}^{2} \over 2} (g''(c) − α)\right ) dt&& %& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{c−η}^{c+η}f(t){e}^{ng(t)} dt %& \\ & ≤& (f(c) + α){e}^{ng(c)}{\mathop{∫ } }_{c−η}^{c+η}\mathop{ exp} \left (n{ {(t − c)}^{2} \over 2} (g''(c) + α)\right ) dt%& \\ \end{eqnarray*}

Mais, si λ < 0, le changement de variable u = \sqrt{{ n|λ| \over 2} } (t − c) donne

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{c−η}^{c+η}\mathop{ exp} \left (nλ{ {(t − c)}^{2} \over 2} \right ) dt&& %& \\ & =& \sqrt{{ 2 \over n|λ|} }{\mathop{∫ } }_{ −\sqrt{{ n|λ| \over 2} } η}^{\sqrt{{ n|λ| \over 2} } η}{e}^{−{u}^{2} } du %& \\ & ∼& \sqrt{{ 2 \over n|λ|} }{\mathop{∫ } }_{−∞}^{+∞}{e}^{−{u}^{2} } du = \sqrt{{ 2π \over n|λ|} }%& \\ \end{eqnarray*}

Posons {I}_{n} = \sqrt{n}{e}^{−ng(c)}{\mathop{∫ } }_{c−η}^{c+η}f(t){e}^{ng(t)} dt. On a donc {u}_{n} ≤ {I}_{n} ≤ {v}_{n} avec

\begin{eqnarray*}{ u}_{n}& =& (f(c) − α)\sqrt{n}{\mathop{∫ } }_{c−η}^{c+η}\mathop{ exp} \left (n{ {(t − c)}^{2} \over 2} (g''(c) − α)\right ) dt%& \\ & ∼& (f(c) − α)\sqrt{{ 2π \over |g''(c) − α|} } %& \\ \end{eqnarray*}

et de même {v}_{n} ∼ (f(c) + α)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)+α|} }. Donnons nous ε > 0 et soit α tel que

On prend le η correspondant comme ci-dessus. Alors comme \mathop{lim}{u}_{n} = (f(c) − α)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)−α|} } et \mathop{lim}{v}_{n} = (f(c) + α)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)+α|} }, il existe N ∈ ℕ tel que

\begin{eqnarray*} n ≥ N ⇒ f(c)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)|} }−{ ε \over 2} < {u}_{n} ≤ {v}_{n} < f(c)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)|} } +{ ε \over 2} & & %& \\ \end{eqnarray*}

Pour n ≥ N on a donc f(c)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)|} } −{ ε \over 2} < {I}_{n} < f(c)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)|} } +{ ε \over 2} .

Soit M ={\mathop{ sup}}_{|t−c|≥η}g(t) < g(c). On a alors

\left |\sqrt{n}{e}^{−ng(c)}{\mathop{∫ } }_{|t−c|≥η}f(t){e}^{ng(t)} dt\right |≤\sqrt{n}{e}^{−n(g(c)−M)}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}|f(t)| dt

qui tend vers 0 quand n tend vers + ∞. Soit donc N' ∈ ℕ tel que n ≤ N' ⇒\sqrt{n}{e}^{−n(g(c)−M)}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}|f(t)| dt <{ ε \over 2} . Alors, pour n ≥\mathop{ max}(N,N'), on a

\begin{eqnarray*} f(c)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)|} }− ε& <& \sqrt{n}{e}^{−ng(c)}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t){e}^{ng(t)} dt%& \\ & <& f(c)\sqrt{{ 2π \over |g''(c)|} } + ε %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre le résultat.

Remarque 9.7.4 Pour appliquer la méthode précédente, il suffit en fait qu’il existe un {n}_{0} ∈ ℕ tel que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}|f(t)|{e}^{{n}_{0}g(t)} dt converge : on peut alors écrire, en posant {f}_{1}(t) = f(t){e}^{{n}_{0}g(t)}

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t){e}^{ng(t)} dt& =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}{f}_{ 1}(t){e}^{(n−{n}_{0})g(t)} dt %& \\ & ∼& {f}_{1}(c){e}^{(n−{n}_{0})g(c)}\sqrt{{ 2π \over (n − {n}_{0})|g''(c)|} }%& \\ & ∼& f(c){e}^{ng(c)}\sqrt{{ 2π \over n|g''(c)|} } %& \\ \end{eqnarray*}

Exemple 9.7.2 Ecrivons

n! = Γ(n + 1) ={\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{t}^{n}{e}^{−t} dt = {n}^{n+1}{\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{(u{e}^{−u})}^{n} du

avec le changement de variable t = nu. Pour trouver un équivalent de {\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{(u{e}^{−u})}^{n} du, on peut appliquer la méthode de Laplace, en tenant compte de la remarque ci-dessus avec {n}_{0} = 1. On prend donc f(u) = 1, g(u) =\mathop{ log} (u{e}^{−u}) = −u +\mathop{ log} u qui atteint son maximum au point 1 avec g''(1) = −1, g(1) = −1. D’où

{\mathop{∫ } }_{0}^{+∞}{(u{e}^{−u})}^{n} du ∼ {e}^{−n}\sqrt{{ 2π \over n} }

et donc n! ∼\sqrt{2πn}{ {n}^{n} \over {e}^{n}} .