9.6 Intégration sur un intervalle quelconque : fonctions à valeurs complexes

9.6.1 Fonctions à valeurs complexes intégrables

Définition 9.6.1 Soit I un intervalle de et f : I → ℂ continue par morceaux. On dit que f est intégrable sur I si la fonction à valeurs réelles positives |f| est intégrable sur I.

Théorème 9.6.1 Soit f : I → ℂ continue par morceaux et intégrable. Alors pour toute suite ({J}_{n}) croissante de segments contenus dans I de réunion I, la suite {({\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f)}_{n∈ℕ} est convergente. Sa limite est indépendante de la suite ({J}_{n}) et notée {\mathop{∫ } }_{I}f.

Démonstration Soit q > p. On a

\left |{\mathop{∫ } }_{{J}_{q}}f −{\mathop{∫ } }_{{J}_{p}}f\right | = \left |{\mathop{∫ } }_{{J}_{q}∖{J}_{p}}f\right |≤{\mathop{∫ } }_{{J}_{q}∖{J}_{p}}|f| ={\mathop{∫ } }_{{J}_{q}}|f|−{\mathop{∫ } }_{{J}_{p}}|f|

(avec un tout petit abus d’écriture en notant {J}_{q} ∖ {J}_{p} = [{a}_{q},{a}_{p}] ∪ [{b}_{p},{b}_{q}] la réunion de deux segments disjoints ). Comme |f| est intégrable, la suite ({\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}|f|) converge, donc c’est une suite de Cauchy, et par conséquent il en est de même de la suite ({\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f) qui est donc convergente. Si ({K}_{n}) est une autre suite de segments vérifiant les mêmes propriétés, deux cas se présentent. Si \mathop{∀}n, {J}_{n} ⊂ {K}_{n}, alors

\left |{\mathop{∫ } }_{{K}_{n}}f −{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f\right | = \left |{\mathop{∫ } }_{{K}_{n}∖{J}_{n}}f\right |≤{\mathop{∫ } }_{{K}_{n}∖{J}_{n}}|f| ={\mathop{∫ } }_{{K}_{n}}|f|−{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}|f|

Mais les deux suites ({\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}|f|) et ({\mathop{∫ } }_{{K}_{n}}|f|) ont la même limite et donc leur différence tend vers 0. Il en est donc de même de la différence des suites ({\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f) et ({\mathop{∫ } }_{{K}_{n}}f), qui, étant convergentes, ont donc la même limite. Si {J}_{n} n’est pas forcément inclus dans {K}_{n} il suffit d’écrire

\mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}∪{K}_{n}}f =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{{K}_{n}}f

Corollaire 9.6.2 Soit f : I → ℂ continue par morceaux et intégrable. Alors \left |{\mathop{∫ } }_{I}f\right |≤{\mathop{∫ } }_{I}|f|.

Démonstration Il suffit de passer à la limite à partir de l’inégalité \left |{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f\right | ≤{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}|f|.

Théorème 9.6.3 Soit −∞ < a < b ≤ +∞ et f : [a,b[→ ℂ intégrable. Alors la fonction x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt admet la limite {\mathop{∫ } }_{[a,b[}f au point b.

Démonstration Soit a < x < y < b ; on a

\left |{\mathop{∫ } }_{a}^{y}f −{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f\right | = \left |{\mathop{∫ } }_{x}^{y}f\right |≤{\mathop{∫ } }_{x}^{y}|f| ={\mathop{∫ } }_{a}^{y}|f|−{\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f|

Comme l’application x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f| admet une limite au point b, elle vérifie le critère de Cauchy : pour tout ε > 0, il existe c ∈ [a,b[ tel que c < x < y < b ⇒\left |{\mathop{∫ } }_{a}^{y}|f|−{\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f|\right | < ε ; alors l’inégalité ci dessus montre que x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt vérifie également ce critère de Cauchy, donc admet une limite au point b. Soit alors {b}_{n} une suite croissante de limite b. On a

{\mathop{lim}}_{x→b}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ={\mathop{ lim}}_{ n→+∞}{\mathop{∫ } }_{a}^{{b}_{n} }f(t) dt ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{[a,{b}_{n}]}f ={\mathop{∫ } }_{[a,b[}f

Proposition 9.6.4 Soit I un intervalle de , f : I → ℂ continue par morceaux, intégrable sur I. Alors f est intégrable sur tout intervalle I' inclus dans I.

Démonstration En effet l’intégrabilité de f équivaut à celle de |f|.

Proposition 9.6.5 Soit f : I → ℂ et φ : I → {ℝ}^{+} continues par morceaux telles que 0 ≤|f|≤ φ. Si φ est intégrable sur I il en est de même de f et \left |{\mathop{∫ } }_{I}f\right |≤{\mathop{∫ } }_{I}φ.

Démonstration Evident d’après les définitions.

Corollaire 9.6.6 Soit I un intervalle borné de et soit f : I → ℂ continue par morceaux et bornée. Alors f est intégrable sur I.

Démonstration Appliquer la proposition précédente avec φ constante majorant |f|.

Proposition 9.6.7 Soit I = [a,b] un segment de , f : I → ℂ continue par morceaux. Alors f est intégrable sur I et {\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f. De plus f est intégrable sur ]a,b[, [a,b[ et ]a,b], toutes ces intégrales étant égales.

Démonstration La fonction |f| est positive et continue par morceaux, donc intégrable sur [a,b]. Donc f l’est également. On sait alors que |f| est intégrable sur tout intervalle inclus dans I et en particulier sur ]a,b[, [a,b[ et ]a,b] ; il en est donc de même pour f. De plus, si {a}_{n} = a +{ 1 \over n} et {b}_{n} = b −{ 1 \over n} , {J}_{n} = [{a}_{n},{b}_{n}] est une suite croissante de segments dont la réunion est ]a,b[, donc

{\mathop{∫ } }_{]a,b[}f =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n} }f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f

par continuité de l’intégrale par rapport à ses bornes. On fait une démonstration similaire pour [a,b[ avec [a,{b}_{n}] et ]a,b] avec [{a}_{n},b]. Pour [a,b], on prend {a}_{n} = a et {b}_{n} = b.

Théorème 9.6.8 Soit f,g : I → ℂ continues par morceaux, soit α,β ∈ ℂ. Si f et g sont intégrables sur I, il en est de même de αf + βg et on a

{\mathop{∫ } }_{I}(αf + βg) = α{\mathop{∫ } }_{I}f + β{\mathop{∫ } }_{I}g

Autrement dit, l’ensemble des applications de I dans qui sont intégrables sur I est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de I dans et l’application f\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{I}f est linéaire.

Démonstration L’intégrabilité est évidente à partir de l’inégalité |αf + βg|≤|α||f| + |β||g| et du fait que |f| et |g| étant intégrables, il en est de même de |α||f| + |β||g|. Pour les égalités, il suffit de prendre une suite ({J}_{n}) croissante de segments de réunion I et de passer à la limite dans les formules

{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}(αf + βg) = α{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f + β{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}g

Proposition 9.6.9 Soit I un intervalle de , f : I → ℝ continue par morceaux. Soit a ∈ {I}^{o}. Alors f est intégrable sur I si et seulement si elle est intégrable sur I∩] −∞,a] et sur I ∩ [a,+∞[. Dans ce cas,

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{I∩]−∞,a]}f +{\mathop{∫ } }_{I∩[a,+∞[}f

Démonstration Le résultat similaire déjà démontré pour |f| démontre l’équivalence entre les diverses intégrabilités. Soit alors {J}_{n} = [{a}_{n},{b}_{n}] une suite croissante de segments de réunion I. Pour n assez grand, on a {a}_{n} ≤ a ≤ {b}_{n} car a est dans l’intérieur de I. Mais ([{a}_{n},a]) est une suite croissante de segments de réunion I∩] −∞,a] et ([a,{b}_{n}]) est une suite croissante de segments de réunion I ∩ [a,+∞[. On peut donc passer à la limite dans la formule {\mathop{∫ } }_{[{a}_{n},{b}_{n}]}f ={\mathop{∫ } }_{[{a}_{n},a]}f +{\mathop{∫ } }_{[a,{b}_{n}]}f, et on obtient

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{I∩]−∞,a]}f +{\mathop{∫ } }_{I∩[a,+∞[}

9.6.2 Décomposition des fonctions à valeurs complexes

Soit x ∈ ℝ. On pose {x}^{+} =\mathop{ max}(x,0) et {x}^{−} =\mathop{ max}(−x,0). On a {x}^{+},{x}^{−}∈ {ℝ}^{+}, x = {x}^{+} − {x}^{−}, |x| = {x}^{+} + {x}^{−}, {x}^{+} ={ 1 \over 2} (|x| + x) et {x}^{−} ={ 1 \over 2} (|x|− x).

Remarque 9.6.1 Si f : I → ℝ, on peut ainsi lui associer des fonctions {f}^{+} et {f}^{−} à valeurs dans {ℝ}^{+}. On a {f}^{+},{f}^{−}∈ {ℝ}^{+}, f = {f}^{+} − {f}^{−}, |f| = {f}^{+} + {f}^{−}, {f}^{+} ={ 1 \over 2} (|f| + f) et {f}^{−} ={ 1 \over 2} (|f|− f). Ces deux dernières formules montrent clairement que si f est continue par morceaux, il en est de même de {f}^{+} et {f}^{−}.

Théorème 9.6.10 Soit f : I → ℝ continue par morceaux. Alors f est intégrable sur I si et seulement si les fonctions (à valeurs réelles positives) {f}^{+} et {f}^{−} le sont. Dans ce cas

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{I}{f}^{+} −{\mathop{∫ } }_{I}{f}^{−}\text{ et }{\mathop{∫ } }_{I}|f| ={\mathop{∫ } }_{I}{f}^{+} +{\mathop{∫ } }_{I}{f}^{−}

Démonstration Si f est intégrable sur I, il en est de même pour |f| et donc pour {f}^{+} et {f}^{−} puisque 0 ≤ {f}^{+} ≤|f| et 0 ≤ {f}^{−}≤|f|. Inversement, si {f}^{+} et {f}^{−} sont intégrables, leur différence f l’est également. Les formules proviennent de la linéarité de l’intégrale.

Théorème 9.6.11 Soit f : I → ℂ continue par morceaux. Alors f est intégrable sur I si et seulement si les fonctions (à valeurs réelles) \mathop{\mathrm{Re}}f et \mathop{\mathrm{Im}}f le sont. Dans ce cas

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{I}\mathop{ \mathrm{Re}}f + i{\mathop{∫ } }_{I}\mathop{ \mathrm{Im}}f,\quad {\mathop{∫ } }_{I}\overline{f} = \overline{{\mathop{∫ } }_{I}f}

Démonstration Si f est intégrable sur I, il en est de même pour |f| et donc pour \mathop{\mathrm{Re}}f et \mathop{\mathrm{Im}}f puisque 0 ≤|\mathop{\mathrm{Re}}f|≤|f| et 0 ≤|\mathop{\mathrm{Im}}f|≤|f|. Inversement, si \mathop{\mathrm{Re}}f et \mathop{\mathrm{Im}}f sont intégrables, alors f =\mathop{ \mathrm{Re}}f + i\mathop{\mathrm{Im}}f l’est également. Les formules proviennent de la linéarité de l’intégrale.

Remarque 9.6.2 La combinaison de ces deux théorèmes peut permettre de ramener un problème sur des fonctions à valeurs complexes à des problèmes sur des fonctions à valeurs réelles positives.

9.6.3 Convention et relation de Chasles

Définition 9.6.2 Soit I un intervalle de , f : I → ℂ continue par morceaux et intégrable. Soit a,b ∈\overline{I}. Alors on posera

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt = \left \{ \cases{ {\mathop{∫ } }_{]a,b[}f &si a < b \cr 0 &si a = b \cr −{\mathop{∫ } }_{]b,a[}f&si b < a } \right .

La définition a bien un sens puisque f est intégrable sur ]a,b[⊂ I ou ]b,a[⊂ I suivant le cas.

Théorème 9.6.12 Soit I un intervalle de , f : I → ℂ continue par morceaux et intégrable. Soit a,b,c ∈\overline{I}. Alors on a

{\mathop{∫ } }_{a}^{c}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f +{\mathop{∫ } }_{b}^{c}f

Démonstration Etudier toutes les positions relatives de a,b et c.

9.6.4 Règles de comparaison

Théorème 9.6.13 Soit f : [a,b[→ ℂ continue par morceaux et g : [a,b[→ {ℝ}^{+} continue par morceaux, positive et intégrable. On suppose qu’au voisinage de b on a f = O(g) (resp. f = o(g)). Alors f est intégrable sur [a,b[ et {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt = O({\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt) (resp. {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt))

Démonstration On a en effet |f| = O(g) (resp. |f| = o(g)) et \left |{\mathop{∫ } }_{[x,b[}f\right |≤{\mathop{∫ } }_{[x,b[}|f|. Il suffit donc d’appliquer le théorème de comparaison à |f| et g.

Remarque 9.6.3 Il suffit pour appliquer le théorème précédent que la condition de positivité de g soit vérifiée dans un voisinage de b.

9.6.5 Espaces de fonctions continues

Théorème 9.6.14 Soit I un intervalle de . L’ensemble des fonctions continues et intégrables sur I à valeurs complexes est un sous-espace vectoriel de l’espace C(I, ℂ). L’application f\mathrel{↦}\|{f\|}_{1} ={\mathop{∫ } }_{I}|f| est une norme sur cet espace (appelée la norme de la convergence en moyenne).

Démonstration Vérification immédiate à partir des résultats précédents.

Théorème 9.6.15 Soit I un intervalle de . L’ensemble des fonctions continues à valeurs complexes dont le carré est intégrable sur I est un sous-espace vectoriel de l’espace C(I, ℂ). L’application (f,g)\mathrel{↦}(f\mathrel{∣}g) ={\mathop{∫ } }_{I}\overline{f}g est un produit scalaire hermitien sur cet espace. En particulier, l’application f\mathrel{↦}\|{f\|}_{2} = {(f\mathrel{∣}f)}^{1∕2} est une norme sur cet espace et on a l’inégalité de Cauchy-Schwarz |(f\mathrel{∣}g)|≤\| {f\|}_{2}\|{g\|}_{2}.

Démonstration Il est clair que si f est de carré intégrable, il en est de même de αf pour α ∈ ℂ. De plus l’inégalité élémentaire |f + g{|}^{2} ≤ 2|f{|}^{2} + 2|g{|}^{2} montre que si f et g sont de carré intégrables, il en est de même de f + g. Comme de surcroît il existe des fonctions de carré intégrables (par exemple la fonction nulle), celles-ci forment un sous-espace vectoriel de C(I, ℂ). L’inégalité élémentaire |\overline{f}g|≤{ 1 \over 2} |f{|}^{2} +{ 1 \over 2} |g{|}^{2} montre que si f et g sont de carré intégrables, \overline{g}f est intégrable ce qui permet de définir (f\mathrel{∣}g) ={\mathop{∫ } }_{I}\overline{f}g. L’application est visiblement sesquilinéaire hermitienne, on a (f\mathrel{∣}f) ={\mathop{∫ } }_{I}|f{|}^{2} ≥ 0 avec égalité si et seulement si |f{|}^{2} = 0, soit f = 0, puisque f est continue. Les autres affirmations sont des conséquences des résultats sur les produits scalaires hermitiens.

9.6.6 Notion d’intégrale impropre

Définition 9.6.3 Soit −∞ < a < b ≤ +∞ et f : [a,b[→ E continue par morceaux. On dit que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si existe {\mathop{lim}}_{x→b,x<b}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt. Dans ce cas on pose {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ={\mathop{ lim}}_{x→b,x<b}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt.

On a une notion similaire avec −∞≤ a < b < +∞ et f :]a,b] → E continue par morceaux.

Remarque 9.6.4 Si l’intégrale ne converge pas, elle est dite divergente. Si b < +∞ et si f est la restriction à [a,b[ d’une fonction réglée sur [a,b], alors l’application x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt est continue au point b ; l’intégrale impropre est donc convergente et la valeur de l’intégrale impropre est donc la valeur de l’intégrale, si bien qu’il n’y a pas d’ambiguïté dans la notation {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ; dans ce cas nous parlerons d’une intégrale faussement impropre. Un exemple typique est celui de {\mathop{∫ } }_{0}^{1}{ \mathop{sin} t \over t} dt qui est a priori impropre en 0, mais qui est la restriction à ]0,1] de la fonction continue f(t) = \left \{ \cases{ { \mathop{sin} t \over t} &si t\mathrel{≠}0 \cr 1 &si t = 0 \cr } \right ..

Proposition 9.6.16 Soit f : [a,b[→ E une fonction continue par morceaux et c ∈ [a,b[. Alors l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge si et seulement si l’intégrale {\mathop{∫ } }_{c}^{b}f(t) dt converge.

Démonstration On a {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt +{\mathop{∫ } }_{c}^{x}f(t) dt ce qui montre que {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt a une limite en b si et seulement si {\mathop{∫ } }_{c}^{x}f(t) dt en a une.

Remarque 9.6.5 Cette propriété montre que si f : [a,b[→ E est une fonction continue par morceaux, la convergence de {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt ne dépend que de la restriction de f à un voisinage de b ; il s’agit donc d’une notion locale en b.

Théorème 9.6.17 Si f est intégrable sur [a,b[, alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dt converge. Mais la réciproque est fausse dans le cas général (mais vraie pour les fonctions à valeurs dans {ℝ}^{+}).

Démonstration On a vu que si f est intégrable sur [a,b[, alors x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt admet la limite {\mathop{∫ } }_{I}f au point b. L’exemple suivant montre que la réciproque est fausse.

Exemple 9.6.1 Etude de l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ \mathop{sin} t \over {t}^{α}} dt pour α > 0. On a { \mathop{sin} t \over {t}^{α}} = O({ 1 \over {t}^{α}} ), donc si α > 1 la fonction est intégrable.

Si 0 < α ≤ 1, on a après intégration par parties

{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ \mathop{sin} t \over {t}^{α}} dt =\mathop{ cos} 1 −{ \mathop{cos} x \over {x}^{α}} +{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ \mathop{cos} t \over {t}^{α+1}} dt

Mais {\mathop{lim}}_{x→+∞}{ \mathop{cos} x \over {x}^{α}} = 0 et la fonction t\mathrel{↦}{ \mathop{cos} t \over {t}^{α+1}} est intégrable puisque { \mathop{cos} t \over {t}^{α+1}} = O({ 1 \over {t}^{α+1}} ). On en déduit que le terme de droite de l’égalité ci dessus a une limite en + ∞, et donc le terme de gauche aussi. En conséquence, l’intégrale impropre {\mathop{∫ } }_{1}^{+∞}{ \mathop{sin} t \over {t}^{α}} dt converge. Montrons que la fonction n’est pas intégrable ; on a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ |\mathop{sin} t| \over {t}^{α}} & ≥& {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ {\mathop{sin} }^{2}t \over {t}^{α}} dt %& \\ & =&{ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ 1 −\mathop{ cos} (2t) \over {t}^{α}} dt %& \\ & =&{ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ 1 \over {t}^{α}} dt −{ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ \mathop{cos} (2t) \over {t}^{α}} dt%& \\ \end{eqnarray*}

Mais l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ 1 \over {t}^{α}} dt admet pour limite + ∞ (car α ≤ 1), alors que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ \mathop{cos} (2t) \over {t}^{α}} dt converge (même méthode d’intégration par parties). On en déduit que {\mathop{lim}}_{x→+∞}{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ {\mathop{sin} }^{2}t \over {t}^{α}} dt = +∞ et donc aussi {\mathop{lim}}_{x→+∞}{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ |\mathop{ sin} t| \over {t}^{α}} dt = +∞.