9.5 Intégration sur un intervalle quelconque : fonctions à valeurs réelles positives

9.5.1 Fonctions intégrables à valeurs réelles positives

Définition 9.5.1 Soit I un intervalle de , f : I → ℝ positive et continue par morceaux. On dit que f est intégrable sur I s’il existe une constante M ≥ 0 telle que, pour tout segment [a,b] ⊂ I, on ait {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≤ M . On note alors {\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{ sup}}_{[a,b]⊂I}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f.

Proposition 9.5.1 Soit I un intervalle de , f : I → ℝ positive et continue par morceaux, intégrable sur I. Alors f est intégrable sur tout intervalle I' inclus dans I et {\mathop{∫ } }_{I'}f ≤{\mathop{∫ } }_{I}f.

Démonstration En effet tout segment inclus dans I' est également un segment inclus dans I, donc le même M convient comme majorant.

Proposition 9.5.2 Soit f,g : I → ℝ positives et continues par morceaux telles que 0 ≤ f ≤ g. Si g est intégrable sur I il en est de même de f et {\mathop{∫ } }_{I}f ≤{\mathop{∫ } }_{I}g.

Démonstration Evident d’après la définition.

Proposition 9.5.3 Soit I un intervalle de , f : I → ℝ positive et continue par morceaux. Alors f est intégrable sur I si et seulement si il existe une suite {([{a}_{n},{b}_{n}])}_{n∈ℕ} croissante de segments contenus dans I, dont la réunion est égale à I, et une constante positive M telle que \mathop{∀}n ∈ ℕ, {\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n}}f ≤ M. Dans ce cas, on a

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{ sup}}_{n}{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n} }f ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n} }f

Démonstration La condition est bien évidemment nécessaire : prendre n’importe quelle suite ([{a}_{n},{b}_{n}]) vérifiant les conditions voulues. Inversement supposons qu’il existe une telle suite ([{a}_{n},{b}_{n}]) et une constante M ≥ 0. Soit J = [a,b] un segment inclus dans I et posons {J}_{n} = [{a}_{n},{b}_{n}]. Si b =\mathop{ sup}I, alors \mathop{sup}I ∈∪{J}_{n} et donc il existe N ∈ ℕ tel que \mathop{sup}I ∈ {J}_{N} auquel cas \mathop{sup}I ∈ {J}_{n} pour tout n ≥ N. Si par contre, b <\mathop{ sup}I =\mathop{ lim}{b}_{n}, alors il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {b}_{n} > b. Dans les deux cas il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {b}_{n} ≥ b. De même, il existe N' ∈ ℕ tel que n ≥ N' ⇒ {a}_{n} ≤ a. Soit n =\mathop{ max}(N,N'), on a alors J = [a,b] ⊂ [{a}_{n},{b}_{n}] = {J}_{n} et donc

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≤{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n} }f ≤ M

ce qui montre que f est intégrable sur I.

La démonstration précédente montre clairement dans sa première partie que {\mathop{sup}}_{n}{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n}}f ≤{\mathop{ sup}}_{[a,b]⊂I}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ={\mathop{∫ } }_{I}f et dans sa deuxième partie que {\mathop{sup}}_{[a,b]⊂I}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≤{\mathop{ sup}}_{n}{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n}}f, et donc l’égalité {\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{ sup}}_{n}{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n}}f. Mais comme la suite {\left ({\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n}}f\right )}_{n∈ℕ} est croissante majorée, sa borne supérieure est aussi sa limite.

Proposition 9.5.4 Soit I = [a,b] un segment de , f : I → ℝ positive et continue par morceaux. Alors f est intégrable sur I et {\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f. De plus f est intégrable sur ]a,b[, [a,b[ et ]a,b], toutes ces intégrales étant égales.

Démonstration Si J = [c,d] est un segment inclus dans [a,b], on a {\mathop{∫ } }_{c}^{d}f ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f, donc f est intégrable et {\mathop{∫ } }_{I}f ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f. Mais d’autre part, [a,b] est lui même un segment inclus dans I, donc {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≤{\mathop{∫ } }_{I}f, et donc l’égalité. On sait alors que f est intégrable sur tout intervalle inclus dans I et en particulier sur ]a,b[, [a,b[ et ]a,b]. De plus, si {a}_{n} = a +{ 1 \over n} et {b}_{n} = b −{ 1 \over n} , {J}_{n} = [{a}_{n},{b}_{n}] est une suite croissante de segments dont la réunion est ]a,b[, donc

{\mathop{∫ } }_{]a,b[}f =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{{a}_{n}}^{{b}_{n} }f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ={\mathop{∫ } }_{[a,b]}f

par continuité de l’intégrale par rapport à ses bornes. Comme on a ]a,b[⊂ [a,b[⊂ [a,b], on a aussi {\mathop{∫ } }_{]a,b[}f ≤{\mathop{∫ } }_{[a,b[}f ≤{\mathop{∫ } }_{[a,b]}f, d’où l’égalité des trois nombres. Il en est de même de {\mathop{∫ } }_{]a,b]}f.

Proposition 9.5.5 Soit f : I → ℝ continue positive intégrable, telle que {\mathop{∫ } }_{I}f = 0. Alors f = 0.

Démonstration Pour tout segment J ⊂ I, on a 0 ≤{\mathop{∫ } }_{J}f ≤{\mathop{∫ } }_{I}f = 0, donc {\mathop{∫ } }_{J}f = 0 ce qui implique que f est nulle sur J. La fonction f est donc nulle sur tout segment inclus dans I, donc elle est nulle.

Proposition 9.5.6 Soit f,g : I → ℝ positives et continues par morceaux, soit α ∈ {ℝ}^{+}. Si f et g sont intégrables sur I, il en est de même de f + g et de αf et on a

{\mathop{∫ } }_{I}(f + g) ={\mathop{∫ } }_{I}f +{\mathop{∫ } }_{I}g\text{ et }{\mathop{∫ } }_{I}(αf) = α{\mathop{∫ } }_{I}f

Démonstration L’intégrabilité est évidente à partir de la définition. Pour les égalités, il suffit de prendre une suite ({J}_{n}) croissante de segments de réunion I et de passer à la limite dans les formules

{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}(f + g) ={\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f +{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}g\text{ et }{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}(αf) = α{\mathop{∫ } }_{{J}_{n}}f

Proposition 9.5.7 Soit I un intervalle de , f : I → ℝ positive et continue par morceaux. Soit a ∈ {I}^{o}. Alors f est intégrable sur I si et seulement si elle est intégrable sur I∩] −∞,a] et sur I ∩ [a,+∞[. Dans ce cas,

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{I∩]−∞,a]}f +{\mathop{∫ } }_{I∩[a,+∞[}

Démonstration Si f est intégrable sur I, elle est intégrable sur tout sous intervalle de I et donc sur I∩] −∞,a] et sur I ∩ [a,+∞[. Inversement, si f est intégrable sur ces deux sous intervalles, soit {M}_{1} et {M}_{2} les majorants des intégrales sur les sous segments de I∩] −∞,a] et I ∩ [a,+∞[. Si J est un segment inclus dans I on a

{\mathop{∫ } }_{J}f ≤\left \{ \cases{ {M}_{1} &si \mathop{sup}J ≤ a \cr {M}_{1} + {M}_{2}&si a ∈ J \cr {M}_{2} &si a ≤\mathop{ inf} J } \right .

et dans tous les cas {\mathop{∫ } }_{J}f ≤ {M}_{1} + {M}_{2}. Donc f est intégrable sur I. Soit alors {J}_{n} = [{a}_{n},{b}_{n}] une suite croissante de segments de réunion I. Pour n assez grand, on a {a}_{n} ≤ a ≤ {b}_{n} car a est dans l’intérieur de I. Mais ([{a}_{n},a]) est une suite croissante de segments de réunion I∩] −∞,a] et ([a,{b}_{n}]) est une suite croissante de segments de réunion I ∩ [a,+∞[. On peut donc passer à la limite dans la formule {\mathop{∫ } }_{[{a}_{n},{b}_{n}]}f ={\mathop{∫ } }_{[{a}_{n},a]}f +{\mathop{∫ } }_{[a,{b}_{n}]}f, et on obtient

{\mathop{∫ } }_{I}f ={\mathop{∫ } }_{I∩]−∞,a]}f +{\mathop{∫ } }_{I∩[a,+∞[}

Proposition 9.5.8 Soit −∞ < a < b ≤ +∞, et f : [a,b[→ ℝ positive et continue par morceaux. Pour x ∈ [a,b[, posons F(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt. Alors f est intégrable sur [a,b[ si et seulement si F admet une limite au point b. Dans ce cas, {\mathop{∫ } }_{[a,b[}f ={\mathop{ lim}}_{x→b}F(x) − F(a)

Démonstration Soit {b}_{n} une suite croissante de [a,b[ de limite b. Alors [a,{b}_{n}] est une suite croissante de segments dont la réunion est [a,b[. Donc f est intégrable si et seulement si la suite {\mathop{∫ } }_{a}^{{b}_{n}}f = F({b}_{n}) − F(a) admet une limite, donc si et seulement si la suite (F({b}_{n})) est convergente. Mais comme F est croissante, ceci équivaut à l’existence de la limite de F en b.

Remarque 9.5.1 Si f n’est pas intégrable sur [a,b[, alors F, qui est croissante, admet + ∞ comme limite au point b.

Remarque 9.5.2 De même, si −∞≤ a < b < +∞, et f :]a,b] → ℝ positive et continue par morceaux. Pour x ∈]a,b], posons F(x) ={\mathop{∫ } }_{x}^{b}f(t) dt. Alors f est intégrable sur ]a,b] si et seulement si F (qui est cette fois décroissante) admet une limite au point a. Dans ce cas, {\mathop{∫ } }_{]a,b]}f = F(b) −{\mathop{ lim}}_{x→a}F(x)

9.5.2 Règles de comparaison

Théorème 9.5.9 Soit f,g : [a,b[→ ℝ continues par morceaux positives. On suppose qu’au voisinage de b on a f = O(g) (resp. f = o(g)). Alors (i) si g est intégrable sur [a,b[, il en est de même de f et {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt = O({\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt) (resp. {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt)) (ii) si f n’est pas intégrable sur [a,b[, g ne l’est pas non plus et {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt = O({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) (resp. {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt))

Démonstration Les convergences et divergences découlent immédiatement de l’inégalité 0 ≤ f ≤ Kg qui est vraie sur [c,b[ et du fait que f et g sont intégrables sur [a,c] (car continues par morceaux sur ce segment). De plus f = o(g) ⇒ f = O(g). En ce qui concerne la comparaison des restes ou des intégrales partielles, la démonstration est tout à fait similaire à celle du théorème analogue sur les séries. Nous allons la faire dans le cas f = o(g), la démonstration étant analogue pour f = O(g) en changeant ε en K ou en 2K.

(i) Supposons f = o(g) et g intégrable. Soit ε > 0. Il existe c ∈ [a,b[ tel que t ≥ c ⇒ 0 ≤ f(t) ≤ εg(t). Alors pour x ≥ c, on a (en intégrant l’inégalité de x à b), 0 ≤{\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt ≤ ε{\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt et donc {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt).

(ii) Supposons f = o(g) et f non intégrable sur [a,b[. Soit ε > 0. Il existe c ∈ [a,b[ tel que t ≥ c ⇒ 0 ≤ f(t) ≤{ ε \over 2} g(t). Alors pour x ≥ c, on a (en intégrant l’inégalité de c à x), {\mathop{∫ } }_{c}^{x}f(t) dt ≤{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{c}^{x}g(t) dt, soit encore à l’aide de la relation de Chasles

0 ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ≤{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt + \left ({\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt −{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{c}g(t) dt\right )

Mais comme on sait que g n’est pas intégrable sur [a,b[ et que g ≥ 0, on a {\mathop{lim}}_{x→b}{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt = +∞. Donc il existe c' ∈ [a,b[ tel que x ≥ c' ⇒{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt >{\mathop{∫ } }_{a}^{c}f(t) dt −{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{c}g(t) dt. Alors, pour x ≥\mathop{ max}(c,c'), on a

0 ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ≤{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt +{ ε \over 2} {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt = ε{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt

et donc {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt).

Remarque 9.5.3 Il suffit pour appliquer le théorème précédent que la condition de positivité de f et g soit vérifiée dans un voisinage de b.

Théorème 9.5.10 Soit f,g : [a,b[→ ℝ continues par morceaux. On suppose que g est positive et que au voisinage de b, on a f ∼ g. Alors f et g sont simultanément intégrables ou non intégrables sur [a,b[. Plus précisément (i) Si g est intégrable sur [a,b[, alors f également et {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt (ii) Si g est non intégrable sur [a,b[, alors f également et {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt.

Démonstration Puisque f(t) ∼ g(t), il existe c ∈ [a,b[ tel que x > c ⇒{ 1 \over 2} g(t) ≤ f(t) ≤{ 3 \over 2} g(t) ce qui montre que f est positive au voisinage de b et que l’on a à la fois f = O(g) et g = O(f). Le théorème précédent assure alors que f est intégrable sur [a,b[ si et seulement si g l’est. Pla\c{c}ons nous dans le cas d’intégrabilité. On a |f − g| = o(g), on en déduit que |f − g| est intégrable et que {\mathop{∫ } }_{[x,b[}|f(t) − g(t)| dt = o({\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt). Mais bien évidemment \left |{\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt\right |≤{\mathop{∫ } }_{[x,b[}|f(t) − g(t)| dt. On a donc {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt) et donc {\mathop{∫ } }_{[x,b[}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{[x,b[}g(t) dt. Dans le cas de non intégrabilité, deux cas se présentent. Si |f − g| est non intégrable, le théorème précédent assure que {\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) ; si par contre elle est intégrable, {\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt admet une limite finie en b alors que {\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt tend vers + ∞ et on a donc encore {\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt). L’inégalité \left |{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt\right |≤{\mathop{∫ } }_{a}^{x}|f(t) − g(t)| dt donne alors {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt −{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt) et donc {\mathop{∫ } }_{a}^{x}f(t) dt ∼{\mathop{∫ } }_{a}^{x}g(t) dt.

9.5.3 Exemples fondamentaux

L’idée générale est d’obtenir une famille de fonctions étalons.

Proposition 9.5.11 La fonction t\mathrel{↦}{t}^{α} est intégrable sur [a,+∞[ (avec a > 0) si et seulement si α > 1.

Démonstration On a

{\mathop{∫ } }_{1}^{x}{ dt \over {t}^{α}} = \left \{ \cases{ { 1 \over α−1} (1 − {x}^{1−α})&si α\mathrel{≠}1 \cr \cr \mathop{log} x &si α = 1 \cr } \right .

qui admet une limite finie en + ∞ si et seulement si α > 1.

Exemple 9.5.1 Intégrales de Bertrand {\mathop{∫ } }_{e}^{+∞}{ dt \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} . Si α > 1, soit γ tel que 1 < α < γ. On a alors { 1 \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} = o({ 1 \over {t}^{γ}} ) et donc t\mathrel{↦}{ 1 \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} est intégrable sur [e,+∞[. Si α < 1, soit γ tel que α < γ < 1 ; on a alors { 1 \over {t}^{γ}} = o({ 1 \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} ) et comme t\mathrel{↦}{ 1 \over {t}^{γ}} n’est pas intégrable sur [e,+∞[, t\mathrel{↦}{ 1 \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} n’est pas intégrable sur [e,+∞[. Si α = 1, on a par le changement de variables u =\mathop{ log} t,

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{e}^{x}{ dt \over t{(\mathop{log} t)}^{β}} & =& {\mathop{∫ } }_{1}^{\mathop{log} x}{ du \over {u}^{β}} %& \\ & =& \left \{ \cases{ { 1 \over β−1} (1 − {(\mathop{log} x)}^{1−β})&si α\mathrel{≠}1 \cr \cr \mathop{log} \mathop{log} x &si α = 1 } \right .%&\\ \end{eqnarray*}

qui admet une limite en + ∞ si et seulement si β > 1. En définitive t\mathrel{↦}{ 1 \over {t}^{α}{(\mathop{log} t)}^{β}} est intégrable sur [e,+∞[ si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

Proposition 9.5.12 La fonction t\mathrel{↦}{t}^{α} est intégrable sur ]0,a] (avec a > 0) si et seulement si α < 1.

Démonstration On a

{\mathop{∫ } }_{x}^{a}{ dt \over {t}^{α}} = \left \{ \cases{ { 1 \over 1−α} ({a}^{1−α} − {x}^{1−α})&si α\mathrel{≠}1 \cr \cr \mathop{log} a −\mathop{ log} x&si α = 1 } \right .

qui admet une limite au point 0 si et seulement si α < 1.

Exemple 9.5.2 Intégrales de Bertrand {\mathop{∫ } }_{0}^{1∕e}{t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β} dt. Si α > −1, soit γ tel que α > γ > −1. On a alors en 0, {t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β} = o({t}^{γ}) (car { {t}^{α}|\mathop{ log} t{|}^{β} \over {t}^{γ}} = {t}^{α−γ}|\mathop{log} t{|}^{β} tend vers 0 quand t tend vers 0) et comme t\mathrel{↦}{t}^{γ} est intégrable sur ]0,1∕e], il en est de même de t\mathrel{↦}{t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β}. Si α < −1, soit γ tel que α < γ < −1. Alors {t}^{γ} = o({t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β}) et comme t\mathrel{↦}{t}^{γ} n’est pas intégrable sur ]0,1∕e], il en est de même de t\mathrel{↦}{t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β}. Si α = −1, le changement de variables u = −\mathop{log} t conduit à

{\mathop{∫ } }_{x}^{1∕e}{ |\mathop{log} t{|}^{β} \over t} dt ={\mathop{∫ } }_{1}^{−\mathop{ log} x}{u}^{β} du

qui admet une limite quand x tend vers 0 si et seulement si β < −1. En définitive, t\mathrel{↦}{t}^{α}|\mathop{log} t{|}^{β} est intégrable sur [0,1∕e[ si et seulement si α > −1 ou (α = −1 et β < −1).