9.4 Recherches de primitives

9.4.1 Position du problème

Soit f une fonction de vers ou . On cherche à déterminer des intervalles (maximaux) I sur lesquels f est continue et sur un tel intervalle, une primitive F de f. La notation F(t) =\mathop{∫ } f(t) dt + k, t ∈ I signifiera : f est continue sur I et F est une primitive de f sur I

Remarque 9.4.1 On prendra garde que dans cette notation, et contrairement à la notation différentielle des intégrales, la variable t n’est pas muette. C’est bien le même t qui figure dans F(t) et dans \mathop{∫ } f(t) dt

9.4.2 Techniques usuelles

Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors αF + βG est une primitive de αf + βg sur I ce qu’on écrira

\mathop{∫ } (αf(t) + βg(t)) dt = α\mathop{∫ } f(t) dt + β\mathop{∫ } g(t) dt, t ∈ I

Sur le même modèle on écrira le théorème de changement de variables avec φ : I → J de classe {C}^{1}

\mathop{∫ } f(φ(t))φ'(t) dt =\mathop{∫ } f(u) du, u = φ(t), t ∈ I

et le théorème d’intégrations par parties pour deux fonctions f et g de classe {C}^{1}

\mathop{∫ } f(t)g'(t) dt = f(t)g(t) −\mathop{∫ } f'(t)g(t) dt, t ∈ I

théorèmes dont la démonstration est évidente.

9.4.3 Primitives usuelles

On posera {I}_{n} =] −{ π \over 2} + nπ,{ π \over 2} + nπ[ et {J}_{n} =]nπ,(n + 1)π[ pour n ∈ ℕ.

\array{ \mathop{∫ } \mathop{cos} t dt =\mathop{ sin} t + k, t ∈ ℝ; &\mathop{∫ } \mathop{sin} t dt = −\mathop{cos} t + k, t ∈ ℝ \cr \mathop{∫ } { dt \over {\mathop{cos} }^{2}t} =\mathop{ \mathrm{tg}} t + k, t ∈ {I}_{n}; &\mathop{∫ } { dt \over {\mathop{sin} }^{2}t} = −\mathop{\mathrm{cotg}} t + k, t ∈ {J}_{n} \cr \mathop{∫ } { dt \over \mathop{cos} t} =\mathop{ log} \left |\mathop{\mathrm{tg}} ({ t \over 2} +{ π \over 4} )\right | + k, t ∈ {I}_{n};&\mathop{∫ } { dt \over \mathop{sin} t} =\mathop{ log} \left |\mathop{\mathrm{tg}} { t \over 2} \right |, t ∈ {J}_{n} \cr \mathop{∫ } \mathop{\mathrm{tg}} t dt = −\mathop{log} \left |\mathop{cos} t\right | + k, t ∈ {I}_{n}; &\mathop{∫ } \mathop{\mathrm{cotg}} t dt =\mathop{ log} \left |\mathop{sin} t\right |, t ∈ {J}_{n} \cr \mathop{∫ } \mathop{\mathrm{ch}} t dt =\mathop{ \mathrm{sh}} t + k, t ∈ ℝ; &\mathop{∫ } \mathop{\mathrm{sh}} t dt =\mathop{ \mathrm{ch}} t + k, t ∈ ℝ \cr \mathop{∫ } { dt \over {\mathop{\mathrm{ch}} }^{2}t} =\mathop{ \mathrm{th}} t + k, t ∈ ℝ; &\mathop{∫ } { dt \over {\mathop{\mathrm{sh}} }^{2}t} = −\mathop{coth} t + k, t ∈] −∞,0[\text{ ou }t ∈]0,+∞[ \cr \mathop{∫ } { dt \over \mathop{\mathrm{ch}} t} = 2\mathop{\mathrm{arctg}} {e}^{t} + k, t ∈ ℝ; &\mathop{∫} { dt \over \mathop{\mathrm{sh}} t} =\mathop{ log} \left |\mathop{\mathrm{th}} { t \over 2} \right |, t ∈] −∞,0[\text{ ou }t ∈]0,+∞[ \cr \mathop{∫ } \mathop{\mathrm{th}} t dt =\mathop{ log} \mathop{\mathrm{ch}} t + k, t ∈ ℝ; &\mathop{∫ } \mathop{coth} t dt =\mathop{ log} \left |\mathop{\mathrm{sh}} t\right |, t ∈] −∞,0[\text{ ou }t ∈]0,+∞[ \cr \mathop{∫ } {t}^{α} dt ={ {t}^{α+1} \over α+1} + k, (α\mathrel{≠} − 1) &\mathop{∫ } { dt \over t} =\mathop{ log} |t| + k, t ∈] −∞,0[\text{ ou }t ∈]0,+∞[ }

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } { dt \over {t}^{2} + {a}^{2}} & =&{ 1 \over a} \mathop{\mathrm{arctg}} { t \over a} , t ∈ ℝ %& \\ \mathop{∫ } { dt \over {a}^{2} − {t}^{2}} & =&{ 1 \over 2a} \mathop{log} \left |{ t + a \over t − a} \right | ={ 1 \over a} \mathop{arg} \mathop{\mathrm{th}} { t \over a} ,t ∈] −|a|,|a|[\text{ pour la dernière expression } %& \\ \mathop{∫ } { dt \over \sqrt{{a}^{2 } − {t}^{2}}} & =& \mathop{arcsin} { t \over |a|} + k,t ∈] −|a|,|a|[ %& \\ \mathop{∫ } { dt \over \sqrt{{t}^{2 } + {a}^{2}}} & =& \mathop{arg} \mathop{\mathrm{sh}} { t \over |a|} + k =\mathop{ log} (t + \sqrt{{t}^{2 } + {a}^{2}}) + k', t ∈ ℝ %& \\ \mathop{∫ } { dt \over \sqrt{{t}^{2 } − {a}^{2}}} & =& \mathop{log} \left |t + \sqrt{{t}^{2 } − {a}^{2}}\right | + k = \left \{ \cases{ \mathop{arg} \mathop{\mathrm{ch}} { t \over |a|} + k&si t ∈]|a|,+∞[ \cr −\mathop{arg} \mathop{\mathrm{ch}} { |t| \over |a|} + k&si t ∈] −∞,−|a|[ \cr } \right .%&\\ \end{eqnarray*}

9.4.4 Fractions rationnelles

On rappelle le résultat suivant

Théorème 9.4.1 Soit R(X) ={ A(X) \over B(X)} une fraction rationnelle à coefficients complexes, B(X) = b{\mathop{\mathop{∏ }} }_{i=1}^{k}{(X − {a}_{i})}^{{m}_{i}} la décomposition du dénominateur en facteurs du premier degré. Alors R(X) s’écrit de manière unique sous la forme

R(X) = E(X) +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{k}\left ({ {α}_{i,1} \over X − {a}_{i}} + \mathop{…} +{ {α}_{i,{m}_{i}} \over {(X − {a}_{i})}^{{m}_{i}}} \right )

Démonstration E(X) est évidemment le quotient de la division euclidienne de A(X) par B(X).

On montre que si A(X),{B}_{1}(X),{B}_{2}(X) sont trois polynômes tels que {B}_{1}(X) et {B}_{2}(X) sont premiers entre eux, alors il existe des polynômes U(X) et V (X) tels que

{ A(X) \over {B}_{1}(X){B}_{2}(X)} ={ U(X) \over {B}_{1}(X)} +{ V (X) \over {B}_{2}(X)}

en effet puisque {B}_{1} et {B}_{2} sont premiers entre eux, on a ℂ[X] = {B}_{1}(X)ℂ[X] + {B}_{2}(X)ℂ[X], donc A(X) peut s’écrire sous la forme A(X) = U(X){B}_{2}(X) + V (X){B}_{1}(X) et en divisant par {B}_{1}(X){B}_{2}(X) on obtient la décomposition souhaitée. De plus, si un couple (U,V ) convient, il est clair que tout couple (U − {B}_{1}Q,V + {B}_{2}Q) convient. En rempla\c{c}ant U par le reste de sa division euclidienne par {B}_{1}, on peut donc supposer que \mathop{deg} U <\mathop{ deg} {B}_{1} ; on voit alors immédiatement que si \mathop{deg} A <\mathop{ deg} {B}_{1}{B}_{2}, on a aussi \mathop{deg} V <\mathop{ deg} {B}_{2} (l’ensemble des fractions rationnelles dont le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du numérateur est une sous algèbre de ℂ(X)). Une récurrence évidente permet donc d’écrire

{ A(X) \over B(X)} = E(X) +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{k}{ {A}_{i}(X) \over {(X − {a}_{i})}^{{m}_{i}}}

avec \mathop{deg} {A}_{i} < {m}_{i}. On écrit alors la formule de Taylor pour le polynôme {A}_{i} au point {a}_{i}, soit {A}_{i}(X) = {α}_{i,{m}_{i}} + {α}_{i,{m}_{i}−1}(X − {a}_{i}) + \mathop{\mathop{…}} + {α}_{i,1}{(X − {a}_{i})}^{{m}_{i}−1} (car \mathop{deg} {A}_{i} ≤ {m}_{i} − 1) d’où la décomposition souhaitée. L’unicité de la décomposition découle immédiatement du lemme suivant

Lemme 9.4.2 Le polynôme {α}_{i,1}X + \mathop{\mathop{…}} + {α}_{i,{m}_{i}}{X}^{{m}_{i}} est l’unique polynôme P(X) sans terme constant tel que { A(X) \over B(X)} − P({ 1 \over X−{a}_{i}} ) n’admette pas {a}_{i} comme pôle.

Démonstration Il est clair que ce polynôme convient. Si {P}_{1} et {P}_{2} sont deux tels polynômes, alors ({P}_{1} − {P}_{2})({ 1 \over X−{a}_{i}} ) = \left ({ A(X) \over B(X)} − {P}_{2}({ 1 \over X−{a}_{i}} )\right ) −\left ({ A(X) \over B(X)} − {P}_{1}({ 1 \over X−{a}_{i}} )\right ) est la différence de deux fractions rationnelles qui n’admettent pas le pôle {a}_{i} donc c’est une fraction rationnelle qui n’admet pas le pôle {a}_{i}. Ceci n’est possible que si {P}_{1} − {P}_{2} est constant, mais comme {P}_{1} et {P}_{2} sont sans terme constant, on a {P}_{1} = {P}_{2}.

Méthode de calcul E(X) est le quotient de la division euclidienne de A(X) par B(X). En ce qui concerne les parties polaires { {α}_{i,1} \over X−{a}_{i}} + \mathop{\mathop{…}} +{ {α}_{i,{m}_{i}} \over {(X−{a}_{i})}^{{m}_{i}}} on peut procéder de la manière suivante :

Pour chercher une primitive d’une fraction rationnelle { A(X) \over B(X)} dont on connaît la décomposition en éléments simples

R(X) = E(X) +{ \mathop{∑ }}_{i=1}^{k}\left ({ {α}_{i,1} \over X − {a}_{i}} + \mathop{…} +{ {α}_{i,{m}_{i}} \over {(X − {a}_{i})}^{{m}_{i}}} \right )

il suffit donc de savoir chercher une primitive du polynôme E(X) (ce qui est élémentaire) et de chacun des éléments simples { 1 \over {(X−{a}_{i})}^{k}} .

Théorème 9.4.3 (i) Une primitive de t\mathrel{↦}{ 1 \over {(t−a)}^{k}} , k\mathrel{≠}1, est −{ 1 \over k−1} { 1 \over {(t−a)}^{k−1}} (ii) Une primitive de t\mathrel{↦}{ 1 \over t−a} est \mathop{log} |t − a| si a ∈ ℝ, \mathop{log} |t − a| + i\mathop{\mathrm{arctg}} ({ t−α \over β} ) si a = α + iβ ∈ ℂ ∖ ℝ.

Démonstration Le premier point et le deuxième sont évidents ; si a = α + iβ ∈ ℂ ∖ ℝ, on écrit { 1 \over t−a} ={ 1 \over t−α−iβ} ={ t−α \over {(t−α)}^{2}+{β}^{2}} + i{ β \over {(t−α)}^{2}+{β}^{2}} dont une primitive est { 1 \over 2} \mathop{ log} ({(t − α)}^{2} + {β}^{2}) + i\mathop{\mathrm{arctg}} ({ t−α \over β} ).

9.4.5 Fractions rationnelles en sinus et cosinus

On cherche une primitive d’une fonction du type f : t\mathrel{↦}R(\mathop{cos} t,\mathop{sin} t)R est une fraction rationnelle.

Dans le cas où R est un polynôme, la linéarisation de f(t) en utilisant les formules de trigonométrie et en particulier \mathop{cos} t ={ {e}^{it}+{e}^{−it} \over 2} , \mathop{sin} t ={ {e}^{it}−{e}^{−it} \over 2i} permettra de calculer une primitive.

Pour une fraction rationnelle, nous utiliserons à plusieurs reprises le lemme suivant

Lemme 9.4.4 Soit R(X,Y ) une fraction rationnelle à deux variables. Alors il existe deux fractions rationnelles {R}_{1} et {R}_{2} à deux variables telles que R(X,Y ) = {R}_{1}({X}^{2},Y ) + X{R}_{2}({X}^{2},Y )

Démonstration On écrit, en séparant au dénominateur, les puissances paires de X des puissances impaires,

\begin{eqnarray*} R(X,Y )& =&{ A(X,Y ) \over {B}_{1}({X}^{2},Y ) + X{B}_{2}({X}^{2},Y )} %& \\ & =&{ A(X,Y )({B}_{1}({X}^{2},Y ) − X{B}_{2}({X}^{2},Y )) \over {B}_{1}{({X}^{2},Y )}^{2} − {X}^{2}{B}_{2}{({X}^{2},Y )}^{2}} %& \\ & =&{ C(X,Y ) \over D({X}^{2},Y )} ={ {C}_{1}({X}^{2},Y ) + X{C}_{2}({X}^{2},Y ) \over D({X}^{2},Y )} %& \\ & =& {R}_{1}({X}^{2},Y ) + X{R}_{ 2}({X}^{2},Y ) %& \\ \end{eqnarray*}

En appliquant ce lemme, nous constatons que nous pouvons écrire

\begin{eqnarray*} f(t)& =& {R}_{1}({\mathop{cos} }^{2}t,\mathop{sin} t) +\mathop{ cos} t{R}_{ 2}({\mathop{cos} }^{2}t,\mathop{sin} t) %& \\ & =& {R}_{1}(1 −{\mathop{ sin} }^{2}t,\mathop{sin} t) +\mathop{ cos} t {R}_{ 2}(1 −{\mathop{ sin} }^{2}t,\mathop{sin} t)%& \\ & =& {f}_{1}(\mathop{sin} t) +\mathop{ cos} t {f}_{2}(\mathop{sin} t) %& \\ \end{eqnarray*}

{f}_{1} et {f}_{2} sont des fractions rationnelles à une variable. Si {f}_{1} = 0, on a alors

\mathop{∫ } f(t) dt =\mathop{∫ } {f}_{2}(\mathop{sin} t)\mathop{cos} t dt =\mathop{∫ } {f}_{2}(u) du

avec u =\mathop{ sin} t. On est donc ramené à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle, ce que nous savons faire. Or on constate facilement que, puisque \mathop{cos} (π − t) = −\mathop{cos} t et \mathop{sin} (π − t) =\mathop{ sin} t, on a {f}_{1} = 0 \mathrel{⇔} \mathop{∀}t ∈ ℝ, f(π − t) = −f(t).

De même on peut écrire f(t) = {f}_{3}(\mathop{cos} t) +\mathop{ sin} t{f}_{4}(\mathop{cos} t) (en intervertissant le rôle du sinus et du cosinus, ou en changeant t en { π \over 2} − t) et si {f}_{3} = 0, on a \mathop{∫ } f(t) dt =\mathop{∫ } {f}_{4}(\mathop{cos} t)\mathop{sin} t dt = −\mathop{∫ } {f}_{4}(u) du avec u =\mathop{ cos} t. Or comme ci dessus, {f}_{3} = 0 \mathrel{⇔} \mathop{∀}t ∈ ℝ, f(−t) = −f(t).

Mais on peut encore écrire f(t) = R(\mathop{cos} t,\mathop{sin} t) = R(\mathop{cos} t,\mathop{\mathrm{tg}} t\mathop{cos} t) = S(\mathop{cos} t,\mathop{\mathrm{tg}} t) et en appliquant de nouveau le lemme, f(t) = {R}_{3}({\mathop{cos} }^{2}t,\mathop{\mathrm{tg}} t) +\mathop{ cos} t{R}_{4}({\mathop{cos} }^{2}t,\mathop{\mathrm{tg}} t). Mais {\mathop{cos} }^{2}t ={ 1 \over 1+{\mathop{\mathrm{tg}} }^{2}t} ce qui permet d’écrire f(t) = {f}_{5}(\mathop{\mathrm{tg}} t) +\mathop{ cos} t{f}_{6}(\mathop{\mathrm{tg}} t). Alors, si {f}_{6} = 0, le changement de variables u =\mathop{ \mathrm{tg}} t pour t ∈] −{ π \over 2} + nπ,{ π \over 2} + nπ[, conduira à \mathop{∫ } f(t) dt =\mathop{∫ } {f}_{5}(\mathop{\mathrm{tg}} t) dt =\mathop{∫ } { {f}_{4}(u) \over 1+{u}^{2}} du, c’est-à-dire encore à une primitive de fraction rationnelle. Or {f}_{6} = 0 \mathrel{⇔} \mathop{∀}t ∈ ℝ, f(t + π) = f(t).

Dans tous les autres cas, le changement de variable u =\mathop{ \mathrm{tg}} { t \over 2} , t ∈](2n − 1)π,(2n + 1)π[ conduit à

\mathop{∫ } R(\mathop{cos} t,\mathop{sin} t) dt =\mathop{∫ } R({ 1 − {u}^{2} \over 1 + {u}^{2}} ,{ 2u \over 1 + {u}^{2}} ){ 2du \over 1 + {u}^{2}}

c’est-à-dire encore à une primitive de fraction rationnelle.

On déduit de cette étude que

Proposition 9.4.5 Soit f(t) une fraction rationnelle en \mathop{sin} t et \mathop{cos} t

  • (i) si \mathop{∀}t ∈ ℝ, f(π − t) = −f(t), le changement de variable u =\mathop{ sin} t conduit à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle
  • (ii) si \mathop{∀}t ∈ ℝ, f(−t) = −f(t), le changement de variable u =\mathop{ cos} t conduit à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle
  • (iii) si \mathop{∀}t ∈ ℝ, f(t + π) = f(t), le changement de variable u =\mathop{ \mathrm{tg}} t, t ∈] −{ π \over 2} + nπ,{ π \over 2} + nπ[, conduit à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle
  • (iv) dans tous les autres cas, le changement de variable u =\mathop{ \mathrm{tg}} { t \over 2} , t ∈](2n − 1)π,(2n + 1)π[, conduit à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle.

Remarque 9.4.2 Les règles (i),(ii) et (iii) doivent toujours être utilisées de préférence à la règle (iv) car elles conduisent à une fraction rationnelle dont les degrés des numérateurs et dénominateurs sont plus petits que dans la règle (iv). Le lecteur prendra garde à ne pas appliquer les règles (iii) et (iv) en dehors de leurs intervalles de validité respectifs (t ∈] −{ π \over 2} + nπ,{ π \over 2} + nπ[ ou t ∈](2n − 1)π,(2n + 1)π[) sous peine d’erreurs difficilement décelables.

9.4.6 Fractions rationnelles en sinus et cosinus hyperboliques

On cherche une primitive d’une fonction du type f : t\mathrel{↦}R(\mathop{\mathrm{ch}} t,\mathop{\mathrm{sh}} t)R est une fraction rationnelle.

Une première méthode est de rechercher le changement de variable que l’on ferait pour calculer une primitive de g(t) = R(\mathop{cos} t,\mathop{sin} t) (c’est-à-dire en transformant toutes les fonctions hyperboliques en leurs analogues circulaires) et de faire le changement de variable analogue u =\mathop{ \mathrm{sh}} t, u =\mathop{ \mathrm{ch}} t, u =\mathop{ \mathrm{th}} t ou u =\mathop{ \mathrm{th}} { t \over 2} .

Une deuxième méthode est de remarquer que f(t) est de la forme S({e}^{t})S est une fraction rationnelle à une variable. Le changement de variable u = {e}^{t} conduit alors à \mathop{∫ } f(t) dt =\mathop{∫ } S({e}^{t}) dt =\mathop{∫ } { S(u) \over u} du c’est-à-dire encore à une primitive de fraction rationnelle.

9.4.7 Intégrales abéliennes

On cherche une primitive d’une fonction du type g : x\mathrel{↦}R(x,f(x))R est une fraction rationnelle et f une fonction telle que la courbe d’équation y = f(x) puisse être paramétrée par x = φ(t),y = ψ(t)φ et ψ sont des fractions rationnelles (où éventuellement des fonctions trigonométriques).

On a alors \mathop{∫ } g(x) dx =\mathop{∫ } R(x,f(x)) dx =\mathop{∫ } R(φ(t),ψ(t))φ'(t) dt par le changement de variable x = φ(t) ce qui conduit donc à une primitive de fractions rationnelles ; le paramètre t doit varier de telle sorte que y = f(x) \mathrel{⇔} x = φ(t), y = ψ(t)

Le cas le plus important est le cas des intégrales abéliennes où f est une fonction algébrique ; autrement dit où la courbe y = f(x) est une partie d’une courbe algébrique Γ d’équation P(x,y) = 0P est un polynôme à deux variables. Une telle courbe, paramétrable par deux fractions rationnelles x = φ(t),y = ψ(t) est appelée une courbe unicursale.

Remarque 9.4.3 L’exemple le plus simple de courbe algébrique non unicursale est une courbe elliptique d’équation {y}^{2} = {x}^{3} + px + q ; c’est ainsi que le calcul des primitives du type \mathop{∫ } R(x,\sqrt{{x}^{3 } + px + q}) dx ne relèvera pas en général de la théorie précédente.

Nous allons étudier tout particulièrement deux exemples de fonctions algébriques f.

Premier exemple : f(x) = \root{n{ }\of{ax+b \over cx+d} } avec ad − bc\mathrel{≠}0. La courbe Γ est alors la courbe (cx + d){y}^{n} − (ax + b) = 0. On peut la paramétrer en posant y = t auquel cas on obtient x ={ d{t}^{n}−b \over −c{t}^{n}+a}  ; d’où dx = n{t}^{n−1}{ ad−bc \over {(c{t}^{n}−a)}^{2}} . On obtient donc

\mathop{∫ } R(x,\root{n{ }\of{ax + b \over cx + d} }) dx =\mathop{∫ } R({ d{t}^{n} − b \over −c{t}^{n} + a} ,t)n{t}^{n−1}{ ad − bc \over {(c{t}^{n} − a)}^{2}} dt

en posant t = \root{n{ }\of{ax+b \over cx+d} } ce qui conduit à la recherche d’une primitive de fraction rationnelle.

Deuxième exemple : f(x) = \sqrt{a{x}^{2 } + bx + c} avec a\mathrel{≠}0 (sinon on retombe sur l’exemple précédent avec n = 2, c = 0 et d = 1). La courbe Γ est alors la courbe d’équation {y}^{2} = a{x}^{2} + bx + c, il s’agit soit d’une ellipse (si a < 0) soit d’une hyperbole (si a > 0). Bien entendu on doit se limiter à la portion de cette conique située dans le demi plan supérieur : y ≥ 0. Introduisons Δ = {b}^{2} − 4ac que l’on peut manifestement supposer non nul, car sinon a{x}^{2} + bx + c est un carré parfait.

Premier cas : a < 0 ; on peut se limiter cas où Δ > 0 car sinon \mathop{∀}x ∈ ℝ, a{x}^{2} + bx + c < 0 et la fonction n’est jamais définie. On écrit a{x}^{2} + bx + c = a(x − α)(x − β) = a({(x − p)}^{2} − {q}^{2}) en introduisant d’une part les racines α et β du trinome, d’autre part sa forme canonique. La fonction f est définie sur [α,β].

Une première manière de paramétrer Γ est d’écrire son équation sous la forme {(x − p)}^{2} +{ {y}^{2} \over |a|} = {q}^{2} ce qui conduit au paramétrage x − p = q\mathop{cos} t, y = q\sqrt{|a|}\mathop{sin} t et donc à \mathop{∫ } R(x,\sqrt{a{x}^{2 } + bx + c}) dx =\mathop{∫ } R(p + q\mathop{cos} t,q\sqrt{|a|}\mathop{sin} t)(−q\mathop{sin} t) dt, fraction rationnelle en \mathop{sin} et \mathop{cos}  ; le paramètre t varie dans [0,π] de telle manière que y ≥ 0.

Une deuxième manière est de couper l’ellipse Γ par une droite variable passant par un point de l’ellipse, par exemple le point (α,0). On pose donc y = t(x − α). Ceci conduit à {y}^{2} = {t}^{2}{(x − α)}^{2} = a(x − α)(x − β), soit {t}^{2}(x − α) = a(x − β), soit x ={ α{t}^{2}−aβ \over {t}^{2}−a} , puis y = t(x − α) ={ at(β−α) \over {t}^{2}−a}  ; on obtient ainsi un paramétrage unicursal de Γ et on aboutit à une recherche de primitive de fraction rationnelle ; le paramètre t varie de telle sorte que y ≥ 0, soit t ≥ 0.

Deuxième cas : a > 0, Δ < 0. La fonction f(x) = \sqrt{a{x}^{2 } + bx + c} est définie sur . On écrit a{x}^{2} + bx + c = a({(x − p)}^{2} + {q}^{2}) en introduisant sa forme canonique.

Une première manière de paramétrer Γ est d’écrire son équation sous la forme { {y}^{2} \over a} − {(x − p)}^{2} = {q}^{2} ce qui conduit au paramétrage x − p = q\mathop{\mathrm{sh}} t, y = q\sqrt{a}\mathop{\mathrm{ch}} t et donc à \mathop{∫ } R(x,\sqrt{a{x}^{2 } + bx + c}) dx =\mathop{∫ } R(p + q\mathop{\mathrm{sh}} t,q\sqrt{a}\mathop{\mathrm{ch}} t)(q\mathop{\mathrm{ch}} t) dt, fraction rationnelle en \mathop{\mathrm{sh}} et \mathop{\mathrm{ch}}  ; le paramètre t varie dans .

Une deuxième manière est de couper l’hyperbole Γ par une droite variable parallèle à l’une de ses asymptotes (de telles droites ne coupant Γ qu’en un seul point), par exemple y = \sqrt{a}x + t. On a alors {y}^{2} = {(\sqrt{a}x + t)}^{2} = a{x}^{2} + bx + c soit 2tx\sqrt{a} + {t}^{2} = bx + c soit encore x ={ c−{t}^{2} \over 2t\sqrt{a}−b} puis y = \sqrt{a}x + t = \mathop{\mathop{…}} ; on aboutit à une recherche de primitive de fraction rationnelle ; le paramètre t varie de telle sorte que y ≥ 0.

Troisième cas : a > 0, Δ > 0. On écrit a{x}^{2} + bx + c = a(x − α)(x − β) = a({(x − p)}^{2} − {q}^{2}) en introduisant d’une part les racines α et β du trinome, d’autre part sa forme dite canonique. La fonction f est définie sur ] −∞,α] et sur [β,+∞[.

Une première manière de paramétrer Γ est d’écrire son équation sous la forme {(x − p)}^{2} −{ {y}^{2} \over a} = {q}^{2} ce qui conduit au paramétrage x − p = qε\mathop{\mathrm{ch}} t, y = q\sqrt{a}\mathop{\mathrm{sh}} t, avec ε = ±1 =\mathop{ sgn}(x − p), et donc à \mathop{∫ } R(x,\sqrt{a{x}^{2 } + bx + c}) dx =\mathop{∫ } R(p + qε\mathop{\mathrm{ch}} t,q\sqrt{a}\mathop{\mathrm{sh}} t)(εq\mathop{\mathrm{sh}} t) dt, fraction rationnelle en \mathop{\mathrm{sh}} et \mathop{\mathrm{ch}}  ; le paramètre t varie dans [0,+∞[ de telle manière que y ≥ 0.

Une deuxième manière est de couper l’hyperbole Γ par une droite variable passant par un point de l’hyperbole, par exemple le point (α,0). On pose donc y = t(x − α). Ceci conduit à {y}^{2} = {t}^{2}{(x − α)}^{2} = a(x − α)(x − β), soit {t}^{2}(x − α) = a(x − β), soit x ={ α{t}^{2}−aβ \over {t}^{2}−a} , puis y = t(x − α) ={ at(β−α) \over {t}^{2}−a}  ; on obtient ainsi un paramétrage unicursal de Γ et on aboutit à une recherche de primitive de fraction rationnelle ; le paramètre t varie de telle sorte que y ≥ 0.

Une troisième manière est de couper l’hyperbole Γ par une droite variable parallèle à l’une de ses asymptotes (de telles droites ne coupant Γ qu’en un seul point), par exemple y = \sqrt{a}x + t. On a alors {y}^{2} = {(\sqrt{a}x + t)}^{2} = a{x}^{2} + bx + c soit 2tx\sqrt{a} + {t}^{2} = bx + c soit encore x ={ c−{t}^{2} \over 2t\sqrt{a}−b} puis y = \sqrt{a}x + t = \mathop{\mathop{…}} ; on aboutit à une recherche de primitive de fraction rationnelle ; le paramètre t varie de telle sorte que y ≥ 0.