9.3 Primitives et intégrales

9.3.1 Continuité et dérivabilité par rapport à une borne

Théorème 9.3.1 Soit I un intervalle de , f : I → E réglée, a ∈ I. Pour t ∈ I, on pose F(t) ={\mathop{∫ } }_{a}^{t}f. Alors l’application F est continue sur I ; elle est dérivable en tout point {t}_{0} où f est continue et on a alors F'({t}_{0}) = f({t}_{0}).

Démonstration Soit {t}_{0} ∈ I. Supposons tout d’abord que {t}_{0} n’est pas une extrémité de I et soit η > 0 tel que [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η] ⊂ I. Alors f est réglée sur [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η] donc bornée par une constante M ≥ 0. Pour t ∈ [{t}_{0} − η,{t}_{0} + η], on a alors \|F(t) − F({t}_{0})\| =\|{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}f\| ≤ M|t − {t}_{0}| ce qui montre que F est continue au point {t}_{0}. On montre le résultat d’une manière similaire si {t}_{0} est une extrémité de I en introduisant selon le cas [{t}_{0},{t}_{0} + η] ou [{t}_{0} − η,{t}_{0}].

Supposons maintenant que f est continue au point {t}_{0} ; soit ε > 0 et soit η > 0 tel que |t − {t}_{0}| < η ⇒\| f(t) − f({t}_{0})\| ≤ ε. Pour |t − {t}_{0}| < η, on a

\begin{eqnarray*} \|F(t) − F({t}_{0}) − (t − {t}_{0})f({t}_{0})\| =\|{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}f − (t − {t}_{ 0})f({t}_{0})\|&&%& \\ & =& \|{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}(f − f({t}_{ 0}))\| ≤\mathop{ sgn}(t − {t}_{0}){\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{t}\|f − f({t}_{ 0})\|%& \\ & ≤& ε|t − {t}_{0}| %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui peut encore s’écrire \|{ F(t)−F({t}_{0}) \over t−{t}_{0}} − f({t}_{0})\| ≤ ε. Ceci montre que F est dérivable au point {t}_{0} et que F'({t}_{0}) = f({t}_{0}).

Remarque 9.3.1 De la même fa\c{c}on, on montre que la continuité à gauche de f implique la dérivabilité à gauche de F ; le même résultat est évidemment encore valable à droite.

9.3.2 Primitives

Définition 9.3.1 Soit f : I → E une application ; on dit que F : I → E est une primitive de f si F est dérivable et F' = f.

En remarquant que F' = G' \mathrel{⇔} F − G est constante sur l’intervalle I, on obtient immédiatement

Proposition 9.3.2 Si f : I → E admet une primitive F, elle en admet une infinité qui sont exactement les t\mathrel{↦}F(t) + k où k ∈ E.

Remarque 9.3.2 On a vu que si F' admet une limite en un point {t}_{0}, alors nécessairement F' était continue au point {t}_{0} ; ceci permet d’exhiber facilement une fonction qui n’admet pas de primitive (toute fonction qui admet une limite en un point sans que ce soit la valeur de cette fonction en ce point) ; ceci montre d’autre part qu’une fonction réglée qui admet une primitive est nécessairement continue, puisqu’elle doit admettre en tout point une limite à gauche et une limite à droite, qui ne peuvent être que la valeur de la fonction en ce point (étudier séparément ce qui se passe à gauche et à droite du point).

Théorème 9.3.3 Soit f : I → E une fonction continue ; alors f admet des primitives sur I. Si F est une telle primitive, on a \mathop{∀}a,b ∈ I, {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f = F(b) − F(a) ={ \left [F(t)\right ]}_{a}^{b}.

Démonstration Soit α ∈ I et posons G(t) ={\mathop{∫ } }_{α}^{t}f ; puisque f est continue, G est dérivable et G' = f. Donc G est une primitive de f. Si F est une autre primitive de f, on a F = G + k et donc

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ={\mathop{∫ } }_{α}^{b}f −{\mathop{∫ } }_{α}^{a}f = G(b) − G(a) = F(b) − F(a)

Remarque 9.3.3 Ce dernier résultat est un des moyens les plus simples et les plus généraux de calcul d’intégrales ; il ramène le calcul d’une intégrale à la recherche d’une primitive de la fonction f.

9.3.3 Changement de variable, intégration par parties

En ce qui concerne le changement de variable, on est confronté à un choix : soit autoriser des fonctions très générales (des fonctions réglées) et se limiter à des changements de variables très particuliers (mais néanmoins fort utiles) ; soit restreindre le champ d’application aux fonctions continues et autoriser des changements de variables plus généraux (par exemple de classe {C}^{1}).

Le premier théorème se montre trivialement pour les fonctions en escalier et ensuite par un simple passage à la limite pour les fonctions réglées sur un segment.

Théorème 9.3.4 Soit f : [a,b] → E une fonction réglée. (i) Soit T ∈ ℝ et g : [a − T,b − T] → E, t\mathrel{↦}f(t + T). Alors g est réglée et {\mathop{∫ } }_{a−T}^{b−T}g ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f. (ii) Soit λ ∈ {ℝ}^{∗} et soit g : t\mathrel{↦}f(λt) définie sur [{ a \over λ} ,{ b \over λ} ] si λ > 0 et sur [{ b \over λ} ,{ a \over λ} ] si λ < 0. Alors g est réglée et (avec la convention de Chasles) {\mathop{∫ } }_{a∕λ}^{b∕λ}g ={ 1 \over λ} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f.

Théorème 9.3.5 (changement de variables). Soit f : I → E continue et soit φ : J → I de classe {C}^{1} (où I et J sont deux intervalles de ). Alors,

\mathop{∀}a,b ∈ J, {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ∘ φ φ' ={\mathop{∫ } }_{φ(a)}^{φ(b)}f

Démonstration Soit F une primitive de f sur I, alors (F ∘ φ)' = f ∘ φ φ' et donc F ∘ φ est une primitive de f ∘ φ φ' sur J ; on a donc {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ∘ φ φ' = F ∘ φ(b) − F ∘ φ(a) ={\mathop{∫ } }_{φ(a)}^{φ(b)}f.

Remarque 9.3.4 Notation On introduira la notation différentielle {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t) dtt est une variable muette. De cette manière, faire le changement de variables t = φ(u) dans l’intégrale {\mathop{∫ } }_{φ(a)}^{φ(b)}f(t) dt c’est faire varier u de a à b (pour que t varie de φ(a) à φ(b)) et remplacer f(t) par (f ∘ φ)(u) et dt par φ'(u) du si bien que la formule ci dessus s’écrit {\mathop{∫ } }_{a}^{b}(f ∘ φ)(u)φ'(u) du ={\mathop{∫ } }_{φ(a)}^{φ(b)}f(t) dt. De même, faire le changement de variable inverse t = φ(u) dans l’intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ∘ φ(u)φ'(u) du c’est faire varier t de φ(a) à φ(b) (puisque u varie de a à b), remplacer f(φ(u)) par f(t) et φ'(u) du par dt.

Exemple 9.3.1 Les deux sens du théorème de changement de variables sont utiles comme nous allons le voir sur deux exemples : {\mathop{∫ } }_{0}^{x}t\mathop{sin} ({t}^{2}) dt ={ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{0}^{{x}^{2} }\mathop{ sin} (u) du ={ 1−\mathop{cos} {x}^{2} \over 2} en posant u = {t}^{2} ; de même {\mathop{∫ } }_{0}^{1}\sqrt{1 − {x}^{2}} dx ={\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}\sqrt{1 −{\mathop{ sin} }^{2 } t}\mathop{cos} t dt ={\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}{\mathop{ cos} }^{2}t dt ={\mathop{∫ } }_{0}^{π∕2}{ 1+\mathop{cos} (2t) \over 2} dt ={ π \over 4} en posant x =\mathop{ cos} t.

Théorème 9.3.6 (intégration par parties). Soit f,g : [a,b] → ℂ de classe {C}^{1} ; alors

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(t)g'(t) dt ={ \left [f(t)g(t)\right ]}_{ a}^{b} −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f'(t)g(t) dt

Démonstration Il suffit de remarquer que fg est une primitive de la fonction continue f'g + fg' et que en conséquence {\mathop{∫ } }_{a}^{b}(fg' + f'g) ={ \left [f(t)g(t)\right ]}_{a}^{b}.

Remarque 9.3.5 Le résultat s’étend à n’importe quelle application bilinéaire continue φ (produit scalaire, produit vectoriel, produit matriciel) et on obtient la formule

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ(f(t),g'(t)) dt ={ \left [φ(f(t),g(t))\right ]}_{ a}^{b} −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ(f'(t),g(t)) dt

avec la même démonstration.

Corollaire 9.3.7 (formule de Taylor avec reste intégral). Soit f : I → E de classe {C}^{n+1} et a ∈ I. Alors \mathop{∀}b ∈ I,

f(b) = f(a) +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(b − a)}^{k} +{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{a}^{b}{ {(b − t)}^{n} \over n!} {f}^{(n+1)}(t) dt

Démonstration Par récurrence sur n. Si n = 0, il s’agit simplement de la formule f(b) = f(a) +{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f'(t) dt pour f de classe {C}^{1}. De plus une intégration par parties (en intégrant { {(b−t)}^{n−1} \over (n−1)!} et en dérivant {f}^{(n)}(t)) donne

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ {(b − t)}^{n−1} \over (n − 1)!} {f}^{(n)}(t) dt&& %& \\ & =&{ \left [−{ {(b − t)}^{n} \over n!} {f}^{(n)}(t)\right ]}_{ a}^{b} +{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ {(b − t)}^{n} \over n!} {f}^{(n+1)}(t) dt%& \\ & =&{ {f}^{(n)}(a) \over n!} {(b − a)}^{n} +{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ {(b − t)}^{n} \over n!} {f}^{(n+1)}(t) dt %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui permet de passer de n − 1 à n.

9.3.4 Deuxième formule de la moyenne

Théorème 9.3.8 (deuxième formule de la moyenne). Soit f,g : [a,b] → ℝ. On suppose que f est de classe {C}^{1}, positive et décroissante et que g est continue. Alors, il existe c ∈ [a,b] tel que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg = f(a){\mathop{∫ } }_{a}^{c}g.

Démonstration Posons G(x) ={\mathop{∫ } }_{a}^{x}g. On sait que G est continue. L’image de [a,b] par G est à la fois connexe et compact dans , c’est donc un segment de . Soit G([a,b]) = [m,M]. On a \mathop{∀}t ∈ [a,b],m ≤ G(t) ≤ M. Supposons démontré que mf(a) ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg ≤ Mf(a). Alors soit f(a) = 0, auquel cas {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg = 0 et n’importe quel c convient, soit f(a)\mathrel{≠}0 et donc { 1 \over f(a)} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg ∈ [m,M] et donc \mathop{∃}c ∈ [a,b],{ 1 \over f(a)} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg = G(c), ce que l’on voulait démontrer. Nous allons donc montrer que mf(a) ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg ≤ Mf(a).

On peut faire une intégration par parties et on a (en tenant compte de G(a) = 0)

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg& =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fG' ={ \left [f(t)G(t)\right ]}_{ a}^{b} −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f'(t)G(t) dt%& \\ & =& f(b)G(b) +{\mathop{∫ } }_{a}^{b}(−f'(t))G(t) dt %& \\ \end{eqnarray*}

Comme − f' est positive, on peut appliquer la première formule de la moyenne et il existe d ∈ [a,b] tel que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}(−f'(t))G(t) dt = G(d){\mathop{∫ } }_{a}^{b}(−f'(t)) dt = (f(a) − f(b))G(d). On a donc {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg = f(b)G(b) + (f(a) − f(b))G(d). Mais m ≤ G(b) ≤ M, m ≤ G(d) ≤ M, f(b) ≥ 0 et f(a) − f(b) ≥ 0. On a donc

mf(a) = f(b)m + (f(a) − f(b))m ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg ≤ f(b)M + (f(a) − f(b))M = Mf(a)

ce qui achève la démonstration.