9.2 Intégrale des fonctions réglées sur un segment

9.2.1 Intégrale des applications en escalier

Théorème 9.2.1 Soit f : [a,b] → E en escalier et σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤n} une subdivision adaptée à f ; alors la somme {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}({a}_{i} − {a}_{i−1}){f}_{i} (où l’on désigne par {f}_{i} la constante telle que \mathop{∀}t ∈]{a}_{i−1},{a}_{i}[, f(t) = {f}_{i}) est indépendante du choix de σ ; on la note {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f et on l’appelle l’intégrale sur [a,b] de la fonction en escalier f.

Démonstration Soit σ' une subdivision adaptée à f telle que \mathop{\mathrm{Pt}}(σ') =\mathop{ \mathrm{Pt}}(σ) ∪\{c\}. Alors, si c ∈]{a}_{k−1},{a}_{k}], la somme relative à σ' est

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{i=1}^{k−1}({a}_{ i} − {a}_{i−1}){f}_{i} + (c − {a}_{k−1}){f}_{k} + ({a}_{k} − c){f}_{k} +{ \mathop{∑ }}_{i=k+1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1})&&%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{k−1}({a}_{ i} − {a}_{i−1}){f}_{i} + ({a}_{k} − {a}_{k−1}){f}_{i} +{ \mathop{∑ }}_{i=k+1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1})%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1}){f}_{i} %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui est encore la somme relative à σ ; une récurrence évidente montre que si σ' est plus fine que σ (autrement dit si on a ajouté un nombre fini de points à σ), la somme relative à σ' est égale à celle relative à σ. Maintenant si σ et σ' sont deux subdivisions adaptées à f, la subdivision σ ∪ σ' est encore adaptée à f et elle est plus fine que σ et que σ' ; la somme relative à σ' est donc égale à celle relative à σ ∪ σ' et donc à celle relative à σ.

Les propriétés de l’intégrale des fonctions en escalier sont tout à fait élémentaires à partir de la définition. On obtient

Théorème 9.2.2 (i) L’application f\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f est linéaire de l’espace vectoriel  des applications en escalier de [a,b] dans E dans l’espace vectoriel  E. (ii) Soit u : E → F linéaire et f : [a,b] → E en escalier ; alors u ∘ f : [a,b] → F est en escalier et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}u ∘ f = u\left ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\right ) (iii) Soit f : [a,b] → E en escalier ; alors \|f\| : [a,b] → ℝ, t\mathrel{↦}\|f(t)\| est en escalier et \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\| ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f\| (iv) Soit f : [a,b] → E en escalier, alors \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\| ≤ (b − a)\|f\|∞. (v) Si c ∈]a,b[ et si f : [a,b] → E est en escalier, alors {f}_{{|}_{[a,c]}} et {f}_{{|}_{[c,b]}} sont en escalier et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{c}f +{\mathop{∫ } }_{c}^{b}f.

Démonstration En prenant une subdivision adaptée à la fois à f et à g, on a {\mathop{∫ } }_{a}^{b}(αf + βg) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}({a}_{i} − {a}_{i−1})(α{f}_{i} + β{g}_{i}) = α{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f + β{\mathop{∫ } }_{a}^{b}g. Si σ est adaptée à f elle est aussi adaptée à u ∘ f et à \|f\| et on a {\mathop{∫ } }_{a}^{b}u ∘ f ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}({a}_{i} − {a}_{i−1})u({f}_{i}) = u({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f) et \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\| =\|{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}({a}_{i} − {a}_{i−1}){f}_{i}\| ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}({a}_{i} − {a}_{i−1})\|{f}_{i}\| ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f\|. Pour montrer (iv) on écrit

\begin{eqnarray*} \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\|& =& \|{\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1}){f}_{i}\| ≤{\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1})\|{f}_{i}\|%& \\ & ≤& \|f\|∞{\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1}) = (b − a)\|f\|∞ %& \\ \end{eqnarray*}

En ce qui concerne (v), il suffit d’introduire une subdivision σ adaptée à f, de lui ajouter éventuellement le point c pour obtenir encore une subdivision adaptée à f ; on coupe alors la somme en deux au point c.

9.2.2 Intégrale des fonctions réglées

On suppose désormais que E est un espace vectoriel normé complet

Théorème 9.2.3 Soit f : [a,b] → ℝ une fonction réglée et {({φ}_{n})}_{n∈ℕ} une suite de fonctions en escalier telles que \mathop{lim}\|f − {φ}_{n}\|∞ = 0. Alors la suite {\left ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{n}\right )}_{n∈ℕ} converge ; sa limite est indépendante du choix de la suite {({φ}_{n})}_{n∈ℕ} ; on l’appelle l’intégrale de f sur le segment [a,b] et on la note {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f.

Démonstration Soit ε > 0 et N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\| f − {φ}_{n}\|∞ <{ ε \over 2(b−a)} . Pour p,q ≥ N on a \|{φ}_{p} − {φ}_{q}\|∞ ≤\| {φ}_{p} − f\|∞ +\| f − {φ}_{q}\|∞ <{ ε \over b−a} et donc \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{p} −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{q}\| =\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}({φ}_{p} − {φ}_{q})\| ≤ (b − a)\|{φ}_{p} − {φ}_{q}\|∞ < ε. La suite ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{n}) vérifie donc le critère de Cauchy, donc elle converge (E étant complet). Soit ({ψ}_{n}) une autre suite en escalier telle que \mathop{lim}\|f − {ψ}_{n}\|∞ = 0. Comme \|{φ}_{n} − {ψ}_{n}\|∞ ≤\| {φ}_{n} − f\|∞ +\| f − {ψ}_{n}\|∞, on a \mathop{lim}\|{φ}_{n} − {ψ}_{n}\|∞ = 0 et la majoration \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{n} −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ψ}_{n}\| =\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}({φ}_{n} − {ψ}_{n})\| ≤ (b − a)\|{φ}_{n} − {ψ}_{n}\|∞ montre que les deux suites ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{n}) et ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ψ}_{n}) (dont on sait déjà qu’elles convergent) ont la même limite.

Remarque 9.2.1 La méthode ci dessus est la méthode classique de prolongement d’une application uniformément continue (f\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f) d’un sous-ensemble (celui des fonctions en escalier) à son adhérence (les fonctions réglées). Remarquons également que si f est une fonction en escalier, on peut prendre pour tout n , {φ}_{n} = f et que donc son intégrale en tant que fonction en escalier est la même que son intégrale en tant que fonction réglée. En particulier l’intégrale d’une constante m est m(b − a).

Théorème 9.2.4 (i) L’application f\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f est linéaire de l’espace vectoriel  des applications réglées de [a,b] dans E dans l’espace vectoriel  E. (ii) Soit u : E → F linéaire continue et f : [a,b] → E réglée ; alors u ∘ f : [a,b] → F est réglée et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}u ∘ f = u\left ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\right ) (iii) Soit f : [a,b] → E réglée ; alors \|f\| : [a,b] → ℝ, t\mathrel{↦}\|f(t)\| est réglée et \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\| ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f\| (iv) Si c ∈]a,b[ et si f : [a,b] → E est réglée, alors {f}_{{|}_{[a,c]}} et {f}_{{|}_{[c,b]}} sont réglées et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{c}f +{\mathop{∫ } }_{c}^{b}f.

Démonstration (i) Soit f et g de [a,b] dans E réglées, soit ({φ}_{n}) et ({ψ}_{n}) deux suites de fonctions en escalier telles que \mathop{lim}\|f − {φ}_{n}\|∞ = 0 et \mathop{lim}\|g − {ψ}_{n}\|∞ = 0. Si α,β ∈ K, on a \|(αf + βg) − (α{φ}_{n} + β{ψ}_{n})\|∞ ≤|α|\|f − {φ}_{n}\|∞ + |β|\|g − {ψ}_{n}\|∞ et donc \mathop{lim}\|(αf + βg) − (α{φ}_{n} + β{ψ}_{n})\|∞ = 0. On en déduit que αf + βg est encore réglée et que

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}(αf + βg)& =& \mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}(α{φ}_{ n} + β{ψ}_{n}) %& \\ & =& α\mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{ n} + β\mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ψ}_{ n}%& \\ & =& α{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f + β{\mathop{∫ } }_{a}^{b}g %& \\ \end{eqnarray*}

(ii) Soit u : E → F linéaire continue et f : [a,b] → E réglée, soit ({φ}_{n}) une suite de fonctions en escalier telle que \mathop{lim}\|f − {φ}_{n}\|∞ = 0. Alors u ∘ {φ}_{n} est en escalier (toute subdivision adaptée à {φ}_{n} l’est encore à u ∘ {φ}_{n}) et \|u ∘ f(t) − u ∘ {φ}_{n}(t)\| =\| u(f(t) − {φ}_{n}(t))\| ≤\| u\|\,\|f(t) − {φ}_{n}(t)\| d’où \|u ∘ f − u ∘ {φ}_{n}\|∞ ≤\| u\|\,\|f − {φ}_{n}\|∞. Ceci montre que u ∘ f est encore réglée et on a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}u ∘ f& =& \mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}u ∘ {φ}_{ n} =\mathop{ lim}u({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{ n})%& \\ & =& u(\mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{ n}) = u({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f) %& \\ \end{eqnarray*}

puisque u est continue et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}u ∘ {φ}_{n} = u({\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{n}) (intégrale des fonctions en escalier).

(iii) La démonstration est similaire en remarquant que \|{φ}_{n}\| est encore en escalier et que |\|f(t)\| −\| {φ}_{n}(t)\||≤\| f(t) − {φ}_{n}(t)\|, soit \|\|f\| −\| {φ}_{n}\|\|∞ ≤\| f − {φ}_{n}\|∞. On a donc \|f\| réglée et

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f\|& =& \mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|{φ}_{ n}\| ≥\mathop{ lim}\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{ n}\|%& \\ & =& \|\mathop{lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{ n}\| =\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\| %& \\ \end{eqnarray*}

puisque x\mathrel{↦}\|x\| est continue et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|{φ}_{n}\| ≥\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}{φ}_{n}\| (intégrale des fonctions en escalier).

(iv) On remarque ici que {({φ}_{n})}_{{|}_{[a,c]}} et {({φ}_{n})}_{{|}_{[c,b]}} sont encore en escalier et que \|{f}_{{|}_{[a,c]}} − {({φ}_{n})}_{{|}_{[a,c]}}\|∞ ≤\| f − {φ}_{n}\|∞ et de même sur [c,b]. On a donc

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f& =& \mathop{lim}({\mathop{∫ } }_{a}^{c}{φ}_{ n} +{\mathop{∫ } }_{c}^{b}{φ}_{ n}) =\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{a}^{c}{φ}_{ n} +\mathop{ lim}{\mathop{∫ } }_{c}^{b}{φ}_{ n}%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{a}^{c}f +{\mathop{∫ } }_{c}^{b}f %& \\ \end{eqnarray*}

puisque l’existence de toutes les limites est garantie.

La propriété (iii) a un certain nombre de conséquences extrêmement importantes

Théorème 9.2.5 (i) Soit f : [a,b] → ℝ réglée positive ; alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≥ 0. (ii) Soit f et g des applications réglées de [a,b] dans telles que f ≤ g. Alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}g (iii) Soit f : [a,b] → E réglée ; alors \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\| ≤ (b − a)\|f\|∞.

Démonstration (i) On a d’après l’assertion (iii) du théorème précédent \left |{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\right | ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}|f| ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ; ceci exige {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≥ 0.

(ii) La fonction g − f est réglée positive, donc {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}(g − f) ≥ 0

(iii) On a \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f\| ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f\| ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f\|∞ = (b − a)\|f\|∞ puisque \mathop{∀}t, \|f(t)\| ≤\| f\|∞.

En fait le résultat (i) peut être précisé de la manière suivante

Théorème 9.2.6 Soit f : [a,b] → ℝ réglée positive ; on suppose qu’il existe {t}_{0} ∈ [a,b] tel que f({t}_{0})\mathrel{≠}0 et f continue au point {t}_{0}. Alors {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f > 0.

Démonstration Supposons par exemple {t}_{0}\mathrel{≠}b. On peut alors trouver η > 0 tel que {t}_{0} + η < b et tel que \mathop{∀}t ∈ [{t}_{0},{t}_{0} + η], |f(t) − f({t}_{0})| <{ f({t}_{0}) \over 2} , soit encore f(t) >{ f({t}_{0}) \over 2} . Comme {\mathop{∫ } }_{a}^{{t}_{0}}f ≥ 0 et {\mathop{∫ } }_{{t}_{0}+η}^{b}f ≥ 0, on a

{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≥{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{{t}_{0}+η}f ≥{\mathop{∫ } }_{{t}_{0}}^{{t}_{0}+η}{ f({t}_{0}) \over 2} ={ ηf({t}_{0}) \over 2} > 0

Corollaire 9.2.7 Soit f : [a,b] → ℝ continue positive ; si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f = 0, alors f = 0.

Théorème 9.2.8 (première formule de la moyenne). Soit f,g : [a,b] → ℝ. On suppose que f est continue et que g est réglée positive. Alors, il existe c ∈ [a,b] tel que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg = f(c){\mathop{∫ } }_{a}^{b}g.

Démonstration L’image de [a,b] par f est à la fois connexe et compact dans , c’est donc un segment de . Soit f([a,b]) = [m,M]. On a \mathop{∀}t ∈ [a,b],m ≤ f(t) ≤ M et donc, puisque g(t) ≥ 0, on a \mathop{∀}t ∈ [a,b],mg(t) ≤ f(t)g(t) ≤ Mg(t). En intégrant, on a alors m{\mathop{∫ } }_{a}^{b}g ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg ≤ M{\mathop{∫ } }_{a}^{b}g. Si {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g = 0, on en déduit que {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg = 0 et n’importe quel c ∈ [a,b] convient. Sinon, on a m ≤{ {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg \over {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g} ≤ M et donc

\mathop{∃}c ∈ [a,b],{ {\mathop{∫ } }_{a}^{b}fg \over {\mathop{∫ } }_{a}^{b}g} = f(c)

ce que nous voulions démontrer.

9.2.3 Convention de Chasles

Définition 9.2.1 Soit I un intervalle de  ; on dit que f est réglée sur I si sa restriction à tout segment inclus dans I est réglée.

Dans ce cas, si a et b sont dans I et a < b, on peut définir {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f. On étendra la définition en posant {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f = 0 si a = b et {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f = −{\mathop{∫ } }_{b}^{a}f si a > b. On a alors

Proposition 9.2.9 (relation de Chasles). Soit f : I → E réglée. Alors

\mathop{∀}a,b,c ∈ I, {\mathop{∫ } }_{a}^{c}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}f +{\mathop{∫ } }_{b}^{c}f

Démonstration Examiner toutes les configurations possibles de a,b,c.

Remarque 9.2.2 Le lecteur prendra garde à ne pas utiliser les diverses majorations ou minorations rencontrées auparavant dans les cas où a > b ; dans ce cas, toutes les inégalités précédentes sont changées de sens.

9.2.4 Sommes de Riemann

Soit σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤n} une subdivision de [a,b], ξ = {({ξ}_{i})}_{1≤i≤n} une famille de points de [a,b] tels que \mathop{∀}i ∈ [1,n], {ξ}_{i} ∈ [{a}_{i−1},{a}_{i}]. Si f est une application de [a,b] dans E, on posera

S(f,σ,ξ) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1})f({ξ}_{i})

Définition 9.2.2 On dira que S(f,σ,ξ) est une somme de Riemann associée à la subdivision σ et à la famille de points ξ.

Théorème 9.2.10 Soit f : [a,b] → E réglée ; alors les sommes de Riemann de f tendent vers l’intégrale de f quand le pas de la subdivision tend vers 0, plus précisément

\mathop{∀}ε > 0,\mathop{∃}η > 0, \mathop{∀}(σ,ξ),\quad δ(σ) < η ⇒\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f − S(f,σ,ξ)\| < ε

Démonstration Nous allons tout d’abord démontrer ce résultat pour une fonction φ : [a,b] → E en escalier. Soit {({x}_{k})}_{0≤k≤K} une subdivision adaptée à φ. Soit σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤n} une subdivision de [a,b], ξ = {({ξ}_{i})}_{1≤i≤n} une famille de points de [a,b] tels que \mathop{∀}i ∈ [1,n], {ξ}_{i} ∈ [{a}_{i−1},{a}_{i}]. On écrit alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ − S(φ,σ,ξ)& =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}\left ({\mathop{\mathop{∫ } } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }φ − ({a}_{i} − {a}_{i−1})φ({ξ}_{i})\right )%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }(φ − φ({ξ}_{i})) %& \\ \end{eqnarray*}

Notons H = \{i ∈ [1,n]\mathrel{∣}\mathop{∃}k ∈ [0,K], {x}_{k} ∈ [{a}_{i−1},{a}_{i}]\}. On remarque tout d’abord que chaque {x}_{k} ne peut appartenir qu’à au plus 2 intervalles [{a}_{i−1},{a}_{i}] et que donc le cardinal de H est plus petit que 2K + 2. Soit i ∈ [1,n]. Deux cas sont possibles ; si i\mathrel{∉}H, la fonction φ est constante sur [{a}_{i−1},{a}_{i}] et donc {\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i}}(φ − φ({ξ}_{i})) = 0. Si par contre, i ∈ H, on a

\|{\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }(φ − φ({ξ}_{i}))\| ≤{\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i} }2\|φ\|∞ ≤ 2δ(σ)\|φ\|∞

On en déduit que

\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ − S(φ,σ,ξ)\| ≤ 2δ(σ)\|φ\| ∞\mathop{Card}H ≤ 4(K + 1)δ(σ)\|φ\|∞

On voit donc que δ(σ) <{ ε \over 4(K+1)\|φ\|∞} ⇒\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ − S(φ,σ,ξ)\| < ε.

Supposons maintenant que f est réglée, et soit ε > 0. Il existe une fonction φ en escalier telle que \|f − φ\|∞ <{ ε \over 4(b−a)} . On a alors \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ\| ≤{ ε \over 4} et

\begin{eqnarray*} \|S(f,σ,ξ) − S(φ,σ,ξ)\|& ≤& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}({a}_{ i} − {a}_{i−1})\|f({ξ}_{i}) − φ({ξ}_{i})\|%& \\ & ≤& (b − a)\|f − φ\|∞ <{ ε \over 4} %& \\ \end{eqnarray*}

Mais pour la fonction en escalier φ il existe η > 0 tel que \mathop{∀}(σ,ξ), δ(σ) < η ⇒\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ − S(φ,σ,ξ)\| ≤{ ε \over 2} . Alors, δ(σ) < η implique

\begin{eqnarray*} \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f − S(f,σ,ξ)\|&& %& \\ & ≤& \|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ\| +\|{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ − S(φ,σ,ξ)\|%& \\ & \text{} & +\|S(φ,σ,ξ) − S(f,σ,ξ)\| %& \\ & ≤& ε %& \\ \end{eqnarray*}

ce qu’on voulait démontrer.

Remarque 9.2.3 On a vu ici une des techniques essentielles pour l’étude des fonctions réglées (ou même continues) : on commence par démontrer le résultat cherché pour des fonctions en escalier et on en déduit le résultat général par approximation.

Remarque 9.2.4 L’intérêt essentiel de ce résultat est non pas de calculer des intégrales (il est bien rare que l’on y arrive par cette méthode) ni même de calculer des valeurs approchées d’intégrales (la convergence étant beaucoup trop lente), mais plutôt de trouver les limites de certaines suites en les identifiant comme sommes de Riemann d’une certaine fonction réglée. De ce point de vue, les subdivisions courantes sont les subdivisions régulières {σ}_{n} = {(a + i{ b−a \over n} )}_{0≤i≤n} avec divers choix possibles de {ξ}_{i}, {ξ}_{i} = {a}_{i−1} ou {ξ}_{i} = {a}_{i} ou plus rarement {ξ}_{i} ={ {a}_{i−1}+{a}_{i} \over 2} .

9.2.5 Sommes de Darboux

Pour une fonction réglée f : [a,b] → ℝ et σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤n} une subdivision de [a,b], d’autres sommes se présentent naturellement ; puisque f est bornée, on peut poser {m}_{i} ={\mathop{ inf} }_{t∈[{a}_{i−1},{a}_{i}]}f(t) et {M}_{i} ={\mathop{ sup}}_{t∈[{a}_{i−1},{a}_{i}]}f(t). On introduit alors les sommes de Darboux inférieures et supérieures d(f,σ) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}({a}_{i} − {a}_{i−1}){m}_{i} et D(f,σ) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}({a}_{i} − {a}_{i−1}){M}_{i} ; remarquons que si f est continue, la fonction f atteint ses bornes et on retombe sur de classiques sommes de Riemann. Dans le cas général, on a

Proposition 9.2.11 (i) d(f,σ) ≤{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f ≤ D(f,σ) (ii) les sommes de Darboux de f tendent vers l’intégrale de f quand le pas de la subdivision tend vers 0.

Démonstration (i) On écrit {\mathop{∫ } }_{a}^{b}f − d(f,σ) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}\left ({\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i}}f − ({a}_{i} − {a}_{i−1}){m}_{i}\right ) ={\mathop{ \mathop{∑}} }_{i=1}^{n}{\mathop{∫ } }_{{a}_{i−1}}^{{a}_{i}}(f − {m}_{i}) ≥ 0 et de même pour la somme de Darboux supérieure.

(ii) Soit ε > 0 ; soit η > 0 tel que \mathop{∀}(σ,ξ),\quad δ(σ) < η ⇒\left |{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f − S(f,σ,ξ)\right | <{ ε \over 2} , et σ = {({a}_{i})}_{0≤i≤n} une subdivision de [a,b] de pas plus petit que η ; pour chaque i ∈ [1,n], soit {ξ}_{i} ∈ [{a}_{i−1},{a}_{i}] tel que {m}_{i} ≤ f({ξ}_{i}) < {m}_{i} +{ ε \over 2(b−a)} . En multipliant par ({a}_{i} − {a}_{i−1}) et en sommant les inégalités obtenues, on a d(f,σ) ≤ S(f,σ,ξ) ≤ d(f,σ) +{ ε \over 2} et donc \left |{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f − d(f,σ)\right |≤\left |{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f − S(f,σ,ξ)\right | + |S(f,σ,ξ) − d(f,σ)| < ε.