1.5 Polynômes à une variable

On désignera par A un anneau commutatif.

1.5.1 L’anneau des séries formelles à coefficients dans A

Définition 1.5.1 On appelle anneau des séries formelles à coefficients dans A, l’anneau ainsi défini : son ensemble de base est l’ensemble {A}^{ℕ} des suites d’éléments de A muni des lois suivantes

({a}_{n}) + ({b}_{n}) = ({a}_{n} + {b}_{n})\quad ({a}_{n})({b}_{n}) = ({c}_{n})

avec

{c}_{n} ={ \mathop{∑ }}_{p+q=n}{a}_{p}{b}_{q} ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{a}_{ p}{b}_{n−p}

L’élément unité est la suite (1,0,\mathop{\mathop{…}},0,\mathop{\mathop{…}}) et on note X = (0,1,0,\mathop{\mathop{…}},0,\mathop{\mathop{…}}).

Démonstration Facile, sauf peut-être en ce qui concerne l’associativité de la multiplication. Mais on a : (({a}_{n})({b}_{n}))({c}_{n}) = ({d}_{n}) avec {d}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p+q+r=n}{a}_{p}{b}_{q}{c}_{r}, ce qui conduit à une vérification facile de cette associativité.

Remarque 1.5.1 On vérifie immédiatement que {X}^{n} est la suite qui a un 1 à la (n + 1)-ième place et des 0 partout ailleurs si bien que ({a}_{n}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n≥0}{a}_{n}{X}^{n}. Pour cette raison, cet anneau est noté A[[X]]. On utilisera systématiquement la notation {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}{a}_{n}{X}^{n} pour désigner un de ses éléments.

Exercice Montrer que les éléments inversibles de A[[X]] sont les séries formelles {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}{a}_{n}{X}^{n} telles que {a}_{0} soit un élément inversible de A. Montrer que si A est un corps, l’anneau A[[X]] est un anneau principal n’ayant qu’un seul élément irréductible (à multiplication près par un élément inversible).

1.5.2 L’anneau des polynômes à coefficients dans A

Définition 1.5.2 On appelle polynôme à coefficients dans A une série formelle à support fini, c’est-à-dire {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥0}{a}_{n}{X}^{n} telle que \{n\mathrel{∣}{a}_{n}\mathrel{≠}0\} est fini.

Proposition 1.5.1 L’ensemble A[X] des polynômes à coefficients dans A est un sous anneau de A[[X]].

Définition 1.5.3 Soit P ∈ A[X]. On appelle degré et valuation de P :

\mathop{deg} P = \left \{ \cases{ −∞ &si P = 0 \cr \mathop{max}\{k\mathrel{∣}{a}_{k}\mathrel{≠}0\}&si P = \mathop{∑ }{a}_{k}{X}^{k}\mathrel{≠}0 } \right .

v(P) = \left \{ \cases{ +∞ &si P = 0 \cr \mathop{min}\{k\mathrel{∣}{a}_{k}\mathrel{≠}0\}&si P = \mathop{∑ }{a}_{k}{X}^{k}\mathrel{≠}0 } \right .

Proposition 1.5.2 On a (i) \mathop{deg} (P + Q) ≤\mathop{ max}(\mathop{deg} P,\mathop{deg} Q) avec égalité si \mathop{deg} P\mathrel{≠}\mathop{deg} Q (ii) \mathop{deg} (PQ) ≤\mathop{ deg} P +\mathop{ deg} Q avec égalité sauf si le produit des termes de plus haut degré de P et Q est nul. En particulier on a égalité si A est intègre.

Remarque 1.5.2 On a des résultats similaires pour la valuation.

Proposition 1.5.3 (règle de substitution). Soit A et B deux anneaux commutatifs et φ:A → B un morphisme d’anneaux. Soit β ∈ B. Alors l’application {T}_{φ,β}:A[X] → B, {\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}{a}_{k}{X}^{k}\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}φ({a}_{k}){β}^{k} est un morphisme d’anneaux.

Démonstration Faire le calcul.

Remarque 1.5.3 Lorsque A ⊂ B et φ(a) = a, on note P(β) = {T}_{φ,β}(P).

1.5.3 Division euclidienne et racines

Théorème 1.5.4 (division euclidienne). Soit {P}_{1},{P}_{2} ∈ A[X] tels que {P}_{2}\mathrel{≠}0 et le terme de plus haut degré de {P}_{2} est inversible dans A. Alors il existe un unique couple (Q,R) ∈ A{[X]}^{2} tel que {P}_{1} = {P}_{2}Q + R avec \mathop{deg} R <\mathop{ deg} {P}_{2}.

Démonstration On démontre l’existence par récurrence sur n =\mathop{ deg} {P}_{1}. Si n <\mathop{ deg} {P}_{2}, alors Q = 0 et R = {P}_{1} conviennent. Supposons le résultat montré pour tout polynôme de degré strictement inférieur à n ≥\mathop{ deg} {P}_{2} et soit \mathop{deg} {P}_{1} = n. On écrit {P}_{1}(X) = {a}_{n}{X}^{n} + \mathop{\mathop{…}} et {P}_{2}(X) = {b}_{m}{X}^{m} + \mathop{\mathop{…}} avec {b}_{m} inversible. Posons {S}_{1}(X) = {P}_{1}(X) − {a}_{n}{b}_{m}^{−1}{X}^{n−m}{P}_{2}(X) ; alors \mathop{deg} {S}_{1} ≤\mathop{ max}(\mathop{deg} P,\mathop{deg} ({X}^{n−m}{P}_{2})) = n et {S}_{1} n’a plus de terme de degré n. D’après l’hypothèse de récurrence, on peut donc écrire {S}_{1}(X) = {Q}_{1}(X){P}_{2}(X) + R(X) avec \mathop{deg} R <\mathop{ deg} {P}_{2}. Mais alors P(X) = {S}_{1}(X) + {a}_{n}{b}_{m}^{−1}{X}^{n−m}{P}_{2}(X) = ({Q}_{1}(X) + {a}_{n}{b}_{m}^{−1}{X}^{n−m}){P}_{2}(X) + R(X) et donc Q(X) = {Q}_{1}(X) + {a}_{n}{b}_{m}^{−1}{X}^{n−m} et R(X) répondent aux exigences voulues.

Pour l’unicité, on remarque que P = {P}_{2}Q + R = {P}_{2}Q' + R' exige {P}_{2}(Q − Q') = R' − R. Or \mathop{deg} (R' − R) <\mathop{ deg} {P}_{2}, et, si Q − Q'\mathrel{≠}0, \mathop{deg} ({P}_{2}(Q − Q')) =\mathop{ deg} {P}_{2} +\mathop{ deg} (Q − Q') ≥\mathop{ deg} {P}_{2} (car le coefficient de plus haut degré de {Q}_{2} est inversible, et donc le produit des coefficients de plus haut degré de {P}_{2} et Q − Q' ne peut pas être nul). C’est absurde. Donc Q = Q', ce qui implique également R = R', et montre l’unicité.

Corollaire 1.5.5 Soit P ∈ A[X] et a ∈ A. Alors X − a\mathrel{∣}P \mathrel{⇔} P(a) = 0.

Démonstration Si X − a divise P, on a P(X) = (X − a)Q(X) et donc P(a) = 0. Inversement, supposons que P(a) = 0 et effectuons la division euclidienne de P(X) par X − a (dont le coefficient de plus haut degré est 1, donc inversible) ; on peut écrire P(X) = (X − a)Q(X) + R(X) avec \mathop{deg} R < 1. Donc R est une constante b ; mais alors 0 = P(a) = (a − a)Q(a) + b = b et donc P(X) = (X − a)Q(X) et X − a divise P.

Remarque 1.5.4 On dit que a est racine de P si P(a) = 0.

Corollaire 1.5.6 Supposons A intègre. Soit P ∈ A[X] et {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{k} des racines de P. Alors (X − {a}_{1})\mathop{\mathop{…}}(X − {a}_{k})\mathrel{∣}P. Si P\mathrel{≠}0, on a k ≤\mathop{ deg} P.

Démonstration Par récurrence sur k. On a déjà vu le résultat pour k = 1. Supposons le vérifié pour k − 1 ; on a donc déjà le fait que (X − {a}_{1})\mathop{\mathop{…}}(X − {a}_{k−1}) divise P ; donc P(X) = (X − {a}_{1})\mathop{\mathop{…}}(X − {a}_{k−1})Q(X). Mais alors 0 = P({a}_{k}) = ({a}_{k} − {a}_{1})\mathop{\mathop{…}}({a}_{k} − {a}_{k−1})Q({a}_{k}), et donc Q({a}_{k}) = 0 (les autres termes sont non nuls et A est intègre) ; en particulier X − {a}_{k} divise Q et donc (X − {a}_{1})\mathop{\mathop{…}}(X − {a}_{k})\mathrel{∣}P.

Remarque 1.5.5 Sur un anneau intègre un polynôme non nul n’a donc qu’un nombre fini de racines. En particulier on en déduit

Corollaire 1.5.7 Soit A un anneau intègre infini. Alors l’application A[X] → {A}^{A}, P\mathrel{↦}\tilde{P} avec \tilde{P}(x) = P(x), qui à un polynôme associe sa fonction polynomiale, est un morphisme d’anneaux injectif.

1.5.4 Dérivation

Définition 1.5.4 Soit P ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k≥0}{a}_{k}{X}^{k} ∈ A[X]. On appelle dérivée de P le polynôme

P' ={ \mathop{∑ }}_{k≥1}k{a}_{k}{X}^{k−1}

Proposition 1.5.8 On a les formules (αP + βQ)' = αP' + βQ', (PQ)' = P'Q + PQ', ({P}^{n})' = nP'{P}^{n−1}.

Démonstration On montre les résultats sur les monômes et on les étend aux polynômes par linéarité.

1.5.5 L’anneau principal K[X]

Soit K un corps commutatif. Le coefficient de plus haut degré d’un polynôme non nul de K[X] étant par essence même différent de 0 donc inversible, la division euclidienne est toujours possible. L’anneau K[X] est donc un anneau euclidien, et par conséquent un anneau principal. Tous les résultats sur les anneaux principaux s’appliquent donc à K[X] : existence du PGCD et du PPCM, identité de Bézout, théorème de Gauss, existence et unicité de la décomposition en polynômes irréductibles normalisés (ceux-ci étant des représentants naturels des classes d’éléments irréductibles). Il en est de même des résultats sur les anneaux euclidiens, et en particulier de l’algorithme de calcul du PGCD.

Dans toute la suite du chapitre, les corps seront toujours supposés commutatifs.

1.5.6 Formule de Taylor. Multiplicité d’une racine

Définition 1.5.5 Soit K un corps, P ∈ K[X] et a ∈ K. On dit que a est racine de multiplicité k de P si {(X − a)}^{k}\mathrel{∣}P et {(X − a)}^{k+1} ne divise pas P.

Proposition 1.5.9 Soit K un corps, P ∈ K[X], P\mathrel{≠}0. Soit {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{k} les racines de P de multiplicités respectives {m}_{1},\mathop{\mathop{…}},{m}_{k}. Alors {(X − {a}_{1})}^{{m}_{1}}\mathop{\mathop{…}}{(X − {a}_{k})}^{{m}_{k}}\mathrel{∣}P et donc {m}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {m}_{k} ≤\mathop{ deg} P. Si on a égalité, on a P = λ{(X − {a}_{1})}^{{m}_{1}}\mathop{\mathop{…}}{(X − {a}_{k})}^{{m}_{k}}, avec λ ∈ K. On dit alors que P est scindé sur A.

Démonstration En effet les polynômes {(X − {a}_{i})}^{{m}_{i}} sont deux à deux premiers entre eux.

Théorème 1.5.10 (formule de Taylor pour les polynômes). Soit K un corps de caractéristique 0, P ∈ K[X] et a ∈ K. Alors P(X + a) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{\mathop{deg} P}{ {P}^{(k)}(a) \over k!} {X}^{k}. Si A est un sous-anneau de K qui contient à la fois a et les coefficients de P, alors \mathop{∀}k,{ {P}^{(k)}(a) \over k!} ∈ A.

Démonstration Le polynôme P(X + a) s’écrit sous la forme Q(X) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{\mathop{deg} P}{b}_{k}{X}^{k} (en développant chacun des {(X + a)}^{k} par la formule du binôme) et un calcul trivial montre que {P}^{(k)}(a) = {Q}^{(k)}(0) = k!{b}_{k}, soit {b}_{k} ={ {P}^{(k)}(a) \over k!}  ; de plus, si les {a}_{k} et a sont dans A, il en est de même des {b}_{k} (toujours par la formule du binôme).

Corollaire 1.5.11 Soit K un corps de caractéristique 0, P ∈ K[X] et a ∈ K. Alors a est racine de multiplicité m de P si et seulement si P(a) = P'(a) = \mathop{\mathop{…}} = {P}^{(m−1)}(a) = 0 et {P}^{(m)}(a)\mathrel{≠}0.

Démonstration Si P(X) = {(X − a)}^{m}Q(X), une récurrence facile montre que {P}^{(k)}(X) = m(m − 1)\mathop{\mathop{…}}(m − k + 1){(X − a)}^{m−k}Q(X) + {(X − a)}^{m−k+1}{R}_{k}(X), pour k ≤ m ; on en déduit que {P}^{(k)}(a) = 0 pour k ≤ m − 1 et que {P}^{(m)}(a) = m!Q(a)\mathrel{≠}0 si X − a ne divise pas Q, soit {(X − a)}^{m+1} ne divise pas P.

Inversement, si P(a) = P'(a) = \mathop{\mathop{…}} = {P}^{(m−1)}(a) = 0, la formule de Taylor (dont les m premiers termes sont nuls) montre que {(X − a)}^{m} divise P. Mais, le fait que {P}^{(m)}(a)\mathrel{≠}0, montre d’après le sens direct, que {(X − a)}^{m+1} ne divise pas P.

Remarque 1.5.6 En particulier P a une racine multiple si et seulement si P et P' ont une racine commune.

1.5.7 Racines et extensions de corps

Théorème 1.5.12 Soit K un corps et P ∈ K[X]. Alors il existe un corps L contenant K dans lequel P a une racine.

Démonstration Il suffit bien entendu de démontrer ce résultat lorsque P est un polynôme irréductible. On prend alors L = K[X]∕PK[X] (qui contient K[X] en identifiant a ∈ K à π(a) ∈ L) et alors, si on pose x = π(X) on a, puisque π est un morphisme d’anneaux, P(x) = P(π(X)) = π(P(X)) = 0. Donc P a bien une racine dans L.

On montre alors par récurrence sur \mathop{deg} P le corollaire suivant

Corollaire 1.5.13 Soit K un corps et P ∈ K[X]. Alors il existe un corps L contenant K sur lequel P est scindé.

Définition 1.5.6 On dit qu’un corps K est algébriquement clos s’il vérifie les conditions équivalentes suivantes (i) Tout polynôme de K[X] non constant a une racine dans K (ii) Tout polynôme de K[X] est scindé sur K (iii) Les seuls polynômes irréductibles de K[X] sont les polynômes de degré 1

Théorème 1.5.14 On montre, et on admettra que le corps des nombres complexes est algébriquement clos (théorème de d’Alembert-Gauss)

1.5.8 Polynômes sur et

On a vu que est algébriquement clos. On en déduit le résultat suivant

Théorème 1.5.15 Tout polynôme non constant de ℂ[X] a une racine dans . Les seuls polynômes irréductibles de ℂ[X] sont les polynômes de degré 1. Si {α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{k} sont les racines dans du polynôme P ∈ ℂ[X], de multiplicités respectives {m}_{1},\mathop{\mathop{…}},{m}_{k}, on a {m}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {m}_{k} =\mathop{ deg} P et P(X) = {a}_{n}{\mathop{ \mathop{∏ }} }_{i=1}^{k}{(X − {α}_{i})}^{{m}_{i}}.

Théorème 1.5.16 Soit P ∈ ℝ[X].

  • Si α ∈ ℂ est racine de P de multiplicité m, il en est de même de \overline{α}.
  • Le nombre de racines non réelles de P est pair.
  • Si P est de degré impair, il a au moins une racine réelle.
  • Les polynômes irréductibles sur sont d’une part les polynômes de degré 1, d’autre part les polynômes de degré 2 sans racine réelle (Δ < 0).
  • Soit P ∈ ℝ[X], soit {α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{k} ses racines réelles de multiplicités {m}_{1},\mathop{\mathop{…}},{m}_{k}, {β}_{1},\mathop{\mathop{…}},{β}_{l} ses racines complexes de parties imaginaires strictement positives, de multiplicités {n}_{1},\mathop{\mathop{…}},{n}_{l}. Alors la décomposition de P en produit de polynômes irréductibles dans ℝ[X] est
    P(X) = {a}_{n}{ \mathop{∏ }}_{i=1}^{k}{(X − {α}_{ i})}^{{m}_{i} }{ \mathop{∏ }}_{j=1}^{l}{({X}^{2} − 2\mathrm{Re}({β}_{ j})X + |{β}_{j}{|}^{2})}^{{n}_{j} }

Démonstration Pour les racines, on remarque que {P}^{(k)}(\overline{α}) = \overline{{P}^{(k)}(α)} si P est à coefficients réels. Il suffit pour obtenir la décomposition de regrouper les racines non réelles deux à deux conjuguées en remarquant que (X − β)(X −\overline{β}) = {X}^{2} − 2\mathop{\mathrm{Re}}(β)X + |β{|}^{2} La caractérisation des polynômes irréductibles en découle immédiatement.

1.5.9 Division suivant les puissances croissantes

Théorème 1.5.17 Soit A ∈ K[X] et P ∈ K[X] tel que P(0)\mathrel{≠}0. Pour tout n ∈ ℕ, il existe un unique couple (Q,R) de polynômes vérifiant A(X) = P(X)Q(X) + {X}^{n+1}R(X) avec \mathop{deg} Q ≤ n.

Démonstration Similaire à celle de la division euclidienne, la valuation prenant la place du degré.