8.5 Fonctions classiques

8.5.1 Fonctions circulaires réciproques

Le lecteur démontrera sans difficulté les résultats suivants qui découlent immédiatement des caractérisations des homéomorphismes et des difféomorphismes d’un intervalle sur un autre intervalle de .

Théorème 8.5.1 (i) x\mathrel{↦}\mathop{cos} x est un homéomorphisme décroissant de [0,π] sur [−1,1] ; l’homéomorphisme réciproque est noté \mathop{arccos} : [−1,1] → [0,π] ; \mathop{arccos} est {C}^{∞} sur ] − 1,1[ et \mathop{arccos} '(x) = −{ 1 \over \sqrt{1−{x}^{2}}} . (ii) x\mathrel{↦}\mathop{sin} x est un homéomorphisme croissant de [−π∕2,π∕2] sur [−1,1] ; l’homéomorphisme réciproque est noté \mathop{arcsin} : [−1,1] → [−π∕2,π∕2] ; \mathop{arcsin} est {C}^{∞} sur ] − 1,1[ et \mathop{arcsin} '(x) ={ 1 \over \sqrt{1−{x}^{2}}} . (iii) x\mathrel{↦}\mathop{tan} x est un {C}^{∞} difféomorphisme croissant de ] − π∕2,π∕2[ sur ] −∞,+∞[ ; le difféomorphisme réciproque est noté \mathop{arctan} :] −∞,+∞[→] − π∕2,π∕2[ et \mathop{arctan} '(x) ={ 1 \over 1+{x}^{2}} .

Remarque 8.5.1 Pour t ∈ [−1,1],

x =\mathop{ arccos} t \mathrel{⇔} t =\mathop{ cos} x\text{ et }x ∈ [0,π]

x =\mathop{ arcsin} t \mathrel{⇔} t =\mathop{ sin} x\text{ et }x ∈ [−π∕2,π∕2]

Pour t ∈ ℝ,

x =\mathop{ arctan} t \mathrel{⇔} t =\mathop{ tan} x\text{ et }x ∈] − π∕2,π∕2[

\mathop{cos} (\mathop{arccos} t) = t, \mathop{sin} (\mathop{arccos} t) = \sqrt{1 − {t}^{2}}, \mathop{tan} (\mathop{arccos} t) = \mathop{\mathop{…}}

\mathop{cos} (\mathop{arcsin} t) = \sqrt{1 − {t}^{2}}, \mathop{sin} (\mathop{arcsin} t) = t, \mathop{tan} (\mathop{arcsin} t) = \mathop{\mathop{…}}

\mathop{cos} (\mathop{arctan} t) ={ 1 \over \sqrt{1 + {t}^{2}}} , \mathop{sin} (\mathop{arctan} t) = \mathop{\mathop{…}}, \mathop{tan} (\mathop{arctan} t) = t

8.5.2 Fonctions hyperboliques directes

\mathop{\mathrm{ch}} x ={ 1 \over 2} ({e}^{x} + {e}^{−x}), \mathop{\mathrm{sh}} x ={ 1 \over 2} ({e}^{x} − {e}^{−x}), \mathop{\mathrm{th}} x ={ \mathop{\mathrm{sh}} x \over \mathop{\mathrm{ch}} x} ={ {e}^{2x}−1 \over {e}^{2x}+1}

\mathop{ \mathrm{ch}} ' =\mathop{ \mathrm{sh}} , \mathop{\mathrm{sh}} ' =\mathop{ \mathrm{ch}} , \mathop{\mathrm{th}} ' = 1 −{\mathop{\mathrm{th}} }^{2}

\mathop{ \mathrm{ch}} x +\mathop{ \mathrm{sh}} x = {e}^{x}, \mathop{\mathrm{ch}} x −\mathop{\mathrm{sh}} x = {e}^{−x}

{\mathop{ \mathrm{ch}} }^{2}x −{\mathop{\mathrm{sh}} }^{2}x = 1

\mathop{\mathrm{ch}} (a + b) =\mathop{ \mathrm{ch}} a\mathop{\mathrm{ch}} b +\mathop{ \mathrm{sh}} a\mathop{\mathrm{sh}} b

\mathop{\mathrm{ch}} (a − b) =\mathop{ \mathrm{ch}} a\mathop{\mathrm{ch}} b −\mathop{\mathrm{sh}} a\mathop{\mathrm{sh}} b

\mathop{\mathrm{sh}} (a + b) =\mathop{ \mathrm{sh}} a\mathop{\mathrm{ch}} b +\mathop{ \mathrm{ch}} a\mathop{\mathrm{sh}} b

\mathop{\mathrm{sh}} (a − b) =\mathop{ \mathrm{sh}} a\mathop{\mathrm{ch}} b −\mathop{\mathrm{ch}} a\mathop{\mathrm{sh}} b

\mathop{\mathrm{ch}} 2a = 2{\mathop{\mathrm{ch}} }^{2}a − 1 = 1 + 2{\mathop{\mathrm{sh}} }^{2}a ={\mathop{ \mathrm{ch}} }^{2}a +{\mathop{ \mathrm{sh}} }^{2}a

\mathop{\mathrm{sh}} 2a = 2\mathop{\mathrm{sh}} a\mathop{\mathrm{ch}} a, \mathop{\mathrm{th}} 2a ={ 2\mathop{ \mathrm{th}} a \over 1+{\mathop{\mathrm{th}} }^{2}a}

Si t =\mathop{ \mathrm{th}} ({ x \over 2} ),

\mathop{\mathrm{ch}} x ={ 1 + {t}^{2} \over 1 − {t}^{2}} , \mathop{\mathrm{sh}} x ={ 2t \over 1 − {t}^{2}} , \mathop{\mathrm{th}} x ={ 2t \over 1 + {t}^{2}}

8.5.3 Fonctions hyperboliques réciproques

Théorème 8.5.2 (i) x\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{ch}} x est un homéomorphisme croissant de [0,+∞[ sur [1,+∞[ ; l’homéomorphisme réciproque est noté \mathop{arg} \mathop{\mathrm{ch}} : [1,+∞[→ [0,+∞[ ; \mathop{arg} \mathop{\mathrm{ch}} est {C}^{∞} sur ]1,+∞[ et \mathop{arg} \mathop{\mathrm{ch}} '(x) ={ 1 \over \sqrt{{x}^{2 } −1}} . (ii) x\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{sh}} x est un {C}^{∞} difféomorphisme croissant de ] −∞,+∞[ sur ] −∞,+∞[ ; le difféomorphisme réciproque est noté \mathop{arg} \mathop{\mathrm{sh}} :] −∞,+∞[→] −∞,+∞[ et on a \mathop{arg} \mathop{\mathrm{sh}} '(x) ={ 1 \over \sqrt{1+{x}^{2}}} . (iii) x\mathrel{↦}\mathop{\mathrm{th}} x est un {C}^{∞} difféomorphisme croissant de ] −∞,+∞[ sur ] − 1,+1[ ; le difféomorphisme réciproque est noté \mathop{arg} \mathop{\mathrm{th}} :] − 1,1[→] −∞,+∞[ et on a \mathop{arg} \mathop{\mathrm{th}} '(x) ={ 1 \over 1−{x}^{2}} .

Pour t ≥ 1,\quad x =\mathop{ arg} \mathop{\mathrm{ch}} t \mathrel{⇔} t =\mathop{ \mathrm{ch}} x\text{ et }x ≥ 0.

Pour t ∈ ℝ,\quad x =\mathop{ arg} \mathop{\mathrm{sh}} t \mathrel{⇔} t =\mathop{ \mathrm{sh}} x.

Pour t ∈] − 1,1[, \quad x =\mathop{ arg} \mathop{\mathrm{th}} t \mathrel{⇔} t =\mathop{ \mathrm{th}} x.

\mathop{arg} \mathop{\mathrm{ch}} t =\mathop{ log} (t + \sqrt{{t}^{2 } − 1}),\quad \mathop{arg} \mathop{\mathrm{sh}} t =\mathop{ log} (t + \sqrt{{t}^{2 } + 1}),\quad \mathop{arg} \mathop{\mathrm{th}} t ={ 1 \over 2} \mathop{ log} ({ 1+t \over 1−t} )