8.4 Fonctions vectorielles d’une variable réelle

8.4.1 Inégalité des accroissements finis

Dans le cas d’une fonction vectorielle d’une variable réelle, le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont plus valables comme le montre l’exemple de la fonction f : t\mathrel{↦}{e}^{it} entre 0 et (on a f(0) = f(2π) et cependant la dérivée f'(t) = i{e}^{it} ne s’annule pas). On obtient uniquement une inégalité que l’on peut mettre sous une forme plus générale

Théorème 8.4.1 (inégalité des accroissements finis) . Soit f : [a,b] → E et g : [a,b] → ℝ. On suppose que f et g sont continues sur [a,b] et dérivables sur ]a,b[ avec \mathop{∀}t ∈]a,b[, \|f'(t)\| ≤ g'(t). Alors \|f(b) − f(a)\| ≤ g(b) − g(a).

Démonstration (Première démonstration) Si on suppose en plus que f et g sont de classe {C}^{1} sur ]a,b[, on peut écrire pour a < x < y < b,

\begin{eqnarray*} \|f(y) − f(x)\|& =& \|{\mathop{∫ } }_{x}^{y}f'(t) dt\| %& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{x}^{y}\|f'(t)\| dt ≤{\mathop{∫ } }_{x}^{y}g'(t) dt = g(y) − g(x)%& \\ \end{eqnarray*}

Il ne reste plus qu’à faire tendre x vers a et y vers b pour obtenir l’inégalité souhaitée.

Remarque 8.4.1 Attention ! L’utilisation inconsidérée de cette première démonstration peut provoquer un cercle vicieux dans l’exposé : la formule f(y) − f(x) ={\mathop{∫ } }_{x}^{y}f'(t) dt fait appel de manière cachée au fait qu’une fonction de dérivée nulle est constante, ce qui est en général vu comme une conséquence de l’inégalité des accroissements finis !

Démonstration (Deuxième démonstration) Dans le cas général, soit ε > 0, soit {φ}_{ε}(t) =\| f(t) − f(a)\| − (g(t) − g(a)) − ε(t − a) et {X}_{ε} = \{t ∈ [a,b]\mathrel{∣}{φ}_{ε}(t) ≤ ε\}. On a {X}_{ε} = {φ}_{ε}^{−1}(] −∞,ε]) et comme {φ}_{ε} est continue, {X}_{ε} est fermé (image réciproque d’un fermé). De plus {φ}_{ε}(a) = 0, donc il existe η > 0 tel que [a,a + η] ⊂ {X}_{ε}. Soit c =\mathop{ sup}{X}_{ε}. Supposons que c < b. Comme c ≥ a + η, on a c ∈]a,b[ et donc f et g sont dérivables au point c. On a \|f'(c)\| ={\mathop{ lim}}_{t→c}\|{ f(t)−f(c) \over t−c} \| et g'(c) ={\mathop{ lim}}_{t→c}{ g(t)−g(c) \over t−c} . Donc il existe α > 0 tel que pour t ∈]c,c + α[ on ait à la fois \|{ f(t)−f(c) \over t−c} \| ≤\| f'(c)\| +{ ε \over 2} et { g(t)−g(c) \over t−c} ≥ g'(c) −{ ε \over 2} . Tenant compte de \|f'(c)\| ≤ g'(c), on obtient

\|{ f(t) − f(c) \over t − c} \| ≤\| f'(c)\| +{ ε \over 2} ≤ g'(c) +{ ε \over 2} ≤{ g(t) − g(c) \over t − c} + ε

soit encore \|f(t) − f(c)\| ≤ g(t) − g(c) + ε(t − c). Comme c ∈ {X}_{ε}, on a \|f(c) − f(a)\| ≤ g(c) − g(a) + ε(c − a) + ε et donc pour t ∈]c,c + α[, \|f(t) − f(a)\| ≤\| f(t) − f(c)\| +\| f(c) − f(a)\| ≤ g(t) − g(a) + ε(t − a) + ε, soit encore {φ}_{ε}(t) ≤ ε. On a donc ]c,c + α[⊂ {X}_{ε} ce qui contredit la définition de c =\mathop{ sup}{X}_{ε}. On a donc b = c ∈ {X}_{ε}, soit encore \|f(b) − f(a)\| ≤ g(b) − g(a) + ε(b − a) + ε. En faisant tendre ε vers 0, on trouve alors l’inégalité \|f(b) − f(a)\| ≤ g(b) − g(a).

En fait on utilisera la plupart du temps la version suivante du théorème précédent

Corollaire 8.4.2 Soit f : [a,b] → E, continue sur [a,b] dérivable sur ]a,b[ telle que \mathop{∀}t ∈]a,b[, \|f'(t)\| ≤ M. Alors \|f(b) − f(a)\| ≤ M(b − a).

Démonstration Il suffit d’appliquer l’inégalité des accroissements finis à g(t) = Mt pour laquelle on a g'(t) = M et g(b) − g(a) = M(b − a).

8.4.2 Applications de l’inégalité des accroissements finis

Théorème 8.4.3 Soit f : I → E, continue sur I, dérivable sur {I}^{o}. Alors f est k-lipschitzienne si et seulement si \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, \|f'(t)\| ≤ k.

Démonstration Si f est k-lipschitzienne, on a pour a ∈ {I}^{o} et t\mathrel{≠}a, \|{ f(t)−f(a) \over t−a} \| ≤ k d’où en faisant tendre t vers a, \|f'(a)\| ≤ k. La condition est donc nécessaire. Réciproquement, supposons que \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, \|f'(t)\| ≤ k, soit a,b ∈ I tels que a < b. Alors [a,b] ⊂ I et ]a,b[⊂ {I}^{o}, on peut donc appliquer le corollaire de l’inégalité des accroissements finis, \|f(b) − f(a)\| ≤ k(b − a), ce qui montre que f est k-lipschitzienne.

Remarque 8.4.2 Ce théorème peut permettre en particulier de caractériser les applications contractantes.

Théorème 8.4.4 Soit E un espace vectoriel normé complet et f :]a,b[→ E dérivable, telle que la fonction f' admet une limite au point a. Alors f se prolonge en une application continue \tilde{f} : [a,b[→ E. L’application \tilde{f} est dérivable sur [a,b[ et \tilde{f}'(a) = ℓ.

Démonstration Il existe {η}_{0} > 0 tel que \mathop{∀}t ∈]a,a + {η}_{0}[, \|f'(t)\| ≤\| ℓ\| + 1. Donc f est lipschitzienne sur ]a,a + {η}_{0}[. En particulier si une suite ({x}_{n}) de ]a,b[ admet la limite a, c’est une suite de Cauchy, donc son image par f est encore une suite de Cauchy. Comme E est complet, la suite (f({x}_{n})) est donc convergente. Pour toute suite ({x}_{n}) de limite a, la suite (f({x}_{n})) admet une limite, donc f admet une limite L au point a. Si l’on pose alors \tilde{f}(a) = L et \tilde{f}(t) = f(t) si t ∈]a,b[, la fonction \tilde{f} est donc continue sur [a,b[ et dérivable sur ]a,b[ avec \tilde{f}'(t) = f'(t). Montrons que \tilde{f} est dérivable au point a. Posons g(t) =\tilde{ f}(t) − ℓt et soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que t ∈]a,a + η[⇒\| g'(t)\| =\| f'(t) − ℓ\| < ε. On en déduit que g est ε-lipschitzienne sur [a,a + η] et en particulier pour t ∈ [a,a + η], \|g(t) − g(a)\| ≤ ε(t − a) soit encore (après division par t − a), \|{ \tilde{f}(t)−\tilde{f}(a) \over t−a} − ℓ\| ≤ ε, ce qui montre que \tilde{f} est dérivable au point a et que sa dérivée en ce point est .

Remarque 8.4.3 Si f est continue sur [a,b[, dérivable sur ]a,b[ et si f' admet la limite au point a, on a évidemment L = f(a) et donc \tilde{f} = f. Travaillant séparément à gauche de a et à droite de a, on obtient le corollaire suivant

Corollaire 8.4.5 Soit f : I → E, a ∈ I. On suppose que f est continue sur I, dérivable sur I ∖\{a\} et que f' admet une limite au point a. Alors f est dérivable au point a et f'(a) = ℓ.

Remarque 8.4.4 Une récurrence évidente à partir du théorème ci dessus montre que si f est continue sur [a,b[, n fois dérivable sur ]a,b[ et si {f}^{(n)} admet une limite au point a, alors toutes les dérivées intermédiaires {f}^{(k)} admettent une limite au point a ; ceci permet alors d’appliquer le corollaire ci dessus qui garantira que f est n fois dérivable au point a (et que toutes les dérivées {f}^{(k)} sont continues au point a). Par contre la même méthode ne peut s’appliquer sur I ∖\{a\}, rien ne garantissant que les limites à droite et à gauche de {f}^{(k)} sont les mêmes : l’exemple de la fonction x →|x| dont la dérivée seconde sur ℝ ∖\{0\} est nulle fournit un contre exemple évident.

8.4.3 Formules de Taylor

Théorème 8.4.6 (inégalité de Taylor-Lagrange). Soit f : [a,b] → E (resp. f : [b,a] → E) de classe {C}^{n} ; on suppose que f est n + 1 fois dérivable sur ]a,b[ (resp. ]a,b[) et que \|{f}^{(n+1)}(t)\| ≤ M. Alors

\|f(b) − f(a) −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(b − a)}^{k}\| ≤{ M \over (n + 1)!} {(b − a)}^{n+1}

Démonstration Posons φ(t) = f(b) − f(t) −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(t) \over k!} {(b − t)}^{k}. Il est clair que φ est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ comme toutes les fonctions {f}^{(k)}, 0 ≤ k ≤ n. De plus

\begin{eqnarray*} φ'(t)&& %& \\ & =& −f'(t) −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k+1)}(t) \over k!} {(b − t)}^{k} +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(t) \over (k − 1)!} {(b − t)}^{k−1} %& \\ & =& −f'(t) −{\mathop{∑ }}_{l=2}^{n+1}{ {f}^{(l)}(t) \over (l − 1)!} {(b − t)}^{l−1} +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(t) \over (k − 1)!} {(b − t)}^{k−1}%& \\ & =& −{ {f}^{(n+1)}(t) \over n!} {(b − t)}^{n} %& \\ \end{eqnarray*}

(tous les autres termes se détruisent deux à deux). On a donc \|φ'(t)\| ≤ M{ {(b−t)}^{n} \over n!} = ψ'(t) pour ψ(t) = −M{ {(b−t)}^{n+1} \over (n+1)!} . L’inégalité des accroissements finis assure que \|φ(b) − φ(a)\| ≤ ψ(b) − ψ(a), soit encore \|φ(a)\| ≤−ψ(a) ce qui n’est autre que l’inégalité à démontrer.

Théorème 8.4.7 (formule de Taylor Young). Soit I un intervalle de , a ∈ I et f : I → E, n fois dérivable au point a. Alors, au voisinage de a,

f(t) = f(a) +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(t − a)}^{k} + o({(t − a)}^{n})

Démonstration On montre le résultat par récurrence sur n. Pour n = 1, il s’agit seulement de la définition de la dérivée : en posant ε(t − a) ={ f(t)−f(a) \over t−a} − f'(a), on a f(t) = f(a) + (t − a)f'(a) + (t − a)ε(t − a) avec {\mathop{lim}}_{t→a}ε(t − a) = 0. Supposons donc le résultat vrai pour n − 1 et soit {η}_{0} > 0 tel que f soit n − 1 fois dérivable sur ]a,−{η}_{0},a + {η}_{0}[∩I. On peut alors appliquer notre hypothèse de récurrence à la fonction f' sur ]a,−{η}_{0},a + {η}_{0}[∩I puisque celle ci est n − 1 fois dérivable au point a. On a donc f'(t) = f'(a) +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=1}^{n−1}{ {f}^{(k+1)}(a) \over k!} {(t − a)}^{k} + o({(t − a)}^{n−1}). Etant donné ε > 0, il existe donc η > 0 tel que, pour t ∈]a,−η,a + η[∩I, \|f'(t) − f'(a) +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=1}^{n−1}{ {f}^{(k+1)}(a) \over k!} {(t − a)}^{k}\| ≤ ε|t − a{|}^{n−1}. Pour t ∈]a,a + η[, ceci s’écrit encore \|φ'(t)\| ≤ ψ'(t) avec φ(t) = f(t) − f(a) −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(t − a)}^{k} et ψ(t) ={ ε{(t−a)}^{n} \over n} . L’inégalité des accroissements finis (dont les conditions de validité sur [a,t] sont évidemment vérifiées) assure que \|φ(t) − φ(a)\| ≤ ψ(t) − ψ(a) soit encore

\|f(t) − f(a) −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(t − a)}^{k}\| ≤{ ε{(t − a)}^{n} \over n}

On a donc f(t) − f(a) −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(t − a)}^{k} = o({(t − a)}^{n}) en a, à droite de a. On montre de manière similaire avec ψ(t) = {(−1)}^{n}{ ε{(t−a)}^{n} \over n} , le même résultat à gauche de a.

Remarque 8.4.5 On prendra soin de ne pas confondre l’inégalité de Taylor Lagrange (ou la formule de Taylor Lagrange pour les fonctions à valeurs réelles) qui donne une estimation globale de la fonction f sur tout un intervalle, avec la formule de Taylor Young qui donne un comportement local de la fonction (en fait un développement limité).

On montre en intégration le résultat suivant (d’où l’on peut d’ailleurs déduire facilement l’inégalité de Taylor Lagrange, mais avec des conditions plus fortes de validité) ; la démonstration consiste simplement en n intégrations par parties successives.

Théorème 8.4.8 (formule de Taylor avec reste intégral). Soit f : I → E de classe {C}^{n+1}. Alors, \mathop{∀}a,b ∈ I,

f(b) = f(a) +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(b − a)}^{k} +{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{a}^{b}{ {(b − t)}^{n} \over n!} {f}^{(n+1)}(t) dt