8.3 Fonctions réelles d’une variable réelle

8.3.1 Théorème de Rolle, formule des accroissements finis

Lemme 8.3.1 Soit f : I → ℝ ; si f admet en c ∈ {I}^{o} un extremum local et si f est dérivable au point c, alors f'(c) = 0.

Démonstration Supposons par exemple que f a en c un maximum local. Pour c − η < x < c, on a { f(x)−f(c) \over x−c} ≥ 0 d’où en faisant tendre x vers c, f'(c) ≥ 0. Pour c < x < c + η, on a { f(x)−f(c) \over x−c} ≤ 0 d’où en faisant tendre x vers c, f'(c) ≤ 0. On a donc f'(c) = 0.

Théorème 8.3.2 (Rolle). Soit f : [a,b] → ℝ, continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ telle que f(a) = f(b). Alors il existe c ∈]a,b[ tel que f'(c) = 0.

Démonstration Si f est constante sur [a,b], n’importe quel c ∈]a,b[ convient. Sinon, par exemple, il existe x ∈ [a,b] tel que f(x) > f(a) = f(b). La fonction f est continue sur le compact [a,b] donc elle est bornée et atteint ses bornes. Soit c ∈ [a,b] tel que f(c) =\mathop{ sup}\{f(t)\mathrel{∣}t ∈ [a,b]\}. On a f(c) ≥ f(x) > f(a) = f(b), donc c ∈]a,b[. Mais alors, le lemme ci dessus garantit que f'(c) = 0.

Corollaire 8.3.3 (formule des accroissements finis). Soit f : [a,b] → ℝ, continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c ∈]a,b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)f'(c).

Démonstration On applique le théorème de Rolle à g(t) = f(t) −{ f(b)−f(a) \over b−a} (t − a). On a g(b) = g(a) = f(a), g est, comme f, continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Donc il existe c ∈]a,b[ tel que g'(c) = 0 ; mais g'(c) = f'(c) −{ f(b)−f(a) \over b−a} d’où le résultat.

8.3.2 Monotonie et dérivation

Théorème 8.3.4 Soit I un intervalle de , f : I → ℝ continue sur I et dérivable sur {I}^{o}. Alors (i) f est constante sur I si et seulement si \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, f'(t) = 0 (ii) f est croissante sur I si et seulement si \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, f'(t) ≥ 0 (iii) f est décroissante sur I si et seulement si \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, f'(t) ≤ 0

Démonstration La définition de la dérivée f'(t) ={\mathop{ lim}}_{x→t,x\mathrel{≠}t}{ f(x)−f(t) \over x−t} montre clairement que les conditions sont nécessaires (prendre x > t et faire tendre x vers t). Inversement, si x,y ∈ I avec x < y, f est continue sur [x,y] ⊂ I et dérivable sur ]x,y[⊂ {I}^{o} et donc la formule des accroissements finis assure qu’il existe z ∈]x,y[⊂ {I}^{o} tel que f(y) − f(x) = (y − x)f'(z), ce qui montre immédiatement que les conditions sont suffisantes.

Corollaire 8.3.5 Soit I un intervalle de , f : I → ℝ continue sur I et dérivable sur {I}^{o}. Alors on a équivalence de (i) f est strictement croissante (ii) \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, f'(t) ≥ 0 et \{t ∈ {I}^{o}\mathrel{∣}f'(t) = 0\} est d’intérieur vide.

Démonstration (i)(ii) Si f est strictement croissante, alors \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, f'(t) ≥ 0 ; supposons que \{t ∈ {I}^{o}\mathrel{∣}f'(t) = 0\} n’est pas d’intérieur vide ; alors il contient un segment [a,b] avec a < b ; mais alors d’après le théorème précédent, f est constante sur [a,b] ce qui contredit la stricte monotonie de f.

(ii)(i) On sait que si \mathop{∀}t ∈ {I}^{o}, f'(t) ≥ 0, f est croissante ; supposons qu’elle n’est pas strictement croissante ; alors il existe a,b ∈ I tels que a < b et f(a) = f(b) ; en conséquence f est constante sur ]a,b[⊂ {I}^{o} et donc \mathop{∀}t ∈]a,b[, f'(t) = 0 ; donc l’intervalle ouvert ]a,b[ est contenu dans l’intérieur de \{t ∈ {I}^{o}\mathrel{∣}f'(t) = 0\}, c’est absurde.

8.3.3 Difféomorphismes

Théorème 8.3.6 Soit I et J deux intervalles de et f : I → J un homéomorphisme. Soit a ∈ I un point où f est dérivable. Alors {f}^{−1} est dérivable au point f(a) si et seulement si f'(a)\mathrel{≠}0. Dans ce cas, ({f}^{−1})'(f(a)) ={ 1 \over f'(a)} .

Démonstration Posons g = {f}^{−1}. On a g ∘ f ={ \mathrm{Id}}_{I}. Si f est dérivable au point a et g dérivable au point f(a), le théorème de dérivation des fonctions composées assure que 1 = ({\mathrm{Id}}_{I})'(a) = (g ∘ f)'(a) = g'(f(a))f'(a), donc f'(a)\mathrel{≠}0 et g'(f(a)) ={ 1 \over f'(a)} . Inversement supposons que f'(a)\mathrel{≠}0. On a alors {\mathop{lim}}_{t→a,t\mathrel{≠}a}{ t−a \over f(t)−f(a)} ={ 1 \over f'(a)} . Appliquons le théorème de composition des limites en posant t = g(u) (avec a = g(f(a))), en remarquant que u\mathrel{≠}f(a) ⇒ g(u)\mathrel{≠}a. On a donc, puisque g est continue au point f(a),

{\mathop{lim}}_{u→f(a),u\mathrel{≠}f(a)}{ g(u) − g(f(a)) \over u − f(a)} ={ 1 \over f'(a)}

Donc g est dérivable au point f(a).

Définition 8.3.1 Soit I et J deux intervalles de  ; on dit que f : I → J est un difféomorphisme de classe {C}^{n} (n ≥ 1) si f est bijective et f et {f}^{−1} sont de classe {C}^{n}.

Théorème 8.3.7 Soit n ≥ 1, f : I → ℝ. On a équivalence de (i) f est un {C}^{n} difféomorphisme de I sur f(I) (ii) f est de classe {C}^{n} et f' ne s’annule pas.

Démonstration (i)(ii) est clair d’après le théorème précédent. Inversement, supposons que f est de classe {C}^{n} et que f' ne s’annule pas. Alors f' garde un signe constant (elle est continue), et donc f est strictement monotone. Donc f définit un homéomorphisme de I sur J = f(I). Le théorème précédent assure que {f}^{−1} est dérivable sur I et que ({f}^{−1})' ={ 1 \over f'∘{f}^{−1}} ce qui garantit déjà la continuité de ({f}^{−1})'. Supposons alors que {f}^{−1} est de classe {C}^{k} avec k < n. Comme f' est de classe {C}^{k}, f' ∘ {f}^{−1} est de classe {C}^{k} ; il en est donc de même de { 1 \over f'∘{f}^{−1}} , donc de ({f}^{−1})' et donc {f}^{−1} est de classe {C}^{k+1} ; par récurrence, on en déduit que {f}^{−1} est de classe {C}^{n}.

8.3.4 Formule de Taylor Lagrange

Théorème 8.3.8 (Taylor-Lagrange). Soit f : [a,b] → ℝ de classe {C}^{n} sur [a,b] et n + 1 fois dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c ∈]a,b[ tel que

f(b) = f(a) +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(b − a)}^{k} +{ {f}^{(n+1)}(c) \over (n + 1)!} {(b − a)}^{n+1}

Démonstration Posons φ(t) = f(b) − f(t) −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(t) \over k!} {(b − t)}^{k} − λ{(b − t)}^{n+1}λ est choisi de telle sorte que φ(a) = 0 (c’est évidemment possible). Il est clair que φ est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ comme toutes les fonctions {f}^{(k)}, 0 ≤ k ≤ n. De plus

\begin{eqnarray*} φ'(t)& =& −f'(t) −{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k+1)}(t) \over k!} {(b − t)}^{k} %& \\ & \text{} & +{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(t) \over (k − 1)!} {(b − t)}^{k−1} + λ(n + 1){(b − t)}^{n}%& \\ & =& −f'(t) −{\mathop{∑ }}_{l=2}^{n+1}{ {f}^{(l)}(t) \over (l − 1)!} {(b − t)}^{l−1} %& \\ & \text{} & +{\mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(t) \over (k − 1)!} {(b − t)}^{k−1} + λ(n + 1){(b − t)}^{n}%& \\ & =& {(b − t)}^{n}\left ((n + 1)λ −{ {f}^{(n+1)}(t) \over n!} \right ) %& \\ \end{eqnarray*}

(tous les autres termes se détruisent deux à deux). D’après le théorème de Rolle, il existe c ∈]a,b[ tel que φ'(c) = 0, soit {(b − c)}^{n}\left ((n + 1)λ −{ {f}^{(n+1)}(c) \over n!} \right ) = 0. Comme b − c\mathrel{≠}0, on a λ ={ {f}^{(n+1)}(c) \over (n+1)!} . En écrivant que φ(a) = 0, on obtient alors la formule souhaitée.

Remarque 8.3.1 Pour n = 0, on trouve comme cas particulier la formule des accroissements finis. La même formule est encore valable si on prend f : [b,a] → ℝ.

8.3.5 Extensions du théorème des accroissements finis

Théorème 8.3.9 Soit f,g : [a,b] → ℝ continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[. Alors, il existe c ∈]a,b[ tel que \left |\matrix{\,f(b) − f(a)&f'(c) \cr g(b) − g(a)&g'(c)}\right | = 0.

Démonstration Posons

φ(t) = \left |\matrix{\,f(b) − f(a)&f(t) − f(a) \cr g(b) − g(a)&g(t) − g(a)}\right |

La fonction φ est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ avec φ'(t) = \left |\matrix{\,f(b) − f(a)&f'(t) \cr g(b) − g(a)&g'(t)}\right |. Comme φ(a) = φ(b) = 0, le théorème de Rolle garantit l’existence d’un c ∈]a,b[ tel que φ'(c) = 0.

Corollaire 8.3.10 (règle de L’Hôpital). Soit f,g : I → ℝ continues sur I, dérivables sur I ∖\{a\}. On suppose qu’il existe η > 0 tel que g' ne s’annule pas sur ]a − η,a + η[∖\{a\} et que { f' \over g'} a une limite au point a. Alors { f(t)−f(a) \over g(t)−g(a)} admet la même limite au point a.

Démonstration Le théorème de Rolle garantit déjà que g(t) − g(a) ne s’annule pas sur ]a − η,a + η[∖\{a\}. De plus le théorème précédent montre que pour t ∈]a − η,a + η[∖\{a\}, il existe {c}_{t} ∈]a,t[ (ou ]t,a[) tel que \left |\matrix{\,f(t) − f(a)&f'({c}_{t}) \cr g(t) − g(a)&g'({c}_{t})}\right | = 0 soit { f(t)−f(a) \over g(t)−g(a)} ={ f'({c}_{t}) \over g'({c}_{t})} . Quand t tend vers a, il en est de même de {c}_{t} et le théorème de composition des limites donne

{\mathop{lim}}_{t→a,t\mathrel{≠}a}{ f(t) − f(a) \over g(t) − g(a)} = ℓ

8.3.6 Fonctions convexes de classe {C}^{1}

Définition 8.3.2 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ une fonction de classe {C}^{1}. On dit que f est convexe si f' est croissante.

Remarque 8.3.2 Si f est de classe {C}^{2}, f est convexe si et seulement si f'' est positive.

Théorème 8.3.11 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ une fonction de classe {C}^{1} convexe. Alors (i) \mathop{∀}a,b ∈ I, \mathop{∀}t ∈ [0,1], f(ta + (1 − t)b) ≤ tf(a) + (1 − t)f(b) (ii) Γ = \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}x ∈ I\text{ et }y ≥ f(x)\} est une partie convexe de {ℝ}^{2} (iii) \mathop{∀}a,b ∈ I, f(b) ≥ f(a) + (b − a)f'(a) (iv) si a ∈ I, l’application I ∖\{a\} dans , t\mathrel{↦}{p}_{a}(t) ={ f(t)−f(a) \over t−a} est croissante (v) \mathop{∀}a,b,c ∈ I, a < b < c ⇒{ f(b)−f(a) \over b−a} ≤{ f(c)−f(a) \over c−a} ≤{ f(c)−f(b) \over c−b}

Démonstration (i) On peut évidemment supposer a < b. D’après le théorème des accroissements finis, il existe c ∈]a,b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)f'(c). Posons c = {t}_{0}a + (1 − {t}_{0})b. Soit φ(t) = tf(a) + (1 − t)f(b) − f(ta + (1 − t)b) pour t ∈ [0,1]. Alors φ est de classe {C}^{1} et φ'(t) = f(a) − f(b) − (a − b)f'(ta + (1 − t)b) = (b − a)(f'(ta + (1 − t)b) − f'({t}_{0}a + (1 − {t}_{0})b). Comme f' est croissante et t\mathrel{↦}ta + (1 − t)b est décroissante, la composée est décroissante et donc on a le tableau de variation







t 0 {t}_{0} 1






φ'(t) + 0






φ(t)0 0






ce qui montre que la fonction φ est positive sur [0,1].

(ii) Soit ({x}_{1},{y}_{1}) et ({x}_{2},{y}_{2}) dans Γ et t ∈ [0,1]. On a

t{y}_{1} + (1 − t){y}_{2} ≥ tf({x}_{1}) + (1 − t)f({x}_{2}) ≥ f(t{x}_{1} + (1 − t){x}_{2})

donc t({x}_{1},{y}_{1}) + (1 − t)({x}_{2},{y}_{2}) ∈ Γ. Donc Γ est convexe.

(iii) Posons φ(t) = f(t) − f(a) − (t − a)f'(a). La fonction φ est de classe {C}^{1} et φ'(t) = f'(t) − f'(a). Comme f' est croissante, on a le tableau de variation







t a






φ'(t)+ 0






φ(t) 0






ce qui montre que la fonction φ est positive sur I.

(iv) Posons {p}_{a}(t) ={ f(t)−f(a) \over t−a} si t\mathrel{≠}a et {p}_{a}(a) = f'(a). La fonction {p}_{a} est continue sur I, dérivable sur I ∖\{a\} et {p}_{a}'(t) ={ f(a)−f(t)−(a−t)f'(t) \over {(t−a)}^{2}} ≥ 0 d’après (iii). On en déduit que {p}_{a} est croissante.

(v) D’après (iv), on a {p}_{a}(b) ≤ {p}_{a}(c) = {p}_{c}(a) ≤ {p}_{c}(b) ce qui est le résultat souhaité.

Théorème 8.3.12 Soit f : I → ℝ de classe {C}^{1} convexe. Alors, pour tout ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) ∈ {I}^{n}, pour toute famille ({α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{n}) ∈ {({ℝ}^{+})}^{n} telle que {α}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {α}_{n} = 1, on a

f({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{α}_{ i}{x}_{i}) ≤{\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{α}_{ i}f({x}_{i})

Démonstration Par récurrence sur n. Si n = 2, on a {α}_{2} = 1 − {α}_{1} et {α}_{1} ∈ [0,1]. L’inégalité se réduit à l’assertion (i) du théorème précédent. Supposons le résultat vrai pour n − 1 et montrons le pour n. Si {α}_{n} = 0, on est immédiatement ramené au cas n − 1. On peut donc supposer {α}_{n}\mathrel{≠}0. Si {α}_{n} = 1, alors tous les autres {α}_{i} sont nuls et l’inégalité est triviale. On peut donc supposer {α}_{n} ∈]0,1[. On écrit alors {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{α}_{i}{x}_{i} = {α}_{n}{x}_{n} + (1 − {α}_{n})y avec y ={ {α}_{1}{x}_{1}+\mathop{\mathop{…}}+{α}_{n−1}{x}_{n−1} \over {α}_{1}+\mathop{\mathop{…}}+{α}_{n−1}} = {β}_{1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}}{β}_{n−1}{x}_{n−1} ∈ I. On a alors {β}_{i} ≥ 0 et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n−1}{β}_{i} = 1. On peut donc écrire (par l’hypothèse de récurrence) f(y) ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n−1}{β}_{i}f({x}_{i}) soit

\begin{eqnarray*} f({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{α}_{ i}{x}_{i})& =& f({α}_{n}{x}_{n} + (1 − {α}_{n})y) ≤ {α}_{n}f({x}_{n}) + (1 − {α}_{n})f(y) %& \\ & ≤& {α}_{n}f({x}_{n}) + (1 − {α}_{n}){\mathop{∑ }}_{i=1}^{n−1}{β}_{ i}f({x}_{i}) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{α}_{ i}f({x}_{i})%& \\ \end{eqnarray*}

puisque (1 − {α}_{n}){β}_{i} = {α}_{i}.

Corollaire 8.3.13 (inégalité de Hölder). Soit p,q ∈ {ℝ}^{+∗} tels que { 1 \over p} +{ 1 \over q} = 1. Pour toute famille {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n},{b}_{1},\mathop{\mathop{…}},{b}_{n} de réels positifs, on a

{\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}{b}_{i} ≤{\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p}{\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{b}_{ i}^{q}\right )}^{1∕q}

Démonstration Posons A ={ \left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{a}_{i}^{p}\right )}^{1∕p}, B ={ \left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{b}_{i}^{q}\right )}^{1∕q}. La fonction exponentielle étant convexe sur , on a \mathop{∀}s,t ∈ ℝ, {e}^{{ s \over p} +{ t \over q} } ≤{ 1 \over p} {e}^{s} +{ 1 \over q} {e}^{t}. Si {a}_{i} et {b}_{i} sont non nuls, en appliquant ceci à s = p\mathop{log} { {a}_{i} \over A} et t = q\mathop{log} { {b}_{i} \over B} , on obtient { {a}_{i} \over A} { {b}_{i} \over B} ≤{ 1 \over p} { {a}_{i}^{p} \over {A}^{p}} +{ 1 \over q} { {b}_{i}^{q} \over {B}^{q}} , inégalité qui reste vrai si {a}_{i}{b}_{i} = 0 ; en sommant de i = 1 jusque n on obtient

{ 1 \over AB} {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}{b}_{i} ≤{ 1 \over p{A}^{p}} { \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}^{p} +{ 1 \over q{B}^{q}} { \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{b}_{ i}^{q} ={ 1 \over p} +{ 1 \over q} = 1

soit {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{a}_{i}{b}_{i} ≤ AB ce qu’on voulait démontrer.

Corollaire 8.3.14 (inégalité de Minkowski). Soit p ≥ 1. Pour toute famille {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n},{b}_{1},\mathop{\mathop{…}},{b}_{n} de réels positifs, on a

{ \left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{({a}_{ i} + {b}_{i})}^{p}\right )}^{1∕p} ≤{\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p} +{ \left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{b}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p}

Démonstration C’est évident si p = 1 ; si p > 1, définissons q par la condition { 1 \over p} +{ 1 \over q} = 1 ; on écrit {({a}_{i} + {b}_{i})}^{p} = {a}_{i}{({a}_{i} + {b}_{i})}^{p−1} + {b}_{i}{({a}_{i} + {b}_{i})}^{p−1} et on applique deux fois l’inégalité de Hölder. On obtient alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{({a}_{ i} + {b}_{i})}^{p}& ≤&{ \left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p}{\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{({a}_{ i} + {b}_{i})}^{(p−1)q}\right )}^{1∕q} %& \\ & \text{} & +{\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{b}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p}{\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{({a}_{ i} + {b}_{i})}^{(p−1)q}\right )}^{1∕q}%& \\ \end{eqnarray*}

Mais (p − 1)q = p et l’inégalité ci dessus s’écrit donc après mise en facteur

\begin{eqnarray*}{ \left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{({a}_{ i} + {b}_{i})}^{p}\right )}^{1∕p}&& %& \\ & ≤& \left ({\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p} +{ \left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{b}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p}\right ){\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{({a}_{ i} + {b}_{i})}^{p}\right )}^{1∕q}%& \\ \end{eqnarray*}

Si {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{({a}_{i} + {b}_{i})}^{p} = 0, l’inégalité cherchée est évidente ; sinon, on peut diviser les deux membres par {\left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{({a}_{i} + {b}_{i})}^{p}\right )}^{1∕q} et on obtient (en tenant compte de 1 −{ 1 \over p} ={ 1 \over q} )

{ \left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{({a}_{ i} + {b}_{i})}^{p}\right )}^{1∕p} ≤{\left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{a}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p} +{ \left ({\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{b}_{ i}^{p}\right )}^{1∕p}