8.2 Dérivée

8.2.1 Notion de dérivée

Définition 8.2.1 Soit I un intervalle de , E un espace vectoriel normé et f : I → E. On dit que f est dérivable en a ∈ I si existe {\mathop{lim}}_{x→a,x\mathrel{≠}a}{ f(x)−f(a) \over x−a}  ; dans ce cas cette limite est appelée la dérivée de f au point a et notée f'(a).

Remarque 8.2.1 Comme toute notion de limite, il s’agit d’une notion locale : f : I → E est dérivable au point a si et seulement si sa restriction à ]a − η,a + η[∩I est dérivable au point a.

Proposition 8.2.1 Si f est dérivable au point a ∈ I elle est continue au point a.

Démonstration On écrit pour x\mathrel{≠}a, { f(x)−f(a) \over x−a} = f'(a) + ε(x − a) avec {\mathop{lim}}_{h→0}ε(h) = 0 ; on a donc f(x) = f(a) + (x − a)f'(a) + (x − a)ε(x − a) ce qui montre que {\mathop{lim}}_{x→a,x\mathrel{≠}a}f(x) = f(a) ; donc f est continue au point a.

Définition 8.2.2 Soit I un intervalle de , E un espace vectoriel normé et f : I → E. On dit que f est dérivable si elle est dérivable en tout point de I ; l’application f' : a\mathrel{↦}f'(a) est appelée la dérivée de f.

Remarque 8.2.2 On a donc : f dérivable ⇒ f continue.

8.2.2 Opérations sur les dérivées

Théorème 8.2.2 Soit I un intervalle de , E un espace vectoriel normé et f et g des applications de I dans E dérivables au point a ; si α et β sont des scalaires, αf + βg est dérivable au point a et (αf + βg)'(a) = αf'(a) + βg'(a).

Démonstration Il suffit de remarquer que { (αf+βg)(x)−(αf+βg)(a) \over x−a} = α{ f(x)−f(a) \over x−a} + β{ g(x)−g(a) \over x−a} et d’appliquer les théorèmes sur les limites.

Théorème 8.2.3 Soit I un intervalle de , E,F,G trois espaces vectoriels normés, f : I → E, g : I → F ; soit u : E × F → G une application bilinéaire continue et h : I → G, t\mathrel{↦}u(f(t),g(t)). Si f et g sont dérivables au point a, alors h est dérivable au point a et h'(a) = u(f'(a),g(a)) + u(f(a),g'(a)).

Démonstration On vérifie immédiatement que { h(x)−h(a) \over x−a} = u({ f(x)−f(a) \over x−a} ,g(x)) + u(f(a),{ g(x)−g(a) \over x−a} ). Or {\mathop{lim}}_{x→a,x\mathrel{≠}a}{ f(x)−f(a) \over x−a} = f'(a), {\mathop{lim}}_{x→a,x\mathrel{≠}a}g(x) = g(a) et {\mathop{lim}}_{x→a,x\mathrel{≠}a}{ g(x)−g(a) \over x−a} = g'(a). Comme u est continue, on a {\mathop{lim}}_{x→a,x\mathrel{≠}a}{ h(x)−h(a) \over x−a} = u(f'(a),g(a)) + u(f(a),g'(a)).

Remarque 8.2.3 Ce théorème s’étend immédiatement au cas d’une application p-linéaire continue u : {E}_{1} ×\mathrel{⋯} × {E}_{p} dans G. Dans ce cas on a

h'(a) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{p}u({f}_{ 1}(a),\mathop{…},{f}_{i−1}(a),{f}_{i}'(a),{f}_{i+1}(a),\mathop{…},{f}_{p}(a))

En particulier, dans le cas d’un déterminant on retiendra

\begin{eqnarray*} [{\mathop{\mathrm{det}} }_{ℰ}({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{n})]'(a)&& %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ \mathrm{det} }_{ ℰ}({f}_{1}(a),\mathop{…},{f}_{i−1}(a),{f}_{i}'(a),{f}_{i+1}(a),\mathop{…},{f}_{n}(a))%& \\ \end{eqnarray*}

Théorème 8.2.4 Soit φ : I → ℝ et f : J → E avec φ(I) ⊂ J ; soit a ∈ I. Si φ est dérivable au point a et si f est dérivable au point f(a), alors f ∘ φ est dérivable au point a et (f ∘ φ)'(a) = φ'(a)f'(φ(a)).

Démonstration En effet la dérivabilité de f au point φ(a) peut se traduire par

f(x) − f(φ(a)) = (x − φ(a))f'(φ(a)) + (x − φ(a))ε(x)

avec {\mathop{lim}}_{x→φ(a)}ε(x) = 0. On a donc

f(φ(t)) − f(φ(a)) = (φ(t) − φ(a))f'(φ(a)) + (φ(t) − φ(a))ε(φ(t))

avec {\mathop{lim}}_{t→a}ε(φ(t)) = 0 puisque φ est continue au point a.

De même la dérivabilité de φ au point a se traduit par

φ(t) − φ(a) = (t − a)φ'(a) + o(t − a)

On obtient alors en rempla\c{c}ant

f(φ(t)) − f(φ(a)) = (t − a)φ'(a)f'(φ(a)) + o(t − a)

ce qui montre que

{\mathop{lim}}_{t→a,t\mathrel{≠}a}{f(φ(t)) − f(φ(a))\over t − a} = φ'(a)f'(φ(a))

Théorème 8.2.5 Soit f : I → ℝ, a ∈ I tel que f(a)\mathrel{≠}0. Si f est dérivable au point a, il existe ε > 0 tel que f ne s’annule pas sur J = I∩]a − ε,a + ε[. La fonction { 1 \over f} est dérivable au point a et \left ({ 1 \over f} \right )'(a) = −{ f'(a) \over f{(a)}^{2}} .

Démonstration La fonction f étant continue au point a, il existe ε > 0 tel que t ∈ I∩]a − ε,a + ε[⇒|f(t) − f(a)| <{ |f(a)| \over 2}  ; on en déduit que t ∈ J ⇒ f(t)\mathrel{≠}0. Pour t ∈ J ∖\{a\} on a { 1 \over t−a} \left ({ 1 \over f} (t) −{ 1 \over f} (a)\right ) = −{ 1 \over f(t)f(a)} { f(t)−f(a) \over t−a} qui tend vers −{ f'(a) \over f{(a)}^{2}} quand t tend vers a.

8.2.3 Dérivées d’ordre supérieur

Définition 8.2.3 Soit I un intervalle de , E un espace vectoriel normé et f : I → E. Soit n ≥ 1. On dit que f est n fois dérivable au point a ∈ I s’il existe η > 0 tel que f est n − 1 fois dérivable sur I∩]a − η,a + η[ et si l’application {f}^{(n−1)} est dérivable au point a ; on pose alors {f}^{(n)}(a) = ({f}^{(n−1)})'(a). On dit que f est n fois dérivable sur I si elle est n fois dérivable en tout point de I ; on dit que f est de classe {C}^{n} si elle est n fois dérivable sur I et si {f}^{(n)} est continue sur I ; on dit que f est {C}^{∞} si elle est de classe {C}^{n} pour tout n.

Remarque 8.2.4 Puisque toute fonction dérivable est continue, si f est n fois dérivable, elle est de classe {C}^{n−1}.

Théorème 8.2.6 (Leibnitz). Soit I un intervalle de , E,F,G trois espaces vectoriels normés, f : I → E, g : I → F ; soit u : E × F → G une application bilinéaire continue et h : I → G, t\mathrel{↦}u(f(t),g(t)). Si f et g sont n fois dérivables au point a, alors h est n fois dérivable au point a et

{h}^{(n)}(a) ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{C}_{ n}^{p}u({f}^{(p)}(a),{g}^{(n−p)}(a))

Démonstration Par récurrence sur n ; le résultat a déjà été vu pour n = 1 ; supposons le vrai pour n − 1 et soit ε > 0 tel que f et g soient n − 1 fois dérivables sur I∩]a − η,a + η[. L’hypothèse de récurrence implique que h est n − 1 fois dérivable sur I∩]a − η,a + η[ et que sa dérivée {(n − 1)}^{\text{ième}} est donnée par

{h}^{(n−1)}(t) ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n−1}{C}_{ n−1}^{p}u({f}^{(p)}(t),{g}^{(n−1−p)}(t))

Mais toutes les applications {f}^{(p)}, {g}^{(n−1−p)} sont dérivables au point a ; il en est donc de même des applications t\mathrel{↦}u({f}^{(p)}(t),{g}^{(n−1−p)}(t)), et donc de {h}^{(n−1)}. Donc h est n fois dérivable au point a et

\begin{eqnarray*}{ h}^{(n)}(a)& =& {\mathop{∑ }}_{p=0}^{n−1}{C}_{ n−1}^{p}(u({f}^{(p+1)}(a),{g}^{(n−1−p)}(a))%& \\ & \text{} & \quad + u({f}^{(p)}(a),{g}^{(n−p)}(a))) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{p=1}^{n}{C}_{ n−1}^{p−1}u({f}^{(p)}(a),{g}^{(n−p)}(a)) %& \\ & \text{} & \quad +{ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n−1}{C}_{ n−1}^{p}u({f}^{(p)}(a),{g}^{(n−p)}(a)) %& \\ \end{eqnarray*}

en changeant dans la première somme p + 1 en p ; puis

\begin{eqnarray*}{ h}^{(n)}(a)& =& u(f(a),{g}^{(n)}(a)) %& \\ & \text{} & +{\mathop{∑ }}_{p=1}^{n−1}({C}_{ n−1}^{p−1} + {C}_{ n−1}^{p})u({f}^{(p)}(a),{g}^{(n−p)}(a))%& \\ & \text{} & +u({f}^{(n)}(a),g(a)) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{C}_{ n}^{p}u({f}^{(p)}(a),{g}^{(n−p)}(a)) %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui achève la récurrence.

Corollaire 8.2.7 Sous les mêmes hypothèses, si f et g sont de classe {C}^{n}, h est de classe {C}^{n}.

Démonstration C’est clair d’après la formule ci dessus.

Théorème 8.2.8 Soit φ : I → ℝ et f : J → E avec φ(I) ⊂ J ; soit a ∈ I. Si φ est n fois dérivable au point a et si f est n fois dérivable au point f(a), alors f ∘ φ est n fois dérivable au point a.

Démonstration Par récurrence sur n ; le résultat a déjà été vu pour n = 1 ; supposons le vrai pour n − 1 et soit η > 0 tel que f ∘ φ soit dérivable sur I∩]a − η,a + η[ avec (f ∘ φ)' = φ'(f' ∘ φ). Comme f' et φ sont n − 1 fois dérivables en a, l’hypothèse de récurrence implique que f' ∘ φ est n − 1 fois dérivable en a ; comme φ' l’est également, le théorème de Leibnitz appliqué au produit ordinaire assure que (f ∘ φ)' = φ'(f' ∘ φ) est n − 1 fois dérivable au point a, donc que f ∘ φ est n fois dérivable au point a.

Corollaire 8.2.9 Sous les mêmes hypothèses, si f et φ sont de classe {C}^{n}, f ∘ φ est de classe {C}^{n}.