8.1 Monotonie, continuité

8.1.1 Limites et monotonie

Proposition 8.1.1 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ croissante. Alors

Démonstration (i) Supposons que a n’est pas l’extrémité gauche de I. Pour x < a on a f(x) ≤ f(a). Soit m ={\mathop{ sup}}_{x<a}f(x) ≤ f(a). Soit ε > 0. Il existe {x}_{0} < a tel que m − ε < f({x}_{0}) ≤ m. Alors x ∈]{x}_{0},a[⇒ m − ε < f({x}_{0}) ≤ f(x) ≤ m et donc m ={\mathop{ lim}}_{x→a,x<a}f(x). De même, si a n’est pas l’extrémité gauche de I et si M ={\mathop{ inf} }_{x>a}f(x) ≥ f(a), on a M ={\mathop{ lim}}_{x→a,x>a}f(x).

(ii) f admet de toute fa\c{c}on dans \overline{ℝ} la limite {\mathop{sup}}_{x∈I}f(x) (comme ci dessus) ; cette limite est dans si et seulement si f est majorée sur I ; similaire pour (iii).

Remarque 8.1.1 On a un résultat similaire pour les applications décroissantes :

Proposition 8.1.2 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ décroissante. Alors (i) f admet en tout point a de I (dans la mesure où cela a un sens) une limite à gauche f(a−) et une limite à droite f(a+) dans avec f(a−) ≥ f(a) ≥ f(a+) (ii) f admet en l’extrémité droite b de I une limite si et seulement si elle est minorée sur I ; dans le cas contraire {\mathop{lim}}_{x→b,x<b}f(x) = −∞ (iii) f admet en l’extrémité gauche a de I une limite si et seulement si elle est majorée sur I ; dans le cas contraire {\mathop{lim}}_{x→a,x>a}f(x) = +∞

8.1.2 Continuité et monotonie

Lemme 8.1.3 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ monotone. Alors f est continue si et seulement si f(I) est un intervalle.

Démonstration La condition est évidemment nécessaire d’après le théorème des valeurs intermédiaires. Inversement supposons que f(I) est un intervalle et a ∈ I. On peut par exemple supposer que f est croissante. Supposons que f(a) < f(a+) (ce qui sous entend que a n’est pas l’extrémité droite de I). Soit x > a. On a alors f(a) < f(a+) ≤ f(x) (puisque f(a+) ={\mathop{ inf} }_{t>a}f(t)). En particulier ]f(a),f(a+)[⊂ [f(a),f(x)] ⊂ f(I) (convexité des intervalles). Soit alors y ∈]f(a),f(a+)[ ; on peut poser y = f(t) pour t ∈ I. Mais si t ≤ a, on a y = f(t) ≤ f(a) et si t > a on a y = f(t) ≥ f(a+). C’est absurde. Donc f(a) = f(a+). On montre de même que si a n’est pas l’extrémité gauche de I, f(a) = f(a−). Donc f est continue sur I.

Théorème 8.1.4 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ continue strictement monotone. Alors J = f(I) est un intervalle de et f induit un homéomorphisme de I sur J.

Démonstration On sait déjà que J est un intervalle ; alors {f}^{−1} : J → I est encore strictement monotone et {f}^{−1}(J) = I est un intervalle, donc {f}^{−1} est continue. Donc f induit un homéomorphisme de I sur J.

Le théorème suivant montre que réciproquement, la condition de stricte monotonie est une condition nécessaire pour un homéomorphisme d’un intervalle sur un autre.

Théorème 8.1.5 Soit I un intervalle de et f : I → ℝ continue. Alors f est injective si et seulement si elle est strictement monotone.

Démonstration La condition est évidemment suffisante. Inversement, supposons f continue et injective. Soit X = \{(x,y) ∈ I × I\mathrel{∣}x < y\} et g : X → ℝ définie par g(x,y) = f(y) − f(x). Alors X est connexe (car convexe) et g est continue. L’ensemble g(X) est donc un intervalle de et cet intervalle ne contient pas 0 car g est injective. Donc soit g(X) ⊂]0,+∞[ (auquel cas f est strictement croissante), soit g(X) ⊂] −∞,0[ (auquel cas f est strictement décroissante).