7.8 Espaces de suites

Définition 7.8.1 On dit qu’une suite {({x}_{n})}_{n∈ℕ} de nombres réels ou complexes est sommable si la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} est absolument convergente.

Proposition 7.8.1 L’ensemble {ℓ}^{1}(ℕ) des suites sommables de nombres complexes est un sous espace vectoriel de {ℂ}^{ℕ}. L’application u = {({u}_{n})}_{n∈ℕ}\mathrel{↦}\|{u\|}_{1} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}|{u}_{n}| est une norme sur cet espace vectoriel. L’application u\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n∈ℕ}{u}_{n} est linéaire de {ℓ}^{1}(ℕ) dans .

Démonstration Si ({u}_{n}) et ({v}_{n}) sont deux suites sommables et α,β ∈ ℂ, les suites (|{u}_{n}|) et (|{v}_{n}|) sont sommables ; il en est donc de même de la suite (|α||{u}_{n}| + |β||{v}_{n}|) (résultat sur les séries à réels positifs) et donc de la suite (|α{u}_{n} + β{v}_{n}|) puisque |α{u}_{n} + β{v}_{n}|≤|α||{u}_{n}| + |β||{v}_{n}|. Donc la suite (α{u}_{n} + β{v}_{n}) est sommable. La suite nulle étant de surcroît sommable, l’ensemble {ℓ}^{1}(ℕ) des suites sommables de nombres complexes est un sous espace vectoriel de {ℂ}^{ℕ}. La vérification des propriétés d’une norme est élémentaire. On a alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}(α{u}_{ n} + β{v}_{n})& =& {\mathop{lim}}_{p→+∞}{\mathop{∑ }}_{n=0}^{p}(α{u}_{ n} + β{v}_{n}) %& \\ & =& α{\mathop{lim}}_{p→+∞}{\mathop{∑ }}_{n=0}^{p}{u}_{ n} + β{lim}_{p→+∞}{\mathop{∑ }}_{n=0}^{p}{v}_{ n}%& \\ & =& α{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n} + β{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{v}_{ n} %& \\ \end{eqnarray*}

d’où la linéarité de u\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n}.

Proposition 7.8.2 L’ensemble {ℓ}^{2}(ℕ) des suites de nombres complexes dont les carrés forment une suite sommable est un sous-espace vectoriel de {ℂ}^{ℕ}. L’application (u,v) = \left ({({u}_{n})}_{n∈ℕ},{({v}_{n})}_{n∈ℕ}\right )\mathrel{↦}(u\mathrel{∣}v) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}\overline{{u}_{n}}{v}_{n} est un produit scalaire hermitien sur cet espace ; en conséquence l’application u = {({u}_{n})}_{n∈ℕ}\mathrel{↦}\|{u\|}_{2} ={ \left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}|{u}_{n}{|}^{2}\right )}^{1∕2} est une norme sur cet espace vectoriel.

Démonstration Il est clair que si ({u}_{n}) est de carré sommable, il en est de même de α({u}_{n}) = (α{u}_{n}). Si ({u}_{n}) et ({v}_{n}) sont de carré sommable, l’inégalité élémentaire |{u}_{n} + {v}_{n}{|}^{2} ≤ 2|{u}_{n}{|}^{2} + 2|{v}_{n}{|}^{2} montre que la suite ({u}_{n} + {v}_{n}) est de carré sommable. La suite nulle étant de surcroît de carré sommable, les suites de carrés sommables forment donc bien un sous-espace vectoriel de {ℂ}^{ℕ}. Si ({u}_{n}) et ({v}_{n}) sont de carré sommable, l’inégalité élémentaire |\overline{{u}_{n}}{v}_{n}|≤{ 1 \over 2} |{u}_{n}{|}^{2} +{ 1 \over 2} |{v}_{n}{|}^{2} montre que la suite (\overline{{u}_{n}}{v}_{n}) est sommable. On peut donc poser (u\mathrel{∣}v) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}\overline{{u}_{n}}{v}_{n}. Il est clair que (u,v)\mathrel{↦}(u\mathrel{∣}v) est sesquilinéaire hermitienne. De plus, si u\mathrel{≠}0, (u\mathrel{∣}u) ∈ {ℝ}^{+∗} ce qui montre que cette forme sesquilinéaire est définie positive ; on a donc un produit scalaire hermitien et la norme associée est \|{u\|}_{2}^{2} = (u\mathrel{∣}u).

Remarque 7.8.1 Le théorème ci dessus n’est plus valable pour des séries convergentes : posons {a}_{n} = {b}_{n} ={ {(−1)}^{n} \over \sqrt{n+1}} . On a |{c}_{n}| ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}{ 1 \over \sqrt{(k+1)(n−k+1)}} . Mais pour k ∈ [0,n], (k + 1)(n − k + 1) ≤ {({ n \over 2} + 1)}^{2} (facile). Donc |{c}_{n}|≥{ n+1 \over { n \over 2} +1} qui tend vers 2 ; donc la suite ({c}_{n}) ne tend pas vers 0 et la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n} diverge.