7.7 Séries doubles

En anticipant un peu sur le chapitre concernant les séries de fonctions, nous ferons appel au lemme suivant pour la démonstration du théorème fondamental sur les séries doubles.

Lemme 7.7.1 (Weierstrass : théorème de convergence dominée pour les séries) Soit {({x}_{n,q})}_{(n,q)∈ℕ×ℕ} une famille de nombres réels ou complexes indexée qar ℕ × ℕ. On fait les hypothèses suivantes

Alors, pour chaque q ∈ ℕ, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{x}_{n,q} est absolument convergente ainsi que la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{y}_{n}, la suite {\left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n,q}\right )}_{q∈ℕ} admet une limite quand q tend vers + ∞ et on a

{\mathop{lim}}_{q→+∞}{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n,q} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{y}_{ n}

autrement dit

{\mathop{lim}}_{q→+∞}{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n,q} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{lim}_{ q→+∞}{x}_{n,q}

(interversion de la limite et du signe somme)

Démonstration L’inégalité |{x}_{n,q}|≤ {α}_{n}, celle qui s’en déduit par passage à la limite |{y}_{n}|≤ {α}_{n} et la convergence de la série \mathop{\mathop{∑ }} {α}_{n} montrent les convergences absolues des séries {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{x}_{n,q} et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{y}_{n}. Prenons donc ε > 0 et choisissons M tel que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=M+1}^{+∞}{α}_{n} < {ε\over 4}. On a alors

\begin{eqnarray*} \left |{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{y}_{ n} −{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n,q}\right |& ≤& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}|{y}_{ n} − {x}_{n,q}|≤{\mathop{∑ }}_{n=0}^{M}|{y}_{ n} − {x}_{n,q}| +{ \mathop{∑ }}_{n=M+1}^{+∞}(|{y}_{ n}| + |{x}_{n,q}|)%& \\ & ≤& {\mathop{∑ }}_{n=0}^{M}|{y}_{ n} − {x}_{n,q}| + 2{\mathop{∑ }}_{n=M+1}^{+∞}{α}_{ n} ≤{\mathop{∑ }}_{n=0}^{M}|{y}_{ n} − {x}_{n,q}| + {ε\over 2} %&\\ \end{eqnarray*}

Maintenant, on a {\mathop{lim}}_{q→+∞}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{M}|{y}_{n} − {x}_{n,q}| = 0 (chacun des termes de cette somme admet 0 pour limite), et donc il existe N ∈ ℕ tel que q ≥ N ⇒{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{M}|{y}_{n} − {x}_{n,q}| < {ε\over 2}. On a donc

q ≥ N ⇒\left |{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{y}_{ n} −{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n,q}\right |≤ {ε\over 2} + {ε\over 2} = ε

ce qui montre que la suite {\left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n,q}\right )}_{q∈ℕ} admet la limite {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{y}_{n} quand q tend vers + ∞.

Remarque 7.7.1 Le lecteur qui a déjà des connaissances sur les séries de fonctions, remarquera qu’il s’agit là tout simplement du théorème d’interversion des limites dans le cas de convergence normale (donc uniforme) d’une série de fonctions.

Nous pouvons maintenant démontrer le théorème d’interversion des signes somme dans les séries doubles.

Théorème 7.7.2 Soit u = {({u}_{n,p})}_{(n,p)∈ℕ×ℕ} une famille de nombres réels ou complexes indexée par ℕ × ℕ. On suppose que

Alors les séries {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}\left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{+∞}{u}_{n,p}\right ) et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p}\left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n,p}\right ) sont convergentes et on a

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{u}_{ n,p}\right ) ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n,p}\right )

Démonstration Nous allons appliquer le lemme précédent en posant {x}_{n,q} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{q}{u}_{n,p} et {α}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{+∞}|{u}_{n,p}| et bien entendu {y}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{+∞}{u}_{n,p} ={\mathop{ lim}}_{q→+∞}{x}_{n,q}. Les hypothèses du lemme étant évidemment vérifiées, on sait que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n,q} admet la limite {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{y}_{n} quand q tend vers + ∞. Mais, puisque l’on a l’égalité |{u}_{n,p}|≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{+∞}|{u}_{n,p}|, la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n}{u}_{n,p} est absolument convergente pour tout p ∈ ℕ et donc, par linéarité de la somme,

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n,q} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{\mathop{∑ }}_{p=0}^{q}{u}_{ n,p} ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{q}{ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n,p}

L’existence de {\mathop{lim}}_{q→+∞}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n,q} montre donc que la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n,p} est convergente et a pour somme {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{y}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{+∞}{u}_{n,p} autrement dit que

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{u}_{ n,p}\right ) ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n,p}\right )

Remarque 7.7.2 En appliquant le théorème à la suite u' = {(|{u}_{n,p}|)}_{(n,p)∈ℕ×ℕ}, on constate que la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p}\left ({\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}|{u}_{n,p}|\right ) est convergente, ce qui implique la convergence absolue de la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p}{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{u}_{n,p}.

Remarque 7.7.3 On pourra retenir le théorème précédent sous la forme suivante

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}|{u}_{ n,p}|\right ) < +∞⇒{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{u}_{ n,p}\right ) ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{u}_{ n,p}\right )