7.6 Opérations sur les séries

7.6.1 Combinaisons linéaires

Proposition 7.6.1 Soit E un espace vectoriel normé, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} deux séries à termes dans E, α et β deux scalaires. Si \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} sont convergentes (resp. absolument convergentes), il en est de même de la série \mathop{\mathop{∑ }} (α{a}_{n} + β{b}_{n}) et alors

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}(α{a}_{ n} + β{b}_{n}) = α{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n} + β{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{b}_{ n}

Démonstration Le résultat a déjà été vu pour la convergence ; pour la convergence absolue, il résulte de \|α{a}_{n} + β{b}_{n}\| ≤|α|\,\|{a}_{n}\| + |β|\,\|{b}_{n}\|

Corollaire 7.6.2 Soit ({z}_{n}) une suite de nombres complexes, {z}_{n} = {x}_{n} + i{y}_{n}, {x}_{n},{y}_{n} ∈ ℝ. Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {z}_{n} est convergente (resp. absolument convergente) si et seulement si les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} le sont.

Démonstration Le sens direct résulte de {x}_{n} ={ 1 \over 2} ({z}_{n} + \overline{{z}_{n}}) et {y}_{n} ={ 1 \over 2i} ({z}_{n} −\overline{{z}_{n}}). La réciproque est évidente.

7.6.2 Sommation par paquets

Théorème 7.6.3 (Sommation par paquets) Soit E un espace vectoriel normé, \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes dans E, φ une application strictement croissante de dans . On pose {y}_{0} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{φ(0)}{x}_{k} et pour n ≥ 1, {y}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=φ(n−1)+1}^{φ(n)}{x}_{k}. Alors

  • (i) si la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge, la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} converge et a même somme
  • (ii) la réciproque est vraie dans les deux cas suivants
    • (a) la suite {x}_{n} tend vers 0 et la suite φ(n + 1) − φ(n) (la taille des ”paquets”) est majorée
    • (b) E = ℝ et à l’intérieur de chaque ”paquet” (k ∈ [φ(n − 1) + 1,φ(n)]), tous les {x}_{k}, sont de même signe.

Démonstration On a d’abord

{S}_{n}(y) ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{n}({\mathop{∑ }}_{k=φ(n−1)+1}^{φ(n)}{x}_{ k}) ={ \mathop{∑ }}_{k=0}^{φ(n)}{x}_{ k} = {S}_{φ(n)}(x)

(en convenant que φ(−1) = −1). La suite {S}_{n}(y) est donc une sous suite de la suite {S}_{n}(x), ce qui montre l’assertion (i).

(ii.a) Soit S ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{y}_{n} et K tel que \mathop{∀}n, φ(n + 1) − φ(n) ≤ K. Soit n ∈ ℕ et p l’unique entier tel que φ(p − 1) < n ≤ φ(p). On a alors

{S}_{p}(y) − {S}_{n}(x) = {S}_{φ(p)}(x) − {S}_{n}(x) ={ \mathop{∑ }}_{k=n+1}^{φ(p)}{x}_{ k}

Soit alors ε > 0 et N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\| {x}_{n}\| <{ ε \over 2K} . Alors pour n ≥ N, on a \|{S}_{p}(y) − {S}_{n}(x)\| ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{k=n+1}^{φ(p)}\|{x}_{k}\| ≤ (φ(p) − n){ ε \over 2K} ≤{ ε \over 2} . Mais il existe N' tel que q ≥ N' ⇒\| S − {S}_{q}(y)\| <{ ε \over 2} . Si on choisit n ≥\mathop{ max}(N,φ(N')), on a p ≥ N' et donc

\|S − {S}_{n}(x)\| ≤\| S − {S}_{p}(y)\| +\| {S}_{p}(y) − {S}_{n}(x)\| < ε

ce qui montre que la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge.

(ii.b) La démonstration est similaire mais on remarque que

\begin{eqnarray*} |{S}_{p}(y) − {S}_{n}(x)|& =& |{\mathop{∑ }}_{k=n+1}^{φ(p)}{x}_{ k}| ={ \mathop{∑ }}_{k=n+1}^{φ(p)}|{x}_{ k}| %& \\ & ≤& {\mathop{∑ }}_{k=φ(p−1)+1}^{φ(p)}|{x}_{ k}| = |{\mathop{∑ }}_{k=φ(p−1)+1}^{φ(p)}{x}_{ k}|%& \\ & =& |{y}_{p}| %& \\ \end{eqnarray*}

(car tous les {x}_{k} sont de même signe). Comme la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{q} converge, pour q ≥ N on a |{y}_{q}| <{ ε \over 2} . Alors pour n ≥ φ(N), on a p ≥ N et donc |{S}_{p}(y) − {S}_{n}(x)|≤|{y}_{p}| <{ ε \over 2} . On achève alors la démonstration comme dans le cas précédent.

Remarque 7.6.1 La réciproque de (i) n’est pas valable en toute généralité comme le montre l’exemple de la série \mathop{\mathop{∑ }} {(−1)}^{n} et de φ(n) = 2n. On a alors {y}_{n} = 0, la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} converge alors que la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} est divergente. La réciproque (ii.b) est particulièrement intéressante pour le cas de séries de nombres réels qui ne sont pas de signe constant ; en regroupant ensemble les termes consécutifs de même signe, on obtient une série de même nature que la série initiale et dont les termes sont alternés en signe.

7.6.3 Modification de l’ordre des termes

Nous allons ici étudier l’effet d’une permutation sur les termes d’une série convergente. Pour cela nous aurons besoin du lemme suivant.

Théorème 7.6.4 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes réels ou complexes absolument convergente et soit σ : ℕ → ℕ bijective, une permutation de . Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{σ(n)} est absolument convergente et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{σ(n)} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n}.

Démonstration Premier cas : série à termes réels positifs. Pour n ∈ ℕ, soit {N}_{n} le plus grand élément de σ([0,n]). On a alors

{\mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{x}_{ σ(k)} ≤{\mathop{∑ }}_{p=0}^{{N}_{n} }{x}_{p} ≤{\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{x}_{ p}

ce qui montre que la série à termes réels positifs \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{σ(k)} converge et que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{σ(n)} ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n}. Mais les deux séries jouent un rôle symétrique puisque {x}_{n} = {x}_{{σ}^{−1}(σ(n))}, et donc on a aussi {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n} ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{σ(n)} ce qui nous donne l’égalité.

Deuxième cas : séries à termes réels On introduit, comme d’habitude, pour x ∈ ℝ, {x}^{+} =\mathop{ max}(x,0) ∈ {ℝ}^{+} et {x}^{−} =\mathop{ max}(−x,0) ∈ {ℝ}^{+} si bien que x = {x}^{+} − {x}^{−}, |x| = {x}^{+} + {x}^{−}. On a alors 0 ≤ {x}_{n}^{+} ≤|{x}_{n}| et 0 ≤ {x}_{n}^{−}≤|{x}_{n}|, ce qui montre que les deux séries à termes positifs \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n}^{+} et \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n}^{−} sont convergentes. D’après le premier cas de la démonstration, les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{σ(n)}^{+} et \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{σ(n)}^{−} sont convergentes et on a

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ σ(n)}^{+} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n}^{+},\quad {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ σ(n)}^{−} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n}^{−}

Comme |{x}_{σ(n)}| = {x}_{σ(n)}^{+} + {x}_{σ(n)}^{−}, la série \mathop{\mathop{∑ }} |{x}_{σ(n)}| converge, donc la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{σ(n)} est absolument convergente, et comme {x}_{σ(n)} = {x}_{σ(n)}^{+} − {x}_{σ(n)}^{−}, on a

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ σ(n)} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ σ(n)}^{+}−{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ σ(n)}^{−} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n}^{+}−{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n}^{−} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n}

Troisième cas : séries à termes complexes On travaille de la même fa\c{c}on avec les parties réelles et parties imaginaires. On a 0 ≤|\mathop{\mathrm{Re}}({x}_{n})|≤|{x}_{n}| et 0 ≤|\mathop{\mathrm{Im}}({x}_{n})|≤|{x}_{n}|, ce qui montre que les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} \mathop{\mathrm{Re}}({x}_{n}) et \mathop{\mathop{∑ }} \mathop{\mathrm{Im}}({x}_{n}) sont absolument convergentes. D’après le deuxième cas de la démonstration, les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} \mathop{\mathrm{Re}}({x}_{σ(n)}) et \mathop{\mathop{∑ }} \mathop{\mathrm{Im}}({x}_{σ(n)}) sont absolument convergentes et on a

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Re}({x}_{ σ(n)}) ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Re}({x}_{ n}),\quad {\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Im}({x}_{ σ(n)}) ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Im}({x}_{ n})

Comme |{x}_{σ(n)}|≤|\mathop{\mathrm{Re}}({x}_{σ(n)})| + |\mathop{\mathrm{Im}}({x}_{σ(n)})|, la série \mathop{\mathop{∑ }} |{x}_{σ(n)}| converge, donc la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{σ(n)} est absolument convergente, et comme {x}_{σ(n)} =\mathop{ \mathrm{Re}}({x}_{σ(n)}) + i\mathop{\mathrm{Re}}({x}_{σ(n)}), on a

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ σ(n)} ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Re}({x}_{ σ(n)})+i{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Re}({x}_{ σ(n)}) ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Re}({x}_{ n})+i{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}\mathrm{Im}({x}_{ n}) ={ \mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{x}_{ n}

Remarque 7.6.2 La condition de convergence absolue est indispensable à la validité du théorème. Considérons la série semi convergente \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} avec {x}_{n} ={ {(−1)}^{n−1} \over n} et soit S sa somme (on peut montrer que S =\mathop{ log} 2). Soit φ : {ℕ}^{∗}→ {ℕ}^{∗} définie par φ(3k + 1) = 2k + 1, φ(3k + 2) = 4k + 2 et φ(3k + 3) = 4k + 4. On vérifie facilement que φ est une bijection de dans (la bijection réciproque est définie par des congruences modulo 4). Sommons alors par paquets de 3 la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{φ(n)}. On a

\begin{eqnarray*}{ x}_{φ(3k+1)} + {x}_{φ(3k+2)} + {x}_{φ(3k+3)}&& %& \\ & =&{ 1 \over 2k + 1} −{ 1 \over 4k + 2} −{ 1 \over 4k + 4} ={ 1 \over 4k + 2} −{ 1 \over 4k + 4} %& \\ & =&{ 1 \over 2} \left ({x}_{2k+1} + {x}_{2k+2}\right ) %& \\ \end{eqnarray*}

Ceci montre (réciproque du théorème de sommation par paquets, la taille des paquets étant bornée et le terme général tendant vers 0) que la nouvelle série converge encore, mais que sa somme est la moitié de la somme de la série initiale.

7.6.4 Produit de Cauchy

Définition 7.6.1 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} deux séries à termes réels ou complexes. On appelle produit de Cauchy (ou produit de convolution) des deux séries, la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n} avec

\mathop{∀}n ∈ ℕ, {c}_{n} ={ \mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{a}_{ k}{b}_{n−k} ={ \mathop{∑ }}_{p+q=n}{a}_{p}{b}_{q}

Théorème 7.6.5 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} deux séries à termes réels ou complexes, absolument convergentes. Alors leur produit de Cauchy \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n} est une série absolument convergente et on a

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{c}_{ n} = \left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n}\right )\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{b}_{ n}\right )

Démonstration Cas particulier : les deux séries sont à termes réels positifs. Notons {K}_{n} = [0,n] × [0,n] ⊂ {ℕ}^{2} et {T}_{n} = \{(p,q) ∈ {ℕ}^{2}\mathrel{∣}p + q ≤ n\}. On a évidemment {T}_{n} ⊂ {K}_{n} ⊂ {T}_{2n}. On a alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{c}_{ k}& =& {\mathop{∑ }}_{k=0}^{n}{ \mathop{∑ }}_{p+q=k}{a}_{p}{b}_{q} ={ \mathop{∑ }}_{(p,q)∈{T}_{n}}{a}_{p}{b}_{q} ≤{\mathop{∑ }}_{(p,q)∈{K}_{n}}{a}_{p}{b}_{q}%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{p=0}^{n}{a}_{ p}{ \mathop{∑ }}_{q=0}^{n}{b}_{ q} ≤{\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{a}_{ p}{ \mathop{∑ }}_{q=0}^{+∞}{b}_{ q} %& \\ \end{eqnarray*}

La série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n} est une série à termes réels positifs dont les sommes partielles sont majorées, donc elle converge. De plus les inclusions {T}_{n} ⊂ {K}_{n} ⊂ {T}_{2n} se traduisent par {S}_{n}(c) ≤ {S}_{n}(a){S}_{n}(b) ≤ {S}_{2n}(c) et en faisant tendre n vers + ∞, on obtient S(c) = S(a)S(b) ce qui est la formule souhaitée.

Cas général Posons {a}_{n}' = |{a}_{n}|, {b}_{n}' = |{b}_{n}| et {c}_{n}' ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p+q=n}|{a}_{p}||{b}_{q}| leur produit de Cauchy, et désignons par {S}_{n}(a'),{S}_{n}(b') et {S}_{n}(c') les sommes partielles d’indice n de ces trois séries. Puisque les séries \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}' et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}' sont convergentes, le cas particulier ci dessus montre que la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n}' est convergente et que sa somme est le produit des sommes de ces deux séries. Mais, comme |{c}_{n}|≤ {c}_{n}', on en déduit la convergence absolue de la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n}. On a alors

\begin{eqnarray*} \left |{S}_{n}(a){S}_{n}(b) − {S}_{n}(c)\right |& =& \left |{\mathop{∑ }}_{(p,q)∈{K}_{n}}{a}_{p}{b}_{q} −{\mathop{∑ }}_{(p,q)∈{T}_{n}}{a}_{p}{b}_{q}\right | = \left |{\mathop{∑ }}_{(p,q)∈{K}_{n}∖{T}_{n}}{a}_{p}{b}_{q}\right | %& \\ & ≤& {\mathop{∑ }}_{(p,q)∈{K}_{n}∖{T}_{n}}|{a}_{p}||{b}_{q}| ={ \mathop{∑ }}_{(p,q)∈{K}_{n}}|{a}_{p}||{b}_{q}|−{\mathop{∑ }}_{(p,q)∈{T}_{n}}|{a}_{p}||{b}_{q}| = {S}_{n}(a'){S}_{n}(b') − {S}_{n}(c')%&\\ \end{eqnarray*}

Puisque la somme de la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n}' est le produit des sommes des deux séries \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}' et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n}', on a {\mathop{lim}}_{n→+∞}({S}_{n}(a'){S}_{n}(b') − {S}_{n}(c')) = 0 et donc par la majoration ci-dessus {\mathop{lim}}_{n→+∞}({S}_{n}(a){S}_{n}(b) − {S}_{n}(c)) = 0, ce qui montre que la somme de la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n} est le produit des sommes des deux séries \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} et achève la démonstration.

Remarque 7.6.3 On aurait pu passer aussi du cas réel positif au cas complexe en utilisant, comme dans le théorème de permutation des termes, les parties positives {x}^{+} et {x}^{−} d’un réel x, puis les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe, mais la démonstration n’aurait pas pu se généraliser comme nous le ferons ci-dessous au cas d’une application bilinéaire plus générale.

Remarque 7.6.4 Le théorème ci dessus n’est plus valable pour des séries convergentes : posons {a}_{n} = {b}_{n} ={ {(−1)}^{n} \over \sqrt{n+1}} . On a |{c}_{n}| ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{k=0}^{n}{ 1 \over \sqrt{(k+1)(n−k+1)}} . Mais pour k ∈ [0,n], (k + 1)(n − k + 1) ≤ {({ n \over 2} + 1)}^{2} (facile). Donc |{c}_{n}|≥{ n+1 \over { n \over 2} +1} qui tend vers 2 ; donc la suite ({c}_{n}) ne tend pas vers 0 et la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n} diverge.

On a une généralisation du théorème précédent sous la forme suivante qui nous sera utile quand nous considérerons des séries d’endomorphismes.

Théorème 7.6.6 Soit E, F et G sont trois espaces vectoriels normés, u : E × F → G une application bilinéaire continue, \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n} une série à termes dans E absolument convergente, \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} une série à termes dans F absolument convergente, et si l’on pose {c}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p+q=n}u({a}_{p},{b}_{q}), alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {c}_{n} est absolument convergente et on a

{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{c}_{ n} = u\left ({\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{a}_{ n},{\mathop{∑ }}_{n=0}^{+∞}{b}_{ n}\right )

Démonstration La démonstration est tout à fait similaire : utiliser l’existence d’un réel positif K tel que \|u(x,y)\| ≤ K\|x\| \|y\| pour montrer que \left |{S}_{n}(a){S}_{n}(b) − {S}_{n}(c)\right |≤ K\left ({S}_{n}(a'){S}_{n}(b') − {S}_{n}(c')\right ) en posant {a}_{n}' =\| {a}_{n}\|, {b}_{n}' =\| {b}_{n}\| et {c}_{n}' ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p+q=n}\|{a}_{p}\|\|{b}_{q}\|